Средние величины в статистике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева»

Кафедра организации и управления наукоемкими производствами

Контрольная работа

по дисциплине Статистика

Выполнил:

студент гр. БММЗУ11-01

Лапин М.С.

Проверил:

Ополева Л.А.

Красноярск 2013

Задание 1

интервал совокупность ряд динамика

По данным таблицы 1, путем прибавления к исходным данным трехзначной цифры, соответствующей трем последним цифрам зачетной книжки (347), рассчитать уровни каждого ряда.

Таблица 1. Исходные данные

Месяц	Выпуск продукции, тыс. руб.	Численность рабочих (на конец месяца), чел.	Фонд заработной платы, тыс. руб.
Январь	678655	11615	225655
Февраль	679555	11755	237855
Март	679655	11755	237655
Апрель	679855	12255	238655
Май	680255	12305	240855
Июнь	679755	12255	240655
Июль	685955	12475	242055
Август	686555	12655	244155
Сентябрь	685855	12555	242655
Октябрь	686755	13155	244955
Ноябрь	684955	13175	246355
Декабрь	699855	13405	246955
Средний уровень ряда	683972	12447	240705
Сумма ряда	8207660	149360	2888460

Задание 2

интервал статистика укрупнение динамика

Методом укрупнения интервалов исходные данные привести к квартальным уровням и составить таблицу 2. Проанализировать тенденцию.

Таблица 2. Квартальные уровни

Квартал	Первый	Второй	Третий	Четвертый
Выпуск продукции, тыс. руб.	2037865	2039865	2058365	2071565
Численность, чел.	35125	36815	37685	39735
Фонд заработной платы, тыс. руб.	701165	720165	728865	738265

Вывод: по выпуску продукции, численности рабочих и фонду заработной платы наблюдается стабильный поквартальный рост.

Задание 3

По данным таблицы 2 определить все виды возможных относительных величин. Составить соответствующие таблицы. Проанализировать тенденцию их изменения.

Таблица относительных показателей по выпуску продукции

квартал		ОВС	коэффициент роста	темп роста, %	темп прироста, %
			базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной
первый	2037865	0,248288	1	1	100	100	0	0
второй	2039865	0,248532	1,000981	1,000981	100,098142	100,098142	0,098142	0,098142
третий	2058365	0,250786	1,010060	1,009069	101,005955	100,906923	1,005955	0,906923
четвер-тый	2071565	0,252394	1,016537	1,006413	101,653691	100,641286	1,653691	0,641286

Все уровни имеют одинаковый удельный вес в структуре выпуска. Наибольший базисный коэффициент роста наблюдается в 4 квартале, а цепной в третьем квартале. Наибольшие темпы роста и темпы прироста дают базисные показатели, причем наибольшее увеличении этих темпов происходит к 4 кварталу, тогда как в цепных после 3 квартала величина показателей темпов роста снижается.

Таблица относительных показателей по численности

квартал		ОВС	коэффициент роста	темп роста, %	темп прироста, %
			базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной
первый	35125	0,235170	1	1	100	100	0	0
второй	36815	0,246485	1,048114	1,048114	104,811388	104,811388	4,8113879	4,811388
третий	37685	0,252310	1,072883	1,023632	107,288256	102,363167	7,288256228	2,363167
четвер-тый	39735	0,266035	1,131246	1,054398	113,124555	105,439830	13,12455516	5,439830

Наибольший дельный вес в общей структуре имеет показатель 4 квартала 0,26,а наименьший в первом. Показатели темпов роста увеличиваются с течением времени в большей степени. Базисные стабильно растут с каждым кварталом, а вот цепные снижают темпы рост в 3 квартале, но уже к 4 вновь начинают расти.

Таблица относительных показателей по фонду заработной платы

квартал		ОВС	коэффициент роста	темп роста, %	темп прироста, %
			базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной
первый	701165	0,242747	1	1	100	100	0	0
второй	720165	0,249325	1,027098	1,027098	102,709776	102,709776	2,709775873	2,709776
третий	728865	0,252337	1,039506	1,012081	103,950568	101,208056	3,950567983	1,208056
четвертый	738265	0,255591	1,052912	1,012897	105,291194	101,289676	5,291193942	1,289676

Базисные показатели растут в меньшей степени, чем численность, но в большей степени чем выпуск.

Относительные показатели отдачи

квартал	выпуск	численность	зарплата	производитель-ность	средняя з/п	плата за ед. продукции
первый	2037865	35125	701165	58,017509	19,961993	0,344068
второй	2039865	36815	720165	55,408529	19,561728	0,353045
третий	2058365	37685	728865	54,620273	19,340984	0,354099
четвертый	2071565	39735	738265	52,134516	18,579716	0,356380

Задание 4

Рассчитать средние показатели для первого и второго ряда динамики.

Средней величиной в статистике называется обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо варьирующему признаку, которая показывает уровень признака, отнесенный к единице совокупности.

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние.

Общая формула степенной средней имеет вид:

X =

где x - степенная средняя;

х - меняющиеся величины признака (варианты);

n - число вариант;

m - показатель степени средней.

Средняя арифметическая исчисляется в тех случаях, когда объем усредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) используется тогда, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным. Формула средней арифметической простой имеет вид:

Использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.

На практике, для упрощения расчётов объединяют (группируют) единицы совокупности, имеющие одно и то же значение признака, указывая частоту их возникновения (f). В этом случае применяют среднюю арифметическую взвешенную, вычисление которой можно записать в следующем виде:

Месяц	Выпуск продукции, тыс. руб.	Численность рабочих (на конец месяца), чел.
Январь	678655	11615
Февраль	679555	11755
Март	679655	11755
Апрель	679855	12255
Май	680255	12305
Июнь	679755	12255
Июль	685955	12475
Август	686555	12655
Сентябрь	685855	12555
Октябрь	686755	13155
Ноябрь	684955	13175
Декабрь	699855	13405
общая средняя	683971,666667	12446,666667
средний абсолютный прирост	1927,272727	162,727273
средний коэффициент роста	1,002800	1,013115
средний % темп роста	100,280030	101,311530
средний % темп прироста	0,280030	1,311530

Задание 5

По показателю выпущенной продукции (данные таблицы 1) рассчитать и проанализировать все показатели вариации.

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные. К абсолютным относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Относительными показателями вариации являются коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др.

Самым простым абсолютным показателем является размах вариации R, который рассчитывается как разность между максимальным и минимальным значениями признака.

Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений исчисляют среднее линейное отклонение d, определяемое как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учёта знака этих отклонений:

или

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (²), определяемый как средняя из отклонений, возведенных в квадрат:

или

Корень квадратный из дисперсии представляет собой среднее квадратическое отклонение. Оно выражается в тех же единицах измерения, что и признак.

Эти показатели являются общепринятыми мерами вариации и широко используются в отечественной и зарубежной практике.

Для выпуска продукции рассчитаем Размах вариации

R = 699855-678655=21200

Расчет показателей вариации

	x	|x-xср|	|x-xср|2
Январь	678655	5316,667	28266944,444
Февраль	679555	4416,667	19506944,444
Март	679655	4316,667	18633611,111
Апрель	679855	4116,667	16946944,444
Май	680255	3716,667	13813611,111
Июнь	679755	4216,667	17780277,778
Июль	685955	1983,333	3933611,111
Август	686555	2583,333	6673611,111
Сентябрь	685855	1883,333	3546944,444
Октябрь	686755	2783,333	7746944,444
Ноябрь	684955	983,333	966944,444
Декабрь	699855	15883,333	252280277,778
Сумма	8207660	52200	390096666,667
Общая средняя	683971,7
Среднее линейное отклонение	4350		32508055,56
Коэффициент осцилляции	3,1%
Линейный коэффициент вариации	0,64%
Коэффициент вариации	0,83%

Среднее линейное отклонение

= 52200:12=4350

Показатель дисперсии

= 390096666,6:12= 32508055,56

== 5701,583

Чтобы сравнить вариационные ряды с разными уровнями, применим показатели вариации.

Коэффициент осцилляции

= 21200:683971,7*100%=3,1%

Линейный коэффициент вариации

=4350:683971,7*100%= 0,64%

Коэффициент вариации

= 5701,583:683971,7*100%=0,83%

Наиболее часто из указанных показателей применяется коэффициент вариации. Совокупность считается однородной, если этот показатель не превышает 33%

Вывод: совокупность по показателю выпущенной продукции однородна, т.к. коэффициент вариации 0,83<33%.

Чем меньше дисперсия, тем надежнее средняя величина, в нашем случае показатель достаточно велик, что говорит о несколько низкой надежности общей средней. По коэффициенту оссиляции можно сказать, что колеблемость крайних значений вокруг средней составляет примерно 3,1%. А по относительному линейному отклонению доля усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины составляет 0,64%.

Задание 6

По показателю численности рабочих (данные таблицы 1.1) определить темпы роста, абсолютные приросты, темпы прироста, абсолютную величину 1% прироста.

Вычислить также средние показатели динамики. Сделать выводы.

Анализу подвергаются уровни ряда динамики. Различают начальный уровень (Y_I), показывающий величину первого члена ряда, конечный уровень (Y_п), показывающий величину конечного члена ряда, и средний уровень ряда .

Методы расчета среднего уровня в интервальном и моментном ряду различны. В интервальном ряду, если все интервалы равны, средний уровень ряда исчисляется по формуле простой средней арифметической:

где - сумма уровней ряда, n - их число.

Если же ряд имеет разные интервалы, то нужно сначала привести ряд к равным интервалам, а затем исчислять среднюю.

В моментном ряду динамики, имеющим равные интервалы, средний уровень ряда определяют по формуле:

Если в моментном ряду интервалы неравные, то необходимо применять среднюю взвешенную. Для этого сначала определяют средние за интервалы ограниченные двумя датами, а затем из них определяют общую среднюю с весами, кратными длинам интервалов.

Для того, чтобы облегчить анализ рядов динамики, определяют следующие показатели: темпы роста, абсолютные приросты, темпы прироста, абсолютную величину одного процента прироста.

Темпы роста - это отношение уровней ряда одного периода к другому. Они могут быть определены как базисные, если все уровни ряда, относятся к уровню одного какого-либо периода, и как цепные, когда уровень каждого периода относится к уровню предыдущего периода. Темпы роста показывают во сколько раз увеличивается или уменьшается размер какого-либо явления и могут выражаться либо в процентах, либо в коэффициентах.

Если темпы роста выражены в коэффициентах, то легко можно перейти от цепных темпов к базисным и обратно, если пользоваться следующими двумя правилами:

1) произведение предыдущих цепных темпов равно базисному;

2) частное от деления базисных темпов равно промежуточному цепному.

Расчет показателей динамики численности рабочих

Месяц	Численность рабочих, (на конец месяца) чел.	Абсолютный прирост	Темп роста	Темп прироста	Абсолютная Величина 1% прироста
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
Январь	11615
Февраль	11755	140	140	1,01205	1,0121	1,1910	1,2053	117,55
Март	11755	0	140	1,00000	1,0121	0,0000	1,2053
Апрель	12255	500	640	1,04254	1,0551	4,0800	5,5101	122,55
Май	12305	50	690	1,00408	1,0594	0,4063	5,9406	123,05
Июнь	12255	-50	640	0,99594	1,0551	-0,4080	5,5101	122,55
Июль	12475	220	860	1,01795	1,0740	1,7635	7,4042	124,75
Август	12655	180	1040	1,01443	1,0895	1,4224	8,9539	126,55
Сентябрь	12555	-100	940	0,99210	1,0809	-0,7965	8,0930	125,55
Октябрь	13155	600	1540	1,04779	1,1326	4,5610	13,2587	131,55
Ноябрь	13175	20	1560	1,00152	1,1343	0,1518	13,4309	131,75
Декабрь	13405	230	1790	1,01746	1,1541	1,7158	15,4111	134,05

Среднегодовой темп роста определяется по формуле средней геометрической:

Абсолютный прирост показывает на сколько единиц увеличивается или уменьшается размер какого-либо явления и рассчитывается как разность уровней ряда. Он также может быть цепным, если из каждого уровня вычитать предыдущий, и базисным, если из всех уровней вычитать начальный, т.е. как накопленные итоги:

Средний абсолютный прирост можно определить по формулам:

или : (12-1)=162,72

Абсолютный прирост выражается в единицах измерения членов ряда.

Темп прироста показывает на сколько процентов увеличиваются или уменьшаются размеры явления за изучаемый период времени. Он определяется путём деления абсолютного прироста на величину первоначального или предыдущего уровня:

или

Егo можно получить также и из темпа роста, выраженного в процентах, если от него отнять 100%.

Средний темп прироста определяют только путём вычитания 100% из среднего темпа роста в процентах.

1,0131-100% = 1,31%

Показатель абсолютного значения 1% прироста определяют делением абсолютного прироста на темп прироста. Он имеет смысл только для цепных приростов и темпов прироста, т.к. для базисных этот показатель будет для всех периодов один и тот же.

, а так как , то

Вывод: средний темп роста численности рабочих составил 1,0131, средний абсолютный прирост численности рабочих составил 162,72 средний темп прироста 1,31%.

Абсолютные показатели не позволяют адекватно оценить данные. Если характеризовать совокупность по приросту, то мы видим, что существует вполне закономерная тенденция к росту, хотя в частности по месяцам показатели могут колебаться.

Задание 7

Изучить методы сглаживания рядов динамики скользящей средней и аналитического выравнивания. По показателю фонда заработной платы (данные таблицы 1) выполнить подробные вспомогательные и основные расчеты. Теоретически обосновать расчеты и полученные результаты.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости у_t. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции, а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса. Линейная зависимость (y_t=a_o+a₁t) выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдается более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость (y_t=a_o+a₁t +a₂t²) используется если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные зависимости (у = ехр/ a_o + a₁t) применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный прирост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста), либо, при отсутствии такого постоянства, - устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста).

Оценка параметров зависимости может быть сделана методами избранных точек, наименьших расстояний, наименьших квадратов. В большинстве расчётов используют метод наименьших квадратов, рассматриваемый в курсе математической статистики. По этому методу , например, для нахождения параметров прямой линии необходимо решить следующую систему уравнений:

Для линейной зависимости параметр a_o обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщённый начальный уровень ряда; а1 - сила связи, т.е. параметр, показывающий, на сколько изменится результат при изменении времени на единицу.

Проведем поиск линейной зависимости методом наименьших квадратов.

Для расчетов построим таблицу.

Сводная таблица для линейной функции.

Метод аналитического выравнивания

Месяц	Yф	t	t2	Y*t	Y расчетное	Yф-Yр)	(Yф-Yр)2
Январь	225655	1	1	225655	233143,44	-7488,44	56076734
Февраль	237855	2	4	475710	234518,24	3336,76	11133967
Март	237655	3	9	712965	235893,04	1761,96	3104503
Апрель	238655	4	16	954620	237267,84	1387,16	1924213
Май	240855	5	25	1204275	238642,64	2212,36	4894537
Июнь	240655	6	36	1443930	240017,44	637,56	406483
Июль	242055	7	49	1694385	241392,24	662,76	439251
Август	244155	8	64	1953240	242767,04	1387,96	1926433
Сентябрь	242655	9	81	2183895	244141,84	-1486,84	2210693
Октябрь	244955	10	100	2449550	245516,64	-561,64	315439
Ноябрь	246355	11	121	2709905	246891,44	-536,44	287768
Декабрь	246955	12	144	2963460	248266,24	-1311,24	1719350
Сумма	2888460	78	650	18971590	2888458,08		84439371

Решение системы линейных уравнений

Выразим отсюда а₀ и а₁:

12a₀+78a₁=2888460

78a₀+650a₁= 18971590

a₀= (2888460-78a₁)\12

78(2888460-78a₁)\12+650a₁=18971590

18774990-507a₁+650a₁=18971590

143a₁=196600

a₁=1374,8

a₀= (2888460-78*1374,8)/12=2781223,64/12=231768,64

Найдя значение a₁и a₀ можно построить уравнение

yt=а₀+a₁*t

yt=231768,64+1374,8*t

подставляя сюда значение t, получим выровненный ряд динамики и теоретические значения показателя (Yрасч).



Вывод: Линейный прогноз для фонда заработной платы по месяцам описывается формулой yt=231768,64+1374,8*t, где t - номер месяца в году, а y- прогнозируемый размер фонда.

При методе скользящих средних исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть чётным или нечётным.

Метод скользящей средней

месяц	Фонд з/п	Скользящая средняя за квартал	Центрированная СС	Оценка сезонной компоненты
январь	225655
февраль	237855	233722	235888	1967
март	237655	238055	238555	-900
апрель	238655	239055	239555	-900
май	240855	240055	240622	233
июнь	240655	241188	241738	-1083
июль	242055	242288	242622	-567
август	244155	242955	243438	717
сентябрь	242655	243922	244288	-1633
октябрь	244955	244655	245372	-417
ноябрь	246355	246088
декабрь	246955

Производим сглаживание исходного ряда динамики фонда оплаты труда методом 4-х звенной скользящей средней (скользящая средняя за квартал). Так как данные средние приходятся на период между кварталами поэтому при сглаживании скользящие средние необходимо центровать (центрированная СС). Центрирование производим путем нахождения средней арифметической простой из смежных уровней, при этом теряем еще один уровень.

Вывод. Как показывают данные значения скользящей средней на протяжении анализируемого периода систематически возрастали, что восходящей тенденции изменения фонда оплаты труда.

Задание 8

Индексным методом определить влияние на изменение фонда заработной платы в декабре по сравнению с январем средней заработной платы на одного рабочего и их численности.

Индексный метод широко применяется для анализа роли отдельных факторов в динамике какого-либо сложного явления, изменение которого обусловлено действием нескольких факторов, выступающих как множители совокупного результата.

Месяц	Численность рабочих, (на конец месяца) чел	Фонд заработной платы, тыс. руб.	Средняя заработная плата тыс. руб.
	q	pq	p
январь	11615	225655	19,43
декабрь	13405	246955	18,42

Индексный метод позволяет также представить абсолютный прирост стоимости как результат влияния отдельных факторов:

Оценим влияние изменения численности и средней заработной платы на изменение фонда заработной платы.

Месяц	Численность рабочих, (на конец месяца) чел	Фонд заработной платы, тыс. руб.	Средняя заработная плата тыс. руб.
	g	pg	p
январь	11669	225709	19,34
декабрь	13459	247009	18,35

=18,42*13405-19,34*13405=246920,1-259252,7= -12332,6

=19,34*13405-19,34*11615=259252,7-224634,1= 34618,6

-12332,6+34618,6= -13324,41+34618,6=22286 тыс. руб./чел

246955-225655 =21300 тыс. руб.

Проведем расчеты индексов для численности заработной платы, фонда заработной платы и средней заработной платы.

Индекс заработной платы:

Индекс численности рабочих:

Тогда индекс изменения фонда заработной платы будет равен:

Вывод: За счет изменения средней заработной платы в декабре по сравнению с январем фонд заработной платы уменьшился в 0,94 раза, а за счет изменения численности увеличился в 1,154. В общем, фонд заработной платы вырос в 1,094 раза.

Задание 9

С помощью корреляционно-регрессионного анализа изучить связь между первым и вторым признаками. Для этого:

а) построить эмпирическую линию регрессии;

б) оценить тесноту связи между признаками;

в) найти уравнение связи, график которого представить в той же системе координат, что и эмпирическая линия регрессии.

г) сделать выводы.

Судя по коэффициенту корреляции связь между признаками сильная, прямая, то есть с ростом численности растет величина выпускаемой продукции.

Yteor=8,34816863+582614,609xi

Табличное значения критерия Фишера при 5-ти процентном уровне значимости 4,75, что меньше наблюдаемого, следовательно, полученное уравнение значимо.



Задание 10

По показателю численности рабочих (данные таблицы 1.1) построить точечные и круговые диаграммы, полигоны, гистограммы, кумулятивные огивы.



Таким образом, на графиках сразу заметна тенденция к росту численности рабочей силы.

Задание 11

Исследовав показатели выпуска продукции, численности рабочей силы и фондов заработной платы, получилось, что все эти три показателя безусловно связаны достаточно сильной прямой зависимостью. На данном производстве рост выпуска продукции сопровождается ростом численности работников, а раз расширяется штат сотрудников, следовательно, растут фонды заработной платы, но как отмечалось ранее рост каждого показателя проявляется по-разному. Возможно, это связано с законом уменьшающейся отдачи, то есть каждый дополнительный вовлекаемый в производство работник приносит меньшую полезность предприятию, этим явлением можно объяснить разные темпы роста численности и заработной платы.

Размещено на Allbest.ru

...