Парная регрессия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Парная регрессия

1. В таблице 1 приведены данные о среднедушевом прожиточном минимуме в день одного трудоспособного (x) и среднедневной заработной плате y (руб.).

По этим данным построено поле корреляции (рис.1). По нему трудно сделать однозначный вывод о форме связи между x и y: связь может быть и линейной, и степенной (нелинейной). Для расчёта параметров уравнения парной регрессии построим вспомогательную таблицу 2.

Коэффициент уравненияx линейной регрессии y = b0+b1• x найдём по формулам:

;

У нас =19069,6 94,9 198,6 9091,9

Подставляя, получаем: b1=2,590 b0=-47,196

2. Уравнение парной регрессии:

y =-47,196+ 2,59 •x

Из него следует, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 рубль среднедушевая ставка заработной платы возрастает в среднем на 2,59 рубля

3. На поле корреляции сплошной линией нанесена линия регрессии.

Для оценки силы связи между x и y вычислим коэффициент парной корреляции:

Sx , Sy -- выборочные среднеквадратические отклонения x и y.

Таким образом, связь между среднедушевым прожиточным минимумом и средней заработной платой сильная и положительная.

Коэффициент детерминации:

0,75

Это означает, что вариация заработной платы (Y) на 75% объясняется вариацией фактора X -- среднедушевым прожиточным минимумом и на 25% -- остальными (неучтёнными) факторами.

Оценим качество полученной модели. Оно определяется средней относительной ошибкой аппроксимации :

, где

По таблице 2 =6,33% , что говорит о высокой точности аппроксимации.

Таблица 1

X	85	87	93	97	104	87	91	113	106	86
Y	157	169	198	225	214	203	198	246	217	159



Таблица 2

	xi	yi	xiyi	xi2	yi2	y	yi-yi	(yi-yi)2	Ai
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	85	157	13345	7225	24649	172,96	-15,958	254,672	0,1016
2	87	169	14703	7569	28561	178,14	-9,139	83,513	0,0541
3	93	198	18414	8649	39204	193,68	4,321	18,672	0,0218
4	97	225	21825	9409	50625	204,04	20,961	439,358	0,0932
5	104	214	22256	10816	45796	222,17	-8,170	66,741	0,0382
6	87	203	17661	7569	41209	178,14	24,861	618,092	0,1225
7	91	198	18018	8281	39204	188,50	9,501	90,273	0,0480
8	113	246	27798	12769	60516	245,48	0,520	0,270	0,0021
9	106	217	23002	11236	47089	227,35	-10,350	107,115	0,0477
10	86	159	13674	7396	25281	175,55	-16,548	273,853	0,1041
Сумма	949	1986	190696	90919	402134			1952,559	0,6332
Ср.значение	94,9	198,6	19069,6	9091,9	40213,4			195,256	0,0633

4. Средний коэффициент эластичности.

Коэффициенты эластичности: .

По данным Таблицы 1.

Таким образом, увеличение среднедушевого прожиточного минимума на 1% приводит к увеличению среднедневной заработной платы на 1,24%.

5. Оценка статистической значимости параметров линейной регрессии.

Оценку статистической значимости параметра b1 выполним с помощью t-критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу Н0 о статистически незначимом отличии коэффициента от нуля: b1=0.

Рассмотрим величину (стандартная ошибка оценки b1)

(по колонке 9 Табл.2)

Фактическое значение t-критерия

корреляция регрессия эластичность коэффициент

Табличное значение tтаб для числа степеней свободы k = n - 2 = 10 - 2 = 8 при заданном уровне значимости ?=0,05 составляет tтаб=2,31.

Так как фактическое значение t-критерия превосходит табличное , то гипотеза Н0 отклоняется и параметр b1 является статистически значимым.

Аналогичные расчёты проведём для оценки значимости b0:



Фактическое значение t-критериев для b0 и коэффициента корреляции:

Для коэффициента b0 , поэтому коэффициент b0 статистически незначим.

Для коэффициента корреляции , поэтому коэффициент rxy статистически значим (ему можно доверять).

Интервальная оценка коэффициентов b0 и b1

Найдём с вероятностью 95% предельную ошибку для каждого показателя:

50,83=117,4

0,53=1,231

Тогда интервал для коэффициента b0:

-47,2-117,4?b0?-47,2+117,4

-164,6?b0?70,2

Тогда интервал для коэффициента b1:

2,59-1,231?b1?2,59+1,231

1,36?b1?3,82

Таким образом, с надёжностью 0,95 интервал [-165-70,2] накрывает неизвестный коэффициент b0, а интервал [1,36-3,82] -- коэффициент b1.

6. Прогноз заработной платы

1. Прогнозное значение прожиточного минимума:

=1,07·94,9 = 101,54

При этом зар.плата на основе модели линейной регрессии

-47,2 +2,59•101,54=215,8

Стандартная ошибка прогноза

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составляет

2,31•16,76 =38,7 рублей

Поэтому доверительный интервал прогноза:

101,54-38,7 101,54+38,7 или

62,8140,3

Таким образом, при среднедушевом прожиточном минимуме 101,54 рубля средняя заработная плата с надёжностью 0,95 находится в пределах 62,8-140,3 рублей



7. Гиперболическая регрессионная модель.

Построим степенную парную регрессию в виде зависимости

Произведём замену переменных

Аналогичные расчёты для нахождения коэффициентов b0'и b1 проводим в Таблице 4.

=198,6-(-24786)•0,01063=462,2

Линейное уравнение имеет вид:

Y=462,2-24786•X

Переходя к гиперболической функции, получаем окончательно:

y

В колонке 7 Таблицы 4 записаны значения , вычисленные по этой формуле.

В колонке 8 -- отклонения

В колонке 9 -- квадрат отклонения

Для оценки тесноты связи между переменными y и x в нелинейной модели вычислим индекс корреляции:



1783,6 7714,4 (сумма по колонке 10)

Индекс корреляции:

коэффициент детерминации:

Средняя ошибка аппроксимации 6,0%

Рассчитаем критерий Фишера: .

Табличное значение =5,32 определяем с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР по уровню значимости и числам свободы и . Поскольку , то можно сделать вывод о пригодности такой модели.

Таблица 4

	Xi	Yi	XiYi	Xi2	Yi2	Y	yi-yi	(yi-yi)2		Ai
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	4,443	5,06	22,46	19,74	25,566	171,643	-14,643	214,41	1690,67	0,09
2	4,466	5,13	22,91	19,94	26,316	176,855	-7,855	61,70	847,84	0,05
3	4,533	5,29	23,97	20,54	27,966	192,696	5,304	28,13	0,01	0,03
4	4,575	5,42	24,78	20,93	29,334	203,422	21,578	465,59	722,66	0,10
5	4,644	5,37	24,92	21,57	28,794	222,497	-8,497	72,20	252,25	0,04
6	4,466	5,31	23,73	19,94	28,230	176,855	26,145	683,55	23,84	0,13
7	4,511	5,29	23,85	20,35	27,966	187,383	10,617	112,73	0,01	0,05
8	4,727	5,51	26,03	22,35	30,309	247,565	-1,565	2,45	2292,71	0,01
9	4,663	5,38	25,09	21,75	28,943	228,016	-11,016	121,35	356,54	0,05
10	4,454	5,07	22,58	19,84	25,694	174,245	-15,245	232,40	1530,20	0,10
Сумма	45,482	52,81	240,32	206,95	279,117	1981,177		1994,52	7716,73	0,64
Ср.значение	4,548	5,28	24,03	20,70	27,912	198,118				0,06376

8. Степенная регрессия.

Построим степенную парную регрессию в виде зависимости

Логарифмируя, получаем уравнение +b1• X, где

Аналогичные расчёты для нахождения коэффициентов b0'и b1 проводим в Таблице 5.

=5,28-4,548•1,286=-0,569

Линейное уравнение имеет вид:

Y=-0,569+1,286•X

Переходя к степенной функции, получаем окончательно:

y=0,566•x1,286

В колонке 7 Таблицы 4 записаны значения , вычисленные по этой формуле.

В колонке 8 -- отклонения

В колонке 9 -- квадрат отклонения

Для оценки тесноты связи между переменными y и x в нелинейной модели вычислим индекс корреляции:

1995

7717 (сумма по колонке 10)

Индекс корреляции:

коэффициент детерминации:

Средняя ошибка аппроксимации 6,4%

Таким образом, эта ошибка практически равна ошибке линейной модели, но вычисления для такой модели более трудоёмкие, поэтому линейная модель предпочтительнее.

Таблица 5

	Xi	Yi	XiYi	Xi2	Yi2	Y	yi-yi	(yi-yi)2		Ai
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	4,443	5,06	22,46	19,74	25,566	182,102	-50,102	2510,20	3487,27	0,38
2	4,466	5,13	22,91	19,94	26,316	148,629	-21,629	467,82	4102,80	0,17
3	4,533	5,29	23,97	20,54	27,966	187,383	-56,383	3178,99	3606,38	0,43
4	4,575	5,42	24,78	20,93	29,334	156,218	-36,218	1311,76	5048,54	0,30
5	4,644	5,37	24,92	21,57	28,794	208,833	-54,833	3006,70	1372,93	0,36
6	4,466	5,31	23,73	19,94	28,230	174,245	-31,245	976,23	2309,10	0,22
7	4,511	5,29	23,85	20,35	27,966	244,751	-91,751	8418,17	1448,04	0,60
8	4,727	5,51	26,03	22,35	30,309	230,787	-81,787	6689,07	1768,46	0,55
9	4,663	5,38	25,09	21,75	28,943	176,855	-51,855	2688,95	4363,01	0,41
10	4,454	5,07	22,58	19,84	25,694	200,729	-54,729	2995,24	2029,78	0,37
Сумма	45,482	52,81	240,32	206,95	279,117	1910,531		32243,12	29536,32	3,79
Ср.значение	4,548	5,28	24,03	20,70	27,912	191,053				0,37949



Модель	Индекс детерминации	Средняя относительная ошибка детерминации
Линейная	0,75	6,3%
Гиперболическая	0,77	6,0%
Степенная	0,74	6,37%

Таким образом, гиперболическая модель является более точной, чем линейная и степенная.

Задача 2

Исходные данные:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x1	4,1	4	4,2	5	4,6	5,1	6,2	4,9	6,2	7	7,5	7,4
x2	11	15	16	16	17	20	20	21	21	20	22	21
y	7	7	7	7	7	7	8	9	8	10	10	11

1. Линейное уравнение множественной регрессии для двух переменных x1 и x2 записывается в виде:

Запишем исходные данные в виде матриц:

Тогда вектор параметров линейной регрессии находится по матричной формуле

xt -- транспонированная матрица x

После расчётов получим:

Поэтому уравнение линейной регрессии имеет вид:

Оно показывает, что при увеличении основных средств на 1 рубль валовой доход увеличивается на 0,966 рубля, а при увеличении оборотных средств на 1 рубль валовой доход увеличивается на 0,01 рубля.

2. Для нахождения остальных статистических характеристик регрессионной модели составим Таблицу 1.

	x1	x2	yi	x12	X22	yi2	x1iyi	x2iyi	x1ix2i	yi	e2i		Ai
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1	4,1	11	7	16,81	121	49	28,7	77	45,1	6,723	0,077	0,08	0,04
2	4	15	7	16	225	49	28	105	60	6,667	0,111	0,11	0,05
3	4,2	16	7	17,64	256	49	29,4	112	67,2	6,870	0,017	0,02	0,02
4	5	16	7	25	256	49	35	112	80	7,643	0,414	0,41	0,09
5	4,6	17	7	21,16	289	49	32,2	119	78,2	7,267	0,071	0,07	0,04
6	5,1	20	7	26,01	400	49	35,7	140	102	7,781	0,609	0,61	0,11
7	6,2	20	8	38,44	400	64	49,6	160	124	8,843	0,711	0,71	0,11
8	4,9	21	9	24,01	441	81	44,1	189	102,9	7,598	1,967	1,97	0,16
9	6,2	21	8	38,44	441	64	49,6	168	130,2	8,853	0,728	0,73	0,11
10	7	20	10	49	400	100	70	200	98	9,616	0,147	0,15	0,04
11	7,5	22	10	56,25	484	100	75	220	136,4	10,119	0,014	0,01	0,01
12	7,4	21	11	54,76	441	121	81,4	231	147	10,013	0,975	0,97	0,09
Сумма	66,2	220	98	383,52	4154	824	558,7	1833	1171	97,993	5,842	5,84	0,86
Ср.значение	5,52	18,33	8,17	31,96	346,17	68,67	46,56	152,75	97,58	8,17	0,49	0,49	0,07

Коэффициенты эластичности: ; . По данным Таблицы 1.

Таким образом, увеличение переменных x1 и x2 на 1% приводит к увеличению валового дохода на 0,65% (для x1) и увеличению на 0,023% (для x2).

3. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии:

-- диагональный элемент матрицы

По данным Таблицы 1 5,84

По данному числу степеней свободы k=9 и заданному уровню значимости б = 0,05 табличное значение t-критерия tтабл=2,2622.

Фактическое значение t-критерия tфакт по данным выборки для коэффициентов:

Так как , то коэффициент b1 статистически значим, а b2 статистически незначимы и в модели не обязателен.

Множественный коэффициент детерминации

Матричное произведение 818,2

из итоговой строки колонки 7 таблицы. Поэтому

Этот коэффициент корреляции R2 показывает, что вариация валового дохода Y на 55% объясняется изменением включенных в модель факторов -- основных и оборотных средств. Остальные 25% приходятся на неучтённые факторы.

Скорректированный коэффициент детерминации

Скорректированный коэффициент детерминации незначительно отличается от нескорректированного, что говорит о достаточной точности полученной модели.

Значимость уравнения регрессии по F-критерию Фишера

Из таблицы критических значений для критерия Фишера по уровню значимости б=0,05 и числу степеней свободы k1=p=2 и k2=n-p+1=9 находим Fтаб л= 4,26.

Так как F>Fтабл, то мы делаем вывод, что уравнение регрессии значимо и исследуемая зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включёнными в регрессионную модель переменными x1 и x2.

4. Частные F-критерии Fx1 и Fx2 оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора. Критерий Fx1 оценивает целесообразность включения в уравнение фактора x1 после того, как в него был включён фактор x2 . Соответственно Fx2 указывает на целесообразность включения в модель фактора x2после фактора x1.

, где

77,97 Fтабл =4,26, , поэтому целесообразно включение в уравнение фактора x1 после того, как в него был включён фактор x2.

Второй частный критерий

Аналогично рассчитываем

Так как , то включение фактора x2 после фактора x1 оказывается бесполезным и модель описывается одним фактором x1.

Задача 3

Исходные данные:

Значение спроса yi по годам t.

Год, t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Спрос	209	185	229	261	249	287	340	357	347	355	369	377	371	385	390	396

Решение:

1. Среднее значение спроса за 16 лет:

Дисперсия спроса:

Среднее квадратическое отклонение 68,6

Найдём коэффициент автокорреляции r(ф) для ф =1

yt	209	185	229	261	249	287	340	357	347	355	369	377	371	385	390
yt+1	185	229	261	249	287	340	357	347	355	369	377	371	385	390	396

4711 4898

1548577 1661712

1600675

Тогда

Найдём коэффициент автокорреляции r(ф) для ф =2

yt	209	185	229	261	249	287	340	357	347	355	369	377	371	385
yt+2	229	261	249	287	340	357	347	355	369	377	371	385	390	396

4321 4713

1396477 1627487

1500980

По аналогичной методике найдём r(3) и r(4) :

ф	r(ф)
1	0,9509
2	0,9144
3	0,9041
4	0,8668

Коррелограмма:



По коррелограмме можно сделать вывод, что ряд имеет тренд и не является стационарным.

Так как

2. Для получения уравнения тренда через систему нормальных уравнений запишем необходимые суммы ряда

	Год, t	Спрос, yi	tiyi	t2	yi2
	1	209	209	1	43681
	2	185	370	4	34225
	3	229	687	9	52441
	4	261	1044	16	68121
	5	249	1245	25	62001
	6	287	1722	36	82369
	7	340	2380	49	115600
	8	357	2856	64	127449
	9	347	3123	81	120409
	10	355	3550	100	126025
	11	369	4059	121	136161
	12	377	4524	144	142129
	13	371	4823	169	137641
	14	385	5390	196	148225
	15	390	5850	225	152100
	16	396	6336	256	156816
Сумма	136	5107	48168	1496	1705393

5107 1705393 48168

Коэффициенты b0 и b1 линейного уравнения тренда:

Уравнение тренда: 200,2 + 14,0•t

Для проверки значимости полученного уравнения регрессии вычислим фактическое значение F-статистики Фишера:

Поэтому

Табличное значение F-статистики Фишера Fтабл = 5,99. Так как F> Fтабл, то уравнение тренда статистически значимо.

3. Сглаживание временного ряда

Мы сглаживаем данные по трём годам: m=3.

Скользящее среднее в этом случае

В итоге получим сглаженный ряд:

Год, t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Спрос		207,7	225,0	246,3	265,7	292,0	328,0	348,0	353,0	357,0	367,0	372,3	377,7	382,0	390,3

Сглаживание по четырём годам:

Год, t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Спрос			226,0	243,8	270,4	296,3	320,5	341,3	353,4	359,5	365,0	371,8	378,1	383,1

Исходный и сглаженный ряд для m=3 и m=4 приведены на следующем графике:



4. Проверка наличия автокорреляции возмущения по критерию Дарбина-Уотсона:

Из таблицы 3 =6643 =8704

Откуда 0,76

Фактическое значение d сравним с табличными значениями при 5% уровне значимости. При n=16 и k1=1 (число объясняющих факторов модели) нижнее значение d равно 1,1, а верхнее 1,37. 4-1,37=2,63 4-1,1 = 2,9

Так как выполняется условие , то присутствует положительная автокорреляция

Таблица 3

Год, t	Спрос, yt	yt	yt-yt=et	e2t	et-1	(et-et-1)2
1	209	214,22	-5,22	27,25
2	185	228,22	-43,22	1867,64	-5,22	1443,66
3	229	242,21	-13,21	174,55	-43,22	900,26
4	261	256,21	4,79	22,97	-13,21	324,16
5	249	270,20	-21,20	449,56	4,79	675,77
6	287	284,20	2,80	7,85	-21,20	576,21
7	340	298,19	41,81	1747,73	2,80	1521,34
8	357	312,19	44,81	2007,96	41,81	9,03
9	347	326,19	20,81	433,25	44,81	575,79
10	355	340,18	14,82	219,61	20,81	35,95
11	369	354,18	14,82	219,74	14,82	0,00
12	377	368,17	8,83	77,93	14,82	35,95
13	371	382,17	-11,17	124,72	8,83	399,82
14	385	396,16	-11,16	124,62	-11,17	0,00
15	390	410,16	-20,16	406,38	-11,16	80,92
16	396	424,15	-28,15	792,67	-20,16	63,93
Сумма:				8704,431		6642,797



Список использованной литературы

1. Эконометрика: учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. -М.: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.

2. Практикум по эконометрике: учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 192 с.

3. Эконометрика: учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311 с.

4. Талызин В.А. Сборник задач по эконометрике: учебное пособие. - Казань: РИЦ «Школа», 2009. -112с.

Размещено на Allbest.ru

...