Чисельне дослідження процесів адвекції-дифузії у середовищах із тонкими неоднорідностями

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Серед сучасних проблем математичного моделювання важливе місце посідає дослідження процесів адвекції-дифузії у неоднорідних середовищах. Це пов'язано із широким спектром застосувань математичних моделей, що описують такі явища, при розв'язуванні задач мікроелектроніки, гідродинаміки, фізіології, перенесення забруднень у ґрунтах та інших задачах екології, тощо. Для багатьох досліджуваних областей характерними особливостями є наявність у них тонких прошарків чи каналів із відмінними від основного середовища властивостями. Такі неоднорідності породжують значні труднощі при використанні відомих підходів до розв'язання згаданих задач. Крім цього, більшість задач такого класу передбачає ще й відмінності у типах перенесення субстанції у тонких прошарках чи каналах. Найпростішою з них є існування поряд із дифузійним перенесенням - адвективного. Це характерно, наприклад, для середовища ґрунту з колодязями, залишками кореневих систем у задачах екології, для кровоносної системи організму людини при дослідженні перерозподілу кисню у задачах фізіології і т.п. Незначне ускладнення формул на етапі побудови математичної моделі, пов'язане із врахуванням адвекції у тонких включеннях, може приводити до надскладних проблем при застосуванні чисельних методів.

В даний час у теорії чисельних методів розв'язування задач математичної фізики найбільш глибокі й довершені результати отримані при розгляді задач із самоспряженими операторами. Це відноситься як до методів, які базуються на скінченнорізницевих апроксимаціях, так і до методів на основі скінченно-елементних апроксимацій. Стосовно до задач із не самоспряженими операторами, до яких відноситься задача адвекції-дифузії, виникають проблеми, пов'язані зі стійкістю та збіжністю чисельних схем.

Дисертаційна робота присвячена побудові та дослідженню математичних моделей та чисельних алгоритмів розв'язування важливих у практиці задач адвекції-дифузії у тонких криволінійних шарах чи осесиметричних каналах та середовищах з ними, що описуються системами параболічних рівнянь з диференціальними операторами різної вимірності за просторовими змінними.

Моделі такого типу відносяться до, так званих, гетерогенних (multifields). У роботах A. Quarteroni вводиться і обґрунтовується підхід, який полягає у розробці таких моделей, що дає можливість зменшувати значні складнощі, які з'являються при чисельному розв'язуванні широкого класу практичних задач, що описуються диференціальними рівняннями у часткових похідних. Використання гетерогенного підходу породжується однією із трьох наступних причин:

фізичною, коли різні фізичні явища зустрічаються в окремих місцях середовища й описуються диференціальними рівняннями в часткових похідних різної природи;

математичною, коли порядок вимірності деяких частин даного диференціального рівняння в часткових похідних знижується в під областях, породжуючи гетерогенну крайову задачу;

чисельною, коли багато типів чисельних методів застосовується одночасно до розв'язання задач.

В запропонованих у дисертаційній роботі гетерогенних моделях рівняння адвекції-дифузії пониженої вимірності у тонкому включенні й дифузії - в середовищі поєднуються умовами спряження. Таким чином, шляхом додавання до них початкових та граничних умов, отримується нова математична модель, що описується початково-крайовою задачею для системи диференціальних рівнянь у часткових похідних.

Існують альтернативні підходи до побудови математичних моделей задач адвекції-дифузії у середовищах із тонкими неоднорідними включеннями. Відомими у цьому напрямку є роботи вітчизняних авторів І.В. Сергієнка, В.В. Скопецького, В.С. Дейнеки, І.І. Ляшка, І.М. Молчанова, Т.Ю.Благовіщенської, присвячені конструюванню математичних моделей впливу тонких включень на процеси дифузійного перенесення в областях складної структури. В.В. Скопецьким та В.С. Дейнекою були розроблені моделі, що враховують вплив довільно орієнтованих тонких включень на дифузійні процеси в оточуючих середовищах через спеціальний вигляд умов спряження, які одержали назву неоднорідних умов спряження неідеального контакту. При цьому постановка задач одержала вигляд змішаної крайової задачі з можливими розривами у розв'язку та потоці.

Відомими роботами у напрямку моделювання процесів поведінки розв'язку задач адвекції-дифузії у тонких покриттях та включеннях є праці Я.С. Підстригача, Г.С. Кіта, М.Г. Крівцуна, П.Р. Шевчука, Н.П. Флейшмана. У цих роботах процес перенесення субстанції у тонкому покритті моделювався шляхом запису спеціальних граничних умов. Я.Г. Савулою, І.І. Дияком була запропонована математична модель тепломасоперенесення у середовищах із тонкими неоднорідностями та покриттями, що описувалася некласичною початково-крайовою задачею, яка складається із системи рівнянь математичної фізики, що містять диференціальні оператори різної вимірності за просторовими змінними.

Ефективне розв'язування розглядуваних початково-крайових задач можливе при використанні таких потужних чисельних методів як варіаційно-різницевий метод (ВРМ) та метод скінченних елементів (МСЕ), які часто об'єднують під назвою ”проекційно-сіткових” методів. Значний вклад у розвиток цих методів внесли I. Babushka, O. Zienkievich, А.Г. Агошков, Г.І. Марчук, С.Г. Міхлін, J.T. Oden, К. Ректорис, А.А. Самарський.

На даний час немає серйозної альтернативи рекурентним схемам інтегрування варіаційних задач у часі. Тому в роботі використовуються відомі підходи, описані в працях К. Бате, Є. Вілсона, А.А. Самарського, Г.І. Марчука, T.J.R. Huges.

Різниця у способах перенесення у включеннях та середовищі породжує значні незручності при чисельному розв'язуванні задач пов'язані з відомим проявом нестійкості чисельних схем при розв'язуванні багатьох реальних задач. Причиною цієї нестійкості є перевага адвективного перенесення над дифузійним, що характеризується числом Пекле. У сучасній літературі роботи з дослідженням проблем удосконалення та покращення проекційно-сіткових методів для таких задач є достатньо популярними.

Отже, побудова математичних моделей задач адвекції-дифузії у середовищах із тонкими включеннями, варіаційне їх формулювання, дослідження існування та єдиності розв'язків варіаційних задач, конструювання чисельних схем їх розв'язування є актуальною і важливою прикладною задачею.

Метою даної роботи є побудова та дослідження математичних моделей нестаціонарних процесів адвекції-дифузії у середовищах із тонкими неоднорідними включеннями.

Для досягнення цієї мети в процесі досліджень вирішувались наступні задачі:

Ш формулювання нових математичних моделей нестаціонарних процесів адвекції дифузії у тонких включеннях та середовищах із ними;

Ш постановка відповідних варіаційних задач та обґрунтування їх коректності;

Ш розробка чисельних алгоритмів із залученням апроксимацій методу скінчених елементів за просторовими змінними та одно крокових рекурентних схем інтегрування за змінною часу;

Ш дослідження задач з великими числами Пекле;

Ш оцінка точності та збіжності наближених розв'язків основних класів задач;

Ш побудова програмного забезпечення для розв'язання поставлених задач.

Наукова новизна одержаних результатів:

Ш отримано гетерогенні математичні моделі нестаціонарної адвекції-дифузії у середовищах із включеним тонким криволінійним шаром чи осесиметричним каналом;

Ш в областях тонких включень (криволінійному шарі й осесиметричному каналі) та в середовищах із ними побудовано варіаційні задачі та досліджено їх коректність;

Ш здійснено розробку чисельних алгоритмів із використанням напівдискретизацій Гальоркіна та одно крокових рекурентних схем інтегрування за змінною часу;

Ш проведено аналіз можливостей використання запропонованих чисельних схем до реальних задач із великими числами Пекле та запропоновано методики їх удосконалення;

Ш розроблено комплекс прикладних програм, що дозволяють визначати концентрацію субстанції у середовищах описаного типу.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується математичною строгістю й коректністю постановок задач, фізичною інтерпретацією отриманих чисельних результатів та їх узгодженням із відомими у літературі теоретичними та експериментальними даними, а також аналізом поведінки наближених розв'язків на різних просторових сітках та в часі.

Практичне значення одержаних результатів полягає в побудові та обґрунтуванні математичних моделей процесів адвекції-дифузії у тонких криволінійних шарах чи осесиметричних каналах та середовищах із неоднорідними включеннями у вигляді таких шарів чи каналів, що можуть використовуватися при моделюванні багатьох фізичних явищ. Створений комплекс програм може застосовуватися до розрахунку полів концентрацій субстанції: у тонких криволінійних і осесиметричних областях із врахуванням адвекції та дифузії; у середовищах із включеними тонким криволінійним шаром чи осесиметричним каналом.

Особистий внесок здобувача у роботах, виконаних у співавторстві, полягає в участі у постановці математичних задач, розробці чисельних алгоритмів, програмній реалізації проблемних модулів, інтерпретації отриманих чисельних результатів.

1. Характеристичний аналіз сучасного стану проблем математичного моделювання у задачах адвекції-дифузії для середовищ із тонкими неоднорідними включеннями

Здійснено огляд різних підходів до розв'язання таких задач та запропоновано гетерогенний підхід, який дозволяє уникати багатьох складностей, що виникають при дослідженні явищ адвекції-дифузії у середовищах вказаного типу. У цьому розділі звернено увагу також на практичну важливість урахування адвекції в областях тонких включень. При цьому зазначено, що така особливість перенесення приводить до значних проблем на етапі використання чисельних методів. Обговорено відомі шляхи подолання цих проблем і виділено найбільш ефективні та нові.

2. Математичні моделі адвекції-дифузії у тонких криволінійних шарах та осесиметричних каналах, а також у середовищах із ними на прикладі задачі теплопровідності

У криволінійних координатах , пов'язаних з серединною кривою розглядається шар.

Вважатимемо заданим у системі координат вектор , що характеризує швидкість адвективного перенесення тепла . При цьому відмітимо, що у такому поданні вектор швидкості задовольняє рівняння нерозривності .

Запишемо рівняння теплопровідності в області , де функція розподілу температури:

.

об'ємна теплоємність:

,

,

,

,

, .

Розподіл температури Т, враховуючи малу товщину шару, подамо у вигляді лінійного закону за змінною .

Нехай:

, - теплові потоки на та відповідно, тоді основні співвідношення початково-крайової задачі із крайовими умовами теплообміну за Ньютоном допускають векторне подання.

Математична модель адвекції-дифузії у плоскому та осесиметричному каналах. При побудові математичної моделі адвекції-дифузії у тонкому плоскому симетричному та осесиметричному каналі:

зважаючи на малу товщину каналу, зроблено припущення ,

У таких припущеннях математична модель адвекції-дифузії у плоскому та осесиметричному каналах включає основне рівняння

,

де: - у випадку плоскої задачі, - у випадку осесиметричної задачі.

Гетерогенна математична модель адвекції-дифузії у середовищі із включеним тонким криволінійним шаром включає співвідношення отримані для тонкого криволінійного каналу рівняння теплопровідності в областях

Висновки

Стан питання. Проблема дослідження процесів адвекції-дифузії у неоднорідних середовищах, які описують різні фізичні явища в науці й техніці являє собою складну математичну задачу. Її розв'язанню присвячена велика кількість наукових праць, розвинуто ряд підходів, зокрема, таких, які базуються на застосуванні потужних чисельних методів, якими є метод скінчених елементів та метод скінчених різниць. Один із важливих підходів до дослідження задач адвекції-дифузії у неоднорідних середовищах базується на використанні гетерогенних математичних моделей. У рамках цього підходу в дисертаційній роботі розв'язується наукове завдання побудови та дослідження математичних моделей адвекції-дифузії у середовищах із тонкими неоднорідностями.

При цьому в роботі отримані такі основні результати.

Запропоновані математичні моделі пониженої вимірності задач адвекції-дифузії в областях тонких включень у вигляді криволінійних шарів чи осесиметричних каналів. Вони забезпечують врахування малої товщини включень, дають можливість отримати ефективні алгоритми розв'язування задач у тонких областях та отримати чисельні розв'язки на їх основі. Важливо також, що їх використання дає можливість у достатньо простий спосіб побудувати математичні моделі у середовищах із включеними тонкими неоднорідностями шляхом введення спеціальних умов спряження на границях з основним середовищем.

Побудовані гетерогенні математичні моделі задач адвекції-дифузії у середовищах із тонкими неоднорідностями у вигляді тонких криволінійних шарів та осесиметричних каналів. Гетерогенний характер цих моделей обумовлений різною вимірністю ключових рівнянь в основному середовищі та включенні, а також різною фізичною природою перенесення в основному середовищі (дифузія) та включенні (адвекція-дифузія). На етапі побудови алгоритмів чисельних методів їх гетерогенність обумовлена також використанням скінченно-елементних апроксимацій різної вимірності.

На основі сформульованих математичних моделей адвекції-дифузії у тонких криволінійних шарах чи осесиметричних каналах побудовані варіаційні постановки та досліджено питання їх коректності у вигляді сформульованих теорем існування та єдиності слабкого розв'язку.

Побудовані та досліджені відповідні гетерогенні варіаційні постановки задач адвекції-дифузії у середовищах із тонкими включеннями. Сформульовані та доведені теореми існування та єдності слабкого розв'язку, а також теореми про збіжність і стійкість чисельних схем.

На основі варіаційного підходу розроблені алгоритми розв'язування всіх сформульованих задач. Реалізація цих алгоритмів здійснена на мові С++ у вигляді пакетів прикладних програм. Використовуючи створене програмне забезпечення, розглянуто ряд тестових задач, на яких досліджено питання чисельної реалізації методів скінчених елементів та скінчених різниць, отримано та проаналізовано чисельні розв'язки.

Запропоновано варіанти стабілізації чисельних схем для задач адвекції-дифузії з домінуючою адвекцією (задач із великими числами Пекле). Розроблено метод стабілізації чисельних схем із застосуванням апроксимацій високих порядків, що будуються на основі використання поліномів Лежандра та модифікований стабілізаційний метод залишково вільних бульбашок (МСМЗВБ) на основі відомого стабілізаційного методу residual free bubble (RFB, CМЗВБ) із більш широким спектром застосування. Порівняльний аналіз алгоритмів стабілізації для задач із великими числами Пекле показав, що найбільш ефективним підходом до чисельної реалізації гетерогенної математичної моделі для задач адвекції-дифузії у середовищах із тонкими неоднорідностями є підхід, що базується на використанні апроксимацій високих порядків.

З точки зору практичного значення та розширення сфери подальшого використання запропонованих гетерогенних моделей можна розглядати також задачі адвекції-дифузії у середовищах, складовими частинами яких вважаються області побудованих моделей, тобто у середовищах із багатьма включеними шарами чи каналами достатньо віддаленими один від одного. Реальні потреби у моделюванні процесів у таких середовищах диктуються, наприклад, задачами перенесення забруднень у ґрунтах, задачами теплоперенесення у технічних пристроях, таких як теплообмінники, і т.п.

математичний апроксимація рекурентний адвекція

Література

Савула Я.Г., Чапля Є.Я., Кухарський В.М. Чисельне моделювання тепломасопереносу через тонкий криволінійний шар // Доповіді Національної академії наук України. - 1995. - № 11. - С.30-33.

Савула Я.Г., Чапля Є.Я., Кухарський В.М. Чисельне моделювання конвективного теплопереносу в середовищі з тонким капіляром // Вісник Львівського університету. Сер. мех.-мат. - 1995. - Вип.41. - С.101-105.

Кухарський В.М., Савула Я.Г. Використання проекційно-сіткових методів до розв'язання задач адвекції-дифузії у тонких криволінійних каналах // Вісник Львівського університету. Сер. мех.-мат. - 1998. - Вип. 50. - С.148-152.

Савула Я.Г., Кухарський В.М. Математичне моделювання тепломасопереносу в середовищах з тонкими неоднорідностями // Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції ”Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях”. - Львів. - 1994. - С.74.

Савула Я.Г., Чапля Є.Я., Кухарський В.М., Ковалів Р.А.Чисельне моделювання тепломасопереносу в середовищах з мікронеоднорідностями // Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції ”Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях”. - Львів. - 1995. - С.75.

Савула Я.Г., Чапля Є.Я., Кухарський В.М. Математичні моделі теплопровідності в середовищах з тонкими покриттями і включеннями // Тези доповідей Міжнародної науково-технічної конференції “Досвід розробки та застосування приладо-технологічних САПР мікроелектроніки”. - Львів. - 1995. - Ч.2. - С.147.

Размещено на Allbest.ru