Теория вероятностей и математическая статистика
Определение вероятности того, что из шести малых предприятий не более двух в течении года прекратит свою деятельность. Распределение числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Поиск математического ожидания и среднеквадратического отклонения.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.03.2014 |
| Размер файла | 107,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача №1
В коллекции нумизмата имеются 5 монет по 20 копеек, 6 монет по 15 копеек и 7 монет по 5 копеек. Наудачу берутся три монеты. Какова вероятность, что в сумме они составят не более 50 копеек?
Решение:
Пусть событие А - три монеты в сумме составят не более 50 копеек. Вероятность этого события найдем, используя классическую формулу вероятности:
,
где n - число всевозможных элементарных исходов,
m - число элементарных исходов, благоприятствующих данному событию.
Элементарными исходами являются всевозможные сочетания из 18 монет (всего монет 18=5+6+7) по 3 т.е:
(число всех исходов, существует 816 способов которыми можно выбрать 3 монеты из 17);
Рассмотрим событие противоположное монеты в сумме составят более 50 копеек.
(число положительных исходов).
Получаем: .
Ответ: вероятность, что в сумме они составят не более 50 копеек равна 0,914.
Задача №2
Предполагается, что 10% открывающихся малых предприятий прекращают свою деятельность в течении года. Найти вероятность того, что:
а) из шести малых предприятий не более двух в течении года прекратит свою деятельность;
б) из семи малых предприятий только три в течении года прекратит свою деятельность.
Решение:
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Рm, n того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна:
а) из шести малых предприятий не более двух в течении года прекратит свою деятельность;
Вероятность того, что из шести малых предприятий не более двух в течении года прекратит свою деятельность равна 98,4%;
б) из семи малых предприятий только три в течении года прекратит свою деятельность.
Вероятность того, что из семи малых предприятий только три в течении года прекратит свою деятельность равна 2,3%.
Задача №3
Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Построить полигон распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение и моду данной случайной величины.
Решение:
Событие А: вероятность не возвращения кредита в срок равна Р(А) = 0,1.
Случайная величина Х - число выигравших покупок.
Случайная величина Х примет значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Вероятность события А на для всех пяти покупок одинакова, поэтому можно использовать формулу Бернулли.
,
где - вероятность того, что в серии из n испытаний событие А появилось m раз. р = 0,1; q = 1 - 0,1 = 0,9.
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
pi |
0,59049 |
0,32805 |
0,0729 |
0,0081 |
0,00045 |
0,00001 |
Контроль вычислений: сумма всех вероятностей равна 1.
0,59049+0,32805+0,0729+0,0081+0,00045+0,00001= 1.
Вероятность того, что выигрыша все кредиты вернуться равна 0,59049, того, что все не кредиты вернуться 0,00001 и т.д.
Математическое ожидание найдем по формуле:
.
Получаем
Дисперсию найдем по формуле:
.
Тогда
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле: .
Получаем .
Найдем моду - это значение признака, которое наиболее часто встречается в вариационном ряду.
Мо = 0
Построим полигон распределения
Задача №4
Случайная величина Х задана функцией распределения
F(x) =
а) Найти f(x), M(X), D(X), .
б) Построить графики f(x), F(X).
в) Найти , .
Решение.
а) Функции f(х) и F(x) связаны соотношением F(x) = .
Получаем:
F/(x) = f(x) =
Математическое ожидание найдем по формуле:
Дисперсию найдем по формуле:
.
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле: .
=
График функции F(X) имеет вид:
График функции f(X) имеет вид:
Задача №5
вероятность математический среднеквадратический
При изготовлении таблеток их масса распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 0,5г. и средним квадратическим отклонением 0,01г. Найти:
а) интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна 0,93;
б) вероятность того, что масса данной таблетки окажется в интервале (0,495; 0,505).
Решение:
А) Найти по правилу интервал, в котором с вероятностью 0,93 будут заключены значения случайной величины.
- интервал, в котором с вероятностью 0,93 будут заключены значения случайной величины.
Б) вероятность того, что масса данной таблетки окажется в интервале (0,495; 0,505).
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал определяется через функцию Лапласа по формуле:
По условию задачи
Задача №6
Станок прессует таблетки. Измерили диаметр 30 таблеток:
|
8,8 |
9,1 |
9,0 |
8,9 |
9,2 |
|
|
9,2 |
9,3 |
9,0 |
9,3 |
8,9 |
|
|
8,8 |
9,1 |
9,2 |
9,0 |
9,0 |
|
|
9,1 |
9,1 |
9,0 |
8,8 |
8,8 |
|
|
8,7 |
8,8 |
9,0 |
9,1 |
9,1 |
|
|
9,0 |
9,2 |
8,7 |
9,1 |
8,9 |
Необходимо построить вариационный ряд диаметров, полигон частот, найти выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение, доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью р = 0,95.
Решение.
Проведем ранжирование данных, приведенных в задании.
|
n |
x |
n |
x |
n |
x |
n |
x |
n |
x |
|
|
1 |
8,7 |
7 |
8,8 |
13 |
9 |
19 |
9,1 |
25 |
9,2 |
|
|
2 |
8,7 |
8 |
8,9 |
14 |
9 |
20 |
9,1 |
26 |
9,2 |
|
|
3 |
8,8 |
9 |
8,9 |
15 |
9 |
21 |
9,1 |
27 |
9,2 |
|
|
4 |
8,8 |
10 |
8,9 |
16 |
9 |
22 |
9,1 |
28 |
9,2 |
|
|
5 |
8,8 |
11 |
9 |
17 |
9 |
23 |
9,1 |
29 |
9,3 |
|
|
6 |
8,8 |
12 |
9 |
18 |
9,1 |
24 |
9,1 |
30 |
9,3 |
Построим вариационный ряд диаметров
|
x |
8,7 |
8,8 |
8,9 |
9 |
9,1 |
9,2 |
9,3 |
сумма |
|
|
n |
2 |
5 |
3 |
7 |
7 |
4 |
2 |
30 |
Построим полигон частот
|
x |
8,7 |
8,8 |
8,9 |
9 |
9,1 |
9,2 |
9,3 |
сумма |
|
|
0,067 |
0,167 |
0,100 |
0,233 |
0,233 |
0,133 |
0,067 |
1 |
Математическое ожидание найдем по формуле:
.
Дисперсию найдем по формуле:
.
Тогда
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле:
.
.
Предельную ошибку выборки найдем по формуле:
, где Ф(t)=,
Ф(t)=0,95, t - находится по таблице. t = 2.
Возможные границы найдем по формуле:
; ;
- доверительный интервал для мат. ожидания.
Задача №7
Методом наименьших квадратов подберите калибровочную прямую фотоэлектроколориметра (связь оптической плотности раствора D c его концентрацией C) по данным таблицы. Постройте калибровочный график. По графику и по полученному уравнению определите концентрацию раствора, если показания прибора а) D= 30; б) D= 60.
|
C % |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
D |
39,8 |
49,5 |
58,1 |
68,6 |
77,7 |
87,2 |
Решение.
Предположим, что связь между плотностью раствора D и его концентрацией C линейная, тогда уравнение регрессии имеет вид: yх=а+bx. Для нахождения его параметров составим расчётную таблицу:
|
у |
х |
у2 |
х2 |
xy |
||
|
1 |
39,8 |
4 |
1584,04 |
16 |
159,2 |
|
|
2 |
49,5 |
5 |
2450,25 |
25 |
247,5 |
|
|
3 |
58,1 |
6 |
3375,61 |
36 |
348,6 |
|
|
4 |
68,6 |
7 |
4705,96 |
49 |
480,2 |
|
|
5 |
77,7 |
8 |
6037,29 |
64 |
621,6 |
|
|
6 |
87,2 |
9 |
7603,84 |
81 |
784,8 |
|
|
Итого |
380,9 |
39 |
25757 |
271 |
2641,9 |
|
|
в среднем |
63,483 |
6,5 |
4292,83 |
45,167 |
440,317 |
yх= 1,808 + 9,489х - уравнение линейной регрессии.
Итак, с увеличением концентрации на 1 %, плотностью раствора D возрастает на 1,808
Также построим график:
По графику и по полученному уравнению определите концентрацию раствора, если показания прибора а) D= 30; б) D= 60.
а) D= 30, С=3; б) D= 60, С=6,1.
Список использованной литературы
1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие. - 11-е изд., перераб. - М.: Высшее образование, 2007.
2. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - 2-е изд., перераб. И доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.
3. Бочаров П. П. , Печенкин А. В. Теория вероятностей и математическая статистика: - М.: Гардарика, 1998.
4. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: - М.: ИНФРА-М, 1997.
5. Четыркин Е. М., Клихман И. Л. Вероятность и статистика. - М.: Финансы и статистика, 1982.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Построение корреляционного поля результатов измерения непрерывной работы станков в зависимости от количества обработанных деталей. Определение интервала для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности.
контрольная работа [200,4 K], добавлен 03.10.2014Нахождение уравнения линейной регрессии, парного коэффициента корреляции. Вычисление точечных оценок для математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения показателей x и y. Построение точечного прогноза для случая расходов на рекламу.
контрольная работа [216,6 K], добавлен 12.05.2010Порядок расчета установившегося случайного процесса в системе управления. Статистическая линеаризация нелинейной части системы. Расчет математического ожидания, среднеквадратического отклонения сигнала ошибки. Решение уравнений и построение зависимостей.
контрольная работа [269,4 K], добавлен 23.02.2012Нахождение вероятности за определенный промежуток времени. Плотность распределения вероятностей. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. Интегральная теорема Лапласа, распределение Стьюдента. Исправленная выборочная дисперсия.
контрольная работа [110,5 K], добавлен 28.05.2012Способы применения теорий вероятности в практической статистике. Решение задач с применением математической статистики: теоремы появления независимых событий, формулы полной вероятности, формулы Бернулли. Постороение статистических таблиц и графиков.
контрольная работа [637,9 K], добавлен 06.01.2009Элементы математического анализа: производная, определенный интеграл и ряды. Арифметические операции и функции комплексной переменной. Основные понятия и определения теории вероятности, статистики и комбинаторики. Законы распределения вероятностей.
методичка [2,9 M], добавлен 05.07.2010Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности. Доверительный интервал для математического ожидания (пример задачи). Распределение Стьюдента. Принятие решения о параметрах генеральной совокупности, проверка статистической гипотезы.
реферат [64,9 K], добавлен 15.02.2011Определение минимального числа договоров предприятия с магазинами и вероятность поступления от них определенного числа заявок. Вычисление товара, пользующегося наибольшим спросом. Оценка возможных отклонений дневной выручки от среднего значения.
задача [257,7 K], добавлен 06.12.2009Анализ различных подходов к определению вероятности. Примеры стохастических зависимостей в экономике. Проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты как один из этапов эконометрического исследования. Вариации.
реферат [261,0 K], добавлен 17.11.2008Зависимость числа занятых в экономике от величины кредитов, предоставленных организациям. Выбор параметров линейного, экспоненциального, степенного, гиперболического трендов, описывающих динамику доли малых предприятий. Расчёт коэффициента автокорреляции.
контрольная работа [279,2 K], добавлен 10.02.2015Анализ изменения курса доллара и проведение аналитического выравнивания. Вычисление точечного прогресса на начало 2018 года с помощью уравнения динамического ряда. Расчет среднеквадратического отклонения от тренда для определения интервального прогноза.
задача [85,6 K], добавлен 15.04.2014Основные понятия математической статистики. Нахождение коэффициента эластичности модели. Проведение экономического анализа, составление прогноза и построение доверительной области. Вычисление зависимости показателя от фактора. Проверка созданной модели.
контрольная работа [173,9 K], добавлен 19.06.2009Понятие корреляционно-регрессионного анализа как метода изучения по выборочным данным статистической зависимости ряда величин. Оценка математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента корреляции случайных величин.
курсовая работа [413,0 K], добавлен 11.08.2012Расчет коэффициентов регрессии. Теоретическая и экспериментальная зависимость параметров а и b. Определение значений статистической дисперсии и среднеквадратического отклонения. Составление графика гистограммы распределения признака и кумулятивной прямой.
контрольная работа [679,1 K], добавлен 12.05.2014Понятия доверительного интервала и доверительной вероятности и их применение в эконометрических задачах. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной и при неизвестной дисперсии, генеральная совокупность.
реферат [2,0 M], добавлен 12.12.2009Расчет параметров A и B уравнения линейной регрессии. Оценка полученной точности аппроксимации. Построение однофакторной регрессии. Дисперсия математического ожидания прогнозируемой величины. Тестирование ошибок уравнения множественной регрессии.
контрольная работа [63,3 K], добавлен 19.04.2013Проверка графика на анормальности и наличие тренда. Определение параметров линейной регрессии. Сглаживание уровней ряда методом простой скользящей средней. Расчет среднеквадратического отклонения. Адекватность и точность параметров нелинейных регрессий.
контрольная работа [912,4 K], добавлен 26.05.2016Группировка предприятий по стоимости основных фондов, построение гистограммы распределения, определение моды графическим и аналитическими способами. Оценка объемов продаж товара методами математической статистики. Задача на экономические индексы.
задача [1,7 M], добавлен 03.02.2010Расчет вероятности совмещения событий при броске монеты и игральной кости, при поражении цели стрелком согласно теории вероятности. Анализ заданной блок-схемы и определение значения переменной. Пример составления и использования электронных таблиц.
контрольная работа [565,1 K], добавлен 22.03.2013История развития экономико-математических методов. Математическая статистика – раздел прикладной математики, основанный на выборке изучаемых явлений. Анализ этапов экономико-математического моделирования. Вербально-информационное описание моделирования.
курс лекций [906,0 K], добавлен 12.01.2009
