662222

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Построение математической модели ОУ в пространстве состояний по электрической схеме

2. Составление структурной схемы ОУ и сигнального графа по построенной модели ОУ

3. Нахождение передаточной функции ОУ, используя формулу Мейсона

4. Определение временных и частотных характеристик по передаточной функции и построение их графиков

Заключение

Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

Целью курсовой работы является освоение математических методов теории систем, приобретение практических навыков анализа систем с применением современных программных и технических средств.

При моделировании системы S входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными, которые в векторной форме имеют соответствующий вид

; ,

а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид:

.

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором F_S, который, в общем случае, преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношением вида

(1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y_j(t) для всех видов называется выходной траекторией y_j(t). Зависимость (1) называется законом функционирования системы S и обозначается F_S. В общем случае закон функционирования системы F_S может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия. Весьма важным для описания и исследования системы S является понятие алгоритма функционирования A_S, под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий , воздействий внешней среды и собственных параметров системы . Очевидно, что один и тот же закон функционирования F_S системы S может быть реализован различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования A_S.

Соотношение (1) является математическим описанием поведения объекта (системы) моделирования во времени t, т. е. отражает его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами). Для статических моделей математическая модель (1) представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и {X, V, H}, что в векторной форме может быть записано так:

(2)

Соотношения (1) и (2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами:

, (3)

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний z₁(t), z₂(t),… z_k(t), то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k-мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория.

Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход - состояние - выход» позволяет определить характеристики системы:

. (6)

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных вместе с математическими связями между ними и характеристиками выходной величины . Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, если можно считать, что в этом случае стохастическое воздействие внешней среды и стохастические внутренние параметры отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными сигналами:

. (7)

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

1. Построение математической модели ОУ в пространстве состояний по электрической схеме

R₁ = 343 Ом

R₂ = 435 Ом

R₃ = 151 Ом

R₄ = 204 Ом

L₁ = 20 Гн

L₃ = 48 Гн

С₂ = 21421·10 ^{- 6} Ф

Выходной ток

Зададимся направлениями токов в контурах i₁, i₂, i₃. Составим три уравнения по закону Кирхгофа:

(1)

В уравнении (3) присутствует интеграл, поэтому продифференцируем его. Получим:

(3*)

В уравнениях (1) и (2) системы (1), и в уравнениях (3*) введем фиктивные переменные, но производные возьмём на порядок ниже:

=> (3)

управление математическая модель

Выразим токи из каждого уравнения системы уравнений (2), если это возможно.

Выразим правые части этих уравнений системы уравнений (3) через производные фиктивных переменных:

(4)

Подставим значение токов из системы (3) в систему (4), получим:

По системе (5) запишем полученную выходную величину в матричном виде. Входной величиной является е-ЭДС.

- матрица при фиктивных переменных;

- матрица при входной величине е; U=.

= * + *

Матричная запись для выходной величины системы имеет вид:

+ e

 + e

Перепишем уравнения системы (5) через коэффициенты матрицы:

2. Составление структурной схемы ОУ и сигнального графа по построенной модели ОУ

Построим из системы (6) граф.

Рисунок 2 - Граф системы

Перейдем от графа к структурной схеме

Рисунок 3 - Структурная схема системы

3. Нахождение передаточной функции ОУ, используя формулу Мейсона

Формула Мейсона имеет вид:

где к - количество возможных путей от входа к выходу; ? - определитель графа; Рk - коэффициент передачи к^ого пути от входа к выходу; ?_к - определитель всех касающихся контуров при удалении к^ого пути; сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров; сумма всех возможных произведений из 2^ух некасающихся контуров; сумма всех возможных комбинаций из 3^ёх некасающихся контуров.

Последовательность нахождения передаточной функции по формуле Мейсона.

1) Определим и запишем уравнения всех к путей от входа к выходу

P₁=1*

2) Выявим число замкнутых контуров и запишем их уравнения.

В системе есть 5 замкнутых контуров:

;

3) Определитель системы включает 5 контуров, пять пар некасающихся контуров и комбинация из 3 некасающихся контуров:

Д = 1 - L₁ - L₂ - L₃ - L₄ - L₅+ L₁L₂ + L₁L₃+ L₃L₂+ L₁L₅+ L₃L₄- L₁L₂L₃

4) Запишем сомножители

В сомножители записываются те контура, которые не затрагиваются путем.

Следовательно,

Д₁ = 1 - L₁ - L₃+ L₁L₃

5) Запишем и преобразуем выражение передаточной функции W(p).

4. Определение временных и частотных характеристик по передаточной функции и построение их графиков

Для того чтобы построить графики временных и частотных характеристик и определить эти характеристики, необходимо найти выражение для весовой и переходной характеристик.

Найдем временные характеристики:

Переходная функция

Построим её график

Рисунок 4 - График переходного процесса системы

Определим импульсную функцию системы:

Частотная функция системы выразится следующим образом:

Определим амплитудо-частотную и фазо-частотную функции системы (АЧХ и ФЧХ):

По графикам переходной функции и АЧХ определим прямые и косвенные оценки качества системы.

Прямые оценки:

1) Время переходного процесса t _перех= 56

2) Перерегулирование (максимальная динамическая ошибка)

3) Колебательность n=0

4) Время нарастания регулируемой величины t_нар=1

5) Время первого согласования t_сог=56

Косвенные оценки:

1) Показатель колебательности

2) Резонансная частота

3) Полоса пропускания

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения курсовой работы была построена математическая модель объекта управления в пространстве состояния, составлены граф системы и структурная схема. По формуле Мейсона найдена передаточная функция системы, построены графики временных и частотных характеристик системы, определены оценки качества системы по данным характеристикам.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления / под ред. Е.А. Санковского - Минск: Высшая школа, 1973.

2. Брофеев Ю.И. Импульсная техника. - М: Высшая школа, 1984.

3. Р. Ли Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. - М.: Наука, 1966.

Размещено на Allbest.ru