Построение и анализ модель множественной регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача №1. Построение и анализ модель множественной регрессии

Исходные данные для эконометрического моделирования стоимости квартир

№	y
1	115	70,4	9	7
2	85	82,8	5	10
3	69	64,5	6	10
4	57	55,1	1	9
5	184,6	83,9	1	9
6	56	32,2	2	7
7	85	65	12	8,3
8	265	169,5	10	16,5
9	60,65	74	11	12,1
10	130	87	6	6
11	46	44	2	10
12	115	60	2	7
13	70,96	65,7	5	12,5
14	39,5	42	7	11
15	78,9	49,3	14	13,6
16	60	64,5	11	12
17	100	93,8	1	9
18	51	64	6	12
19	157	98	2	11
20	123,5	107,5	12	12,3
21	55,2	48	9	12
22	95,5	80	6	12,5
23	57,6	63,9	5	11,4
24	64,5	58,1	10	10,6
25	92	83	9	6,5
26	100	73,4	2	7
27	81	45,5	3	6,3
28	65	32	5	6,6
29	110	65,2	10	9,6
30	42,1	40,3	13	10,8

Обозначение	Наименование показателя	Единица измерения (возможные значения)
y	цена квартиры	тыс. долл.
	общая площадь квартиры	кв. м
	этаж квартиры
	площадь кухни	кв. м

мультиколлинеарность регрессия корреляция

По исходным данным требуется:

1. Построить классическую линейную модель множественной регрессии, выполнить экономический анализ основных показателей модели: коэффициентов «чистой» регрессии, индекса корреляции, индекса детерминации, оценить значимость модели в целом (F-критерий Фишера) и отдельных ее параметров (t-статистика Стьюдента).

2. Проанализировать матрицу парных коэффициентов корреляции на наличие мультиколлинеарности. Если мультиколлинеарность присутствует - устранить (или ослабить) ее методом пошагового отбора переменных.

3. Построить линейную модель регрессии только со значимыми факторами (на основании выводов, сделанных в п.п. 1 и 2). Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели. Оценить качество построенной модели (индексы корреляции и детерминации, F-критерий Фишера, средняя относительная ошибка аппроксимации). Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, в- и Д- коэффициентов.

4. Построить и проанализировать линейную модель парной регрессии с наиболее значимым фактором. Сравнить качество моделей, построенных в п.п. 3 и 4.

5. Осуществить прогнозирование (точечный прогноз и доверительный интервал прогноза) среднего значения показателя Y при уровне значимости = 0,1 при условии, что прогнозное значения фактора X составит 80% от его максимального значения (для однофакторной модели).

6. Представить графически: фактические и модельные значения, точечный прогноз и доверительный интервал прогноза (для однофакторной модели).

Решение:

1. Построим классическую линейную модель множественной регрессии.

Построим модель Y = a + + +

Расчет параметров выполним с применением пакета прикладных программ обработки электронных таблиц MS Excel в среде Widows.

Рис. 1.1 Диалоговое окно Регрессия подготовлено к выполнению анализа данных

Рис. 1.2 Результат регрессионного анализа

Согласно рис. 1.2 имеем модель:

Y = 15,215 + 1,636 - 0,680- 3,296

При увеличении общей площади квартиры на 1 кв.м. (при неизменных этажности квартиры и площади кухни) цена квартиры увеличится на 1,636 тыс. долл., при увеличении этажности квартиры на 1 (при неизменных общей площади квартиры и площади кухни) цена квартиры снизится на 0,680 тыс. долл., а при увеличении площади кухни на 1 кв.м. (при неизменных этажности квартиры и общей площади квартиры) цена квартиры снизится на 3,296 тыс. долл.

Оценим тесноту связи между изучаемыми признаками с помощью индекса корреляции и индекса детерминации.

R= 0,870

Между изучаемыми признаками присутствует очень тесная связь.

0,758

Вариация цены квартиры на 75,8% обусловлена вариацией включенных факторов.

Оценить значимость модели в целом (F-критерий Фишера) и отдельных ее параметров (t-статистика Стьюдента).

F = 27,08

(0,05; 3; 26) = 2,98

Т.к., F > , то с вероятностью 0,95 полученное уравнение регрессии статистически значимо.

(0,05; 26) = 2,06

С вероятностью 0,95 параметр регрессии статистически значим, т.к.

> .

С вероятностью 0,95 параметр регрессии статистически не значим,

т.к. ¦¦< .

С вероятностью 0,95 параметр регрессии статистически не значим,

т.к. ¦¦< .

2. Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции.

Расчет параметров выполним с применением пакета прикладных программ обработки электронных таблиц MS Excel в среде Widows.

Рис. 1.3 Диалоговое окно Корреляция подготовлено к выполнению анализа данных

Рис. 1.4 Результат корреляционного анализа

Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что зависимая переменная, т.е. цена квартиры, имеет тесную и прямую связь с общей площадью квартиры ( = 0,848) и слабую и обратную связь с этажом квартиры ( = - 0,054) и прямую и слабую связь с площадью кухни квартиры (= 0,168). Но между факторами и , факторами и , факторами и наблюдается наличие мультиколлинеарности (>,>, ¦¦> ¦¦, > ¦¦). Ослабим мультиколлинеарность исключив из модели фактор .

Построим линейную модель множественной регрессии.

Построим модель Y = a + +

Расчет параметров выполним с применением пакета прикладных программ обработки электронных таблиц MS Excel в среде Widows.

Рис. 1.5 Диалоговое окно Регрессия подготовлено к выполнению анализа данных

Рис. 1.6 Результат регрессионного анализа

Согласно рис. 1.6 имеем модель:

Y = - 4,117 + 1,521- 1,534

При увеличении общей площади квартиры на 1 кв.м. (при неизменной этажности квартиры) цена квартиры увеличится на 1,521 тыс. долл., а при увеличении этажа квартиры (при неизменной общей площади квартиры) цена квартиры снизится на 1,534 тыс. долл.

Оценим качество модели (индексы корреляции и детерминации,

F-критерий Фишера, средняя относительная ошибка аппроксимации).

R = 0,858

Между изучаемыми признаками присутствует очень тесная связь.

0,736

Вариация цены квартиры на 73,6% обусловлена вариацией включенных факторов.

F = 37,30

(0,05; 2; 27) = 3,35

Т.к., F > , то с вероятностью 0,95 полученное уравнение регрессии статистически значимо.

 25,04%

В среднем расчетные уровни Y отличаются от фактических данных на 25,04%.

Определим средние коэффициенты эластичности, в- и ?- коэффициенты.

Согласно рис. 1.6 имеем:

1,157%

При изменении общей площади квартиры на 1% цена квартиры увеличится на 1,157%.

- 0,111%

При увеличении этажности квартиры на 1% цена квартиры снизится на 0,111%.

0,860

= - 0,130

Так как в-коэффициенты можно сравнивать между собой, то можно сказать, что общая площадь квартиры оказывает большее влияние на цену квартиры, чем ее этажность .

= 0,991

= 0,009

Наибольшая доля влияния выпадает на фактор (общая площадь квартиры); роль этого фактора в вариации результативного показателя составляет 99,1% общего влияния двух факторов на результативный показатель.

4. Построим линейную модель парной регрессии с наиболее значимым фактором (общая площадь квартиры).

Расчет параметров выполним с применением пакета прикладных программ обработки электронных таблиц MS Excel в среде Widows.

Рис. 1.7 Диалоговое окно Регрессия подготовлено к выполнению анализа данных

Рис. 1.8 Результат регрессионного анализа

Согласно рис. 1.8 имеем модель:

Y = -12,793 + 1,501.

При увеличении общей площади квартиры на 1 кв.м. цена квартиры увеличится на 1,501 тыс. долл.

Проанализируем полученную модель.

R = 0,848

Между общей площадью квартиры и ее ценой присутствует прямая и очень тесная связь.

0,720

Вариация цены квартиры на 72,0% обусловлена вариацией общей площади квартиры.

F = 71,86

(0,05; 1; 28) = 4,20

Т.к., F > , то с вероятностью 0,95 полученное уравнение регрессии статистически значимо.

В среднем расчетные уровни Y отличаются от фактических данных на 25,08%.

Качество однофакторной и двухфакторной моделей примерно совпадают.

Осуществим прогноз среднего значения показателя Y (для однофакторной модели).

а) точечный прогноз.

= 0,8• = 0,8•169,5 = 135,6кв. м.

= - 12,793 + 1,501•135,6 = 190,73 тыс. долл.

б) интервальный прогноз.

Верхняя граница прогноза:

+ .

Нижняя граница прогноза:

- . = ••

(0,10; 28) = 1,70

=

= = 0,088

= 25,62

= 1,70•25,62• = 12,95 тыс. долл.

Результаты прогнозных оценок модели регрессии представим в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Таблица прогнозов (P = 90%)
Значение фактора	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
135,6	190,73	177,79	203,68

При прогнозном значении общей площади квартиры 80% от ее максимального значения, прогнозное значение средней цены квартиры составит 190,73 тыс. долл., и с вероятностью 0,9 будет находиться в интервале от 177,79 до 203,68 тыс. долл.

Отобразим на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования (для однофакторной модели).



Задача №2. Построение и анализ модели временного ряда

Исследуется уровень безработицы (%) за 16 лет

Год, t	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
, %	6,6	7,8	5,8	5,7	5,0	4,0	3,2	3,6
Год, t	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
, %	3,3	3,3	5,6	5,8	5,6	5,0	5,6	7,1

По исходным данным требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Проверить наличие тренда.

3. Построить линейную модель временного ряда , параметры которой оценить с помощью метода наименьших квадратов.

4. Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности уровней ряда остатков и соответствия ряда остатков нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия воспользоваться таблицами).

5. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. Осуществить прогноз (точечный прогноз и доверительный интервал) результирующего показателя на следующие два временных шага (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности 0,85).

7. Представить графически фактические значения исследуемого показателя, результаты моделирования и прогнозирования.

Решение:

1. Проверим наличие аномальных наблюдений, используя критерий Ирвина.

,

Проведем расчет с применением пакета прикладных программ обработки электронных таблиц MS Excel в среде Widows.

Рис. 2.1 Рабочий лист Excel с введенными формулами



Рис. 2.2 Оценка адекватности и точности трендовой модели

= 1,8 при n = 16 или б= 0,01.

Т.к. все < , то с вероятностью 0,99 аномальных наблюдений нет.

2. Проверим наличие тренда методом существенности разности средних.

Разобьем временной ряд на две равные части:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
	6,6	7,8	5,8	5,7	5,0	4,0	3,2	3,6

t	9	10	11	12	13	14	15	16
	3,3	3,3	5,6	5,8	5,6	5,0	5,6	7,1

По каждой части определим среднюю и исправленную дисперсию.

5,16

Проверим гипотезу о равенстве дисперсий с помощью F-критерия Фишера при уровне значимости 0,05.

(0,05; 7; 7) = 3,79

Т.к., F < , то с вероятностью 0,95 дисперсии однородны.

Проверим гипотезу об отсутствии тренда с помощью t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05.

= 0,72

= 0,07

(0,05; 14) = 2,14

Так как > t, то гипотезу об отсутствии тренда принимаем.

3. Построим линейную модель.

,

Согласно рис. 2.2 имеем:

Отсюда уравнение имеет вид:

4. Оценим адекватность построенной модели.

а) Проверим свойство случайности остаточной компоненты по критерию пиков.

р = 6

q =

q =

Так как p = q, то условие случайности уровней ряда остатков не выполняется.

б) Проверим независимость уровней ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона.

d =

d = 0,60

= 1,10 = 1,37

Так как 0,60 < 1,10, то свойство независимости уровней ряда остатков не выполняется.

в) Проверим свойство соответствия ряда остатков нормальному закону распределения.

R/S =

1,24

R/S = 3,62

= 3,00 = 4,21

Так как 3,00 < 3,62 < 4,21, то уровни ряда остатков распределены по нормальному закону.

В целом модель не адекватна и не надежна для прогнозирования.

5. Оценим точность модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.

21,57%

Таким образом, точность модели малоудовлетворительная.

6. Построим прогноз уровня безработицы на 2 года вперед.

Согласно рис. 2.2 имеем:

а) точечный прогноз.

= 4,97%

4,95%

б) интервальный прогноз.

t(0,15; 14) = 1,52

1,28

2,12%

2,16%

(%)

(%)

Таким образом, при сохранении существующей закономерности прогнозные значения уровня безработицы на 2010 и 2011гг. составят 4,97% и 4,95% и с вероятностью 0,85, будут находиться в интервалах:

за 2010г.: от 2,85 до 7,10%;

за 2011г.: от 2,79 до 7,11%.

Однако, эти оценки, являются ненадежными, грубыми оценками будущего развития.

7. Отобразим на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.

Список литературы

1. Кремер Н.Ш. Эконометрика: учебник для вузов/Н.Ш. Кремер,

Б.А. Путко. - М.: Юнити, 2003. - 311с.

2. Практикум по эконометрике: Учеб. Пособие/И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 192с.: ил.

3. Эконометрика: Учебник /Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 344с.: ил.

Размещено на Allbest.ru

...