Изучение модели установления равновесной цены Эванса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Ижевский государственный технический университет им. М.Т. Калашникова

Факультет "Математика и естественные науки"

Курсовая работа

"Изучение модели установления равновесной цены Эванса"

Руководитель работы:

К.В. Кетова

д.ф.-м.н., профессор

Выполнил

О.М. Погудина

Студент группы Б04-181-1

Ижевск 2013



Техническое задание на выполнение курсовой работы по дисциплине "Динамические модели в экономике".

Тема: "Изучение модели установления равновесной цены Эванса".

Цель: изучить этапы построения динамических математических моделей в экономике и научиться строить математические модели динамических систем.

Состав задач:

· Подобрать и изучить литературу по теме математического моделирования в экономике.

· Рассмотреть основные этапы математического моделирования в экономике.

· Изучить динамическую модель установления равновесной цены Эванса.

· Найти аналитическое решение математической модели установления равновесной цены Эванса.

· Оценить параметры модели на основе конкретного статистического материала.

Критерии окончания работы: по итогам выполнения поставленных задач оформляется пояснительная записка к курсовой работе и готовится демонстрационный материал для защиты.

Программно-аппаратные средства: операционная система Windows 7/ Windows XP, Microsoft Office / Open Office.



Содержание

Введение

1. Теория экономико-математических моделей

1.1.Из истории экономико-математического моделирования

1.2 Основные понятия и определения

1.3 Современное состояние экономико-математического моделирования. Классификация экономико-математических моделей

1.4 Этапы построения математических моделей

2. Модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара

2.1 Равновесная цена

2.2 Модель равновесной цены Эванса

3. Практическое применение модели равновесной цены Эванса

Заключение

Список литературы

Приложения



Введение

Современная экономика широко использует математические методы, как для решения практических задач, так и для моделирования социально-экономических явлений и процессов. Математические модели являются важнейшим инструментом исследования и прогнозирования. Они представляют собой основу компьютерного моделирования и обработки информации, дают более глубокие представления о закономерностях экономических процессов, способствуют формированию образа мышления и анализа на новом, более высоком уровне. Сегодня, в условиях глобализации мировой экономики и становления общества нового типа - информационного, математические модели становятся мощным инструментом прогнозов эволюции цивилизации, что позволяет определять оптимальные магистрали развития экономики, прежде всего в плане обеспечения жизнедеятельности человека. По мере дальнейшего развития общества все более важной является разработка путей совершенствования экономических отношений с точки зрения оптимального использования всех природных, производственных, материальных трудовых ресурсов. Поэтому неслучайно экономисты и математики, занимающиеся вопросами применения математики в экономике, большое внимание уделяют разработке математических методов построения оптимальных планов, обеспечивающих выпуск необходимой продукции при минимальных затратах труда, и изучению закономерностей наиболее рационального распределения и использования ресурсов производства.

Активное использование математического аппарата в экономике основывается на овладении необходимой базой математических знаний. Математические теоремы и доказательства представляет собой строгие логические рассуждения. В этом плане математика является более простой наукой, нежели другие - скажем, науки об обществе: она не допускает множественного трактования; для опровержения какого-либо предположения здесь достаточно привести всего лишь один противоречивый пример. Однако в такой простоте скрыта сила логических построений и умозаключений, которая позволяет оттачивать методику исследований сложных процессов, имеющих место в экономике и окружающем нас мире.

Актуальность рассматриваемой темы состоит в том, что мир не стоит на месте, появляются новые отрасли экономики, которые требуют четкого расчета, по взаимодействию их с давно зарекомендовавшими.

Целью курсовой работы является рассмотрение этапов построения динамических моделей в экономике и изучение процесса построения математических моделей экономических систем. Для реализации поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

· приводятся общие сведения с основными этапами математического моделирования;

· рассматривается динамическая модель установления равновесной цены Эванса;

· приводятся решения экономической модели с помощью дифференциальных уравнений.

В первой части данной работы представлены основные положения, связанные с понятием "моделирование", "математическая модель", а также история развития экономико-математического моделирования. Вместе с тем построена классификация моделей и их некоторые особенности. Обозначены этапы построения моделей.

Во второй части данной работы представлено математическое описание модели равновесной цены Эванса. В третьей же части приведено решение практической задачи, на основе теоретически описанной ранее модели Эванса.

модель цена равновесная эванс



1. Теория экономико-математических моделей

1.1 Из истории экономико-математического моделирования

Несмотря на то, что задачи естествознания служили основными побудительными толчками, способствующими развитию математики, параллельно развивались приложения математики в социально-экономических науках. Возникающие здесь задачи вызвали разработку нового математического инструментария, что в конечном итоге привело к формированию таких разделов математики, как линейное и нелинейное программирование, теория массового обслуживания, теория игр и др.

Многие современные понятия экономики имеют большую историю. Считается, что математические методы в экономике, как метод анализа макроэкономических процессов, начали использоваться ещё в XVIII в. Опубликовав работу "Экономические таблицы", французский экономист лейб-медик короля Людовика XV доктор Франсуа Кене впервые сделал попытку формализовать процесс общественного воспроизводства. В этой работе была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику. В дальнейшем К. Марксом было осуществлено научное обоснование этого процесса за счёт создания схем воспроизводства, которые имели большое влияние на развитие экономической науки. Одно из первых логически последовательных изложений математической модели экономики было выполнено О. Курно в книге "Исследование математических принципов теории богатства", опубликованной во Франции в 1838 г. В этой работе количественные методы были использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях. О вкладе О. Курно в развитие математического моделирования экономических процессов, а также о препятствиях, ограничивающих распространение этого метода, замечательно сказал в предисловии своей книги "Принципы экономической науки" А. Маршалл: "... когда приходится использовать слишком много символов, разбирать их становится трудно всем, кроме самого автора. Правда, гений Курно должен придать новый стимул умственной деятельности всех, кто испытывает на себе влияние его трудов, а равные ему по уровню математики в состоянии использовать своё излюбленное оружие, чтобы пробить себе дорогу к самой сути тех труднейших проблем экономической теории, которые до сих пор затрагивались весьма поверхностно".

В конце XIX в. были разработаны и начали использоваться статистические методы, которые составили предпосылки к возникновению новой науки - эконометрии, представляющей собой одно из ответвлений экономико-математических методов по изучению количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического анализа и математической статистики.

О значении метода математического моделирования в работах по исследованию экономических процессов, выполненных во второй половине XIX в., лучше всего говорит следующий факт: среди выдающихся экономистов этого периода "... только Кларк и Бем-Баверк сумели внести фундаментальный вклад в экономическую теорию без использования или знания математики".

В начале XX в. трудами английского статистика Гукера, начали изучаться взаимозависимости между экономическими показателями. В этот период появляются работы по развитию методов математической статистики и применению этих методов в экономическом анализе (исследование Мура, работы И. Кобба и П. Дугласа о производственной функции как одной из первых эконометрических моделей и др.). Именно эти труды стали основой современной эконометрии.

К началу XX в. усилиями Л. Вальраса, В. Парето, Ф. Эджворта и других классическая экономическая наука была переведена на достаточно строгий математический язык. Поэтому начало XX в. можно считать периодом, когда математическое моделирование окончательно утвердилось в экономике, как науке. Осмысление важности управления рисками как способами стабилизации производства началось в начале XX в. благодаря работам английского экономиста А. Маршалла, американских экономистов Д.М. Кейнса, Ф.Х. Найта и других, поставивших на научную основу изучение личного, предпринимательского, финансового рисков. Расширение использования математических методов в экономике способствовало развитию системного подхода. Например, Л. Вальрас считал, что все социальные явления - религия, политика, экономика и духовная жизнь - тесно связаны между собой. Это соответствует современному пониманию того, что экономика является подсистемой целостной системы социально-экономических отношений, вследствие чего изучение собственно экономики и предсказание траектории её развития на перспективу должно опираться на анализ объекта более общей природы - социально-экономической системы.

Усложнение в XX в. проблем экономики и управления вызвало дальнейшее развитие методов их анализа. В результате обобщения накопленного опыта и естественной эволюции науки сложилась современная методология исследования социально-экономических проблем как на микро-, так и макроуровнях.

Если исследование отдельных экономических проблем в XIX в., в частности процесса расширенного общественного воспроизводства, основывалось преимущественно на соотношениях алгебры, то в начале XX в. при общем анализе динамики экономической системы находят применение и такие разделы высшей математики, как линейная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление. Но такой подход имел отношение, преимущественно, в исследовании общих глобальных характеристик экономической системы. Между тем практические потребности диктовали необходимость не только в глобальных, но и в более конкретных экономических показателях и характеристиках. Это привело к созданию в 20-е гг. XXв. в СССР системы межотраслевого баланса, которая является непосредственным продолжением схем воспроизводства. Был составлен первый в мире баланс народного хозяйства СССР на 1922 - 1924 гг., проведён ряд исследований по моделированию процесса расширенного воспроизводства. Отечественные разработки межотраслевого баланса повлияли на работы американского экономиста русского происхождения В.В. Леонтьева (позже лауреата Нобелевской премии по экономике в 1973 г.).

Разработанная В.В. Леонтьевым модель межотраслевого баланса о производстве и распределении продукции в США вошла в литературу под названием метода анализа экономики "расходы - выпуск".

Математизация экономической науки в XX в. осуществлялась представителями многих стран, в том числе и России, где вопросы объективного анализа социально-экономических процессов всегда были в центре внимания научной общественности. Несмотря на известные трудности послеоктябрьского периода многие результаты, полученные российскими математиками-экономистами, стали достоянием мировой культуры. К ним, прежде всего, следует отнести анализ Е. Слуцким модели поведения потребителя; открытие Н. Кондратьевым длинных волн в экономике; разработку первого баланса народного хозяйства СССР за 1923-1924 гг., на основе которого была построена широко известная ныне модель В. Леонтьева; развитие Л. Канторовичем методов исследования линейных систем.

В начале 30-х гг. XX в. эконометрия становится отдельной отраслью науки после основания эконометрического общества в США, которое определило себя как "Международное общество для развития экономической теории и её связи со статистикой и математикой".

В середине 30-х гг. американским математиком Дж. фон Нейманом была сконструирована одна из первых макроэкономических математических моделей экономической динамики, которая вошла в литературу под названием "Модели Неймана расширенной экономики" (1937).

В 70 - 90-х гг. экономико-математическое моделирование стало признанным средством анализа экономических проблем. В отечественной практике в 70-х гг. появляются автоматизированные системы управления (АСУ), предназначенные для оптимизации управления сложными производственными процессами и экономическими системами.

В конце 80-х гг. много передовых корпораций разных отраслей начали интересоваться вопросами учёта рисков, которые стали важной функцией менеджмента.

Конец XX - начало XXI в. знаменуется в мире высокими темпами развития теории и практики экономико-математического моделирования. Нобелевскими лауреатами по экономике становятся, как было отмечено ранее, В.В. Леонтьев (1973) и Л.В. Канторович (1975). Нобелевской премией по экономике в 1983 г. награждается Ж. Дебре, который работал в отрасли математизации экономической теории, а в 2000 г. - Дж. Хекман и Д. Мак-Фадден за разработку микроэконометрии и методов статистического анализа и др.

В настоящее время наблюдается внедрение в отечественную практику экономико-математических методов и моделей с использованием программных комплексов. Растёт роль экономико-математического моделирования как одного из средств совершенствования экономики с научно обоснованными путями последующего развития и прогнозами на будущее в рыночных условиях.

1.2 Основные понятия и определения

Система - это множественное число взаимосвязанных элементов, которые составляют определённое единство. Элемент системы - часть системы, которая, исходя из цели и функций данной системы, является неделимой.

Моделирование - процесс построения, реализации и исследования модели, который способен заменить реальную систему и дать информацию о ней.

Если между двумя объектами может быть установлено какое-либо сходство, то один из этих объектов может рассматриваться как оригинал, а другой - как модель. Отношения "оригинал-модель" могут иметь место и между различным числом объектов. Таким образом, модель - это условный образ объекта (в качестве которого могут выступать системы или понятия), формирующий представление о нём в некоторой форме, отличной от реального существования данного объекта. Модель какого-либо объекта отображает его основные характеристические свойства в некоторой абстрактной форме. Также модель может полностью или частично воспроизводить структуру, которая моделируется, систему и её функции. Однако в экономике и управлении наиболее распространенными и эффективными являются математические модели.

Математическая модель - это описание исследуемого экономического явления или процесса с помощью абстрактных математических соотношений. Экономико-математическая модель, включает в себя систему уравнений и неравенств математического описания экономических процессов и явлений, которые состоят из набора переменных и параметров, с целью его исследования и управления. Переменные величины характеризуют, например, объём выработанной продукции, капитальных вложений, перевозок и т.п. Переменные разделяются на две группы: объясняющие (независимые), которые являются заранее заданными и независимыми; объясняемые (зависимые), которые являются результативными показателями. Переменные величины могут быть двух групп: внешние переменные (экзогенные), когда они определяются вне данной модели и считаются для модели заданными; внутренние переменные (эндогенные), которые определяются в результате исследования данной модели. Параметры - это численные признаки показателей, такие, как нормы расходов сырья, материалов, времени на производство и т.п. Во всех случаях необходимо, чтобы модель имела достаточно детальное описание объекта, которое позволяло бы осуществлять измерение экономических величин и определять их взаимосвязь, чтобы были выделены факторы, влияющие на исследуемые показатели.

Экономико-математические методы - обобщённое название комплекса экономико-математических подходов, объединённых для изучения экономики и управления и предназначенных для построения, реализации и исследования экономических моделей.

1.3 Современное состояние экономико-математического моделирования. Классификация экономико-математических моделей

В настоящее время сфера возможного использования экономико-математических методов и моделей в планировании и управлении значительна, и с каждым годом она расширяется, но область их фактического использования на практике связана с такими трудностями, как:

* сложность моделирования экономических процессов и явлений с учётом производственных отношений (поведения людей, их интересов, индивидуального принятия решения и др.);

* необходимость "встраивания" математических моделей в существующую систему планирования и управления;

* трудности проверки в решении новых социально-экономических задач и т.п.

К эффективным средствам преодоления этих трудностей можно отнести такие:

* имитационное моделирование, которое даёт возможность руководителю, принимающему решения, с помощью ПК включиться в процесс построения экономико-математической модели с принятием оптимального решения на её основе (главный принцип имитационного моделирования: "Что будет, если ...");

* системный анализ, который допускает комплексное проведение исследования экономических процессов с учётом всех существующих элементов и их взаимосвязей, изучения отдельных хозяйственных объектов как структурных частей более общих систем, выявления роли каждого из них в функционировании экономического процесса в целом;

* программно-целевой метод планирования, основанный на формировании целей и подцелей экономического развития, на которые нужно направить наибольшие силы и средства, и разработке программ их достижения.

Рассмотрим вопрос о классификации экономико-математических моделей, что имеет немаловажное методологическое значение.

Можно выделить следующие основные классы экономико-математических моделей:

1. Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупнённые материальные и финансовые показатели: (ВВП, потребление, инвестиции, занятость, денежная масса, государственный долг, инфляция и т.д. ).

2. Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо их поведение в отдельности в рыночной среде.

3. Равновесные модели описывают такие состояния экономики, когда результирующая всех сил, стремящаяся вывести её из данного состояния, равна нулю.

4. Оптимизационные модели присутствуют в основном на микроуровне (оптимизация деятельности потребителя, производителя или фирмы). Для этих моделей характерно наличие одного или нескольких критериев и системных ограничений. На макроуровне результат выбора экономическими субъектами рационального поведения может приводить к состоянию относительного равновесия.

5. Статические модели описывают некоторый объект в определённый (фиксированный) момент времени или усреднено за некоторый период времени. При этом все параметры статических моделей полагаются фиксированными величинами, независящими от времени.

6. Динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений и вариационного исчисления, где независимой переменной является время.

7. Детерминированные модели предполагают в своей основе только жёсткие функциональные связи между переменными модели.

8. Стохастические модели допускают наличие случайных связей между переменными модели и используют аппарат теории вероятностей и математической статистики.

9. Теоретические модели являются аппаратом изучения общих свойств экономики и ее составляющих на основе дедукции выводов их формальных предпосылок.

10. Прикладные модели представляют собой аппарат оценок параметров конкретных экономических объектов, выработки рекомендаций для принятия экономических решений и разработки стратегий поведения фирм на рынке.

11. Модели с элементами неопределенности используются для моделирования ситуаций, когда для определяющих факторов невозможно собрать статистические данные, и их значения не определены. В этих моделях используются аппараты теории игр и имитационного моделирования.

12. Экспертные модели - разрабатываются и имеют применение в последние годы в исследованиях ряда экономических процессов, когда в условиях отсутствия количественных характеристик за основу принимаются мнения экспертов по определенной шкале.

Другой подход к классификации экономико-математических моделей связан с учётом фактора времени. В этом случае все разнообразные модели экономических процессов разделяют на следующие два класса: статические и динамические.

В статических экономико-математических моделях все переменные и зависимости отнесены к одному моменту времени. Такими моделями могут описываться как статические системы, координаты которых на изучаемом отрезке времени считаются постоянными, так и динамические системы (в этом случае параметры модели характеризуют состояние системы в заданный момент времени). Например, так изучаются проблемы размещения производства, отраслевая структура экономики на основе статического межотраслевого баланса и другие экономические процессы.

Что касается динамических моделей, то они описывают экономику в развитии и поэтому служат основой прогнозов соответствующих процессов. Эти прогнозы, в свою очередь, используются для обоснования перспективных планов и программ. Формально модель является динамической, если хотя бы одна из её переменных зависит от времени. Существуют два принципиально различных подхода к построению динамических моделей.

Первый подход основан на постановке оптимизационной задачи, когда наряду с моделью формулируется некоторый критерий оптимальности. При таком подходе на основании анализа решения оптимизационной задачи принимаются те или иные рекомендации для руководящих органов.

Второй подход основан на исследовании различных вариантов развития. В обоих случаях для определения параметров модели используется информация о динамике процесса в базовом периоде.

В общем случае динамические модели сводятся к описанию начального состояния системы, технологических способов производства, инвестиционных процессов, ограничений на переменные (например, экологического характера), а также - при постановке оптимизационной задачи - критерия оптимальности.

Математическое описание динамических моделей осуществляется, как правило, с использованием либо систем дифференциальных уравнений (в случае моделей с непрерывным временем), либо систем разностных уравнений (в случае моделей с дискретным временем).

При изучении развития многих процессов экономики на основе математического моделирования возникает задача построения аналитической зависимости, которая связывает значения переменных, характеризующих этот процесс, со временем. Один из основных подходов к построению таких зависимостей - составление системы уравнений, описывающих динамику процесса, и последующее их решение. При этом различают динамические модели двух видов: дискретные и непрерывные. В первом случае модель описывается конечноразностными уравнениями, а во втором - дифференциальными.

1.4 Основные этапы построения математических моделей

Процесс построения экономико-математических моделей общего типа состоит из следующих взаимосвязанных этапов.

Первый этап - постановка задачи, где формируется цель запланированного мероприятия, ставятся задачи исследования, проводится качественное описание объекта. Данный этап заключается в формулировке законов, связывающих основные элементы модели, где под законами подразумеваются определённые количественные связи между элементами модели. Уровень детализации модели зависит от конкретной цели исследования. Будем считать, что цель поставлена. Это значит, что в результате исследования того или иного объекта (процесса) на основе моделирования требуется найти ответ на конкретные вопросы, касающиеся его функционирования, перспектив развития и т.д. Задача построения адекватной модели решается как компромисс между сложностью описания изучаемого объекта (детализацией), которая в большой степени зависит также и от цели исследования, и минимизацией ресурсов (усилий) для получения ответов на вопросы, которые стоят перед разработчиками модели.

Вопрос о степени адекватности разрабатываемой модели является центральным при применении метода моделирования. Для построения адекватной математической модели требуются широкие знания фактов, относящихся к изучаемому процессу, глубокое проникновение в его теорию, анализ статистической и иной информации, отражающей функционирование объекта исследования. Поэтому на первом этапе особенно важно сотрудничество специалистов различных направлений науки. Необходимость такого сотрудничества обусловлена тем, что степень адекватности разрабатываемой модели зависит, прежде всего, от этого этапа: именно здесь происходит структуризация модели, здесь устанавливаются взаимосвязи между её элементами, здесь закладываются основы математической задачи. В результате сотрудничества специалистов различных направлений, в той или иной мере относящихся к области изучаемого объекта, строится его концептуальная модель. Понятно, что уровень адекватности математической модели в большой степени определяется допущениями, используемыми при построении соответствующей концептуальной модели. К сожалению, приходится констатировать следующее: характерным недостатком изложения экономико-математических моделей является нечёткое обсуждение ключевых гипотез.

Второй этап - разработка описательной модели, где формулируются и обосновываются показатели и система основных предположений. Этот этап заключается в формализации сформулированных гипотез, что выражается записью в математических терминах качественных представлений о связях между объектами (подсистемами) концептуальной модели. Эти взаимосвязи устанавливаются на основе тех или иных гипотез, вследствие чего один и тот же процесс в зависимости от используемых гипотез может описываться различными математическими моделями.

Третий этап - разработка математической модели изучаемого объекта с выбором методов исследования, программного обеспечения ПК или составление алгоритма и программы для ПК по новым задачам. На третьем этапе выполняется анализ математических задач, к которым приводят используемые математические модели. В качестве таких задач могут быть разнообразные задачи исследования операций, в которых решаются проблемы выбора наилучшего в некотором смысле варианта из некоторого набора альтернатив: теории вероятностей и теории массового обслуживания, дифференциального и интегрального исчисления, где исследуются процессы с учётом стохастичности и неопределённости некоторых переменных и др. Основным вопросом здесь является решение так называемой прямой задачи, которая заключается в результате анализа модели выходных данных для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемого процесса.

Четвёртый этап - решение задачи на базе разработанной модели, состоящее в реализации пакета прикладных или разработанных программ для ПК. Выходные данные прямой задачи являются теоретическими следствиями входных данных и тех гипотез, которые были заложены в концептуальную и математическую модели. Из сказанного следует, что на этом этапе центр тяжести исследований переносится на решение математических проблем с использованием соответствующего математического аппарата и вычислительной техники. Применение ЭВМ приобретает принципиальное значение особенно при постановке сложных математических задач, исследование которых осуществляется с помощью различных численных методов и выполнением вычислительных экспериментов.

Пятый этап - проверка и настройка модели, т.е. установление соответствия модели описываемому экономическому процессу. Анализ разработанной математической модели включает сравнение результатов исследования математической модели с практикой. На этом этапе происходит выяснение того, удовлетворяет ли принятая модель критерию практики, т.е. выясняется вопрос о том, в какой степени согласуются результаты наблюдений, представления разработчиков модели о изучаемом процессе с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если отклонения теоретических следствий от наблюдений выходят за пределы точности наблюдений, то делается вывод о неадекватности используемой модели изучаемому процессу, вследствие чего модель отклоняется.

Шестой этап - представление результатов решения в форме, удобной для изучения, анализ материалов модели на основе обработки результатов, модернизация модели в случае необходимости построения новой, более адекватной модели.

Опыт, накопленный несколькими поколениями учёных, свидетельствует о том, что даже при исследовании сравнительно простых процессов редко удаётся с первого шага построить адекватную математическую модель и подобрать точные её параметры. Построение новой модели осуществляется на основе всестороннего анализа старой модели с использованием, если это необходимо, вычислительных экспериментов.

Анализ модели может привести к изменению представлений исследователей о характере взаимовлияния различных переменных, что, в свою очередь, приводит к необходимости пересмотра гипотез модели и даже полной замене некоторых из них. Поэтому процесс математического моделирования носит, как правило, циклический характер.

В свете сказанного можно сформулировать основные требования, которым должны удовлетворять математические модели.

А. Модель не должна быть чрезмерно сложной, так как это приводит к неоправданно большим затратам ресурсов при ее реализации. Следует соотносить сложность и детальность модели с уровнем достоверности исходной модели.

Б. Не следует строить модель всеобъемлющего прогноза реального объекта. Это приводит к чрезвычайно громоздким, необозримым и плохо анализируемым математическим моделям, которые к тому же могут оказаться еще и плохо обусловленными (неустойчивыми). Если возникает необходимость в прогнозе ряда разнородных качеств реального процесса, то целесообразно построить совокупности или иерархию соподчиненных простых математических моделей.

С. Сложность модели должна соответствовать степени разработанности математического аппарата, а не превосходить ее; в противном случае математическая модель будет неразрешимой.

Вообще говоря, нельзя сформулировать единые жесткие правила создания математических моделей, и в этом плане можно согласиться с Е.С. Вентцель, что разработка моделей - это искусство. Более того, у разных исследователей модели одного и того же процесса могут существенно отличаться, и потому целесообразна конкуренция или "спор" моделей как способ их селекции.



2. Модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара

2.1 Равновесная цена

В экономической теории важным является понятие равновесия, т.е. такого состояния объекта, которое он сохраняет при отсутствии внешних воздействий. Достижение равновесия между спросом и предложением служит одним из основных показателей эффективности функционирования экономики страны в условиях рынка.

Равновесная рыночная цена - это цена, при которой величины спроса и предложения товара совпадают. Она является относительно устойчивой; при ней по каждому данному товару на рынке нет ни излишка, ни дефицита. Спрос и предложение уравновешиваются под влиянием конкурентной среды рынка, вследствие чего о цене говорят как о конкурентном рыночном равновесии. В любом случае на конкурентном рынке равновесная цена и соответствующее ей количество товара определяются рыночным спросом и предложением. При прочих равных условиях равновесная рыночная цена устанавливается при таком соотношении спроса и предложения, когда количество товаров, которое покупатели хотят приобрести, соответствует тому их количеству, которое производители предлагают на рынке. При этом на рынке отсутствуют тенденции изменения цен и количества товаров. Для понимания равновесной цены большое значение имеет фактор времени. И для покупателей, и для продавцов важно знать, какой характер носит установившееся равновесие: мгновенный, краткосрочный или долгосрочный. В зависимости от длительности периода либо не будут предприниматься никакие усилия, либо будут задействованы временные факторы производства, либо будут осуществляться крупномасштабные мероприятия по преобразованию производства с целью расширения предложения. Для мгновенного равновесия характерно фиксированное, неизменяющееся количество предлагаемого товара, так как производство не в состоянии моментально реагировать на изменившуюся рыночную ситуацию. Краткосрочное равновесие обусловлено возможностью увеличения производства и предложения на основе использования временно действующих факторов, без наращивания количества оборудования, расширения производственных мощностей. К таким временным факторам относятся сверхурочные работы, работа в выходные и праздничные дни, увеличение сменности работы. Это свидетельствует о задействовании фактора труда. Долгосрочное равновесие обусловлено использованием факторов долговременного характера. Как правило, в этом случае речь идет об инвестициях, связанных с обновлением, модернизацией производства, избавлением от изношенного и устаревшего оборудования, созданием новых или дополнительных производственных мощностей.

2.2 Модель Эванса с непрерывным временем

Рассмотрим рынок одного товара, время считается непрерывным. Пусть D(t), S(t), p(t)-соответственно спрос, предложение и цена товара к моменту времени t. Спрос и предложение будем считать линейными функциями цены, т. е

, .

Естественно считать, что a>б, т. е. при нулевой цене спрос превышает предложение. Основное предположение модели состоит в том, что цена изменяется в зависимости от соотношений между спросом и предложением. Увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превышения:



Подставим в это дифференциальное уравнение линейные зависимости спроса и предложения от цены, получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с начальным условием:

Это уравнение имеет стационарное решение при , которое имеет вид

причем, при и при

При цена стремится к возрастая, а при цена стремится к убывая. Стационарная точка является точкой устойчивого равновесия. Сама цена есть равновесная цена, при которой равны спрос и предложение :

Найдем решение линейного дифференциального неоднородного уравнения (1).

Дифференциальное уравнение (1) решаем методом вариации произвольной постоянной. Общее решение однородного уравнения имеет вид:

).

Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1), для этого найдем производную по t выражения (2) , считая вместо постоянной С функцию С(t):

поставим в (1),получим

.

Окончательно с учетом начальных условий получаем:

,

причем

Замечание. В дискретной модели Эванса рынок функционирует следующим образом: утром на рынке обнаруживается некоторое предложение S и спрос D. В зависимости от их значений цена начинает равномерно расти (если утром спрос был больше предложения) или убывать (если предложение было больше спроса). Предположим, что начальная цена была За день она возрастает до некоторого значения На следующее утро предложение и спрос будут соответствовать этой цене при этом опять будет а цена будет возрастать и т.д. (приложение 1).

Как мы выяснили, в точке равновесия кривые спроса и предложения пересекаются. Неверным является утверждение, что равновесие предполагает равенство спроса и предложения. Действительно, спрос и предложения являются функциями, а равенство функций предполагает совпадение, а не пересечение графиков. Следовательно, в точке равновесия совпадают значения (объемы) спроса и предложения, а не функции.

В модели Эванса точка равновесия не переходится. Это значит, что если цена была меньше равновесной, то она так и останется меньше и весь процесс изображается слева от точки равновесия, а если цена была больше равновесной, то она так и останется больше и весь процесс изображается справа от точки равновесия.



3. Практическое применение модели равновесной цены Эванса

Пример. Описать процесс установления равновесной цены, если время непрерывно и рассматривается рынок одного товара. Спрос D и предложение S линейно зависят от цены: а изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности Рассмотрим случаи, когда и . Построим графики. На основе получившихся расчетов и построенных графиков сделаем соответствующие выводы.

Решение. Увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности дифференциальное уравнение Эванса имеет вид:

Подставим в это дифференциальное уравнение линейные зависимости спроса и предложения от цены, получим дифференциальное уравнение:

,

,

Решим это дифференциальное уравнение



Окончательно получаем общее решение дифференциального уравнения в виде

Найдем точку устойчивого равновесия

.

График прямой представлен рядом 3 (приложение 2).

Покажем на графике, что интегральные кривые, заданные уравнением

.

Если в начальный момент времени , то

С = и .

В этом случае цена на товар уменьшается, приближаясь к равновесной цене . (ряд 1, приложение 2).

Если в начальный момент времени ,то С= 2 и

.

В этом случае цена на товар увеличивается, приближаясь к равновесной цене (ряд 2, приложение 2). Стационарное решение является устойчивым, и отклонение от него в итоге приводит к возврату в первоначальное состояние.

Аналогично рассмотрим и изобразим графически случаи превышения спроса над предложением и равенство спроса предложению, т. е, когда



.

Спрос D и предложение S линейно зависят от цены:

коэффициент пропорциональности По аналогии с предыдущими расчетами найдем дифференциальное уравнение

,

решая его, получаем общее решение дифференциального уравнения в виде

,

Если , то С = -1. Таким образом:

.

Цена на товар уменьшается, приближаясь к равновесной цене . (ряд 1, приложение 3).

Если , то С = 2. Следовательно:

Цена на товар возрастает, приближаясь к равновесной цене (ряд 2, приложение 3).

Пусть , т. е линейные уравнения спроса и предложения будут таковы:

,

составим дифференциальное уравнение Эванса

общее решение уравнения, описывающее динамику равновесной цены

Равновесная цена . (ряд 3,приложение 4)

Если , то С=-0,5. Таким образом:

.

Цена на товар возрастает, приближаясь к равновесной цене . (ряд 1, приложение 4).

Если , то С=0,5. Следовательно:

.

Цена на товар уменьшается, приближаясь к равновесной цене (ряд 2, приложение 4).

Итак, показали, что цена изменяется в зависимости от соотношения между спросом и предложением. Увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превышения.

Заключение

Рыночный процесс состоит из множества актов обмена товарами и услугами. В каждом таком акте участвует продавец, на стороне которого выступает предложение товара, и покупатель, представляемый спросом на товары. Безусловно, спрос и предложение являются тесно связанными и непрерывно взаимодействующими категориями и служат связующим механизмом между производством и потреблением. Результатом взаимодействия спроса и предложения выступает равновесная цена. Она характеризует состояние рынка, при котором величина спроса равна предложению.

В данной работе была рассмотрена экономическая модель Эванса по изучению установления равновесной цены на рынке одного товара. Приведено ее решение, при помощи аппарата дифференциальных уравнений, и построены графики зависимости цены от времени, доказывающие основное предположение модели, что цена изменяется в зависимости от соотношений между спросом и предложением и ее увеличение прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превышения. Так же в работе приведены некоторые сведения об этапах построения математических моделей. И некоторые исторические сведения, которые помогают нам проследить эволюцию экономического моделирования.

Надо отметить, что использование математического моделирования в экономике позволяет сделать более глубоким количественный экономический анализ, расширить область экономической информации, интенсифицировать экономические расчёты. Математическая модель отличается по своей природе от оригинала. Исследование свойств оригинала с помощью математической модели удобнее, является более дешёвым, занимает меньше времени, нежели физическое моделирование, которое используется в технике (т.е. имеет ту же природу, что и оригинал).

Применение метода математического моделирования в экономике - это объективный этап её развития, связанный с существованием устойчивых количественных закономерностей и возможностью формализованного описания многих, хотя и далеко не всех, экономических процессов.

В заключение хотелось бы отметить, что многие результаты анализа экономических процессов не могут быть получены без использования математических моделей, несмотря на то, что после осмысления эти результаты выражаются и интерпретируются на обычном языке и зачастую становятся "очевидными" и "само собой разумеющимися".



Список литературы

1. Б.И. Герасимов, Н.П. Пучков, Д.Н. Протасов. Учебное пособие Дифференциальные динамические модели. Изд-во ГОУ ВПО ТГТУ, 2010.-80 с.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: Дело и сервис, 2001. - 365 с.

3. Волгина О.А., Голодная Н.Ю., Одияко Н.Н., Шуман Г.И. Математическое моделирование экономических процессов и систем. М.: Кнорус, 2011-200с.

4. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике - М.: 1980. - 199 с.

5. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1965. - 424 с.

6. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. - М.: КомКнига, 2008. - 320 с.

7. Колемаев В.А. Учебник. Математическая экономика.2002 -399с.

8. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1984. - 368 с.

9. Красс М.С, Чупрынов Б.П. Учебное пособие. Математические методы и модели для магистрантов экономики. 2-е изд., доп.- СПб.: Питер, 2010. - 496с.

10. Орлов. А.И. Учебник. Организационно - экономическое моделирование: теория принятия решений. -М.:КНОРУС,2011-586 с.

Приложение 1



Приложение 2

.



Приложение 3

.



Приложение 4.

Размещено на Allbest.ru

...