Одноканальная и многоканальная система массового обслуживания

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Одноканальная СМО с отказами

2. Многоканальная СМО с отказами

3. Контрольная задача

Список используемой литературы

1. Одноканальная СМО с отказами

Простейшей из всех задач теории массового обслуживания является модель одноканальной СМО с отказами (потерями).

При этом система массового обслуживания состоит только из одного канала (n = 1) и на нее поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью, зависящей, в общем случае, от времени:

Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени, распределенного по показательному закону с параметром:

(5.35)

Из этого следует, что «поток обслуживания» -- простейший, с интенсивностьюЧтобы представить себе этот поток, вообразим один непрерывно занятый канал, который будет выдавать обслуженные заявки потоком с интенсивностью

Требуется найти:

1) абсолютную пропускную способность СМО (А);

2) относительную пропускную способность СМО (q).

Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему S, которая может находиться в одном из двух состояний:-- свободен,-- занят.

ГСП системы показан на рис. 5.6, а.

Рис. 5.6 ГСП для одноканальной СМО с отказами (а); график решения уравнения (5.38) (б)

Из состояниявсистему, очевидно, переводит поток заявок с интенсивностью; изв-- «поток обслуживания» с интенсивностью.

Вероятности состояний: и. Очевидно, для любого момента t:

= 1. (5.36)

Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний согласно правилу, данному выше:

(5.37)

Из двух уравнений (5.37) одно является лишним, так каки связаны соотношением (5.36). Учитывая это, отбросим второе уравнение, а в первое подставим вместовыражение:

Или

(5.38)

Поскольку в начальный момент канал свободен, уравнение следует решать при начальных условиях:= 1,=0.

Линейное дифференциальное уравнение (5.38) с одной неизвестной функциейлегко может быть решено не только для простейшего потока заявок, но и для случая, когда интенсивность этого потока со временем меняется.

Для первого случая решение есть:

Зависимость величиныот времени имеет вид, изображенный на рис. 5.6, б. В начальный момент (при t = 0) канал заведомо свободен ((0) = 1). С увеличением t вероятностьуменьшается и в пределе (при) равна. Величина, дополняющаядо единицы, изменяется так, как показано на том же рисунке.

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятностьесть не что иное, как относительная пропускная способность q. Действительно,есть вероятность того, что в момент t канал свободен, или вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. Следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно

В пределе, при, когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение относительной пропускной способности будет равно:

Зная относительную пропускную способность q, легко найти абсолютную А. Они связаны очевидным соотношением:

В пределе, при, абсолютная пропускная способность тоже установится и будет равна

Зная относительную пропускную способность системы q (вероятность того, что пришедшая в момент t заявка будет обслужена), легко найти вероятность отказа:

или среднюю часть необслуженных заявок среди поданных. При

2. Многоканальная СМО с отказами

Рассмотрим n-канальную СМО с отказами. Будем нумеровать состояния системы по числу занятых каналов (или, что в данном случае то же, по числу заявок, находящихся в системе или связанных с системой). Состояния системы:

-- все каналы свободны;

--занят ровно один канал, остальные свободны;

--заняты ровно к каналов, остальные свободны;

--заняты все п каналов.

ГСП СМО представлен на рис. 5.7. Около стрелок поставлены интенсивности соответствующих потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит один и тот же поток -- поток заявок с интенсивностью. Если система находится в состоянии(занято к каналов) и пришла новая заявка, то система переходит в состояние

Рис. 5.7 ГСП для многоканальной СМО с отказами

Определим интенсивности потоков событий, переводящих систему по стрелкам справа налево. Пусть система находится в состоянии(занят один канал). Тогда, как только закончится обслуживание заявки, занимающей этот канал, система перейдет в; значит, поток событий, переводящий систему по стрелке , имеет интенсивность. Очевидно, если обслуживанием занято два канала, а не один, поток обслуживания, переводящий систему по стрелкебудет вдвое интенсивнее; если занято k каналов -- в к раз интенсивнее. Соответствующие интенсивности указаны у стрелок, ведущих справа налево.

Из рис. 5.7 видно, что процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса размножения и гибели, рассмотренного выше.

Пользуясь общими правилами, можно составить уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

(5.39)

Уравнения (5.39) называют уравнениями Эрланга. Поскольку при t = 0 система свободна, начальными условиями для их решения являются:

Интегрирование системы уравнений (5.39) в аналитическом виде довольно сложно; на практике такие системы дифференциальных уравнений обычно решаются численно и такое решение дает все вероятности состояний как функции времени.

Наибольший интерес представляют предельные вероятности состоянийхарактеризующие установившийся режим СМО (при). Для нахождения предельных вероятностей воспользуемся ранее полученными соотношениями (5.32)--(5.34), полученными для модели размножения и гибели. Согласно этим соотношениям,

(5.40)

В этих формулах интенсивность потока заявоки интенсивность потока обслуживании (для одного канала)не фигурируют по отдельности, а входят только своим отношением. Это отношение обозначается:

и называется приведенной интенсивностью потока заявок. Величинапредставляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки.

С учетом этого обозначения, соотношения (5.40) принимают вид:

(5.41)

Соотношения (5.41) называются формулами Эрланга. Они выражают предельные вероятности всех состояний системы в зависимости от параметрови n.

Имея вероятности состоянийможно найти характеристики эффективности СМО: относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А и вероятность отказа.

Вероятность отказа. Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все и каналов заняты. Вероятность этого равна

(5.42)

Относительная пропускная способность. Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (относительная пропускная способность а), дополняетдо единицы:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число заявок в системе. Одной из важных характеристик СМО с отказами является среднее число занятых каналов (в данном случае оно совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе). Обозначим это среднее число. Величинуможно вычислить через вероятности по формуле

как математическое ожидание дискретной случайной величины, однако проще выразить среднее число занятых каналов через абсолютную пропускную способность А, которая уже известна. Действительно, А есть не что иное, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; один занятый канал обслуживает в среднем за единицу временизаявок; среднее число занятых каналов получится делением А на:

или, переходя к обозначению ,

пропускной вероятность максимизация доход

(5.43)

Контрольная задача 3. Игра с природой.

Швейная фабрика выпускает детские платья и костюмы, сбыт которых зависит от состояния погоды.

Задача заключается в максимизации средней величины дохода от реализации выпущенной продукции, учитывая капризы погоды.

Решение:

1) AC:1910*(13-6)+590*(44-23)=13370+12390=25760

2) AD:590*(13-6)+880*(44-23)-(1910-590)*6=(22610-1320)*6=127740

3) BC:590*(13-6)+880*(44-23)-(880-590)*23=(22610-290)*23=513360

4) BD:590*(13-6)+880*(44-23)=4130+18480=22610

Доход при теплой и при холодной погоде

25760*x+127740*(1-x)=513360*x+22610*(1-x)

25760*x+127740-127740*x=513360*x+22610-22610*x

25760*x-127740-513360*x+22610*x=22610-127740=0

-592730*x=-105130/*(-1)

x=0,177

1-x=0,823

Рассчитаем ассортимент фабрики:

(1910+590)*0,177+(880+590)*0,823=(1910*0,177+590*0,823)+(880*0,177+590*0,823)=(338,07+485,57)+(155,76+485,57)=824платьев+641костюмов

Рассчитаем доход:

1) При теплой погоде

25760*0,177+127740*0,823=4559,52+105130,02=109689,54

2) При холодной погоде

513360*0,177+22610*0,823=90864,72+18608,03=109472,75

Ответ: 824 платьев и 641 костюмов, доход равен 109689,54 д.ед.

Список используемой литературы

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. Учебное пособие. М., Финансы и статистика, 2005.

2. Глухов В.В. Математические методы и модели для менеджмента: учебное пособие. СПБ; М.; Краснодар: Лань, 2005.

3. Грицюк С.Н. Математические методы и модели в экономике: учебник. Ростов н/Д: Феникс, 2007.

4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. М., Изд-во «Дело и сервис», 2004.

5. Исследование операций в экономике. Учебное пособие для вузов/Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М., ЮНИТИ, 2005.

Размещено на Allbest.ru