Математические модели в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

на тему: "Математические модели в экономике"

Задача

По территориям Центрального района известны данные о заработной плате (тыс. руб.) и доли денежных средств (%):

Задание:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи. Объяснить полученный результат.

2. Найти значение линейного коэффициента корреляции и пояснить его смысл.

3. Рассчитать и объяснить значение .

4. Определить параметры уравнения регрессии и интерпретировать их. Объяснить смысл уравнения. (МНК).

5. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом при уровне значимости б = 0,05. (коэф. детерминации).

6. Оценить статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии при уровне значимости б = 0,01.

7. Определить адекватность построенной модели. Сделать выводы.

8. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 20 % от его среднего уровня. Построить доверительный интервал прогноза при уровне значимости б=0,05.

9. На поле корреляции нанести теоретические значения результата. Сравнить линии регрессии.

Решение.

1. Построим поле корреляции и сформулируем гипотезу о форме связи. Объясним полученный результат.

Данные для построения графика:

Рис. 1. Поле корреляции

Из графика видно, что фактические точки выстраиваются в некоторую прямую линию. Это значит, что точки формируют линейную связь. Направление связи прямое, так как с увеличением Х, значение У увеличиваются. Докажем это проведя корреляционный анализ.

2. Найдем значение линейного коэффициента корреляции и поясним его смысл. Практически для количественной оценки тесноты связи широко используют линейный коэффициент корреляции. Иногда его называют просто коэффициентом корреляции. Если заданы значения переменных Х и Y, то он вычисляется по формуле:

.

= (78 * 133 + 82 * 148 + 87 * 134 + 79 * 154 + 89 * 162 + 106 * 195 + 67 * 139 + 88 * 158 + 73 * 152 + 87 * 162 + 76 * 159 + 115 * 173) / 12 =13 484

.

= (78 + 82 + 87 + 79 + 89 +106 +67 +88 +73 +87 +76 +115) / 12 =85,58. корреляция регрессия коэффициент прогнозное

.

= (133 + 148 + 134 + 154 + 162 + 195 + 139 + 158 + 152 + 162 + 159 + 173) / 12 =155,75.

.

= [(78-85,58)² + (82-85,58)² + (87-85,58)² + (79-85,58)² + (89-85,58)² + (106-85,58)² + (67-85,58)² + (88-85,58)² + (73-85,58)² + (87-85,58)² + (76-85,58)² + (115-85,58)²]/ 12 =167,74.

.

= [(133-155,75)² + (148-155,75)² +(134-155,75)² +(154-155,75)² + (162-155,75)² + (195-155,75)² + (139-155,75)² + (158-155,75)² + (152-155,75)² + (162-155,75)² + (159-155,75)² + (173-155,75)²]/ 12 = 273,35.

у_x =.

у_x = = 12,95.

у_y =

у_y = = 16,53.

Данные вычисления можно произвести с помощью EXCEL.

.

Так как 0,7 < <= 0,9, значит существует сильная корреляция.

Значение коэффициента корреляции указывает на наличие сильной связи между параметрами Х и Y.

3. Рассчитаем и объясним значение .

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации.

= ² = 0,72² = 0,52.

Значение коэффициента детерминации означает, что на долю вариации факторных признаков приходится 52 %. Остальные неучтенные в модели факторы влияют на изменение результативного показателя на 48 %. Построенные при таких условиях регрессионные модели имеют низкое практическое значение.

4. Определить параметры уравнения регрессии и интерпретировать их. Объяснить смысл уравнения.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

y = a x + b.

Найдем коэффициенты а и b методом наименьших квадратов.

Для нахождения коэффициентов а, b искомой прямой необходимо минимизировать сумму квадратов расстояний yi по ординате от точки (хi; yi) до прямой. Расстояния yi определятся:

y_i = y_i ax_i b.

Для минимизации приравниваем к нулю производные этой суммы по параметрам а, b:

;

.

Преобразуем эту систему:

Получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов.

Решая ее относительно а, b получаем:

; .

Вычисляя из n опытов необходимые суммы и производя указанные действия, получаем величину коэффициентов а, b.

В нашем случае:

= 78 + 82 + 87 + 79 + 89 +106 +67 +88 +73 +87 +76 +115=1027.

= 78² + 82² + 87² + 79² + 89² + 106² + 67² + 88² + 73² +87² +76 ²+ 115² =89907.

= 133 + 148 + 134 + 154 + 162 + 195 + 139 + 158 + 152 + 162 + 159 + 173=1869.

= 78 * 133 + 82 * 148 + 87 * 134 + 79 * 154 + 89 * 162 + 106 * 195 +67 * 139 + 88 * 158 + 73 * 152 + 87 * 162 + 76 * 159 + 115 * 173=161808.

а = (12 *161808-1027 * 1869) / (12 * 89807-1027²) =0,97.

в = (89907 * 1869-1027 * 161808)/ (12 * 89907-1027²) =81.

у =0,97 x +81+ е

- уравнение линейной регрессии.

Полученное уравнение показывает, что при увеличении по территориям Центрального района заработную плату на 1 тыс. руб. и доли денежных средств увеличиться на 81 %.

5. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом при уровне значимости б = 0,05 (коэф. детерминации).

Для оценки значимости уравнения регрессии в целом используется критерий Фишера (F-критерий). Согласно подходу, предложенному Фишером, выдвигается нулевая гипотеза H₀: коэффициент регрессии равен нулю, т.е. величина a = 0. Это означает, что фактор х не оказывает влияния на результат у.

Для отклонения нулевой гипотезы, т.е. принятия противоположной гипотезы, которая выражает факт значимости (наличия) исследуемой зависимости, а не просто случайного совпадения факторов, имитирующего зависимость, которая фактически не существует, необходимо использовать таблицы критических значений указанного отношения. По таблицам выясняют критическую (пороговую) величину критерия Фишера. Она называется также теоретической. Затем проверяют, сравнивая ее с вычисленным по данным наблюдений соответствующим эмпирическим (фактическим) значением критерия, превосходит ли фактическая величина отношения критическую величину из таблиц.

Это делается следующим образом. Выбирают данный уровень вероятности наличия нулевой гипотезы и находят по таблицам критическое значение F-критерия, при котором еще может происходить случайное расхождение дисперсий на 1 степень свободы, т.е. максимальное такое значение. Затем вычисленное значение F-критерия признается достоверным (т.е. выражающим различие фактической и остаточной дисперсий), если это отношение больше табличного. Тогда нулевая гипотеза отклоняется (неверно, что отсутствуют признаки связи) и, напротив, приходим к заключению, что связь имеется и является существенной (носит неслучайный, значимый характер).

В случае, если величина отношения оказывается меньше табличной, то вероятность нулевой гипотезы оказывается выше заданного уровня (который выбирался изначально) и нулевая гипотеза не может быть отклонена без заметной опасности получить неверный вывод о наличии связи. Соответственно, уравнение регрессии считается при этом незначимым.

Строим схему дисперсионного анализа. Расчитаем СКО:

Критическое значение F-критерия = 0,53 (по таблице) =3280-1894=1386.

Дисперсия на степень свободы:

Факторная: k1=m=1; 1894.

Остаточная: k2=n-m-1=10; 13,86.

F-критерия Fнабл = 136,65.

Fкрит=4,96.

Fнабл > Fкрит - значит, гипотеза об отсутствии связи отклоняется. Коэффициент регрессии не равен нулю, он является статистически значимым. Уравнение парной регрессии в целом имеет статистическое значение.

6. Оценить статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии при уровне значимости б = 0,01.

Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента выполняется посредством сопоставления значений этих величин и величины стандартной ошибки. Величина ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяется по следующим формулам:

Дисперсия остатков вычисляется по формуле:

.

.

.

, .

, .

Соответствующие отношения значений величин коэффициентов регрессии и корреляции к их стандартной ошибке образуют так называемую t-статистику, а сравнение соответствующего табличного (критического) и фактического значения ее позволяет принять или отвергнуть нулевую гипотезу.

.

.

для уровня значимости 0,01 и числа степеней свободы n-2=10.

Так как и можно сделать вывод, что а=0,97 и в=81 значимы по критерию Стьюдента. Гипотеза о нулевой значимости не принимается. Коэффициенты статистически значимы.

7. Определить адекватность построенной модели. Сделать выводы.

Так как и само уравнение линейной регрессии и коэффициенты уравнения линейной регрессии значимы, то построенная вполне модель адекватна.

8. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 20 % от его среднего уровня. Построить доверительный интервал прогноза при уровне значимости б=0,05.

Xср = 85,58.

Хср +20 % = 102,7.

Y(102,7) =0,97* 102,7 +81 = 180,6.

Для расчета доверительного интервала находится предельная ошибка для каждого показателя как произведение табличного значения t-статистики на среднюю случайную ошибку соответствующего показателя. Затем получают границы доверительных интервалов: нижнюю границу - вычитанием из соответствующих коэффициентов (фактически средних) соответствующей предельной ошибки, верхнюю - сложением (прибавлением) в линейной регрессии

Д = t * у.

t = 11,098 (по таблице).

Д = 11,098 * 3,73=41,5.

Д = 41,5.

Доверительный интервал:

(102,7-41,5;102,7 + 41,5) = (61,2; 144,2).

9. На поле корреляции нанести теоретические значения результата. Сравнить линии регрессии.

Данные для построения графика:

Размещено на Allbest.ru