Анализ временных рядов экономических процессов

Определите визуально тенденцию среднего из графика исходных данных.

1. Выполните в Excel расчет значений Sy и t для значений, приведенных в таблице

Краткосрочные экономические показатели РФ

2. Найденные аномальные значения исключите из временного ряда, заменив их средними значениями, вычисленными по соседним точкам.

3. Добавьте новую линию на диаграмму

3. Задание 2

4.1 Адаптивные модели прогнозирования

В основе экстраполяционных методов прогнозирования лежит предположение о том, что основные факторы и тенденции, имевшие место в прошлом, сохраняются в будущем. Сохранение этих тенденций - условие успешного прогнозирования.

При краткосрочном прогнозировании обычно более важна динамика исследуемого показателя на конце периода наблюдений, а не тенденция его развития, сложившаяся в среднем на всем периоде предыстории. Свойство динамичности развития экономических процессов часто преобладает над свойством инерционности. Поэтому более эффективными являются адаптивные методы, учитывающие информационную неравноценность данных. Цель адаптивных методов - построение самокорректирующихся (самонастраивающихся) экономико-математических моделей, способных отражать изменяющиеся во времени условия и давать достаточно точные оценки будущих членов данного ряда.

4.2 Оценка качества моделей

Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна.

1 Проверка адекватности модели реальному явлению

а). Исследование ряда остатков

еt =уt - уtтеор

расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений.

Наиболее важные свойства остаточной компоненты:

– равенство математического ожидания нулю,

– независимость последовательных уровней ряда остатков, их случайность

– соответствие нормальному закону распределения.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется входе проверки соответствующей нулевой гипотезы

H0:|| = 0

С этой целью строится t-статистика:

,

где - среднее арифметическое значение уровней ряда остатков et;

S - среднеквадратическое отклонение для этой последовательности, рассчитанное по формуле для малой выборки:

На уровне значимости гипотеза отклоняется, если tрасч >tтабл(,v),

где tтабл(,v) - критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1-) и степенями свободы v =n-1.

б). Проверка условия случайности возникновения отдельных отклонений от тренда

Критерии для проверки случайности уровней ряда:

– критерий "восходящих" и "нисходящих" серий;

– критерий "пиков", или критерий поворотных точек.

Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше (меньше) соседних с ним элементов.

Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения.

Если их больше, то возмущения быстро колеблются и это не может быть объяснено только случайностью.

Если же их меньше, то последовательные значения случайной компоненты положительно коррелированны.

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

,

где р - фактическое количество поворотных точек в случайном ряду; 1,96 - квантиль нормального распределения для 5%-го уровня значимости. Квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять целую часть.

Если неравенство не соблюдаетеcя, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту) модель не является адекватной.

в). Проверка условия независимости (наличия/отсутствия автокорреляции в отклонениях от модели роста)

Осуществляется с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

г). Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения

Устанавливается правомерность построения доверительных интервалов прогноза. Ввиду малого числа наблюдений в большинстве случаев это свойство может быть проверено лишь приближенными методами, например, методом, основанном на вычислении коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ех для ряда остатков:

Значения As и Ех для нормально распределенной совокупности равны нулю.

Если одновременно выполняются неравенства

,

то гипотеза о нормальном характере распределения случайно компоненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств:

,

гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

В этих формулах

,

Где As-среднеквадратическая ошибка (СКО) выборочной характеристики асимметрии;

Ex - среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики эксцесса.

В случае попадания коэффициентов асимметрии и эксцесса в зону неопределенности (между полутора и двумя СКО) используются другие критерии, в частности RS-критерий:

,

где emax и emin - соответственно максимальный и минимальный уровень ряда остатков;

среднеквадратичное отклонение остатков.

Если расчетное значение RS попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. В этом случае допустимо строить доверительный интервал прогноза.

Табличное значение RS-критерия

Если все пункты проверки дают положительный результат, то выбранная трендовая модель адекватна реальному ряду экономической динамики и ее можно использовать для построения прогнозных оценок. Иначе модель надо улучшать.

2. Оценка точности модели

В статистическом анализе известно большое число характеристик точности. среднеквадратическое отклонение

– максимальная по абсолютной величине ошибка Emax=max|et|

– относительная максимальная ошибка

– средняя по модулю ошибка

– средняя по модулю относительная ошибка

Эти показатели дают представление об абсолютной величине ошибки модели и о доле ошибки в процентном отношении к среднему значению результативного признака.

При использовании ретропрогноза (несколько последних уровней ряда оставляются в качестве проверочной последовательности) - точность прогнозных оценок определяется на основе этих же показателей.

Лучшей по точности считается та модель, у которой все перечисленные характеристики имеют меньшую величину.

Эти показатели по-разному отражают степень точности модели и потому нередко дают противоречивые выводы. Для однозначного выбора лучшей модели следует воспользоваться либо одним основным показателем, либо обобщенным критерием.

4.3 Построение точечных и интервальных прогнозов

Идея экономического прогнозирования базируется на предположении, что закономерность развития, действовавшая в прошлом (внутри ряда экономической динамики), сохранится ив прогнозируемом будущем. В этом смысле прогноз основан на экстраполяции.

Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое - ретроспективной.

Прогнозирование методом экстраполяции базируется на предположениях:

а) развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;

б) общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не указывает на серьезные изменения в будущем;

в) учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития.

Надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы.

Точечный прогноз

Точечный прогноз для временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t=n+1,n+2,...,n +k, где k - период упреждения.

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции, имеет малую вероятность. Возникновение соответствующих отклонений объясняется следующими причинами:

– выбранная для прогнозирования кривая не является единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты;

– прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще и случайной компонентой, поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную компоненту;

– тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения могут от него отклоняться. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.

Интервальные прогнозы

Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя.

Ширина интервала зависит от качества модели (т.е. степени ее близости к фактическим данным), числа наблюдений, горизонта прогнозирования, выбранного пользователем уровня вероятности и других факторов.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(k), которая для линейной модели имеет вид

где Se - стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от линии тренда);

n-р - число степеней свободы (для линейной модели у=а 0+a1t количество параметров p = 2).

Коэффициент t - табличное значение t-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений. (Табличное значение t можно получить с помощью функции Ехсеl СТЬЮДРАСПОБР).

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Y прогн(n+k)+ U(k) - верхняя граница; Y прогн(n+k) - U(k) - нижняя граница.

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границей. После получения прогнозных оценок необходимо убедиться в их разумности и непротиворечивости оценкам, полученным иным способом.

5. Задание 3

Финансовый директор АО "Веста" рассматривает целесообразность ежемесячного финансирования инвестиционного проекта со следующими объемами нетто-платежей, тыс. руб.

1. Постройте линейную модель зависимости объемов платежей от сроков (времени).

2. Оцените качество (адекватность и точность) построенной модели на основе исследования:

а) случайности остаточной компоненты по критерию "пиков";

б) независимости уровней ряда остатков по dw-критерию (в качестве критических значений использовать уровни d1 = 1,08 и d2 = 1,36) и по первому коэффициенту автокорреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36;

в) нормальности распределения остаточной компоненты по RS-критерию с критическими уровнями 2,7-3,7;

г) средней по модулю относительной ошибки.

3. Определите размеры платежей на три последующих месяца (постройте точечный и интервальный прогнозы на три шага вперед (при уровне значимости 0,1), отобразите на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования).

4. Оценить целесообразность финансирования этого проекта, если в следующем квартале на эти цели фирма может выделить только 120 тыс. руб.

Этапы решения

1. Построение модели

- Выполните оценку параметров модели в Excel (Сервис>Анализ данных>Регрессия) и постройте линейную модель регрессии Y(t).

Результат регрессионного анализа:

коэффициенты уравнения регрессии: а 0 =37,98, а 1 = 1,87

Вывод остатка и графика остатков.

График

Уравнение кривой зависимости объемов платежей от сроков (времени) имеет вид:

Y(t)= 37,98+1,87t

2. Оценка качества модели

Ш Выполните оценку адекватности модели

Для оценки адекватности построенных моделей исследуются свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений:

а) проверка независимости (отсутствия автокорреляции) - определите отсутствие в ряде остатков систематической составляющей с помощью критерия Дарбина-Уотсона по формуле:

, dw'= 4 - dw = 4-2,03 = 1,97

Так как dw' попало в интервал от d2 до 2 (по условию задачи), то по данному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости, что означает - в ряде динамики автокорреляция отсутствует модель по этому критерию адекватна.

б) проверка случайности уровней ряда остатков - выполните проверку на основе критерия поворотных точек. Количество поворотных точек р при n = 12 равно 5

Постройте график остатков.

Неравенство выполняется (5>4) свойство случайности выполняется модель по этому критерию адекватна.

в) соответствие ряда остатков нормальному закону распределения

Определите с помощью RS-критерия соответствие ряда остатков нормальному закону распределения:

RS = (emax- emin)/S,

где

emax - максимальный уровень ряда остатков (emax = 5,14); emin - минимальный уровень ряда остатков (emin = -5,36);

S - среднеквадратическое отклонение,

Для вычисления значений emax,emin и S используйте функции Excel: Макс, Мин, Ср. знач., Корень

RS=[5,14 - (-5,36)]/3,18 =3,298

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7) выполняется свойство нормальности распределения модель по этому критерию адекватна.

г) Выполните проверку равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков

В данном случае еср =0 гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Данные анализа ряда остатков приведены в таблице

Ш Выполните оценку точности модели

Вычислите среднюю относительную ошибку аппроксимации Еотн

Вычислите значение

Еотн=

Вывод: Е~ 5,16% - хороший уровень точности модели.

1. Построение точечного и интервального прогноза на три шага вперед

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t =n + k:

y13=a0+a1t= 37,98+ 1,87*13

y14 =a0+a1t = 37,98 + 1,87*14

y15= a0+a1t = 37,98 + 1,87*15

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. При уровне значимости = 0,1 доверительная вероятность равна 90%, а критерий Стьюдента при v = n - 2 = 10 равен 1,812.

Ширину доверительного интервала вычислите по формуле

, где

Se - стандартная ошибка(можно взять из протокола регрессионного анализа); n-р - число степеней свободы (для линейной модели у=а 0+a1t количество параметров p = 2);

t - табличное значение t-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений (вычислите t помощью функции Ехсеl СТЬЮДРАСПОБР), . =6,5

Вычислите значения U(1), U(2), U(31), верхнюю и нижнюю границы прогноза постройте график упрогн(n+k) + U(k) - верхняя граница; упрогн(n+k) - U(k) - нижняя граница

Вывод:

Модель имеет вид

Y(t) = 37,98 + 1,87t

Размеры платежей составят 62,35; 64,22; 66,1 тыс. руб. денежных средств в объеме 120 тыс. руб. на финансирование этого инвестиционного проекта на три последующих месяца будет недостаточно, поэтому нужно либо изыскать дополнительные средства, либо отказаться от этого проекта.

Размещено на Allbest.ru