F(У)=5у1 + 4у2 + 2у3>мin

При ограничениях

Согласно теоремам двойственности и соответствиям между двойственными переменными из последней строки симплексной таблицы выписываем решение двойственной задачи.

Оптимальный план двойственной задачи можно записать так:

Y*= и L(Y*)=50 - min.

Проверка:

L(У)=5у1 + 4у2 + 2у3>min

L(Y*)=

Решение прямой задачи дает оптимальный план производства, а решение двойственной - оптимальную систему оценок сырья, используемых в процессе производства.

Для того, чтобы затраты на ресурсы были минимальны необходимо использовать ресурсы 1-го вида в размере 2ед., ресурсы 2-го вида в размере 10ед., ресурсы 3-го вида не использовать.

Увеличение первого ресурса на единицу с 2 до 3, приведет к получению нового оптимального плана, в котором прибыль возрастет на 5ден. ед. и станет равной 55ден.ед., увеличение второго ресурса на единицу с 10 до 11, приведет к получению нового оптимального плана, в котором прибыль возрастет на 4ден. ед. и станет равной 54ден.ед., увеличение третьего ресурса на единицу ни к чему не приведет в виду его недифицитности.

Нулевые оценки дополнительных переменных двойственной задачи, подтверждают неубыточность видов продукции.

Задача №4

У поставщика имеются некоторые запасы груза, который нужен потребителю в некоторых объемах. Стоимость перевозок от каждого поставщика каждому потребителю приведены в таблицах.

1. Составьте оптимальный план перевозок тремя способами: методом северо-западного угла, методом Фогеля; методом наименьшей стоимости.

2. Выберете для дальнейшего исследования наиболее выгодный из полученных опорных планов и проверьте его оптимальность методом потенциалов.

3. Определите, единственный ли полученный оптимальный план и если нет, то укажите способ получения других оптимальных планов из найденного.

Решение.

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи:

Суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза в пунктах отправления, следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой.

Для того, чтобы сделать модель закрытой, введем дополнительного потребителя А5, потребность его в грузе будет равна: 200 - 170 = 30 стоимость перевозок в котором будет равна 0.

Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи.

Заполним первой северо-западную клетку то есть клетку А1В1. В нее направляем максимально возможный груз. Он равен min{40; 45}=40. Тогда из пункта А1 вывезен весь запас груза, а потребность в грузе пункта В1 не удовлетворены на 5 единиц, т.о. строка А1 выходит из рассмотрения.

Далее переходим к следующей клетке А2В1. В нее направляем максимально возможный груз. Он равен min{45-40; 40}=5. Тогда из пункта А2 не вывезено 35 единиц груза, а потребность в грузе пункта В1 удовлетворена полностью, т.о. столбец В1 выходит из рассмотрения.

Далее переходим к следующей клетке А2В2. В нее направляем максимально возможный груз. Он равен min{40-5; 65}=35. Тогда из пункта А2 вывезен весь запас груза, а потребность в грузе пункта В2 не удовлетворены на 30 единиц, т.о. строка А2 выходит из рассмотрения.

Далее переходим к следующей клетке А3В2. В нее направляем максимально возможный груз. Он равен min{65-35; 60}=30. Тогда из пункта А3 не вывезено 30 единиц груза, а потребность в грузе пункта В2 удовлетворена полностью, т.о. столбец В2 выходит из рассмотрения.

Далее переходим к следующей клетке А3В3 направляем в нее максимально возможный груз. Он равен min{60-30; 30}=30. Тогда из пункта А3 вывезен груз полностью, потребность в грузе пункта В2 не удовлетворены на 30 единиц, т.о. строка А3 выходит из рассмотрения.

Далее переходим к следующей клетке А4В3. В нее направляем максимально возможный груз. Он равен min{60-30; 30}=30. Тогда из пункта А4 вывезен груз полностью, потребность в грузе пункта В5 удовлетворена полностью, т.о. столбец В5 и А4 строка выходит из рассмотрения.

Осталась одна свободная клетка А5В4. В нее направляем максимально возможный груз. Он равен min{30; 30}=30. Тогда из пункта А5 вывезен груз полностью, потребность в грузе пункта В4 удовлетворена полностью, т.о. столбец В4 и А5 строка выходит из рассмотрения.

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, т.к. все грузы из пунктов Аi в пункты Вj вывезены, потребность пунктов Вj удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. Определяем значение целевой функции первого опорного плана.

F(X1)=40•4+5•5+35•2+30•8+30•7+30•5=855ден. ед.

Используя метод наименьшей стоимости, построим второй опорный план транспортной задачи.

Среди тарифов всей таблицы наименьшим является с24= 1, поэтому в клетку А2В4 направляем максимально возможный груз. Он равен min{30; 40}=30. Тогда из пункта А2 не вывезено 10ед. груза, а потребность пункта В4 удовлетворена, т.о. столбец В4 выходит из рассмотрения.

Из оставшихся тарифов наименьшим является с22=2, поэтому в клетку А2В2 направляем максимально возможный груз. Он равен min{40-30, 65}=10. Тогда из пункта А2 вывезен груз полностью, потребность в грузе пункта В2 не удовлетворена на 55 ед., т.о. строка А2 выходит из рассмотрения.

Из оставшихся тарифов наименьшим является с41=3, поэтому в клетку А4В1 направляем максимально возможный груз. Он равен min{30, 45}=30. Тогда из пункта А4 вывезен груз полностью, потребность в грузе пункта В2 не удовлетворена на 15 ед., т.о. строка А4 выходит из рассмотрения.

Из оставшихся тарифов наименьшим является с33=7, поэтому в клетку А3В3 направляем максимально возможный груз. Он равен min{60-40, 60}=20. Тогда из пункта А3 не вывезено 40ед. груза, а потребность пункта В3 удовлетворена, т.о. столбец В3 выходит из рассмотрения.

Из оставшихся тарифов наименьшим является с31=8, поэтому в клетку А3В1 направляем максимально возможный груз. Он равен min{45-30, 60-20}=15. Тогда из пункта А3 вывезен весь груз, а потребность пункта В1 удовлетворена, т.о. столбец В1 выходит из рассмотрения.

Из оставшихся тарифов наименьшим является с32=8, поэтому в клетку А3В2 направляем максимально возможный груз. Он равен min{65-10, 60-35}=25. Тогда из пункта А3 не вывезено 25ед. груза, а потребность в грузе пункта В2 не удовлетворена на 30 ед., т.о. строка А3 выходит из рассмотрения.

Осталась одна свободная клетка А5В2. В нее направляем максимально возможный груз. Он равен min{30; 30}=30. Тогда из пункта А5 вывезен груз полностью, потребность в грузе пункта В2 удовлетворена полностью, т.о. столбец В2 и А5 строка выходит из рассмотрения.

Определяем значение целевой функции второго опорного плана.

F(X2)= 40•2+10•2+30•1+15•8+25•8+20•7+30•3=680ден. ед.

Используя метод Фогеля, построим третий опорный план транспортной задачи.

Среди тарифов первой строки наименьшими являются 2 и 4 - их разность равна 2;

Среди тарифов второй строки наименьшими являются 1 и 2 - их разность равна 1;

Среди тарифов третьей строки наименьшими являются 2 и 7 - их разность равна 5;

Среди тарифов четвертой строки наименьшими являются 3 и 5 - их разность равна 2;

Среди тарифов первого столбца наименьшими являются 3 и 4 - их разность равна 1;

Среди тарифов второго столбца наименьшими являются 2 и 3 - их разность равна 1;

Среди тарифов третьего столбца наименьшими являются 2 и 3 - их разность равна 1;

Среди тарифов четвертого столбца наименьшими являются 1 и 2 - их разность равна 1;

Заполняем по наибольшей разности.

Наибольшая разность равна 5. В клетку А3В4 направляем максимально возможный груз. Он равен min{30; 60}=30. Тогда из пункта А3 не вывезено 30ед. груза, а потребность пункта В4 удовлетворена, т.о. столбец В4 выходит из рассмотрения.

Далее выбираем наибольшее, равное 2 в клетку А1В3 направляем максимально возможный груз. Он равен min{40; 65}=40. Тогда из пункта А1 вывезен груз полностью, потребность в грузе пункта В2 не удовлетворена на 20 ед., т.о. строка А1 выходит из рассмотрения.

И так далее заполняем оставшиеся клетки

В результате получен третий опорный план, который является допустимым, т.к. все грузы из пунктов Аi в пункты Вj вывезены , потребность пунктов Вj удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Определяем значение целевой функции третьего опорного плана.

F(X3)=40•2+40•2+10•8+20•7+30•2+30•3=500ден. ед.

Из трех построенных планов наилучшим является третий, построенный методом Фогеля.

Задача невырожденная т.к. , где и - размеры матрицы перевозок. В нашем случае m=5, n=4, поэтому должны быть заполнены 5 + 4 - 1 = 8 клеток, что и получилось.

Теперь надо выяснить, оптимален ли план. Для этого надо провести оценку каждой свободной клетки, составив для нее цикл, а по нему - знакочередующуюся сумму тарифов клеток, входящих в этот цикл; если эта оценка окажется для какой-то клетки неотрицательной, ее невыгодно включать в новый план, если же она окажется отрицательной, то рассматриваемый план не оптимален и эту клетку целесообразно включить в новый, более выгодный план.

Найдем потенциалы по занятым клеткам таблицы, в которых , полагая, что , решим систему уравнений.

Вычислим оценки свободных клеток по формуле:

Третий опорный план оптимален т.к. среди оценок свободных клеток нет отрицательных. Оптимальный план можно записать следующим образом:

F(X)=500ден.ед.

Анализ плана:

Из пункта А1 необходимо 40ед. груза вывезти в пункт В3;

Из пункта А2 необходимо 40ед. груза вывезти в пункт В2;

Из пункта А3 необходимо 10ед. груза вывезти в пункт В2, 20ед. груза вывезти в пункт В3, 30ед. груза вывезти в пункт В4;

Из пункта А4 необходимо 30ед. груза вывезти в пункт В1.

При этом суммарные затраты на перевозку груза будут минимальными и составят 500ден. ед.

Оптимальный план задачи не является единственным т.к. среди оценок свободных клеток оптимального плана есть нулевые . Существует одно другое решение. Покажем его:

Для клетки А3В1 т.к. строим цикл перераспределения груза. Для этого в перспективную клетку А3В1 поставим знак +, а в остальные поочередно -, +, - и т.д. Из чисел стоящих в минусовых клетках выбираем наименьшее min{10; 15}=10. прибавляем 10 к объемам груза стоящих в «+»-х клетках, и вычитаем из «-»-х. В результате получено новое оптимальное решение.

F(X4)=40•2+40•2+10•8+20•7+30•2+30•3=500ден. ед.

Четвертый опорный план оптимален т.к. среди оценок свободных клеток нет отрицательных. Оптимальный план можно записать следующим образом:

F(X)=500ден.ед.

Анализ плана:

Из пункта А1 необходимо 40ед. груза вывезти в пункт В3;

Из пункта А2 необходимо 40ед. груза вывезти в пункт В2;

Из пункта А3 необходимо 10ед. груза вывезти в пункт В1, 20ед. груза вывезти в пункт В3, 30ед. груза вывезти в пункт В4;

Из пункта А4 необходимо 30ед. груза вывезти в пункт В1.

При этом суммарные затраты на перевозку груза будут минимальными и составят 500ден. ед.

Задача №5

Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в четырех из них товар первого сорта. Случайным образом выбирают 3 единицы товара. Вычислить вероятность того, что среди них:

а) только упаковки с товарами первого сорта;

б) ровно одна упаковка с товаром первого сорта.

Решение:

а) Пусть событие А - среди вынутых упаковок ровно три упаковки с товарами первого сорта (тогда ноль упаковок второго сорта). Вероятность этого события найдем, используя классическую формулу вероятности: , где n - число всевозможных элементарных исходов, благоприятствующих данному событию. Элементарными исходами являются всевозможные сочетания из 12 упаковок по три упаковки (так как всего 12 упаковок а извлекли 3 упаковки):

(число всех исходов);

Положительные исходы из 4 упаковок извлекают 3 (так как всего 4 упаковки первого сорта и все три извлеченные упаковки первого сорта), и из 8 извлекают 0 (так как всего 8 упаковок второго сорта и из них ни одну не извлекли).

(число положительных исходов).

Получаем:

б) Пусть событие А - среди вынутых упаковок ровно одна упаковка с товарами первого сорта (тогда две другие упаковки второго сорта). Вероятность этого события найдем, используя классическую формулу вероятности: , где n - число всевозможных элементарных исходов, благоприятствующих данному событию. Элементарными исходами являются всевозможные сочетания из 12 упаковок по три упаковки (так как всего 12 упаковок а извлекли 3 упаковки):

(число всех исходов);

Положительные исходы из 4 упаковок извлекают 1 (так как всего 4 упаковки первого сорта и одна извлеченная упаковка первого сорта), и из 8 извлекают 2 (так как всего 8 упаковок второго сорта и из них извлекли две).

(число положительных исходов).

Получаем:

Ответ: а) 0,018, б) 0,509.

Задача №6

линейный программирование распределение вероятность

В магазин поступил одноименный товар, изготовленный двумя предприятиями. С первого предприятия поступило 150 ед., из них 30 ед. 1-го сорта, а со второго предприятия 200 ед., из них 50 1-го сорта. Из общей массы товара наугад извлекается одна единица. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом предприятии.

Решение:

Рассмотрим событие А, которое заключается в том, что изделие первосортно. И гипотезы H1, H2 заключающиеся в том, что изделие из первого, второго, третьего завода соответственно.

Всего имеется 100% изделий. Тогда вероятности того, что изделие из первого, второго, третьего завода соответственно, будут равны:

Из условия задачи известны условные вероятности:

- вероятность того, что изделие из первого завода первосортно.

- вероятность того, что изделие из второго завода первосортно.

По формуле полной вероятности получаем:

- вероятность того, что выбранное изделие первого сорта.

Теперь воспользуемся формулой Байеса:

, где - полная вероятность.

вероятность того, что выбранное первосортное изделие из первого завода. Ответ:

Задача №7

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Найти

1. неизвестную вероятность р;

2. математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение ;

3. функцию распределения F(X) и построить ее график;

4. закон распределения случайной величины У, если ее значения заданы функциональной зависимостью .

Решение

Для любой дискретной случайной величины

Получаем: р + 0,04 + 0,08 + 0,32 + 0,31 + 0,15 + 0,08 = р + 0,98 = 1;

p = 1-0,98 = 0,02.

Значит закон распределения имеет вид:

Математическое ожидание найдем по формуле:

.

Получаем

М(Х) = -2•0,04+(-1)•0,08+0•0,32+1•0,31+2•0,15+3•0,08+4•0,02=0,77.

Дисперсию найдем по формуле:

.

Тогда D(X) = 2,19 - 0,772 = 1,5971

Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле: .

Получаем .

Интегральная функция распределения задается формулой F(x) = P(X<x).

Будем задавать различные значения х и находить соответствующие значения функции.

Если х ? -2, то F(x) = 0.

Если -2 < х ? -1, то F(x) = 0,04.

Если -1 < х ? 0, то F(x) = 0,04+0,08=0,12.

Если 0 < х ? 1, то F(x) = 0,12 + 0,32 = 0,44.

Если 1 < х ? 2, то F(x) = 0,44 + 0,31 = 0,75.

Если 2 < х ? 3, то F(x) = 0,75 + 0,15 = 0,9.

Если 3 < х ? 4, то F(x) = 0,9 + 0,08 = 0,98.

Если х > 4, то F(x) = 0,98 + 0,02 = 1.

Получаем: F(X) =

Построим график функции распределения.

закон распределения случайной величины У, если ее значения заданы функциональной зависимостью

Задача №8

Известно, что в данном технологическом процессе 10% изделий имеют дефект. Какова вероятность того, что в партии из 400 изделий:

а) не будут иметь дефекта 342 изде6лия;

б) будут иметь дефект от 30 до 52 изделий.

Решение.

а) Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз приближенно равна:

, где ,

По условию задачи n=400, p=0,9, q=0,1, k=342. Вычислим х:

По таблице значений функции Лапласа.

.

б) Согласно интегральной теореме Лапласа, если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p, то вероятность того, что во всех испытаниях событие А появится не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно определяется формулой:

Pn(k1, k2)=Ф(х2)-Ф(х1)

, ,

По условию задачи n=400, p=0,1, q=0,9, k1=30, k2=52. Вычислим х1, х2:

По таблице значений функции Лапласа, учитывая нечетность этой функции, находим

P400(30, 52)=Ф(1,333) - Ф(-1,667)=Ф(1,333) + Ф(1,667)=0,4082 + 0,4525 = 0,8607.

Ответ: а) 0,0007; б) 0,8607.

Список использованной литературы

1. Просветов Г. И. Математические методы и модели в экономике: Задачи и решения: Учебно-практическое пособие. - М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2008.

2. Исследование операций в экономике: Учебное пособие / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 1997.

3. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 1997.

4. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. М. Высшая школа, 1997.

5. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие под редакцией С. И. Макарова. - М.: КНОРУС, 2007.

6. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие. - 11-е изд., перераб. - М.: Высшее образование, 2007.

7. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - 2-е изд., перераб. И доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.

8. Бочаров П. П. , Печенкин А. В. Теория вероятностей и математическая статистика: - М.: Гардарика, 1998.

9. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: - М.: ИНФРА-М, 1997.

10. Четыркин Е. М., Клихман И. Л. Вероятность и статистика. - М.: Финансы и статистика, 1982.

Размещено на Allbest.ru