Использование математических методов в решении задач по экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1. Пассажирскому предприятию необходимо перевезти пассажиров по трём направлениям, имея в наличие два вида автотранспорта. Требуется составить план расстановки автотранспорта с перевозной способностью а₁ =400; а₂ =200 пассажиров при котором достигается:

1. минимальное значение удельного показателя: Е=F/R;

F-валютные доходы;

R-эксплуатационные расходы.

2. максимальное значение валютных доходов;

3. составить двойственную задачу к задаче пункта (2), используя свойства двойственности;

4. двойственную задачу решить графическим методом;

5. прямую задачу решаем симплекс-методом.

Валютные доходы	Эксплуатационные расходы
1	3	5	3	5	9
8	4	7	7	6	2

Решение

1. Определим минимальное значение удельного показателя: Е=F/R:

1) Идентифицируем переменные.

Пусть по трем направлениям имея в наличие, два вида автотранспорта будет выделен автотранспорт:

- по первому направлению первого вида транспорта;

- по второму направлению первого вида транспорта;

- по третьему направлению первого вида транспорта;

- по первому направлению второго вида транспорта;

- по второму направлению второго вида транспорта;

- по третьему направлению второго вида транспорта.

2) Определим систему ограничений. Зная эксплуатационные расходы и перевозную способность, получим:

Причем, , где , .

3) Установим целевую функцию:

.

В результате получим следующую задачу линейного программирования:

, , .

2. Определим максимальное значение валютных доходов.

1) Идентифицируем переменные.

Пусть по трем направлениям имея в наличие, два вида автотранспорта будет выделен автотранспорт:

- количество автотранспорта по первому направлению;

- количество автотранспорта по второму направлению;

- количество автотранспорта по третьему направлению;

2) Определим систему ограничений.

Причем, , где .

3) Установим целевую функцию, определяющую максимальное значение валютных доходов:

.

В результате получим задачу линейного программирования:

, .

3. Составим двойственную задачу к задаче пункта (2), используя свойства двойственности:

, .

4. Двойственную задачу решим графическим методом.

1) Определим область допустимых решений:

графический симплекс матрица временной

L ₁: ,

имеет координаты (0; ) и (3; 0).

L₂: ,

имеет координаты (0; ) и (; 0).

L₃: ,

имеет координаты (0; 6) и (; 0).

В результате построим область допустимых решений:

2) Строим вектор-градиент: .

3) В точке А функция имеет минимум, определим координаты этой точки:

4) Определим значение целевой функции в точке А:

.

5. Прямую задачу решаем симплекс-методом, для этого приведем ее к симплекс-методу:

Составим симплекс-таблицу и решим задачу симплекс-методом:

Базисные переменные						Свободные переменные
	3	5		1	0	400
	7	6	2	0	1	200	100
	-9	-7	-12	0	0	0
			1		0
			0		1
	-5		0		0
	0		1
	1		0
	0		0

Получим оптимальное решение:

.

Задание 2. Транспортному предприятию предлагается доставка однородного груза от трёх поставщиков с мощностью А₁=200; А₂=240; А₃=300 т; к потребителям, четырём потребителям с потребностями В₁=150, В₂=120, В₃=220, В₄=250, если матрица транспортных затрат имеет вид:

	В1	В2	В3	В4	Мощность
А1	С11	С12	С13	С14	200
А2	С21	С 22	С23	С24	240
А3	С31	С32	С33	С34	300
Потребности	150	120	220	250

10	12	7	11
9	6	5	9
7	8	11	12



Решение

	В1	В2	В3	В4	Мощность
А1	10	12	7	11 200	200	0
А2	9	6 20	5 220	9	240	-1
А3	7 150	8 100	11	12 50	300	1
Потребности	150	120	220	250
	6	7	6	11

Затраты на перевозку:

f=11*200+6*20+5*220+7*150+8*100+12*50=5870 д.ед.

Проверим план на оптимальность методом потенциалов.

Количество заполненных клеток равно

n+m-1=3+4-1=6.

1) Найдем потенциалы загруженных клеток:

; ;

; ;

; .

2) Оценим свободные клетки:

; ;

; ;

; .

Наличие отрицательных оценок указывает на то, что план необходимо улучшить. Для этого строим цикл и перераспределяем груз. В результате получим следующий план:

	В1	В2	В3	В4	Мощность
А1	10	12	7	11 200	200	0
А2	9	6	5 220	9 20	240	-2
А3	7 150	8 120	11	12 30	300	1
Потребности	150	120	220	250
	8	9	7	11

Затраты на перевозку:

f=11*200+5*220+9*20+7*150+8*120+12*30=5850 д.ед.

1) Найдем потенциалы загруженных клеток:

; ;

; ;

; .

2) Оценим свободные клетки:

; ;

; ;

; .

Нет отрицательных оценок, значит, план оптимален.

Задание 3. Дана матрица прямых затрат:

A=.

Вектор конечного продукта:

Y==.

Требуется составить матрицу полных затрат.

Вычислить:

- вектор валового продукта;

- межотраслевые потоки;

- чистую продукцию;

- материальные затраты.

Составить межотраслевой баланс. Найти необходимое количество трудозатрат, необходимых для производства конечного продукта если затраты живого труда в производственной сфере заданы вектором L (48,6; 84; 40).

A=.

Решение

Матрица полных затрат находится по формуле:

.

Найдем матрицу В:

Е-А=.

Определитель равен:

.

Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы:



;

;

;

;

;

;

;

;

.

Тогда, матрица полных затрат примет вид:

.

Вычислим:

1) Вектор валового продукта:

.

2) Вычислим межотраслевые потоки:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

3) Вычислим чистую продукцию:

514,01-(102,5+257,01+35,98)=118,22;

447,32-(134,02+44,73+53,68)=214,71;

197,54-(79,01+33,58+9,88)=75,06.

4) Вычислим материальные затраты и получим:

A=.



Составим межотраслевой баланс:

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
Промышленность	102,8	134,2	79,01	198	514,01
Сельское хозяйство	257,01	44,73	33,58	112	447,32
Прочие отрасли	35,98	53,68	9,88	98	197,54
Чистая продукция	118,22	214,71	75,06
Валовая продукция	514,01	447,32	197,54

Найдем необходимое количество трудозатрат, необходимых для производства конечного продукта если затраты живого труда в производственной сфере заданы вектором L (48,6; 84; 40).

Коэффициенты прямой трудоемкости найдем по формуле:

, j=1, 2, 3.

;

;

.

Затраты труда:

;

;

.

Полные затраты труда:

.

Задание 4. Пусть для некоторого комплекса работ установлены оценки для каждой работы на уровне нормативных продолжительностей и срочного режима, а также даны стоимости. Информация представлена в таблице

Таблица 1.

	Продолжительность, дни
1-2	2
1-3	8
1-4	6
2-5	9
3-8	8
4-6	2

Требуется рассчитать:

- временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме работ;

- найти критический путь;

- полные резервы времени.

Решение

К временным характеристикам относятся ранние и поздние сроки наступления события. Ранний срок наступления события рассчитывается по формуле:



tp(j) =maх((tp(i) +t(ij)),

где tp(j) -ранний срок наступления предшествующего I события.

t(ij)- работа.

Для расчёта tp(j) для данного комплекса будем считать, что ранний срок наступления 1-го события равно tp(1)=0, тогда для последующих событий будем иметь:

tp(1)= maх(tp(1)=0)

tp(2)= maх(tp(1)+ tp(1,2)) =0+2=2

tp(3)= maх((tp(1)+ tp(1,3))=0+8=8

tp(4)= maх(tp(1)+ tp(1,4))=0+6=6

tp(5)= maх(tp(2)+ tp(2,5))=2+9=11

tp(6)= maх(tp(4)+ tp(4,6)) = 6+2=8

tp(8)= maх(tp(3)+ tp(3,8)) = 8+8=16.

Очевидно, завершающие 5-е, 6-е и 8-е события могут наступить соответственно через 11, 8 и 16 дней от начала выполнения всего комплекса работ. Поздний срок наступления события определяется по формуле:

tп(i)=min(tп(j) - t(ij))

Для расчёта tп(i) для комплекса будем считать, что самый поздний срок наступления 8-го, 9-го и 10-го событий равен соответственно 11, 8 и 16 дням, т.е. раннему сроку наступления 8-го, 9-го и 10-го событий, тогда будем иметь:

tп(8)=16; tп(6)=8; tп(5)=11; tп(4)=6; tп(3)=8; tп(2)=2; tп(1)=0.

Полученный результат говорит о том, что расчёты произведены правильно.

Для определения критического пути составим таблицу.

Работа	Продолжит.	Ранние сроки	Поздние сроки	Полный Резерв	Свободн. Резерв
(i,j)	t(ij)	tp(i)	tp(j)	tп(i)	tп(j)	Rij	rij
1-2	2	0	2	0	2	0	0
1-3	8	0	8	0	8	0	0
1-4	6	0	6	0	6	0	0
2-5	9	2	11	2	11	0	0
3-8	8	8	16	8	16	0	0
4-6	2	6	8	6	8	0	0

Полученные резервы времени показывают на какое время можно задержать наступление того или иного события, не вызывая опасности срыва выполнения комплекса работ. Те события, которые не имеют резервов времени, находятся на критическом пути.

Критический путь это наиболее продолжительный путь сетевого графика, который ведёт к завершению комплекса работ.

Находим критические пути для данного комплекса работ:

Критические пути:

1) (1,2)-(2,5) - 11 дней;

2) (1,3)-(3,8) - 16 дня;

3) (1,4)-(4,6) - 8 дней.

Задание 5. Потребитель приобретает два набора благ (Х₁;Х₂) ,по ценам Р₁; Р₂, доход D у/е. Найти набор благ оптимизирующих функцию полезности. U(Х)>maх. Хj?0, если функции их полезности имеют вид U, потребности заданы матрицей А.

U₁ = 5lnХ₁ +3ln Х₂ ;

U₂ = ln Х₁ +4ln Х₂;

А=

Решение

Пусть - цена единицы первого товара, - цена единицы второго товара.

Составим ограничения и построим функцию Лагранжа:

;

.

Определим частные производные:

Для :

.

Ограничение имеет вид:

.

Для

:

.

Ограничение имеет вид:

.

Составим систему ограничений потребителя:

.

Представим информацию по видам товаров в таблице:

Вид товаров и услуг	Потребители	Спрос
	А	В
Продовольственные товары	6	2	8
Транспорт и услуги	6	9	15

Составим систему равенств по товарам:

Определим и :

.

Подставим значения для и в данную систему уравнений, после преобразований получим систему:

.

Рассчитаем множители Лагранжа:

; .

Рассчитаем спрос каждого потребителя:

; ;

; .



Определим спрос на товары всех видов:

1) ;

2) .

Представим расчеты в таблице:

Вид товаров и услуг	Потребители	Спрос	Цена
	А	В
Продовольственные товары	5,21	2,78	7,99	1
Транспорт и услуги	8,45	6,67	15,12	0,37

Затраты потребителей:

; .

В стоимостном выражении функция спроса составила: 13,59 у.ед.

Задание 6. Инвестор выделяет средства в размере 5 т. д. ед, которые должны быть распределены между тремя предприятиями.

Требуется, используя принцип оптимальности Беллмана, составить план распределения средств между предприятиями, обеспечивающий наибольшую общую прибыль, если каждое предприятие при инвестировании в него средств Х т.д.ед. приносит прибыль U(Х) по следующим данным:

Х	U1Х)	U2Х)	U3Х)
1	8,0	10,46	9,52
2	13,78	16,44	14,82
3	19,16	20,74	24,42
4	23,1	19,32	21,66
5	24,06	9,52	19,58



Решение

С3	Х3
	0	1	2	3	4	5
0	0	-	-	-	-	-	0	0
1	-	9,52	-	-	-	-	9,52	1
2	-	-	14,82	-	-	-	14,82	2
3	-	-	-	24,42	-	-	24,42	3
4	-	-	-	-	21,66	-	21,66	4
5	-	-	-	-	-	19,58	19,58	5
С2	Х2
	0	1	2	3	4	5
0	0	-	-	-	-	-	0	0
1	9,52	10,46	-	-	-	-	10,46	1
2	14,82	19,98	16,44	-	-	-	19,98	1
3	24,42	25,28	25,96	20,74	-	-	25,28	1
4	21,66	34,88	31,26	30,26	19,32	-	34,88	1
5	19,58	32,12	40,86	35,56	28,84	9,52	40,86	2
С1	Х1
	0	1	2	3	4	5
0	0	-	-	-	-	-	0	0
1	10,46	8,0	-	-	-	-	10,46	0
2	19,98	18,46	13,78	-	-	-	19,98	0
3	25,28	27,98	24,24	19,16	-	-	27,98	1
4	34,88	33,28	33,76	29,62	23,1	-	34,88	0
5	40,86	42,88	39,06	39,14	33,56	24,06	42,88	1

Тогда,

U=42,88 X₁=1 X₂=C₁-X₁=5-1=4;

X₂=1 X₃=C₂-X₂=4-1=3; X₃=3.

Ответ: U(1; 1; 3)=42,88 т. д. ед.

Задание 7. Один рабочий обслуживает группу автоматов, состоящую из трёх станков. Поток поступающих требований на обслуживание станков пуассоновский с параметрами л станков в час. Обслуживание одного станка занимает у рабочего t мин, а время обслуживания подчинено экспоненциальному закону при µ =m станков в час.

Необходимо определить:

-число автоматов, ожидающих обслуживание.

- коэффициент простоя автоматов;

- коэффициент простоя рабочего;

1.Обслуживающим каналом является один рабочий (п=1)

2. Общее число требований не может быть больше числа станков (n=3)

3. Система может находится в четырёх состояниях:

-все станки работают;

- один стоит и обслуживается рабочим, два работают;

- два стоят, один обслуживается, один ждёт обслуживания;

-три стоят один из них обслуживается, а два ждут очереди.

Решение

=3, =3, t=9.

=3 станков в час - интенсивности потока входящего;

=3 станков в час - интенсивность потока обслуживания.

Показатель нагрузки СМО:

, .

Вероятность простоя системы:

.

Вероятность отказа равна:

.

Относительная пропускная способность:

.

Абсолютная пропускная способность:

.

Среднее число обслуживаемых клиентов:

.

Среднее число ожидающих в очереди:

.

Среднее число автоматов в системе:

.

Среднее время обслуживания:



(час.).

Среднее время пребывания в очереди:

(час.).

Среднее время пребывания:

(час.).

Размещено на Allbest.ru

...