Финансовая математика

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра Экономико-математических методов и моделей

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

«Финансовая математика»

Проверил:

Ст. преподаватель

Концевая Наталья Валерьевна

Выполнил:

Раннева О.Н.

Специальность: ФиК

Группа№221405

Москва 2012г.

Задача 1

Имеются поквартальные данные о кредитах, выданных банком (в условных единицах)

Строка соответствует году, столбец - кварталу

	1-кв.	2-кв.	3-кв.	4-кв.
1-й год	39,0	50,0	59,0	38,0
2-й год	42,0	54,0	66,0	40,0
3-й год	45,0	58,0	69,0	42,0
4-й год	50,0	62,0	74,0	46,0

Требуется :

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора и приведенных ниже параметров сглаживания

Параметры сглаживания альфа1 альфа2 альфа3

Значения параметров 0,3 0,6 0,3

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации и средней квадратической ошибки

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования случайной остаточной компоненты по критерию пиков

Оценить независимость уровней для рада остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,1 и d2=1,37) или по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32)

При исследовании нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию критическими уровнями считать 3,0-4,21.

4) Построить точечный прогноз на четыре шага вперед т,е. На 1 год

5)Отобразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные

Решение:

1)Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса

Для оценки нач. значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значения ряда

адаптивный мультипликативный сглаживание прогноз

Линейная модель имеет вид :

t	y(t)	лин. модель y(t)	F(t)=y(t)/модель y(t)
1	39,00	45,33	0,86
2	50,00	46,24	1,08
3	59,00	47,14	1,25
4	38,00	48,05	0,79
5	42,00	48,95	0,86
6	54,00	49,86	1,08
7	66,00	50,76	1,30
8	40,00	51,67	0,77

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного

Уравнения а(0) и b(0).

A	b
44,43	0,90

=ОТРЕЗОК(B28:B35;A28:A35) =НАКЛОН(B28:B35;A28:A35)

Зная a(0), b(0) , параметры сглаживания и коэффициенты сезонности рассчитаем параметры модели на момент t=1

Уравнение Yp(t) = [a(t-1)+1*b(t-1)] * F(t-L) для t=1 примет вид [ a(0) + b(0) ] * F(-3)

Yp(1) = [ 44,43 + 0,90 ] * 0,86 = 38,94

Уравнение a(t) = альфа1*Y(t)/F(t-L) + (1-альфа1) * [a(t-1)+b(t-1)] для t=1 примет вид

a(1)=альфа1*Y(1)/F(-3)+(1-альфа1)*{a(0)+b(0)} = 0,3 * 39,0 / 0,86

+ 0,7 * ( 44,43 + 0,90 ) = 45,35

Уравнение b(t) = альфа3*[a(t)-a(t-1)] + (1 - альфа3)*b(t-1) для t=1 примет вид

b(1)=альфа3*[a(1) - a(0)] + (1 - альфа3) * b(0) = 0,3 * ( 45,35 -

- 44,43 ) + 0,7 * 0,90 = 0,91

Уравнение F(t) = альфа2*Y(t)/a(t) + (1-альфа2)*F(t-L) для t=1 примет вид

F(1)= альфа2*Y(1)/a(1) + (1-альфа2)*F(-3) =

0,6 * 39,0 / 45,35 + 0,4 * 0,86 =0,86

Определив для t=1 значения Y(1), a(1), b(1), F(1) по приведенному выше алгоритму определим эти значения для t= 2, 3, ... , 16.

Квартал	Объем кредитования
	y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	модель y(t)
-3				0,86
-2	альфа 1	альфа 2	альфа 3	1,08
-1	0,30	0,60	0,30	1,28
0		44,43	0,90	0,78
1	39,00	45,35	0,91	0,86	38,94
2	50,00	46,24	0,90	1,08	50,06
3	59,00	46,87	0,82	1,27	60,14
4	38,00	47,95	0,90	0,79	37,32
5	42,00	48,85	0,90	0,86	41,99
6	54,00	49,80	0,91	1,08	53,82
7	66,00	51,15	1,04	1,28	64,19
8	40,00	51,75	0,91	0,78	41,15
9	45,00	52,57	0,88	0,86	45,27
10	58,00	53,48	0,89	1,08	57,90
11	69,00	54,22	0,85	1,28	69,62
12	42,00	54,72	0,74	0,77	42,91
13	50,00	56,32	1,00	0,88	47,56
14	62,00	57,28	0,99	1,08	62,13
15	74,00	58,19	0,96	1,27	74,33
16	46,00	59,28	1,00	0,77	45,68

Для того, чтобы модель была адекватна исследуемому процессу ряд остатков E(t) должен обладать свойствами

а) случайности,

б) независимости последовательных уровней и

в) нормальности распределения

остатки e(t)	e(t)^2	Повороты	(e(t)-e(t-1))^2	(e(t)*e(t-1))^2	Относит. Ошибка
					abs(e(t)/y(t)
0,06	0,00	-			0,14%
-0,06	0,00	0	0,01	0,00	0,12%
-1,14	1,31	1	1,18	0,07	1,94%
0,68	0,46	1	3,32	-0,78	1,79%
0,01	0,00	1	0,45	0,00	0,01%
0,18	0,03	0	0,03	0,00	0,34%
1,81	3,28	1	2,65	0,33	2,75%
-1,15	1,33	1	8,78	-2,09	2,88%
-0,27	0,08	0	0,77	0,32	0,61%
0,10	0,01	1	0,14	-0,03	0,17%
-0,62	0,38	0	0,52	-0,06	0,90%
-0,91	0,83	1	0,08	0,56	2,17%
2,44	5,95	1	11,21	-2,22	4,88%
-0,13	0,02	0	6,61	-0,32	0,21%
-0,33	0,11	1	0,04	0,04	0,45%
0,32	0,10	-	0,43	-0,11	0,70%
0,98	13,90	9,00	36,24	-4,28	20,05%	сумма
0,06	0,87		2,42	-0,29	1,25%	Среднее знач.

Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда сравниваем с двумя соседними.

Общее число поворотных точек ровно 9.

Поскольку неравенство p>q

То свойство случайности уровней выполнено.

Проверка независимости (отсутствия автокорреляции)

Проверку проводим двумя методами:

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона ;

б) по первому коэффициенту автокорреляции r(1).

d pac=?(ei-ei-1)^2/?e(t)^2

2,78

d1 pac=4-d pac

1,22

d pac превышает 2,то это свидельствует о наличии отрицательной автокорреляции.Так как расчетное значение d1 попадает в интервал от d2 до 2. Свойство независимости выполняется. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверка по первому коэффициенту автокорреляции r(1)

Рассчитали r(1) по формуле -0,31

r(1)= [СУММ (E(t)* E(t-1))] / [СУММ(E(t)^2]= -4,28 / 13,91

Из условия задачи критическ. r= 0,32

уровни независимы,модель адекватна

Соответствие ряда остатков нормальному распределению

определяем по RS - критерию

S=КОРЕНЬ[(СУММ(E(t)^2/(N-1)] = 0,962509996

R/S=(emax-emin)/S 3,729796441

Выполняется нормальный закон распределения.

Оценим точность построенной модели

Средняя по модулю относительная погрешность рассчитывалась из соотношения

Eотн,сред=1/.N * СУММ{abs(E(t))/Yр(t)x100%} = 20,05/16 = 1,25

Уровень точности удовлетворительный.

Составим точечный прогноз на 1 год вперед с t=17 по t=20

Прогнозные значения на k шагов вперед рассчитываем по формуле

Yp(t+k)= [ a(t) + k*b(t) ] * F(t - 4 + k) для t=16 имеет вид Yp(16+k)=[a(16)+k*b(16)] * F(16 - 4 + k)

Yp(17)=[ a(16)+1*b(16)]*F(16- 4 + 1)= 52,79

Yp(18)= [a(16)+2*b(16)]*F(16 -4 +2)= 66,37

Yp(19)= [ a(16)+3*b(16)]*F(16-4+3)= 79,31

Yp(20)=[a(16)+4*b(16) *F(16-4+4)= 49,01

Задача 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней.
Дни t	Максимальная цена за день Н(t)	Минимальная цена за день L(t)	Цена закрытия, С(t)
1	2	3	4
1	595	580	585
2	579	568	570
3	583	571	578
4	587	577	585
5	586	578	582
6	594	585	587
7	585	563	565
8	579	541	579
9	599	565	599
10	625	591	618

Интервал сглаживания принять равным 5 дням. Рассчитать:

· экспоненциальную скользящую среднюю;

· Момент;

· Скорость изменения цен;

· Индекс относительности %R,%K и %D/

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Находим коэффициент k k=2/(10+1) = 0,18

Находим простую среднюю за 10 дней.

Дальнейшие значения рассчитываем по формуле ЕМА(t) = C(t)*k+EMA(t-1)*(1-k)

дни	цены	Средние
	макс	мин	закр	Простая	Экспоненциальная
1	595	580	585	k=2/(n+1)	585,00
2	579	568	570	0,18	582,27
3	583	571	578		581,50
4	587	577	585		582,13
5	586	578	582	580,00	582,11
6	594	585	587	580,40	583,00
7	585	563	565	579,40	579,73
8	579	541	579	579,60	579,59
9	599	565	599	582,40	583,12
10	625	591	618	589,60	589,46

Момент MOM(t)=C(t) - C(t-n+1), где C(i) - цена закрытия i-го дня

Для t=5 вносим разность значений 585-582

для t=6 вносят 570-587 и т.д.

Аналогично рассчитывают скорость изменения цен по ф-ле ROC(t)= [C(t) / C(t-n+1)] *100%

Расчеты приведены в таблице.

дни	цены	Средние
	макс	мин	закр	Простая	Экспоненциальная
1	595	580	585	k=2/(n+1)	585,00
2	579	568	570	0,18	582,27
3	583	571	578		581,50
4	587	577	585		582,13
5	586	578	582	580,00	582,11
6	594	585	587	580,40	583,00
7	585	563	565	579,40	579,73
8	579	541	579	579,60	579,59
9	599	565	599	582,40	583,12
10	625	591	618	589,60	589,46

RSI(t) = 100 - 100 / [1+AU(t) / AD(t) ] где AU и AD сумма приростов и убыли конечных цен за n дней, включая текущий.

дни	цены
	макс	мин	закр
1	595	580	585
2	579	568	570
3	583	571	578
4	587	577	585
5	586	578	582
6	594	585	587
7	585	563	565
8	579	541	579
9	599	565	599
10	625	591	618
приросты	Индекс относит силы RSI (t)
с(t)-c(t-1)
-15,00
8,00
7,00
-3,00	45,45
5,00	86,96
-22,00	32,43
14,00	43,18
20,00	63,93
19,00	70,67

Момент сравниваем с 0,если меньше 0,то цены падают, как это происходит на 5,7 и 8 день.

ROC сравниваем относительно 100,меньше 100 то цены падают, как это происходит на 5,7 и 8 дни.

Простая скользящая средняя и экспоненциальная скользящая средняя являются наиболее простыми методами сглаживания данных.

Если простая скользящая средняя находится под графиком цен, тренд является «бычьим», если над графиком - «медвежьим».Если простая скользящая средняя пересекает ценовой график и идет под графиком цен - это сигнал к покупке. У нас есть сигнал к продаже на 6-7 день и к покупке на 8 день.

RSI-На 5 день не стоит покупать, скорее это является сигналом к продаже, так как уже мы находимся в зоне перекупленности, значит будет скорее всего разворот тренда. Лучше всего начать покупать на 7-8 день цены снижаются, но есть тенденция к повышению.

Когда значение %K выше 80, то это может быть знаком на продажу. Только может быть; для большей вероятности надо проделать более детальный анализ инструмента. С другой стороны, когда осциллятор находится ниже линии в 20, то это может быть знаком на покупку.

Менее значительными, но все-таки сигналами, являются пересечения осциллятором своей неразлучной среднескользящей линии. Если %K пересекла %D сверху вниз, -- это может быть знак на продажу, а если снизу вверх -- на покупку. Но эти пересечения могут случаться очень часто, особенно на быстрых стохастиках, и поэтому являются менее значимыми.

По сути стохастические осцилляторы дают сигнал к покупке на 8ой день

Задача 3

Сумма	Дата начальная	Дата конечная	Время в днях	Время в годах	Ставка	Число начислений
S	Tн	Tк	Тдн	Тлет	i	m
4 000 000,00	10.01.2002	20.03.2002	90	5	45	4
	69				0,45

1. Банк выдал ссуду, размером 4 000 000 руб. Дата выдачи ссуды - 10.01.2002, возврата - 20.03.2002. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 45% годовых.

Найти:

точные проценты с точным числом дней ссуды

I= S*t*i/K= 4 000 000*69*0,45/365 = 340 273,97

обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

I= 4 000 000*69*0,45/360 = 345 000,00

обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

I= 4 000 000*70*0,45/360 = 350 000,00

2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 4000000 руб. Кредит выдан под 45% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт.

Дисконтирование и учет по простым ставкам(математический)

P= S/(1+i*Tдн/360) =4 000 000/(1+0,45*90/360) = 3 595 505,62

D= S-P =4 000 000-3 595 505,62 404 494,38

3. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 4 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 45% годовых ( год равен 360 дням). Определить полученную предприятиям сумму и дисконт.

Банковский учет

D= S*i*Tдн/360= 4 000 000*0,45*90/360= 450 000,00

P= S-D = 4 000 000-450 000 = 3 550 000,00

4. В кредитном договоре на сумму 4 000 000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 45% годовых. Определить наращенную сумму.

Сложные проценты

P= S*(1+i)^Tлет = 4 000 000*(1+0,45)^5 25 638 936,25

5. Ссуда, размером 4 000 000 руб. предоставлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка - 45%. Проценты начисляются 4 раза в год. Вычислить наращенную сумму.

Сложные проценты с ежеквартальным начислением

P= S*(1+i/m)^Tмес./3= 4 000 000*(1+0,45/4)^60/3= 33 733 420,84

6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 45% годовых.

iэ= (1+i/m)^m-1 =(1+0,45/4)^4-1=0,531792993 т.е. 53,18%

7. Определить какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в год, чтобы обеспечить эффективную ставку 45% годовых.

j= m*(1*i)^(1/m)-1 =4*(1*0,45)^(1/4)-1=0,389367987 т.е. 38,94%

8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 4 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 45% годовых. Математический учет.

P= S*(1+i)^(-Tлет)= 4 000 000*(1+0,45)^(-5) = 624 050,85

9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 4 000 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 45% годовых. Определить дисконт.

P= S*(1-i)^Tлет = 4 000 000*(1-0,45)^5= 201 313,75

D= S-P =4 000 000- 201 313,75 3 798 686,25

10. В течении 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 4 000 000 руб., на которые 4 раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 45%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

S= S*((1+i)/m)^(Тлет*m))/(1+i /m)^m-1) = 4070284

Размещено на Allbest.ru

...