Экономико-математические методы и модели
Межотраслевой баланс и теория матричных игр. Оптимальные стратегии компаний и нахождение нижней и верхней чистых цен игр. Определение типа системы массового обслуживания и ее характеристики. Размеченный граф состояний системы. Модели управления запасами.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.02.2014 |
| Размер файла | 73,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
16
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Контрольная работа
по дисциплине «Исследование операций»
Студентки 3 курса
Ляшкевич Юстины
Минск 2013
Содержание
- 1. Теория матричных игр
- 2. Системы массового обслуживания
- 3. Модели управления запасами
- 4. Модель межотраслевого баланса
- Список использованной литературы
1. Теория матричных игр
Две конкурирующие компании участвуют в реконструкции пяти объектов. Прибыль компаний зависит от капитальных вложений в объекты и условий инвестирования. Считается, что прибыль (млрд. ден. ед.) первой компании равна величине убытка второй и представлена платежной матрицей.
Требуется найти оптимальные стратегии компаний (вычисления проводить в следующей последовательности: найти нижнюю и верхнюю чистые цены игры; указать максиминную и миминимаксную стратегии игроков; выполнить возможные упрощения платежной матрицы; найти оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры, сведя ее к задаче линейного программирования).
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
В5 |
||
|
A1 |
7 |
8 |
6 |
2 |
3 |
|
|
A2 |
1 |
2 |
2 |
3 |
-1 |
|
|
A3 |
-1 |
4 |
4 |
0 |
4 |
|
|
A4 |
2 |
5 |
3 |
4 |
4 |
|
|
A5 |
-1 |
0 |
-2 |
2 |
-4 |
Решение
Выполним возможные упрощения платежной матрицы.
Элементы первого столбца меньше соответствующих элементов второго столбца (7 < 8; 1 < 2; -1 < 4; 2 < 5; -1 < 0). Значит, игроку В, стремящемуся минимизировать проигрыш, выгоднее применять стратегию В1, чем стратегию В2.
Элементы четвертого столбца также меньше (либо равны) соответствующих элементов второго столбца (3 < 8; -1 < 2; 4 = 4; 4 < 5; -4 < 0).
Значит, игроку В, стремящемуся минимизировать проигрыш, выгоднее применять стратегию В4, чем стратегию В2.
Следовательно, правомерно опустить доминирующий второй столбец.
Матрица принимает вид:
|
B1 |
B3 |
B4 |
В5 |
||
|
A1 |
7 |
6 |
2 |
3 |
|
|
A2 |
1 |
2 |
3 |
-1 |
|
|
A3 |
-1 |
4 |
0 |
4 |
|
|
A4 |
2 |
3 |
4 |
4 |
|
|
A5 |
-1 |
-2 |
2 |
-4 |
Элементы первой строки больше (или равны) соответствующих элементов пятой строки (7 > -1; 6 > -2; 4 = 4; 3 > -4), а элементы четвертой строки больше соответствующих элементов второй строки (2 > 1; 3 > 2; 4 > 3; 4 > -1).
Поэтому игроку А, стремящемуся максимизировать выигрыш, выгоднее применять стратегии А1 и А4, чем стратегии А5 и А2.
Опускаем доминируемые вторую и пятую строки:
|
B1 |
B3 |
B4 |
В5 |
||
|
A1 |
7 |
6 |
2 |
3 |
|
|
A3 |
-1 |
4 |
0 |
4 |
|
|
A4 |
2 |
3 |
4 |
4 |
Элементы столбца B4 меньше (или равны) соответствующих элементов столбца B5, следовательно, можно опустить столбец В5:
|
B1 |
B3 |
B4 |
||
|
A1 |
7 |
6 |
2 |
|
|
A3 |
-1 |
4 |
0 |
|
|
A4 |
2 |
3 |
4 |
Элементы строки А1 больше (или равны) соответствующих элементов строки А3, следовательно, можно опустить строку А3.
|
B1 |
B3 |
B4 |
||
|
A1 |
7 |
6 |
2 |
|
|
A4 |
2 |
3 |
4 |
Проверим, не имеет ли игра седловой точки, т.е. решения в чистых стратегиях.
Для этого найдем нижнюю () и верхнюю (в) цену игры:
= aij = max (2; 3; 2) = 2;
в = aij = (7; 4) = 4.
Так как ? в, то игра не имеет седловой точки, т.е. не имеет решения в чистых стратегиях, а чистая цена игры = 2 v в = 4.
Изобразим полученную задачу графически.
Размещено на http://www.allbest.ru/
16
Ординаты точек, принадлежащих ломаной B4MB?1, определяют минимальный проигрыш игрока 2 при применении им любых смешанных стратегий. Эта максимальная величина является минимальной в точке М. Следовательно, этой точке соответствует оптимальная стратегия Y* = (1 - y, y), ее абсцисса равна цене игры v. Координаты точки М находим как координаты точки пересечения прямых B1B'1 и B4B'4.
Таким образом, можно найти оптимальную стратегию при помощи матрицы
Оптимальные стратегии для игрока В можно найти из системы уравнений:
|
7q + 2(1 - q) = v 2q + 4(1 - q) = v |
5q + 2 = v -2q + 4 = v |
5q + 2 = -2q + 4; q = ; 1 - q = v = 5 · + 2 = = |
Следовательно Q* = (; 0; 0; ; 0) при цене игры v = .
С учетом симметричности матрицы получаем, оптимальные стратегии для игрока А: Р* = (; 0; 0; ; 0).
Ответ: Р* = (; 0; 0; ; 0), Q* = (; 0; 0; ; 0), v = .
2. Системы массового обслуживания
В заданиях этого раздела необходимо:
1) определить тип системы массового обслуживания;
2) выписать характеристики системы;
3) составить размеченный граф состояний системы;
4) найти требуемые параметры.
Автоматическая мойка может принять на обслуживание 3 машины. В очереди могут находиться не более 4 машин. В среднем машины прибывают через 4 мин., а средняя продолжительность мойки - 10 минут. Считая все потоки простейшими, определить показатели эффективности работы автоматической мойки.
Решение
Единицей измерения времени выберем 1 час.
По условию число каналов n = 3, число мест в очереди m = 4, интенсивность потока заявок л = = 15 маш./час, интенсивность потока обслуживания м = = 6.
Нагрузка системы с = = = 2,5.
Автоматическая мойка представляет собой многоканальную (трехканальную) систему обслуживания с ограниченной очередью.
Число возможных состояний системы n + m + 1 = 3 + 4 + 1 = 8.
Составим размеченный граф состояний.
Размещено на http://www.allbest.ru/
16
Вычислим вероятность того, что приехавшая машина заявка застанет автомойку полностью свободной.
P0=== (1 + 2,5 + 3,125 + 2,6042 + 6,7415)-1 = = 0,0626, или 6,26%.
Вычислим вероятность отказа:
Ротказа = · Р0 = · 0,0626 = 0,0786, или 7,86%.
Относительная пропускная способность:
Q = Робслуживания = 1 - Ротказа = 1 - 0,0786 = 0,9214, или 92,14%.
Абсолютная пропускная способность:
А = л · Q = 15 · 0,9214 = 13,8205 машины в час.
Вычислим среднее число заявок в очереди:
Lq=Р0=0,0626=4,2212 машины
Среднее время ожидания заявки в очереди:
Wq = = = 0,2814 часа, или 17 минут.
Среднее число занятых каналов:
= = = 2,3034.
Вычислим среднее число заявок в системе:
Ls = Lq + = 4,2212 + 2,3034 = 6,5246.
Среднее время пребывания заявки в системе:
Ws = Wq + ? 0,2814 + = 0,4350 часа, или 26 минут.
Автоматическая мойка свободна 6,26% времени. Отказ в обслуживании могут получить 7,86% прибывающих машин, мойка способна обслужить около 13,8 машины в час, средняя длина очереди составляет около 4,2 машины, в очереди машина может провести около 17 минут, в очереди в среднем находятся около 6,5 машин, среднее время, которое проводит машина на автоматической мойке, составляет около 26 минут.
Система не нуждается в улучшении.
3. Модели управления запасами
стратегия управление запасы матричный
Потребность цеха в заготовках составляет 32 тыс. шт. в год. Дефицит не допускается. Издержки размещения заказов составляют 53 ден. ед., издержки содержания 1 заготовки в течение года - 5 ден. ед. Среднее время реализации заказа - 10 дней.
Определить: оптимальную партию поставок; периодичность возобновления поставок; суммарные годовые затраты; точку размещения заказов; построить график изменения уровня запасов и отметить на нем моменты времени размещения заказов.
Решение
За единицу измерения времени выберем год.
Введем условные обозначения:
н = 36000 шт. в год - интенсивность спроса (потребность цеха в заготовках);
K = 53 ден. ед. -- издержки размещения заказа;
s = 5 ден. ед. в год -- удельные издержки хранения;
и = года -- среднее время реализации заказа.
Так как потребность цеха в заготовках (спрос) н является постоянным и дефицит не допускается, то имеет место простейшая однопродуктовая модель.
Оптимальный объём партии q* определим по формуле Уилсона:
q* = = = 873 шт.
Оптимальный интервал времени между двумя поставками ф* - по формуле:
ф* = = = 0,0243 года = 0,0243 · 365 ? 9 дней.
Суммарные годовые затраты L* вычислим как
L* = s · q* = 5 · 873 = 4365 (ден. ед.).
Заказ должен размещаться в момент времени, когда величина наличного запаса для систем без дефицита составит
r = ин - = · 36000 - · 873 ? 113 (шт.).
Момент времени подачи заявки на новую поставку найдем из уравнения
q* - н · t = r,
откуда
t = (q* - r) / н = (873 - 113) / 36000 ? 0,0211 года ? 8 дней.
Цех должен заказывать по 873 шт. заготовок каждые 9 дней. Заказ на поставку новой партии должен размещаться на 8 день после предшествующей поставки, когда величина наличного запаса составит 113 шт. заготовок.
При этих условиях суммарные годовые затраты будут минимальными и составят 4365 ден. ед.
Для построения графика, отражающего динамику изменения запасов, составим вспомогательную таблицу 1, в которой t - время, I - уровень запасов.
Таблица 3.1
|
t |
0 |
ф* |
ф* |
2ф* |
2ф* |
|
|
I |
q* |
0 |
q* |
0 |
q* |
Подставим в табл.1 значения оптимальных параметров, получим табл.2.
Таблица 3.2
|
t |
0 |
9 |
9 |
18 |
18 |
|
|
I |
873 |
0 |
873 |
0 |
873 |
Построенная диаграмма представлена на рис. 1.
Рис. 3.1 - Динамика изменения уровня запасов
4. Модель межотраслевого баланса
модель межотраслевой матричный массовый граф
В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (усл. ден. ед.).
|
Отрасль |
Производственное потребление |
Конечное потребление |
Валовой выпуск |
|||
|
Машиностроение |
Энергетика |
Транспорт |
||||
|
Машиностроение |
11 |
7 |
8 |
9 |
35 |
|
|
Энергетика |
8 |
9 |
14 |
11 |
42 |
|
|
Транспорт |
14 |
7 |
11 |
18 |
50 |
Требуется вычислить необходимый объем валового выпуска и величины производственного потребления каждой отрасли на предстоящий период, если вектор конечного потребления будет иметь вид:
Y = .
Решение
Элементы матрицы прямых затрат определяются формулой
aij = xij / Xj,
где xij - производственное потребление i-й отраслью продукции j-й отрасли, Xj - валовой выпуск j-й отрасли.
Находим матрицу прямых затрат:
А = = .
При известной матрице прямых затрат А и векторе конечного потребления Y вектор валового выпуска Х определяется формулой
Х = (Е - А)-1Y,
где Е - единичная матрица, (Е - А)-1 - матрица, обратная матрице (Е - А).
Находим:
Е - А = ;
(Е - А)-1 = ;
X = · = = .
Итак, необходимый объем валового выпуска: машиностроение должно выпустить продукции на 39,886 усл. ден. ед., энергетика - на 41,750 усл. ден. ед., транспорт - 52,452 усл. ден. ед.
Величины производственного потребления отраслей находим по формуле
xij = aij · Xj.
Получаем:
{xij} = = .
Таким образом, получили баланс на предстоящий период (усл. ден. ед.).
|
Отрасль |
Производственное потребление |
Конечное потребление |
Валовой выпуск |
|||
|
Машиностроение |
Энергетика |
Транспорт |
||||
|
Машиностроение |
12,536 |
6,958 |
8,392 |
12 |
39,886 |
|
|
Энергетика |
9,117 |
8,946 |
14,687 |
9 |
41,750 |
|
|
Транспорт |
15,955 |
6,958 |
11,540 |
18 |
52,452 |
Список использованной литературы
1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник / Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. - 3-е изд., перераб. - М.: Издательство «Дело и Сервис», 2001. - 368 с. - (Серия «Учебники МГУ им. М.В. Ломоносова»).
2. Руководство к решению задач по математическому программированию: Учеб. пособие / А. В. Кузнецов, Н. И. Холод, Л. С. Костевич; Под общ. ред. А. В. Кузнецова. - 2-е изд., перераб. и доп. - Мн.: Выш. шк., 2001. - 488 с.: ил.
3. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Мат. программирование: Учеб. пособие / А. В. Кузнецов, В. А. Сакович, Н. И. Холод и др.; Под общ. ред. А. В. Кузнецова, Р. А. Рутковского. - 2-е изд., перераб. и доп. - Мн.: Выш. шк., 2002. - 487 с.: ил.
4. Черняк А. А., Новиков В. А., Мельников О. И., Кузнецов А. В. Высшая математика на базе MathCAD / Учебное пособие. - Мн.: МИТСО, 2003. - 272 с.
5. Экономико-математические методы и модели: Задания и методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения. - [Электронный ресурс]. - 895Кб. - Мн.: БНТУ; Кафедра «Высшая математика №3», 2012. - 54 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие и критерии оценивания системы массового обслуживания, определение ее типа, всех возможных состояний. Построение размеченного графа состояний. Параметры, характеризующие ее работу, интерпретация полученных характеристик, эффективность работы.
контрольная работа [26,2 K], добавлен 01.11.2010Составление экономико-математической модели плана производства продукции. Теория массового обслуживания. Модели управления запасами. Бездефицитная простейшая модель. Статические детерминированные модели с дефицитом. Корреляционно-регрессионный анализ.
контрольная работа [185,7 K], добавлен 07.02.2013Моделирование процесса массового обслуживания. Разнотипные каналы массового обслуживания. Решение одноканальной модели массового обслуживания с отказами. Плотность распределения длительностей обслуживания. Определение абсолютной пропускной способности.
контрольная работа [256,0 K], добавлен 15.03.2016Определение назначения и описание системы массового обслуживания на примере производственной системы по выпуску печенья. Анализ производственной системы с помощью балансовой модели. Определение производительности системы: фактической и потенциальной.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 10.01.2021Построение модели многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием, а также использованием блоков библиотеки SimEvents. Вероятностные характеристики аудиторской фирмы как системы массового обслуживания, работающей в стационарном режиме.
лабораторная работа [191,5 K], добавлен 20.05.2013Цель математического моделирования экономических систем: использование методов математики для эффективного решения задач в сфере экономики. Разработка или выбор программного обеспечения. Расчет экономико-математической модели межотраслевого баланса.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 02.10.2009Моделирование экономических систем: основные понятия и определения. Математические модели и методы их расчета. Некоторые сведения из математики. Примеры задач линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования.
лекция [124,5 K], добавлен 15.06.2004Построение модели управления запасами в условиях детерминированного спроса. Методы и приемы определения оптимальных партий поставки для однопродуктовых и многопродуктовых моделей. Определение оптимальных параметров системы управления движением запасов.
реферат [64,5 K], добавлен 11.02.2011Схема управления запасами для определения оптимального количества запасов. Потоки заказов, время отгрузки как случайные потоки с заданными интенсивностями. Определение качества предложенной системы управления. Построение модели потока управления запасами.
контрольная работа [361,3 K], добавлен 09.07.2014Содержание и построение экономико-математических методов. Роль оптимальных методов в планировании и управлении производством. Экономико-математические модели оптимальной загрузки производственных мощностей. Отраслевое прогнозирование и регулирование.
контрольная работа [62,1 K], добавлен 30.08.2010Общие понятия теории массового обслуживания. Особенности моделирования систем массового обслуживания. Графы состояний СМО, уравнения, их описывающие. Общая характеристика разновидностей моделей. Анализ системы массового обслуживания супермаркета.
курсовая работа [217,6 K], добавлен 17.11.2009Суть характеристики межотраслевых производственных взаимосвязей в экономике страны, их экономико-математическая балансовая модель, выражение в денежной и натуральной формах. Отражение промежуточного потребления и системы производственных связей и ВВП.
контрольная работа [30,9 K], добавлен 14.01.2010Разработка системы массового обслуживания с ожиданием, частичной взаимопомощью между каналами и ограниченным временем нахождения заявки в системе. Создание аналитической и имитационной модели, проверка ее адекватности. Описание блок-схемы алгоритма.
контрольная работа [280,8 K], добавлен 18.11.2015Описание проблемы оптимального управления запасами предприятия. Разработка модели оптимальной стратегии заказа новой партии товара. Основные стоимостные характеристики системы для построения модели. Программная реализация, результаты выполнения программы.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 09.09.2017Построение экономико-математической модели задачи, комментарии к ней и получение решения графическим методом. Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
контрольная работа [2,2 M], добавлен 27.03.2008Функциональные характеристики системы массового обслуживания в сфере автомобильного транспорта, ее структура и основные элементы. Количественные показатели качества функционирования системы массового обслуживания, порядок и главные этапы их определения.
лабораторная работа [16,2 K], добавлен 11.03.2011Решение задач линейного программирования на примере ПО "Гомсельмаш". Алгоритм и экономико-математические методы решения транспортной задачи. Разработка наиболее рациональных путей, способов транспортирования товаров, оптимальное планирование грузопотоков.
курсовая работа [52,3 K], добавлен 01.06.2014Нахождение начального опорного плана методом минимальной стоимости, оптимизация его методом потенциалов. Решение задачи о назначениях с заданной матрицей затрат. Построение набора дуг, соединяющих все вершины сети и имеющих минимальную протяженность.
контрольная работа [341,0 K], добавлен 24.04.2012Основы теории матричных игр. Причины неопределенности результата. Смешанные стратегии в матричных играх. Свойства решений. Определение смешанных стратегий с использованием геометрической интерпретации. Нахождение неотрицательных решений неравенств.
контрольная работа [132,8 K], добавлен 13.04.2014Построение одноиндексной математической модели задачи линейного программирования, ее решение графическим методом. Разработка путей оптимизации сетевой модели по критерию "минимум исполнителей". Решение задачи управления запасами на производстве.
контрольная работа [80,8 K], добавлен 13.12.2010
