Расчет эконометрических параметров

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Список литературы

ЗАДАНИЕ 1

Имеются данные о потребительских расходах на душу населения , средней заработной плате и социальных выплат по 16 районам региона в марте месяце.

Район	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P
	440	525	450	240	545	447	469	435	442	605	352	405	376	462	505	500
	1310	1490	1250	1280	1710	1497	1312	903	787	1012	1049	1207	1221	1035	1064	1072

Задание:

1. Рассчитайте параметры уравнений регрессии

2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.

3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.

5. С помощью F-статистики Фишера (при оцените надежность уравнения регрессии.

6. Рассчитайте прогнозное значение _прогн, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для = 0,01.

Решение. 1.Для определения параметров линейного уравнения парной регрессии и оценки его значимости выполним необходимые промежуточные расчеты.

Район	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P
	440	525	450	240	545	447	469	435	442	605	352	405	376	462	505	500	7198
	1310	1490	1250	1280	1710	1497	1312	903	787	1012	1049	1207	1221	1035	1064	1072	19199
	193600	275625	20250	57600	297025	199809	219961	189225	195364	366025	123904	164025	141376	213444	255025	250000	3344508
	1716100	2220100	1562500	1638400	2924100	2241009	1721344	815409	619369	1024144	1100401	1456849	1490841	1071225	1132096	1149184	23883071
	576400	782250	562500	307200	931950	669159	615328	392805	347854	612260	369248	488835	459096	478170	537320	536000	8666375
	453,6	459,8	451,5	452,6	467,4	460,05	453,7	439,6	435,6	443,63	444,6	450,0	450,5	444,1	445,1	445,4	7197
	3,09	12,42	0,33	88,56	14,24	2,92	3,26	1,06	1,45	26,73	26,31	11,11	19,81	3,87	11,86	10,92	237,94

Средние величины:

Дисперсии и среднеквадратические отклонение:

Параметры линейного уравнения парной регрессии:

Тогда уравнение линейной регрессии предстанет в виде:

2. Коэффициент корреляции:

Коэффициент детерминации:

т. к. коэффициенты корреляции и детерминации значительно меньше 1 (практически нулевые), то связь между потребительскими расходами на душу населения и средней заработной платы отсутствует. При числе степени свободы критическое значение коэффициента корреляции на уровне значимости составляет .

Наблюдаемый , следовательно, рассчитанный коэффициент корреляции незначим. По коэффициенту детерминации можно сделать вывод, что лишь 0,95% расходов определяются учтенными доходами, а 99% расходов не связаны с суммой этих доходов.

3. Средний коэффициент эластичности можно определить формулой:

т. к. , то расходы неэластичны относительно доходов т.е. отклонения расходов от среднего уровня практически не зависят от вариации доходов.

4. Для определения средней ошибки аппроксимации рассчитаем значения по уравнению регрессии и определим относительные ошибки аппроксимации эмпирического распределения прямой линией уравнения регрессии, т. е заполним две нижние строки таблицы. Тогда:

,

то качество модели низкое.

5. Значимость уравнения регрессии в целом можно оценить с помощью F-критерия Фишера:

Табличное значение F-критерия при и числе степеней свободы составляет F_табл (0,05;14;1)=4,6 (см.приложение1) ,т к , то уравнение регрессии незначимо и для прогнозных целей использоваться не может.

2.1. Выполним аналогичные расчеты для определения параметров уравнения регрессии , заменив величину , т е

	36,19	38,60	35,35	35,78	41,35	38,69	36,22	30,05	28,05	31,81	32,39	34,74	34,94	32,17	32,62	32,74	551,69
	15925	20265	15910	8586,5	22537	17295	16988	13072	12400	19246	11401	14070,5	13138,5	14863	16473	16371	248541,5
	453,3	458,13	451,62	452,79	463,65	458,31	453,36	441,0	436,98	444,52	445,68	450,4	450,79	446,24	446,14	446,38
	3,02	12,74	0,36	88,66	14,93	2,53	3,33	1,38	1,14	26,53	26,61	11,21	19,89	3,41	11,66	10,72	238,128

Средние величины: ;

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение:

Параметры уравнения регрессии:

Выполнив по этому уравнению расчеты при заданных в условии x, заполним третью и четвертую строки таблицы

2.2. Коэффициент корреляции и детерминации:

следовательно, по этому уравнению регрессии связь между вариацией расходов и доходов практически отсутствует, т. к только 0,67% изменения расходов зависят от изменения доходов, а 99,33% определяются другими причинами.

2.3.

Т.к. то и по этому уравнению расходы не эластичны по доходам, качество уравнения регрессии низкое т. к. =14,88% >10% и уравнение регрессии в целом тоже незначимо и для прогнозных целей не годится, т.к. сформировалось по случайным данным.

Поскольку показатели линейной модели лучше (r_uy < r_xy; F₂ < F₁; Э₂>Э₁), то значимость параметров уравнения определим для него с помощью t - критерия Стьюдента, выдвинув гипотезу о статической не значимости параметров:

Для определения ошибок параметров вычислим:

Тогда ошибки параметров:

;

t- критерии параметров:

Поскольку табличное значение t- критерия t (0,05; 14) = 2,145 больше наблюдаемых t- критериев, то все параметры уравнения незначимы за исключением t_a и их оценки не позволяют использовать уравнение для прогноза (поэтому в задании не выполняются).

ЗАДАНИЕ 2

Имеются данные 12 месяцев по району города о рынке вторичного жилья (y-стоимость квартиры, тыс. у.е; х₁-размер жилой площади, м²; х₂-размер кухни, м².

y, тыс. у.е.	23	26,8	28,0	18,4	30,4	20,8	22,4	21,8	18,5	23,5	16,7	20,4
х1, м2	22,8	27,7	34,5	26,4	19,8	17,9	25,2	20,4	20,7	21,4	19,6	24,5
х2, м2	5,0	5,2	6,0	5,1	4,8	4,5	5,4	4,9	5,0	5,2	4,5	4,9

Задание: 1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера .

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.

5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.

Решение: Рассматриваем уравнение вида

Параметры , найдем, выполнив промежуточные расчеты:

№
1	23,0	22,8	5,0	524,4	115,0	114,0	529,0	519,84	25,0	22,39	2,55
2	26,8	27,7	5,2	742,36	139,36	144,04	718,24	767,29	27,04	22,84	14,77
3	28,0	34,5	6,0	966,0	168,0	207,0	784,0	1190,25	36,0	26,96	3,71
4	18,4	26,4	5,1	485,76	93,84	134,64	338,56	696,96	26,01	22,405	21,77
5	30,4	19,8	4,8	601,92	145,92	95,04	924,16	392,04	23,04	21,59	28,98
6	20,8	17,9	4,5	372,32	93,6	80,55	432,64	320,41	20,25	19,93	4,18
7	22,4	25,2	5,4	564,48	120,96	136,08	501,76	635,04	29,16	24,63	9,96
8	21,8	20,4	4,9	444,72	106,82	99,96	475,24	416,16	24,01	22,15	1,61
9	18,5	20,7	5,0	382,95	92,5	103,5	342,25	428,49	25,0	22,77	23,08
10	23,5	21,4	5,2	502,9	122,2	111,28	552,25	457,96	27,04	23,98	2,04
11	16,7	19,6	4,5	327,32	75,15	88,2	278,89	384,16	20,25	19,62	17,48
12	20,4	24,5	4,9	499,8	99,96	120,05	416,16	600,25	24,01	21,41	4,95
	270,7	280,9	60,5	6414,93	1373,31	1434,34	6293,15	6808,85	306,81	270,7	135,08
Сред нее	22,558	23,408	5,042	534,578	114,443	119,528	524,429	567,404	25,568		11,26

Дисперсии и среднеквадратические отклонение:

Парные коэффициенты корреляции:

Стандартизированное уравнение регрессии имеет вид:

Т. о стандартизированное уравнение:

Параметры уравнения регрессии в естественной форме запишутся:

Тогда естественная форма уравнения регрессии имеет вид:

По этому уравнению выполнены расчеты величины при заданных x₁ и x₂, и определены относительные отклонения от y (расчеты в таблице).

2. Средние коэффициенты эластичности:

т. к. <1, а >1, то стоимость квартиры неэластична относительно ее площади, но эластична относительно площади кухни. Значение эластичности указывают, что изменения факторных признаков на 1% вызывают изменение результативного признака на и на 1,5% в точке т.е. площадь кухни значительно сильнее влияет на ее стоимость, чем площадь квартиры (причем рост площади квартиры влияет на ее стоимость отрицательно).

3.Для оценки значимости коэффициентов регрессии по t-критерию Стьюдента и F-критерию Фишера вычислим коэффициент множественной корреляции:

и коэффициент множественной детерминации

Наблюдаемое значение F-критерия Фишера при n-K-1=12-2-1=9 степеней свободы числителя (К=2 т.к. в уравнении две независимых переменных) и К=2 степеней свободы знаменателя составят:

Частные F-статистики.

При уровне значимости по условию табличные значения F и t-критериев составляют:

т.к. наблюдаемые значения t-критериев Стьюдента меньше табличного (0,311; 1)<3,25, то коэффициенты b₁ и b₂ уравнения регрессии незначимы. Незначимо и уравнение регрессии в целом. Поскольку , то значимость коэффициента b₂ выше, чем b_1, а потому включение в уравнение параметра x₁ нецелесообразно, если туда уже введен параметр x₂ . Исключив фактор x₁ и оставив фактор x_2, получим уравнение регрессии при:

в виде

4. Для определения средней ошибки аппроксимации используем относительные ошибки от y, найденные по уравнению множественной регрессии (последняя колонка в таблице).

Среднее значение этой величины есть средняя ошибка аппроксимации . Поскольку,то качество модели следует признать неудовлетворенным.

5. Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид:

Из нее следует, что поскольку , то переменные х₁ и х₂ коллинеарны т.е. и взаимозависимы и их совместное включение в уравнение регрессии нецелесообразно, а поскольку и существенно меньше 1, то связь стоимости квартиры с этими факторами весьма слабая и сильнее зависит от других факторов (расстояние от центра города, престижность района , благоустройство этаж и др).

Частные коэффициенты корреляции:

Их матрица . Значения частных коэффициентов корреляции указывают, что при закреплении одного из факторов на неизменном уровне влияние второго фактора на результативный показатель, оказывается слабее, чем при вариации обоих факторов (коэффициенты 0,103 и 0,316 против соответственно 0,3757 и 0,4677). Снижение влияния говорит о положительной корреляционной связи между факторами.

ЗАДАНИЕ 3

1.Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицированное ли каждое уравнение модели.

2.Определить тип модели.

3.Определите метод оценки параметров модели.

4.Опишите последовательность действий при использовании этого метода.

Модель имеет вид:

Решение 1.Модель имеет три эндогенные(зависимые) переменные (Y₁; Y₂; Y₃) и три экзогенные (независимые) переменные (X₁; X₂; X₃). Проверим необходимые условия идентификации отдельно для каждого уравнения:

1-ое уравнение:

Д=1(отсутствует только Х₂); Н = 2 (присутствует Y₁ и Y₂). Д + 1 = 1 + 1 = 2 = Н = 2 т. к. Д + 1 = Н, то уравнение 1 идентифицируемо.

2-ое уравнение:

Д=2(отсутствует только Х₁ и Х₃); Н=2 (присутствует Y₁ и Y₂). Д+1=2+1=3>Н=2 т. к. Д+1 > Н, то уравнение 2 сверхидентифицируемое.

3-ое уравнение: Д=1(отсутствует только Х₁) ; Н=1 (присутствует Y₃). Д+1=1+1=2>Н=1 т. к. Д+1>Н, то уравнение 3 сверхидентифицируемое.

Проверим достаточное условие идентификации.

В 1-ом уравнении нет переменных X₂ и Y₃. Составляем матрицу:

	X2	Y3
2-ое уравнение	b22	0
3-е уравнение	b32	-1

уравнение идентифицируемо.

В 2-ом уравнении нет переменных X₁ ;X₃ ;Y₃. Составляем матрицу:

уравнение идентифицируемо.

	X1	X3	Y3
1-ое уравнение	b11	b13	0
3-е уравнение	0	b33	-1

В 3-ем уравнении нет переменных X₁;Y₁ ;Y₂. Составляем матрицу:

уравнение идентифицируемо.

	X1	Y1	Y2
1-ое уравнение	b11	-1	C12
2-е уравнение	0	C21	-1

2.т.о. по достаточным условиям идентификации все уравнения системы идентифицированы, а т к по необходимым условиям уравнение №2 и №3 сверх идентифицируемо, то и модель в целом сверхидентифицируемая.

3. К сверхидентифицируемой модели применяется двухшаговый метод наименьших квадратов для оценивания параметров структурной модели через коэффициенты приведенной модели.

4. Двухшаговый МНК заключается в следующем - составляем приведенную форму модели в вид:

И для каждого из этих уравнений определяем числовые значения ее параметров обычным МНК, решая для каждого из этих уравнений систему, например для первого уравнения:

Из 1-го уравнения приведенной формы находим теоретическое значения эндогенной переменной Y_1, для чего в это уравнение подставляем численные значения X_1, X_2, X₃ из исходных данных. Полученные оценки эндогенной переменной Y₁ подставляем во второе сверхидентифицируемое уравнение и уже к нему вновь применяем обычный МНК, определяя коэффициенты b₂₂ и C₂₁ . Аналогично, определяя теоретические значения Y₂ из второго уравнения приведенной модели и подставляя их в первое структурное уравнение, находим с помощью МНК коэффициенты b_11, b_13, C_12.

Третье структурное уравнение не содержит в правой части эндогенные переменные, поэтому в его качестве можно прямо использовать третье уравнение приведенной модели, в котором . Тогда ;.

Свободные члены уравнений структурной модели определяем через среднее значение всех переменных, входящих в уравнение, например для первого уравнения:

ЗАДАНИЕ 4

Имеются данные за 12 лет по стране о годовом объеме продаж автомобилей.

Год	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
Объем продаж (100тыс)	5,2	6,3	4,5	3,9	3,8	3,0	4,8	5,0	4,6	6,1	6,7	6,9

Требуется:

1.Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядков.

2. Обосновать выбор уравнения тренда и определить его параметры, сделать выводы.

Решение. Коэффициенты автокорреляции уровней ряда 1-ого и 2-ого порядков определим по формулам:

;

где y_t - текущее значение объема продаж за t-ый год;

y_t-1 - объемы продаж за предыдущий год;

y_t-2 - объемы продаж за 2 года до t-ого года.

; ; ;

Необходимые расчеты выполним в таблице:

Год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	5,2	6,3	4,5	3,9	3,8	3,0	4,8	5,0	4,6	6,1	6,7	6,9	60,8
	-	5,2	6,3	4,5	3,9	3,8	3,0	4,8	5,0	4,6	6,1	6,7	53,9
	-	-	5,2	6,3	4,5	3,9	3,8	3,0	4,8	5,0	4,6	6,1	47,2
		1,245	-0,555	-1,145	-1,255	-2,055	-0,255	-0,055	-0,455	1,045	1,645	1,845
	-	0,3	1,4	-0,4	-1,0	-1,1	-1,9	-0,1	0,1	-0,3	1,2	1,8
	-	-	-0,43	-1,03	-1,13	-1,93	-0,13	0,07	-0,33	1,17	1,77	1,97
	-	-	0,48	1,58	-0,22	-0,82	-0,92	-1,72	0,08	0,28	-0,12	1,38
	-	1,55	0,308	1,311	1,575	4,223	0,065	0,003	0,207	1,092	2,706	3,404	16,444
	-	0,09	1,96	0,16	1,0	1,21	3,61	0,01	0,01	0,09	1,44	3,24	12,82
	-	-	0,185	1,061	1,277	3,725	0,017	0,005	0,109	1,369	3,133	3,881	14,762
	-	-	0,2304	2,4964	0,0484	0,6724	0,8464	2,9584	0,0064	0,0784	0,0144	1,9044	9,256
	-	0,3735	-0,777	0,458	1,255	2,2605	0,4845	0,0055	-0,0455	-0,3135	1,974	3,321	8,996
	-	-	-0,2064	-1,6274	0,2486	1,5826	0,1196	-0,1204	-0,0264	0,3276	-0,2124	2,7186	2,804

Тогда коэффициенты автокорреляции составят:

;

2. Столь низкие значения коэффициентов автокорреляции (существенно меньше 1) указывает на отсутствие линейной тенденции в данном временном ряде.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для выявления типа нелинейной тенденции построим график зависимости уровней ряда от времени. Полученная ломанная линия эмпирического распределения даст основание построить тренд в виде квадратичной функции.

Для упрощения расчетов примем, что минимум этой функции приходится на 6-ой год временного ряда. Тогда, сделав параллельный перенос оси ординат искомую функцию можно записать в виде:

где

Система линейных уравнений МНК для этого уравнения регрессии, определяющая коэффициенты «а» и «b» имеет вид:

Определение величин, входящих в эти уравнения, сведем в таблицу:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	6
	5,2	6,3	4,5	3,9	3,8	3,0	4,8	5,0	4,6	6,1	6,7	6,9	60,8
	25	16	9	4	1	0	1	4	9	16	25	36	146
	625	256	81	16	1	0	1	16	81	256	625	1296	3254
	130	100,8	40,5	15,6	3,8	0	4,8	20	41,4	97,6	167,5	248,4	870,4
	6,2	5,41	4,79	4,34	4,08	3,99	4,08	4,34	4,79	5,41	6,2	7,17
	0,018	1,521	0,321	1,361	1,604	4,271	0,071	0,004	0,218	1,068	2,668	3,361	16,486
	1,0	0,792	0,084	0,194	0,078	0,98	0,518	0,436	0,036	0,476	0,25	0,073	4,917

Система уравнений запишется в виде:

Ее решение:

;

тогда .

Определяя значение по этому уравнению, сравниваем общую дисперсию , где и остаточную дисперсию .

Полученное значение R = 0,8377 есть индекс корреляции, а R² = 0,702- индекс детерминации.

Расчетное значение критерия Фишера:

Что больше табличного значения при уровне значимости и степенях свободы н₁ = 1; н₂ = 10; F_табл(0, 05; 1; 10) = 4,96

Следовательно, полученное уравнение тренда статически значимо и может быть использовано для прогнозных целей. Теоретическая кривая продаж построена по точкам в одних осях с ломаной линией временного ряда. регрессия коэффициент дисперсия матрица

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ, 1998.

Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. - М.: Дело, 1999.

Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный курс. - М.: Дело, 2000.

Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.

Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. - М.: ЮНИТИ, 1997.

Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.

Размещено на Allbest.ru

...