Исследование операций

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный

экономический университет»

Кафедра исследования операций в экономике

имени профессора Юрия Алексеевича Львова

Исследование операций

Методические указания

к изучению дисциплины выполнению контрольной работы

для студентов заочной формы обучения

Направление 080500 Экономко-математическое моделирование производственных систем

Санкт-Петербург

2012

Общие требования к контрольной работе

Контрольная работа выполняется по вариантам, номер которого определяется последней цифрой номера зачетной книжки. Замена задач не допускается. Исходные данные по работе выбираются из табл.3.

Решения задач должны быть представлены в развернутом виде, включать все пункты заданий, помеченных двойной нумерацией, со всеми формулами, пояснениями и выводами. Задания, на которые даны только ответы без пояснений и анализа, а также содержащие арифметические ошибки, будут считаться невыполненными.

Точность вычислений должна быть достаточной для сравнительного анализа. Во всех расчетах должна быть указана смысловая размерность показателей.

Работа должна быть написана разборчиво, без помарок. Графики выполняются на миллиметровке или бумаге в клетку в масштабе, удобном для решения и анализа и снабжаются пояснениями.

Контрольная работа представляется преподавателю в установленные учебным планом сроки. Титульный лист оформляется в соответствии с примером, приведенным в приложении 1. Условие задачи задается в виде таблицы. Работа должна быть подписана, указаны дата выполнения и использованная литература.

Работа, выполненная не по своему варианту, рассматривается как неудовлетворительная и не зачитывается.

Часть I. Исследование эффективности использования производственных ресурсов

1. Общие положения

Экономика представляет собой большую сложную систему. Понятие большой системы предполагает наличие множества подсистем, в качестве которых выступают различные производственные системы - предприятия и объединения. Современное состояние экономики характеризуется следующими условиями:

1. Управление подсистемами с использованием не директивных, а экономических, в частности, нормативных методов управления.

2. Самостоятельность производственных систем, обеспечивающая формирование номенклатурных планов на уровне предприятия (объединения).

3. Свободной торговлей средствами производства.

4. Работа предприятий в режиме самофинансирования, что обеспечивает необходимость оптимизации ими производственной деятельности, высвобождение средств, связанных в сверхнормативных запасах.

Применение экономико-математических методов и моделей различных уровней должно обеспечить эффективность принятия управленческих и технологических решений в новых условиях. Задачей моделирования становится не столько получение на модели единственного оптимального для данной ситуации решения, сколько эксперимент с моделью, позволяющий ответить на вопрос «А что будет, если...», то есть оценка возможности, а самое главное, эффективности маневра. Принцип оптимальности при этом остается основополагающим.

Здесь с новой остротой встает двуединая проблема: 1) оценка результатов деятельности производственной системы и 2) оценка затрат различного рода ресурсов с точки зрения интересов данного предприятия и экономической системы в целом.

Первое, в основном, касается области ценообразования и здесь не рассматривается. Будем считать, что цены продукции известны на уровне стоимостей.

Предметом изучения в данной контрольной работе являются некоторые вопросы второй части проблемы, причем в простейших условиях, когда трудозатраты, материало- и фондоемкости единицы продукции неизменны (нейтральный НТП).

Исследование будем вести на простейшей модели формирования программы производства продукции в плановом периоде, обеспечивающей ее максимальный стоимостной выпуск:

=1,2,...,I

j =1,2,...,J

здесь: j = 1, 2, ..., J - номенклатура выпускаемой продукции;

x_j - переменные модели - количество единиц продукции j-го наименования;

i = 1, 2, ..., I - ресурсы, необходимые для производства всех видов;

b_i - общий объем ресурса i-го вида в плановом периоде; a_ij - норма расхода i-го ресурса на единицу j-го вида продукции;

c_j - цена продукции j-го наименования.

Это обычная задача линейного программирования на максимизацию результата при ограниченных объемах ресурсов, известная из дисциплины «Математика» раздела «Оптимальное программирование».

Она может включать ограничения по обязательному выпуску продукции:

где -- количество продукции j-го наименования, которое необходимо выпустить по государственным заказам или по прямым договорным обязательствам. Однако их можно легко исключить из модели, рассчитав потребности в ресурсах на обязательный выпуск и сократив общие объемы ресурсов b_i. Модель тогда можно трактовать как обеспечение довыпуска продукции из имеющихся свободных ресурсов.

2. Порядок выполнения контрольной работы

Порядок выполнения контрольного задания иллюстрируется на следующем примере.

Пусть результаты деятельности условного предприятия оцениваются по показателю общей стоимости выпуска. Предприятие в плановом периоде может выпустить три вида продукции со следующими характеристиками:

Таблица 1

Характеристики продукции

Продукция	Оптовая цена тыс.руб/ед.	Норма расхода ресурсов
		Труд т. чел.-ч./ед.	Сырье т/ед.	Материалы т/ед.
1 2 3	20 20 24	2 3 4	4 2 6	1 3 4

Известны общие объемы ресурсов в плановом периоде:

располагаемый фонд рабочего времени T = 12 (т.чел.-ч);

выделенные лимиты сырья S = 16 (т) и материалов M = 9 (т);

цены сырья P_s = 1 (тыс. руб./т) и материалов P_m = 3 (тыс.руб./т).

Необходимо:

1. Найти оптимальный план производства продукции при исходных объемах ресурсов.

2. Исследовать возможность увеличения объемов выпуска в условиях свободной торговли средствами производства.

3. Оценить эффективность дополнительного вовлечения ресурсов.

Задание 1. Построение, анализ и решение исходной модели

1.1. Введем переменные х₁, х₂, х₃ - объемы производства соответствующих видов продукции в условно-натуральных единицах.

Модель имеет вид:

Стоимость С 20 х₁ + 20 х₂ + 24 х₃ max

Труд Т 2 х₁ + 3 х₂ + 4 х₃ 12 (тыс. чел.-ч)

Сырье S 4 х₁ + 2 х₂ + 6 х₃ 16 (т)

Материалы М 1 х₁ + 3 х₂ + 4 х₃ 9 (т)

х_1, х_2, х₃ 0

1.2. Прежде, чем переходить к решению, проведем анализ модели. Рассмотрим простейшие показатели эффективности использования различных видов ресурсов при выпуске каждого вида продукции:

, i, j,

где C j - цена j-ой продукции,

a ij - норма расхода i-го ресурса.

Данные коэффициенты отображают соотношение результатов и затрат (цена в данном случае показатель результата деятельности), то есть являются показателями эффективности.

(т.р./т.Ч-Час), ; ,

(т.р./т), ; ,

(т.р./т), ; .

Экономически эти коэффициенты можно трактовать как показатели ресурсоотдачи при выпуске продукции первого, второго и третьего видов. Так, показатель = 5 тыс. руб./т показывает, что при выпуске продукции 1, затрачивая 1 т сырья, в конечном счете мы получаем результат 5 тыс. руб. Иначе можно сказать, что характеризует эффективность использования сырья при выпуске продукции первого вида.

При выполнении работы предлагается сформулировать экономический смысл всех коэффициентов.

1.3. Анализ коэффициентов показывает, что с точки зрения трудозатрат выгоднее всего продукция 1, так как у нее самый большой = 10. С точки зрения затрат сырья - продукция 2 (= 10), материалов - также продукция 1 (= 20).

Производство продукции 3, несмотря на самую высокую цену (С₃ = 24.тыс. руб.), невыгодно с точки зрения использования всех трех видов ресурсов, так как у нее самые низкие показатели эффективности по труду, сырью и материалам.

Такой предварительный анализ позволяет сделать вывод, что продукция 3 не войдет в оптимальный план (ограничения на ее обязательный выпуск отсутствуют) и она может быть исключена из модели. Модель примет вид:

С 20 х₁ + 20 х₂ max

Т 2 х₁ + 3 х₂ 12

S 4 х₁ + 2 х₂ 16

М 1 х₁ + 3 х₂ 9

х₁ 0

х₂ 0

1.4. Решим задачу графически (рис.1). Ограничения T, S, M определяют многоугольник допустимых планов ОABС. Линии ограничений в данном частном случае пересекаются в одной точке В, которая и является оптимальным планом

Ресурсы используются полностью:

Т_В = 12 (т.чел.-ч), S_B = 16 (т), М_В = 9 (т).

Общая стоимость выпускаемой продукции:

СВ = 20 • 3 + 20 • 2 = 100 (тыс. руб.).

Отметим, что в условиях централизованного выделения ресурсов сырья и материалов полученное решение явилось бы окончательным.

1.5. Эффективность использования ресурсов можно оценить по показателям K_i:

При выполнении работы в соответствии с собственным вариантом укажите их экономический смысл и покажите их соотношение с ранее рассчитанными показателями K _{i j} .

Задание 2. Исследование возможности увеличения объема выпуска при свободной торговле средствами производства

В условиях свободной торговли средствами производства имеющиеся у предприятия (или выделенные централизованно) ресурсы, за исключением рабочей силы, могут быть приобретены или проданы на рынке.

2.1. В нашем примере все ресурсы полностью являются лимитирующими.

Укажите лимитирующие и избыточные ресурсы в своем варианте.

Необходимо определить, какие ресурсы и в каком количестве необходимы для увеличения объема выпуска продукции С по сравнению с полученным ранее оптимальным планом и С = 100 тыс. руб.

Предположим, что сбыт и приобретение ресурсов сырья и материалов обеспечены. Труд является не только лимитирующим, но и дефицитным ресурсом и будет ограничивать выпуск продукции.

В реальной задаче найдите множество производственных ограничений, которые не могут быть расширены за счет рынка в пределах планового периода.

Рис. 1. Графическое решение исходной задачи.

Рис.2. Задача при неограниченных S и M.

2.2 Исходная модель примет вид:

С 20 х₁ + 20 х₂ max

Т 2 х₁ + 3 х₂ 12

S 4 х₁ + 2 х₂ 0

М 1 х₁ + 3 х₂ 9

х₁ 0

х₂ 0

Самостоятельно сформулируйте и подробно запишите экономический смысл полученной модели. Как иначе можно записать ограничения S и М ?

2.3. Решим задачу графически (см. рис. 2).

Ограничения по сырью и материалам не показаны, так как находятся вне области определения х1 и х2. Область допустимых планов ОЕД определяется лишь ограничением Т. Оптимальный план находится в вершине D.

Стоимость выпуска продукции		CD = 20 ? 6 = 120 (тыс. руб.).
Объем трудозатрат		TD = 2 ? 6 = 12 (т.чел.-ч).
Потребное количество сырья		SD = 4 ? 6 = 24 (т),
материалов		MD = 1 ? 6 = 6 (т).

2.4. Новый план дает по сравнению с исходным :

прирост стоимостного выпуска ?С = 120 - 100 = 20 (тыс. руб),

- экономию материалов ?М = 6 - 9 = - 3 (т), но требует дополнительного вовлечения сырья ?S = 24 - 16 = 8 (т).

При обеспеченности сбыта и приобретении на рынке

выручка от продажи излишних материалов по цене Р_М = 3 (тыс. руб.-т), В_М = 3 ? 3 = 9 (т.р.),

затраты на закупку дополнительного сырья по цене

P_S = 1 (тыс. руб.-т),

З_S = 1 ? 8 = 8 (тыс. руб).

При этом образуется остаток денежных средств D_n = B_M - З_S = 9 - 8 = 1 (тыс. руб.). Таким образом, простейший эксперимент на модели дает возможность перейти к новому плану, дающему прирост выпуска продукции на 20 (т.р.) при равных ценах и положительном остатке от перепродажи 1 (тыс. руб).

Ответьте на вопросы

1. За счет чего получен дополнительный выигрыш?

2. Какие потери здесь имеют место?

3. Как изменилась эффективность использования ресурсов в сравнении с начальным планом ? Посчитайте коэффициенты K_i и дайте их сравнительный анализ с полученными в п. 1.2.

Задание 3. Исследование эффективности вовлечения дополнительных ресурсов

Исследование на модели возможности наращивания стоимостного выпуска показало, что он может быть увеличен на 20 тыс. руб. за счет изменения ассортимента при дополнительном вовлечении ресурса сырья (8 т) и положительном сальдо от перепродажи. Для данной производственной системы новый вариант плана выгоднее. В условиях рыночной экономики этого достаточно для принятия управленческого решения. В новом хозяйственном механизме индикатором такой оценки будут являться экономические нормативы, в частности, для ресурсов, которые общество считает дефицитными.

3.1. Оценим с указанных позиций, как изменяется эффективность использования ресурса (сырья) по мере его вовлечения в систему, причем для наглядности во всем диапазоне его изменения (от 0 и выше). При любом объеме ресурса предприятие каждый раз выбирает оптимальную стратегию выпуска, соответствующую максимальному его стоимостному объему. При исходных объемах ресурсов времени и материалов получим модель:

С 20 х₁ + 20 х₂ max

Т 2 х₁ + 3 х₂ 12

S 4 х₁ + 2 х₂ S

М 1 х₁ + 3 х₂ 9

х₁ , х₂ 0

Это параметрическая задача, в которой параметр S . Решим ее графически и определим зависимость максимального стоимостного выпуска от объема ресурса S в системе, то есть

3.2. Для графического решения задачи построим множество допустимых решений, определяемое только постоянными ограничениями Т и М (см. рис. 3). Это многоугольник ОАBD. Теперь будем изменять величину объема сырья S и для каждого его значения отыскивать оптимальный план и значения целевой функции. Результаты будем заносить в таблицу 2.

Таблица 2.

Объем сырья (т) S	Оптимальный план	Максимум стоимости выпуска (тыс. руб.) F (S)	Потребный объем Т (т.чел.-т)	Потребный объем материалов М (т)	Обозначения точки на графике
0 4 6 16 24 36	0 , 0 0 , 2 0 , 3 3 , 2 6 , 0 6 , 0	0 40 60 100 120 120	0 6 9 12 12 12	0 6 9 9 6 6	0 К А В D G

3.3. Пусть S = 0. В этом случае в нашей задаче выпуск продукции невозможен, так как сырье необходимо для производства обеих ее видов. Оптимальный план х₀ = (0,0). Зададим небольшую величину объема сырья, например, S = 4. Ограничение по сырью примет вид:

,

и может быть построено на графике (рис.3).

Множество допустимых планов OKL определяется лишь данным ограничением, остальные ресурсы M и Т при S = 4 избыточны.

Перемещая линию стоимости С параллельно себе, находим точку, в которой С принимает максимальное значение. Это точка К. Оптимальный план = (0 , 2). Подставляя значения х₁ = 0 и х₂ = 2 в соответствующие ограничения, находим потребные объемы ресурсов и значение целевой функции С_К = 40 (тыс. руб.). Результаты заносим в таблицу 2.

Заметим, что при изменении S от 0 и до 4 (т), точка оптимума перемещается по оси х₂ вверх (на рис.3 изображено стрелкой). Это движение продолжается до точки А, в которой начинает действовать ограничение по материалам М. То есть с увеличением S точка оптимума обязательно совпадет с точкой А. Запишем в таблицу 2 значение оптимального плана = (0 , 2). Теперь подстановкой находим значение S_А = 6 , значение целевой функции C_n = 60 и потребные объемы ресурсов. результаты заносим в таблицу 2.

Таким образом, при графическом решении параметрической задачи необходимо проследить траекторию движения оптимальной точки по границам области допустимых решений OABD . Так, при S > 6 (см. рис. 3, линия HN), область допустимых планов OAHN, оптимальный план .

То есть точка оптимума движется по ограничению М из точки А в точку В и обязательно попадает в точку В. Как и ранее, заносим оптимальный план в таблицу 2 и пересчитываем значение ресурса S , целевой функции и потребные значения прочих ресурсов М и Т.

При достижении каждой вершины многоугольника OABD необходимо проверить, сдвинется ли точка оптимума при дальнейшем увеличении ресурса S . Так точка В , S = 16, соответствует исходной задаче (см. задание 1). При дальнейшем увеличении ресурса S > 16 в конечном счете точка оптимума попадет в точку D , что соответствует условиям задания 2 и S = 24. Если S > 24, например, S = 36, то ресурс сырья является избыточным и оптимальная точка все равно остается в точке D.

3.4. На основании таблицы 2 и рис.3 построим график зависимости оптимального значения стоимости выпуска от величины ресурса сырья S (см. рис. 4).

Поскольку для каждого значения ресурса сырья мы искали максимальное (а не произвольное) значение стоимости выпуска, полученный график отражает закономерность соотношения результатов и затрат в заданных условиях. Полученная на рис.4 зависимость называется линией не возрастающей эффективности и в упрощенном виде отображает закон, сформулированный известным экономистом В.В. Новожиловым (1) для условий нейтрального научно-технического прогресса (неизменная производительность труда, материало- и фондоемкость продукции). Суть этого закона состоит в следующем. Число эффективных способов использования дефицитного ресурса всегда ограничено. Поэтому при вовлечении ресурса в производственную систему каждая его дополнительная единица будет использоваться с невозрастающей эффективностью (прежней или меньшей). Следствием этого закона является то, что экстенсивное развитие, в конечном счете, приведет к снижению темпов экономического роста, дефицитной экономике.

В нашем примере для роста стоимости выпуска от 0 до 60 тыс. руб. требуется вовлечение в производство 6 т. сырья (точка А), а для прироста стоимости еще на 60 тыс. руб., то есть до 120 тыс. руб., необходимо вовлечь еще дополнительно 18 т. сырья, доведя общий его объем до 24 т. Дальнейшее увеличение выпуска при постоянных прочих ограничениях невозможно.

3.5. Рассчитаем количественные характеристики эффективности. Это можно сделать двумя способами.

Абсолютные коэффициенты эффективности считаются как отношение абсолютных величин результата и затрат:

и показывает среднее значение результата на единицу затрат. Они малочувствительны к пролеживанию ресурсов. Так, при S = 24 E_D = 5 (см. рис.4), а при S = 36 E_G = 10/3. Вместе с тем из рисунка видно, что при S = 36 вообще не используется 36 - 24 = 12 (т) ресурса. Учитывая характер линии эффективности, видно, что абсолютные показатели не годятся для прогнозных расчетов дополнительного вовлечения ресурсов.

Рис.3. Графическое решение параметрической задачи.

Рис.4. Линия эффективности использования ресурса S.

Приростные коэффициенты эффективности рассчитываются как отношение приростов результата и затрат:

и показывают, как изменится результат при дополнительном вовлечении единицы ресурса. Они могут быть рассчитаны лишь в процессе моделирования объекта и соответствуют двойственным оценкам ресурсов при заданных их объемах.

В реальной экономике показатели эффективности строятся как абсолютные или приростные.

Задание

1. Подумайте о примерах реальных показателей.

2. Рассчитайте значения тех и других коэффициентов для характерных точек и участков кривой в своем варианте.

3. Сравните значения абсолютных коэффициентов с показателями эффективности отдельных видов продукции, рассчитанными в задании 1.

4. Используя показатели эффективности продукции, письменно поясните, почему та или иная продукция включается или выводится из оптимального плана по мере увеличения дефицитного ресурса.

Итак, в нашем примере при малых объемах S < 6 сырье - единственный дефицитный ресурс и в оптимальный план входит продукция 2, самая эффективная с точки зрения его использования. и не входит продукция 1 . В точке А в силу вступает ограничение по материалам М. Для дальнейшего увеличения выпуска при дополнительном вовлечении сырья S > 6 в план включается первый вид продукции, более выгодный с точки зрения использования материалов.

Продукция 2 постепенно выводится из оптимального плана, при S ? 16 становится лимитирующим ограничением по труду, а материалы избыточны. Но так как продукция 1 более выгодна и с точки зрения трудозатрат, , она продолжает вводиться в оптимальный план вплоть до точки D.

3.6. Используя график не возрастающей эффективности, можно оценить переход от исходного плана к новому , как предлагалось в задании 2.

При подобном переходе эффективность использования дополнительно вовлекаемых 8 т сырья составит , тогда как в исходном плане она составляла еще (см. рис. 4), то есть сырье будет использоваться менее эффективно, чем в исходном плане. Если данный ресурс является дефицитным с точки зрения народного хозяйства (отрасли), на него может быть установлен норматив эффективности. Так, если бы в нашем примере был установлен, например, норматив , предприятие не имело бы права дополнительно вовлекать ресурс и переходить к новому плану, потому что эффективность его использования была бы ниже нормативной .

При выполнении работы укажите, при каком значении норматива для рассматриваемого ресурса переход от исходного плана, полученного в задании 1, к новому (задание 2), неправомерен с точки зрения общества.

3.7. Аналогично проделанному ранее исследуйте эффективность вовлечения в систему другого вида ресурса при исходных значениях ресурсов труда и рассмотренного ранее ресурса. Постройте параметрическую модель, решите ее графически, постройте линию эффективности, рассчитайте абсолютные и приростные коэффициенты. Укажите максимально возможный объем вовлечения ресурса при его полном использовании.

3. Задание к контрольной работе

Постановка задачи аналогична приведенной в контрольном примере. Исходные данные выбираются из таблицы 3, номер варианта соответствует последней цифре номера Вашей зачетной книжки.

Содержание пояснительной записки.

В работе должна содержаться информация по выполнению всех пунктов заданий 1-3, включая исходные данные.

Каждый пункт задания помечается двойной нумерацией, соответствующей контрольному примеру, снабжается кратким заголовком, приводятся краткие пояснения. Графики и рисунки выполняются на миллиметровой бумаге или на бумаге в клетку в удобном для наглядного изображения масштабе, одинаковом для всех заданий.

4. Методические указания по изучению темы

В процессе изучения темы повторите материал дисциплины «Математика» раздела «Оптимальное программирование» в части графической интерпретации задач линейного программирования. Особое внимание обратите на постановку и экономический смысл двойственной задачи, ее переменных, ограничений и целевой функции. После такого повторения выполнение контрольной работы технической трудности не представит. Все выводы, полученные в ходе выполнения заданий, попытайтесь интерпретировать применительно к реальной производственной системе. Для глубокого изучения проблемы требуется основательная работа с книгой В.В. Новожилова (1).

Таблица 3

Исходные данные по вариантам

№ п/п	Показатели	Значение показателей по вариантам
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	Цены продукции (тыс. руб./ед.) продукция 1 продукция 2 продукция 3	40 36 38	30 30 36	20 30 20	30 34 30	20 30 25	40 30 50	40 45 50	40 60 40	25 30 20	30 20 20
2	Трудозатраты (чел.-ч/ед.) продукция 1 продукция 2 продукция 3	2 3 4	3 2 4	2 1 1	2 4 3	3 5 2	6 5 4	2 4 3	4 2 2	2 5 3	2 2 4
3	Нормы расхода сырья (т/ед.) продукция 1 продукция 2 продукция 3	8 4 12	2 4 6	5 2 4	6 7 3	4 7 2	8 7 4	2 7 6	3 4 2	4 14 8	4 2 3
4	Нормы расхода материалов (т/ед.) продукция 1 продукция 2 продукция 3	2 6 8	6 2 8	3 4 2	2 7 6	3 5 4	6 5 8	6 7 3	10 4 8	4 5 3	2 4 5
5	Общие объемы ресурсов в плановом периоде фонд времени (чел.-ч) объем сырья (т) объем материалов (т)	12 32 18	12 16 18	10 32 28	24 48 36	24 28 36	48 56 72	24 36 48	20 32 64	24 56 36	20 28 32
6	Цены ресурсов сырья (т.р./т) материалов (т.р./т)	1 3	1 2	1 0,75	2 1	2 1	2 1,5	1 2	2 1	1 1	2 2

Выбранные данные по варианту занесите в таблицу 1.

Часть II. Декомпозиция моделей оптимального планирования

1. Общие положения

Целью выполнения этой части работы является изучение вопроса оптимальной декомпозиции экономической системы и приобретения практических навыков декомпозиции простейших задач для условий нейтрального научно-технического прогресса.

Разделение (декомпозиция) моделей производится таким образом, чтобы последовательность оптимизационных решений каждой подсистемы давала оптимальное решение для всей системы в целом.

При рассмотрении метода декомпозиции будем исследовать двухуровневую систему. Верхний уровень назовем центром, нижний - подсистемами. При этом предполагаем, что каждая подсистема является также как минимум двухуровневой системой. На рис. 5 представлен вид рассматриваемой системы.

Рис.5

Для удобства и простоты представления модели можно горизонтальные связи между подсистемами перенести на уровень центра. Экономически это означает, что центр не только распределяет централизованные ресурсы (вертикальные связи), но и решает вопросы о всех поставках между подсистемами (горизонтальные связи). Тогда структура экономической системы будет иметь только обобщенные вертикальные связи (рис. 6).

Рис. 6

Рассмотрим характеристики данной системы.

Каждая подсистема выпускает продукцию различной номенклатуры. В модели это характеризуется номенклатурным вектором

х_К = ( х_К1, х_К2, ... , х_Кm), где

к - индекс подсистемы;

j - индекс продукции подсистемы;

x_кj - кол-во j-й продукции к-й подсистемы.

Эти величины и нужно определить.

Нормативы затрат различных ресурсов на производство единицы продукции считаются известными. При этом ресурсы системы подразделяются на:

централизованно распределяемые;

собственные ресурсы подсистемы.

g^l_kj - норма расхода I - го ресурса, распределяемого централизованно, для производства j-ой продукции к-ой подсистемы.

- потребность в I - ом централизованном ресурсе для к-ой подсистемы, на производство продукции всей к-ой подсистемы.

- норма расхода к-ой подсистемы на единицу j-ой продукции к-ой подсистемы.

- потребность в p-ом собственном ресурсе для к-ой подсистемы.

Как централизованные, так и собственные ресурсы ограничены. Обозначим: b' - количество I -го централизованного ресурса в системе;

b^p_k - количество p-го собственного ресурса у к-ой подсистемы.

Экономическая система должна функционировать в соответствии с некоторым критерием оптимальности, то есть в модели должна быть определена целевая функция (ЦФ).

Одним из распространенных критериев в экономических системах является целевая функция полезности (ЦФП). В этой ЦФ численно определяется полезность единицы каждой продукции, то есть известно: C_kj - полезность j-ой продукции к-ой подсистемы. Тогда ЦФП каждой подсистемы имеет следующий вид:

.

Отсюда общая модель системы, максимизирующая суммарную полезность деятельности всей экономической системы при ограниченных ресурсах, имеет вид:

В такой постановке модель имеет блочную структуру, но размерность такова, что решить ее невозможно. Поэтому поиск оптимального решения следует осуществить с помощью метода декомпозиции.

2. Лимитная схема декомпозиции по модели максимизации ЦФП

По такой схеме центр выделяет лимиты централизованных ресурсов (ЦР) каждой подсистеме, а подсистемы в пределах выделенных централизованных и имеющихся собственных ресурсов решают свои задачи на максимум собственных ЦФП. При этом при известных ресурсах каждая подсистема определяет оптимальный номенклатурный вектор продукции. Центр таким образом распределяет централизованные ресурсы между подсистемами, что в результате решения каждой подсистемой своей оптимизационной задачи получается глобальный оптимум для всей системы.

Представим модель в векторной форме. Для этого введем обозначения:

- потребность в централизованном ресурсе к-ой подсистемы;

- количество централизованного ресурса;

- потребность в собственном ресурсе к-ой подсистемы;

- количество собственного ресурса к-ой подсистемы;

Тогда модель в векторной форме будет иметь следующий вид:

.

В соответствии с принципами лимитной схемы декомпозиции каждой подсистеме выделяется лимит централизованных ресурсов. Обозначим:

- количество централизованного ресурса, выделяемого каждой подсистеме.

Причем необходимо обязательное выполнение условия:

Тогда задача каждой подсистемы будет иметь следующий вид:

Общая модель распадается на модель центра и модели подсистем. Координирующая роль центра состоит в определении оптимальных векторов централизованно распределяемых ресурсов , при которых максимизируется глобальная ЦФ системы. Поскольку максимум ЦФ подсистемы зависит от выделяемых централизованных ресурсов, то в результате решения задачи каждой подсистемы в принципе можно построить следующую функцию:

Подсистемы сообщают эту функцию в центр. Тогда модель центра можно представить таким образом:

.

А структурная схема общей модели будет иметь вид:

Последовательность расчетов такой декомпозиционной системы следующая:

1. Подсистемы решают свои задачи на максимум собственной ЦФ при различных значениях вектора централизованных ресурсов . В результате каждая подсистема определяет - функцию максимальной полезности деятельности каждой подсистемы в зависимости от наболра ресурсов . Эта функция сообщается в центр.

2. Центр решает собственную задачу на максимум ГЦФП и определяет оптимальный объем ресурсов для каждой подсистемы ( в пределах имеющегося в центре объема ресурса. Эти объемы спускаются подсистемам.

3. В соответствии с выделенным объемом централизованного ресурса подсистемы определяют собственные оптимальные номенклатурные планы , которые в совокупности соответствуют глобальному оптимальному плану всей системы.

3. Порядок выполнения контрольных заданий

Последовательность выполнения работы поясним в ходе решения контрольного примера.

Задание 1. Построение и декомпозиция исходной модели

1.1. Предположим, что в объединение входят два предприятия, условия функционирования которых представлены в табл. 4 и табл. 5 соответственно. Цены, нормы расходов и объемы ресурсов приведены в условных единицах.

Таблица 4.

Данные по первому предприятию

Продукция	Нормы расхода	Цена единицы продукции
	1-ый собственный ресурс	2-ый собственный ресурс	Централизованный ресурс
А В	2 1	1 -	2 3	3 2
Объем ресурса	10	3

Таблица 5.

Данные по второму предприятию

Продукция	Нормы расхода	Цена единицы продукции
	1-ый собственный ресурс	2-ый собственный ресурс	Централизованный ресурс
С D	1 2	- 1	2 1	2 3
Объем ресурса	10	3

Для каждого предприятия необходимо определить оптимальный объем выпуска продукции в стоимостном выражении, если известно, что объем централизованного ресурса, распределяемого между предприятиями, составляет 32 условные единицы. Обозначим:

х₁₁ , х₁₂ - количество изделий 1-го и 2-го типа 1-ой подсистемы Количество изделий может быть дробным;

х₂₁ , х₂₂ - количество изделий 1-го и 2-го типа 2-ой подсистемы¹.

Тогда общая модель системы будет иметь следующий вид:

3 х₁₁ + 2 х₁₂ + 2 х₂₁ + 3х₂₂ max

2 х₁₁ + 3 х₁₂ + 2 х₂₁ + 1х₂₂ 32

2 х₁₁ + 1 х₁₂ 10

1 х₁₁ 3

1 х₂₁ + 2 х₂₂ 10

х₂₂ 3

х₁₁, х₁₂, х₂₁, х₂₂ 0

Декомпозиция этой модели приводится на схеме:

Задание 2. Решение задач подсистем

Подсистемы решают собственные параметрические задачи при различных значениях параметров и и сообщают вид функций и в центр. Рассмотрим процесс решения задач в каждой подсистеме.

2.1. Решение задачи первой подсистемы.

Модель первой подсистемы имеет вид:

3 х₁₁ + 2 х₁₂ max

2 х₁₁ + 3 х₁₂ 32 (1)

2 х₁₁ + 1 х₁₂ 10 (2)

1 х₁₁ 3 (3)

Решение параметрической задачи будем приводить графически. Для этого построим область допустимых решений (ОДР), состоящую из уравнений собственных ресурсов подсистемы, то есть неравенства (2) и (3) (см. рис. 7). На этой области исследуем поведение ЦФ от различных значений ЦР. производственный ресурс декомпозиция планирование

При значении U₁ = 0, f₁ (U₁) = 0. Начнем увеличивать значение ЦР. Пусть U₁ = 6 (область ОАС¹). На этом множестве ЦФ достигает своего оптимального значения в точке А, то есть при увеличении ЦР от 0 до 6 оптимальный план скользит по ребру ОА. А при увеличении U₁ от от 6 до 18 оптимальный план скользит по ребру АВ. А при изменении U₁ от 18 до 30 оптимальный план скользит по ребру ВС. Таким образом, при изменении ресурса от 0 до 30 оптимальный план первой подсистемы движется по траектории ОАВС. При увеличении U₁ сверх 30 данный ресурс уже не является лимитирующим, и оптимальный план остается в точке С. При этом значение ЦФ в точке С f₁ (U₁) = 20.

Для выражения зависимости координат оптимального плана от величины U₁ необходимо решить систему уравнений. Первое уравнение является ограничением ЦР, а второе - гранью ОДР, по которой скользит оптимальный план.

Последовательно рассмотрим поведение функции на отрезках [ОА], [АВ], [ВС].

1. Найдем вид функции на отрезке [ОА]. На этом отрезке ЦР изменяется от 0 до 6. Система ограничений, из которой находим координаты оптимального плана, имеет следующий вид:

Находим из этой системы координат оптимального плана:

Подставляя эти значения в уравнение ЦФ получаем вид функции на отрезке [ОА]:

2. Отрезок [АВ], .

3. Отрезок [ВС], .

4. При

Тогда зависимость ЦФ первой подсистемы от ЦР, то есть решение первой подсистемы, будет следующей:

График этой функции представлен на рис.8. Эта зависимость отражает то общее свойство любой производственной системы, что эффективность каждой дополнительной единицы уменьшается, то есть прирост максимально возможного объема выпуска на дополнительную единицу ресурса при неизменной технологии убывает (общий закон убывающей эффективности).

2.2. Решение второй подсистемы. Ее модель:

2 х₂₁ + 3 х₂₂ max

2 х₂₁ + 1 х₂₂ U₂

1 х₂₁ + 2 х₂₂ 10

1 х₂₂ 3

При увеличении ресурса U₂ от 0 до 20, оптимальный план, как видно на рис. 9, движется по траектории OKMN. Координаты оптимального плана на различных участках траектории будут следующими:

1. Отрезок [OK], 0 ? U₂ ? 3.

2. Отрезок [KМ], 3 ? U₂ ? 11.

3. Отрезок [МN], 11 ? U₂ ? 20.

4. при .

Решение второй подсистемы:

График этой функции представлен на рис. 10. Подсистемы сообщают эти функции в центр.

Задание 3. Решение задачи центра и определение номенклатурных планов подсистем

Задача выглядит следующим образом:

Рис. 7. Решение задачи 1 п/с.

Рис. 8. Линия эффективности 1 п/с.



Рис. 9. Решение задачи 2 п/с.

Рис. 10. Линия эффективности 2 п/с.

3.1. Для решения этой задачи нужно построить результирующую функцию максимального объема выпуска всей системы в зависимости от объема ЦР. Практически такую функцию можно построить, включая отрезки функций подсистем в порядке убывания эффективности дополнительной единицы ресурса. Для наглядности отрезки первой подсистемы будем изображать тонкой линией, а второй подсистемы - толстой. График результирующей функции представлен на рис. 11. По этой функции определяется предельный норматив эффективности использования ЦР: на оси ресурсов U находится точка, соответствующая наличию ресурса в системе (32). Из этой точки восстанавливается перпендикуляр до пересечения с графиком функции f(U) . Соответствующий коэффициент эффективности е и будет являться предельным (нормативным) для всей системы е_Н . Для нашего примера:

, [ед. ЦФ/ед. ЦР]

Этот норматив е_Н спускается подсистемам, которые не имеют теперь права использовать ЦР с меньшей эффективностью.

3.2. Подсистемы запрашивают такой объем ресурсов U_K, эффективность использования которого не меньше, чем предельная. Эти объемы сообщаются в центр. Для нашего примера:

3.3. Центр определяет суммарный объем запрашиваемых ресурсов и их наличие. Если спрос превышает наличие, то заявка подсистемы, имеющей меньшую эффективность использования ресурса, уменьшается на величину сбалансирующего спроса и предложения. Для нашего примера

Значит, на 6 = ? U единиц корректируется заявка второй подсистемы. В результате подсистемам спускаются оптимальные нормы централизованного ресурса:

Рис. 11. Построение линии эффективности всей системы и определение _н и .

3.4. В соответствии с выделенным объемом ресурсов подсистемы решают собственные задачи при известных ресурсах и определяют оптимальные номенклатурные планы.

В данном примере оптимальные планы такие:

.

Оптимальный объем выпуска продукции в стоимостном выражении: Заметим, что суммарная полезность соответствует значению (35), уже найденному при определении нормативного коэффициента эффективности (см. рис. 11).

4. Задание к контрольной работе

Постановка задачи аналогична приведенному примеру. Нормы расхода ресурсов и цены продукции берутся из таблиц 4 и 5. Объем ресурсов выбирается из таблицы 6 в соответствии с номером варианта. Номер варианта определяется последней цифрой номера зачетной книжки.

Таблица 6

Исходные данные по вариантам

Объем ре- сурсов № варианта	Централизованный ресурс	Собственные ресурсы 1-ой подсистемы	Собственные ресурсы 2-ой подсистемы
		1	2	1	2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	32 36 36 32 40 36 20 20 20 22	10 12 12 10 14 14 8 8 8 10	4 4 3 12 3 4 3 2 4 2	12 12 10 10 12 12 8 8 6 8	3 3 4 2 4 4 3 3 2 2

Содержание контрольной работы

1. Постановка задачи (исходные данные, п.п 1.1 - 1.2).

2. Графическое решение задач каждой подсистемы (на миллиметровке и в одинаковом масштабе).

3. Решение задачи центра (в том же масштабе).

4. Определение оптимального решения каждой подсистемы.

5. Выводы по работе.

6. Методические указания по изучению дисциплины

При изучении дисциплины следует обратить внимание на иные способы декомпозиции (2. с. 113-139). Определите, какие проблемы, являющиеся ключевыми в согласовании деятельности центра и подсистем, остались вне рассмотрения. Важнейшей такой проблемой является определение оптимальных нормативов эффективности единовременных затрат (капитальных вложений). При самостоятельной работе особое внимание необходимо обратить на изучение взглядов В.В. Новожилова на данную проблему (1). Попробуйте ответить на вопрос об области применения предложенной схемы декомпозиции.

Список литературы

1. Новожилов В.В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании. М.: Наука, 1972.

2. Оптимизация функционирования социалистической экономики / Под ред. С.С. Шаталина. М.: Изд-во МГУ, 1980.

3. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов эконом. специальностей. М.: Высшая школа, 1986.

4. Шимко П.Д., Поснов В.Г. Экономко-математическое моделирование производственных систем / ЛИЭИ. Л.:, 1987.

5. Исследование операций: Учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по спец. «Прикладная математика» и «Экономическая кибернетика».--М.: Высшая школа,1990.-383 с.

6. Громова Н.В. и др. Методы исследования one-- Г 86 раций в моделировании организационно--экономических задач: Учеб. пособие/Громова Н.Б., Минько Э.В., Прохоров В.И.-М.: Изд-во МАИ,1992.-240 с.:ил.

7. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов/Под ред. Н.Ш. Кремера.--М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,1997.--407 с.:ил., табл.

8. Раковщик Л. С. Исследование операций: Учебное пособие для вузов/СПбГИЭА.-СПб:СПбГИЭА, 1994. 9.-134 с.

9. Паркинсон С. Н., Рустомджи М.К. Искусство управления/ Пер. с англ. К. Савельева.--М.: Издательско--торговый дом Гранд, Агентство Фаир,1997. --271 с.:ил.--(Настольная книга бизнесмена).

10. Семененко А. И. Предпринимательская логистика.-- СПб.: Политехника, 1997.-- 347 с.

Размещено на Allbest.ru

...