Теория игр
Построение модели, с использованием принципа недостаточного основания Лапласа. Применение критериев Вальда и построение матрицы минимального риска по Севиджу. Способы математического решения пары двойственных задач. Пути нахождения нижней цены игры.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.12.2013 |
| Размер файла | 70,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Уральский государственный экономический университет
Центр дистанционного образования
Теория игр
1) Задание:
а) Решить игру с природой по критерию Гурвица, б=0,4;
б) Решить игру с природой по критерию Лапласа;
в) Решить игру с природой по критерию Сэвиджа;
г) Решить игру с природой по критерию Вальда.
Критерий Лапласа. Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т. е.:
q1 = q2 =... = qn = 1 / n qi = 1 / 3
Строим:
Выбираем из (2, 6.33, 0.67, 3.33) максимальный элемент max=6.33.
Выбираем стратегию N=2.
Критерий Вальда. По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т. е.:
a = max * (min aij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т. е., этот критерий выражает пессимистическую оценку:
Выбираем из (0, 2, -5, 1) максимальный элемент max=2.
Вывод: выбираем стратегию N=2.
Критерий Севиджа.
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т. е., обеспечивается:
a = min * (max rij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т. е., этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск - мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце max(aij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков:
r11 = 5 - 5 = 0;
r21 = 5 - 2 = 3;
r31 = 5 - 1 = 4;
r41 = 5 - 1 = 4.
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков:
r12 = 9 - 1 = 8;
r22 = 9 - 9 = 0;
r32 = 9 - (-5) = 14;
r42 = 9 - 7 = 2.
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков:
r13 = 8 - 0 = 8;
r23 = 8 - 8 = 0;
r33 = 8 - 6 = 2;
r43 = 8 - 2 = 6.
Результаты вычислений оформим в виде таблицы:
Выбираем из (8, 3, 14, 6) минимальный элемент min=3.
Выбираем стратегию N=2.
Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение max(si):
si = y min(aij) + (1-y)max(aij)
При y=1 получим критерий Вальде, при y=0 получим - оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем si:
s1 = 0.4 * 0 + (1 - 0.4) * 5 = 3;
s2 = 0.4 * 2 + (1 - 0.4) * 9 = 6.2;
s3 = 0.4 * (-5) + (1 - 0.4) * 6 = 1.6;
s4 = 0.4 * 1 + (1 - 0.4) * 7 = 4.6.
Выбираем из (3, 6.2, 1.6, 4.6) максимальный элемент max=6.2.
Выбираем стратегию N=2.
Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A2.
3) Решить игру симплекс-методом:
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры max(ai) = 4, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3.
Верхняя цена игры min(bj) = 5.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ? b, тогда цена игры находится в пределах 4<5. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).
Стратегия A3 доминирует над стратегией A4 (все элементы строки 3 больше или равны значениям 4-ой строки), следовательно исключаем 4-ую строку матрицы. Вероятность p4=0.
С позиции проигрышей игрока В стратегия B2 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 2 больше элементов столбца 1), следовательно исключаем 2-ой столбец матрицы. Вероятность q2=0.
В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы. Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).
Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:
- найти минимум функции F(x) при ограничениях:
F(x) = x1 + x2 + x3 = min
- найти максимум функции Ф(y) при ограничениях:
Ф(y) = y1 + y2 + y3 = max
Решаем эти системы симплексным методом.
Оптимальный план можно записать так:
x3 = 1 / 6;
x2 = 1 / 42;
x6 = 11 / 42;
F(X) = 1 * 1 / 6 + 1 * 1 / 42 = 4 / 21.
Оптимальный план двойственной задачи равен:
y1 = 1 / 21;
y2 = 1 / 7;
y3 = 0;
Z(Y) = 4 / 21.
Цена игры: g = 1 / 4 / 21 = 51 / 4.
Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (1), то вычтем это число из цены игры. Цена игры: 41/4
4) Решить игру графически:
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры max(ai) = 7, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3.
Верхняя цена игры min(bj) = 7.
Седловая точка (3, 1) указывает решение на пару альтернатив (A3,B1). Цена игры равна 7.
В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы. Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).
Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии B1, правый - стратегии B2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2);
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии B1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии B2. Оптимальной стратегии игрока B соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых A1A1 и A3A3, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 3 + (0 - 3) * q2
y = 9 + (11 - 9) * q2
матрица риск математический
Откуда:
q1 = 21 / 5;
q2 = -11 / 5.
Цена игры:
y = 63 / 5;
q1 = -11 / 5;
q2 = 21 / 5.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Принятие решений в условиях неопределенности. Критерий Лапласа и принцип недостаточного основания. Критерий крайнего пессимизма. Требования критерия Гурвица. Нахождение минимального риска по Сэвиджу. Выбор оптимальной стратегии при принятии решения.
контрольная работа [34,3 K], добавлен 01.02.2012Сущность общей методики формирования критериев. Расчет показателя эффективности стратегии, средневзвешенного выигрыша, цены игры, оптимальности стратегии по критериям Байеса, Лапласа, Вальда, Ходжа-Лемана, Гермейера, максимаксному, критерию произведений.
реферат [67,3 K], добавлен 23.05.2010Определение чистых стратегий холдинга. Составление платежной матрицы игры, ее верхней и нижней цены. Принятие оптимального решения об инвестиции в банк для получения наибольшей выгоды при улучшении финансового состояния металлургическому консорциуму.
курсовая работа [85,3 K], добавлен 19.05.2014Решение задач при помощи пакета прикладных программ MatLab. Загрузка в MatLab матриц A и P. Нахождение оптимальной стратегии для заданных матриц с использованием критериев принятия решений в условиях неопределённости Вальда, Гурвица, Лапласа, Сэвиджа.
лабораторная работа [80,2 K], добавлен 18.03.2015Построение модели и индивидуального спроса в рамках стратегических рыночных игр. Построение модели и постановка игры, введение базовых понятий и переменных. Упрощение модели и постановка задачи максимизации. Ожидаемая полезность и проблемы максимизации.
дипломная работа [2,3 M], добавлен 25.08.2017Построение модели планирования производства. Использование инструментального средства "Поиск решения" для решения задачи линейного программирования. Решение оптимальной задачи, с использованием методов математического анализа и возможностей MathCad.
лабораторная работа [517,1 K], добавлен 05.02.2014Понятие задач оптимизации, которые сводятся к нахождению экстремума целевой функции. Функции линейного программирования – наиболее широко применяющегося математического средства решения экономических задач. Пример решения задачи о раскрое материала.
контрольная работа [60,3 K], добавлен 17.02.2012Применение методов оптимизации для решения конкретных производственных, экономических и управленческих задач с использованием количественного экономико-математического моделирования. Решение математической модели изучаемого объекта средствами Excel.
курсовая работа [3,8 M], добавлен 29.07.2013Решения, связанные с рисками. Снижение риска с помощью статистической теории принятия решений. Применение модели платежной матрицы и различных ее вариантов. Направленность изменений соотношений темпов роста показателей, формирующих динамические модели.
контрольная работа [41,2 K], добавлен 28.03.2013Построение эконометрической модели, описывающей линейную зависимость результативного признака факторов, входящих в нее, методом матрицы. Проверка ее на адекватность по критерию Фишера. Определение дисперсии, ковариации, корреляции и детерминации.
контрольная работа [180,5 K], добавлен 03.12.2014Составление и проверка матрицы планирования. Получение математической модели объекта. Проверка адекватности математического описания. Применение метода случайного баланса для выделения наиболее существенных входных переменных многофакторного объекта.
курсовая работа [568,7 K], добавлен 31.08.2010Построение линейной модели зависимости цены товара в торговых точках. Расчет матрицы парных коэффициентов корреляции, оценка статистической значимости коэффициентов корреляции, параметров регрессионной модели, доверительного интервала для наблюдений.
лабораторная работа [214,2 K], добавлен 17.10.2009Математическая модель задачи принятия решения в условиях риска. Нахождение оптимального решения по паре критериев. Построение реализационной структуры задачи принятия решения. Ориентация на математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение.
курсовая работа [79,0 K], добавлен 16.09.2013Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора. Коммерческий расчет экспоненциально скользящей средней цены с использованием интервала сглаживания. Построение графиков фактических, расчетных и прогнозных данных.
контрольная работа [626,5 K], добавлен 28.04.2011Двойственные оценки как мера влияния ограничений на функционал. Построение экономико-математической модели задачи. Выявление аномальных уровней временного ряда с использованием метода Ирвина. Построение графика общих годовых затрат по выгодному способу.
контрольная работа [282,7 K], добавлен 16.01.2012Конфликтные ситуации в управленческой деятельности. Использование математического моделирования для решения управленческих задач. Определение биматричной игры и общий принцип ее решения. Состояние равновесия в смешанных стратегиях в биматричных матрицах.
реферат [26,9 K], добавлен 21.12.2010Построение математической модели и решение задачи математического программирования в средах MathCad и MS Excel. Решение систем с произвольными векторами свободных коэффициентов. Определение вектора невязки. Минимизация и максимизация целевой функции.
отчет по практике [323,5 K], добавлен 01.10.2013Описание классической линейной модели множественной регрессии. Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции на наличие мультиколлинеарности. Оценка модели парной регрессии с наиболее значимым фактором. Графическое построение интервала прогноза.
курсовая работа [243,1 K], добавлен 17.01.2016Определение нижней и верхней цены игры, заданной платежной матрицей. Имеет ли игра седловую точку? Решение геометрически задачи линейного программирования. Построение графа состояний случайного процесса. Предельные вероятности для заданной системы.
контрольная работа [280,0 K], добавлен 04.02.2011Построение линейной модели и уравнения регрессии зависимости цены на квартиры на вторичном рынке жилья в Москве в 2006 г. от влияющих факторов. Методика составления матрицы парных коэффициентов корреляции. Экономическая интерпретация модели регрессии.
лабораторная работа [1,8 M], добавлен 25.05.2009
