Двойственные оценки ресурсов предприятия

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Двойственные оценки как инструмент определения эффективности отдельных вариантов

С каждой задачей линейного программирования (ЗЛП) определенным образом (по определенному правилу) связана другая ЗЛП, называемая двойственной к исходной (первоначальной) задаче.

Связь исходной и двойственной задач заключается. В частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой. Имея решение двойственной задачи, которое интерпретируется как совокупность условных оценок участвующих в производстве ресурсов, можно провести экономико-математический анализ оптимального плана исходной задачи и сделать ряд экономически содержательных выводов.

Связь между оптимальными планами пары двойственных задач устанавливают теоремы двойственности.

Первая теорема двойственности (основная). Если одна из двойственных задач разрешима, то разрешима и другая, причем оптимальные значения целевых функций задач равны. Если одна из двойственных задач не разрешима, то неразрешима и другая.

Вторая теорема двойственности (о дополняющей не жесткости). Если при подстановке компонент оптимального плана в систему ограничений исходной задачи i-е ограничение обращается в неравенство, то i-я компонента оптимального плана двойственной задачи равна нулю. Если i-я компонента оптимального плана двойственной задачи положительна, то i-е ограничение исходной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое равенство.

Оптимальные значения переменных двойственной задачи называют двойственными оценками.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства:

1. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи).

Сказанное позволяет выявить направления "расшивки" узких мест, обеспечивающие получение наибольшего экономического эффекта, а также целесообразность изменения в структуре выпуска продукции с позиций общего оптимума.

2. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны).

3. Двойственные оценки позволяют определять своеобразные "нормы заменяемости ресурсов": имеется в виду не абсолютная заменяемость ресурсов, а относительная, т. е. заменяемость с точки зрения конечного эффекта и лишь в конкретных условиях данной задачи.

4. Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов.

2. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Завод--производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей -- Х и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа X требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y -- 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа X и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа X требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10 000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа X своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа X составляет 30 ден. ед., а от производства одной детали типа Y-- 40 ден. ед.?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Введем следующие переменные:

Х1 - количество производимых деталей в неделю типа Х;

Х2 - количество производимых деталей в неделю типа Y.

Цена одной детали типа Х составляет 30 ден. ед., цена одной детали типа Y- 40 ден. ед. Необходимо максимизировать целевую функцию.

Целевая функция:

f(x1, x2) = 30 x1 + 40 x2 > max

Функциональные ограничения:

Х1 + 2Х2 ? 4000;

Х1 + Х2 ? 1500;

2Х1 + 5Х2 ? 10000;

5Х1 + 2Х2 ? 10000;

Х1 ? 600;

Х ? 2250;

Х ? 1750.

Прямые ограничения:

X1, X2 ? 0

X1, X2 - целые, т. к. искомые числа - количество деталей.

1) Построим многоугольник допустимых решений, который определяется функциональными и прямыми ограничениями.

Для этого рассмотрим уравнения функциональных ограничений:

Х1 + 2Х2 = 4000;

Если Х= 0, то 2Х= 4000

Х= 2000.

Точка: (0; 2000).

Если Х= 0, то Х= 4000.

Точка: (4000;0).

Х1 + Х2 = 1500;

Если Х= 0, то Х= 1500

Точка: (0; 1500).

Если Х= 0, то Х= 1500.

Точка: (1500; 0).

2Х1 + 5Х2 = 10000;

Если Х= 0, то 5Х= 10000

Х= 5000.

Точка: (0; 5000).

Если Х= 0, то 2Х= 10000.

Точка: (4000; 0).

5Х1 + 2Х2 = 10000;

Если Х= 0, то 2Х= 10000

Х= 5000.

Точка: (0;5000).

Если Х= 0, то 5Х= 10000.

Х1= 2000.

Точка: (2000;0).

Х1 = 600, то точка: (600; 0).

Х = 2250, то точка: (2250; 0).

Х = 1750, то точка: (0; 1750).

2) Построим вектор - градиент. Искомые точки для этого: (0;0), (3000; 4000).

3) Построим линию уровня целевой функции:

30х+40 х= b,

где b - любое число, а линия перпендикулярна вектору-градиенту.

4) поскольку необходимо найти максимум целевой функции, то необходимо сдвинуть линию уровня ц. ф. по направлению вектора-градиента, до крайней точки области допустимых решений.

Т. о., координаты последней вершины ОДР (точка А) - на пересечении двух прямых:

Х1 + 2Х2 ? 4000

и:

5Х1 + 2Х2 ? 10000;

Найдем координаты, для этого решим уравнения:

Х1=1500; Х2=1250.

Таким образом, т. А (1500; 1250).

Подставляем полученные значения в целевую функцию:

f(x1,x2) = 30 * 1500 + 40 * 1250 = 95000 (ден. ед.)

Если решать задачу на минимум, то необходимо сдвигать линию уровня целевой функции противоположно направлению вектора-градиента. Тогда точка В пересечения линий уравнений:

х+ х = 1500

и х=0 будет иметь координаты (1500;0). Т.е., при производстве только 1500 деталей Х в неделю прибыль будет минимальной. В таком случае задача будет иметь только расчетный характер, т. к. экономического смысла она не имеет.

Ответ: Доход от реализации продукции будет максимальным, т. е. 95000 ден. ед., если производить 1500 деталей в неделю типа Х и 1250 деталей в неделю типа Y.

двойственный графический экономический

3. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

Табл. 1

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y	20	27	30	41	45	51	51	55	61

Требуется:

1) проверить наличие аномальных наблюдений;

2) построить линейную модель (t) = a0+a1t, параметры которой оценить МНК ((t)-- расчетные, смоделированные значения временного ряда);

3) оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7);

4) оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;

5) по построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%);

6) фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с точностью до одного знака после запятой.

Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1) Проверим наличие аномальных наблюдений.

Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина.

Табл. 2

t	Yt	Yt-	лt
1	20	497,29	0,5
2	27	234,09	0,2
3	30	151,29	0,8
4	41	1,69	0,3
5	45	7,29	0,4
6	51	75,69	0
7	51	75,69	0,3
8	55	161,29	0,4
9	61	349,69	0,5
сумма		1554

Аномальных явлений нет, так как расчетные значения л t меньше табличного л t = 1,5.

2) Построим линейную модель по методу наименьших квадратов вида:

(t) = a0 + a1t.

где a0 и a1 - параметры модели, t - количество наблюдений.

Рис. 1

Рис. 2

Табл. 3

Переменные	Коэффициенты
Y-пересечение	17,33333333
t	5

Линейная модель имеет вид:

(t) = 17,3 + 5t

Рис. 3. Линейная модель и спрос на кредитные ресурсы за 9 дней.

3) Оценим адекватность построенной модели.

Проверка адекватности модели реальному явлению важным этапом прогнозирования социально-экономических процессов.

· Проверим свойство независимости остаточной компоненты.

Проверка проводится по критерию Дарбина - Уотсона.

Табл. 4

t	Yt	t	Et	Et - Et-1
1	20	22,3	-2,3
2	27	27,3	-0,3	2
3	30	32,3	-2,3	2
4	41	37,3	3,7	6
5	45	42,3	2,7	-1
6	51	47,3	3,7	1
7	51	52,3	-1,3	-5
8	55	57,3	-2,3	-1
9	61	62,3	-1,3	1
Сумма, кв			54,01	73

Et = Yt - t

d1 = 1,08 d2 = 1,36

d1<dw<d2,

область неопределенна. Необходимо рассчитать коэффициент автокорреляции 1 порядка

Рис. 4

rтабл (1) = 0,36

|r(1)| < rтабл (1) - следовательно, автокорреляция отсутствует, уровни ряда независимы, модель по данному признаку адекватна.

· Проверим случайность уровней ряда остатков.

Проверка основывается на методе «пиков». Уровень ряда считается пиком, если он одновременно больше (меньше) двух соседних уравнений ряда. Фактическое число пиков сравнивается с расчетным.

Рис. 5

Уровни рядов остатка случайны (модель адекватна)

· Проверим соответствия нормальному закону распределения.

Определим при помощи RS - критерия.

RS = (Emax - Emin)/S

Где Emax - максимальный уровень ряда остатков; Emin - минимальный уровень ряда остатков; S - среднеквадратическое отклонение; Emax = 3,7; Emin = 2,3.

S =

RS = (3,7 + 2,3) / 2,6 = 2,31

Расчетное значение не попадает в интервал (2,7 - 3,7). Следовательно, не выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию не адекватна.

Построенная модель не вполне адекватна (т. к. не выполняется соответствие ряда остатков нормальному закону распределения).

3) Оценим точность построенной модели.

Оценку будем проводить на основе относительной ошибки аппроксимации.

Табл. 5

Регрессионная статистика
Множественный R	0,982471865
R-квадрат	0,965250965
Нормированный R-квадрат	0,960286817
Стандартная ошибка	2,777460299
Наблюдения	9

Средняя относительная ошибка аппроксимации = 2,78% < 5%.

Следовательно, модель достаточно точна.

4) Строим прогноз по построенным моделям. Доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%.

Вычислим точечный прогноз на два шага вперед. Подставим в полученную модель будущие моменты времени (10 и 11)

Y10 = a0 + a1*t = 17,3 + 5*10 = 67,3 (млн. руб.)

Y11 = a0 + a1*t = 17,3 + 5*11 = 72,3 (млн. руб.)

Вычислим интервальный прогноз.

Доверительный интервал:

Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности р = 0,7; н = n - 2 = =9 - 2=7), равен: t= 1,12

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

,

где Se = 2,8; tб = 1,12;

Вычисляем верхнюю границу прогноза.

Y10 + U(10) = 67,3 + 4, 80 = 72,1

Y11 + U(11) = 72,3 + 5, 36 = 77,66

Вычисляем нижнюю границу прогноза.

Y10 - U(10) = 67,3 - 4,80 = 62,5

Y11 - U(11) = 72,3 - 5,36 = 66,94

Табл. 6

Показатель	Ширина доверительного интервала	Точечный прогноз	Интервальный прогноз
			Нижняя граница	Верхняя граница
10	4,80	67,3	62,5	72,1
11	5,36	72,3	66,94	77,66

5) Представим графически результаты моделирования и прогнозирования для этого составим таблицу:

Рис. 6. Прогноз спроса на две недели вперед

4. Рассчитать параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий

При строительстве участка автодороги длиной 5000 м используют гравий, расход которого составляет 120 кг/м. Сроки строительства составляют 150 дней. Работа идет в одну смену. Расход гравия равномерный. Гравий доставляется грузовыми машинами, емкостью 8 т, в течение 8 часов. Затраты на один рейс грузовика равны 1000 руб. Затраты на хранение гравия на месте строительства составляют 150 руб. в сутки за тонну.

Определить: оптимальный объем заказа; количество грузовых машин, используемых для доставки; период поставок; точку заказа; совокупные затраты на заказ и хранение за всю стройку. Постройте график двух последних циклов изменения запаса гравия на месте строительства.

Дано:

T = 150 дней;

М = 0,120 т/м · 5000 м / 150 дн. = 4 т/день;

h = 150 руб./т в сутки;

K = 1000 руб./рейс;

t = 8 ч = 0,33 дня;

Емкость грузовика - 8 т.

Определить: Qопт, период поставок, Z150(Q), точку заказа, построить графики двух последних циклов изменения запаса.

Решение:

1. Количество автомобилей, необходимых для доставки гравия:

,

т. е. для доставки необходим один грузовой автомобиль.

2. Совокупные издержки на заказ и хранение за сутки:

3. Совокупные издержки за 150 дней:

Z150(Q) = Z1(Q) 150 = 1095,5 150 = 164 325 руб.

4. Частота поставок (количество поставок за весь период строительства):

0,55 зак./день * 150 дн.= 82,5 ? 83 поставки.

5. Периодичность поставок (интервал между поставками):

т. е. один автомобиль приходит каждые два дня.

Точка заказа:

Каждый раз, когда на стройке остается 1,32 т гравия, делается новый заказ на 7,3 т.

6. График двух последних циклов изменения запаса гравия построим по таблице:

Табл. 7

t, дни	Запасы	Пояснения
0	7,3	Номер поставки 76
1,658	1,32	Точка заказа
2	0	Прибытие машины
2	7,3	Номер поставки 77
3,658	1,32	Точка заказа
4	0	Прибытие машины

Список используемой литературы

1) Орлов И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учеб. пособие. - М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2010.

2) Орлов И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. - М.: Вузовский учебник, 2009.

3) Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели.- М.:ЮНИТИ, 2008.

Размещено на Allbest.ru

...