Применение линейной алгебры в экономике

Размещено на http://allbest.ru

Применение линейной алгебры в экономике

Задача 1. Плановый межотраслевой баланс.

Общественное производство состоит из восьми отраслей. Задана матрица коэффициентов прямых затрат.

1. По заданной конечной продукции рассчитать валовую продукцию.

Решение: По заданной конечной продукции Y рассчитаем валовую продукцию Х. Используем известное соотношение Х=(Е-А)-1Y, где матрица А задана в условии, вектор Y также дан, Е- единичная матрица.

Подготавливаем таблицу исходных данных в электронной таблице Excel.

Далее создаем единичную матрицу и вычисляем Е-А.

Вычисляем обратную матрицу В=(Е-А)^-1 (используем встроенную функцию МОБР):Категория «Математические»В23-I30. Обводим курсором ячейки B36-I43 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter.

Теперь вычисляем вектор валовой продукции Х=(Е-А)^-1Y=B*Y. Используем встроенную функцию МУМНОЖ: аргументы: в поле «массива1» даем ссылку B36:I43 , в поле «массива 2»- К2:К9. Далее обводим ячейки В47:В54 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter.

Итак, нашли валовую продукцию по отраслям.

2. В таблице заданы валовые продукты отраслей.

Рассчитать конечные продукты отраслей.

Решение: Рассчитаем конечные продукты отраслей по формуле Y=(E-A)X. Все матрицы уже подсчитаны, осталось подставить только формулу: (Используем встроенную функцию МУМНОЖ): Аргументы: в поле «массива1» даем ссылку B23:I30, в поле «массива 2»- В57:В64. Далее обводим ячейки В70:В77 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter.

Получаем вектор конечной продукции по отраслям.

Задача 2. Дан вектор

Y= конечного продукта и матрица,

A= межотраслевого баланса.

Найти вектор валового выпуска Х.

Матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ?a_ij ? 1.

1. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближенно, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.

Матрица коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка равна:

Матрица коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна:

2. Определим матрицу коэффициентов полных затрат точно с помощью формул обращения невырожденных матриц.

Коэффициент полных затрат (b_ij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.

Находим матрицу (E-A):

Вычисляем обратную матрицу (E-A)^-1. Запишем матрицу в виде:

Главный определитель

?=(0.33*0.5-((-0.25)*(-0.33)))=0.08325

Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.

Транспонированная матрица.

Найдем алгебраические дополнения.

A₁₁=(-1)¹⁺¹0.5=0.5;

A₁₂=(-1)¹⁺²-0.333=0.333;

A₂₁=(-1)²⁺¹-0.25=0.25;

A₂₂=(-1)²⁺²0.333=0.333.

Обратная матрица.

Найдем величины валовой продукции двух отраслей

Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой

x_ij = a_ij * X_j

Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продукция) находятся как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов (табл.). Первый квадрант отражает межотраслевые потоки продукции. Второй характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.

Третий представляет национальный доход как стоимость условно-чистой продукции (Z_j), равной сумме амортизации (c_j), оплаты труда (v_j) и чистого дохода j-й отрасли (m_j). Четвертый квадрант показывает конечное распределение и использование национального дохода.

Задача3. Разработка межпродуктового баланса производства и распределения продукции предприятия.

В трех цехах приборостроительного завода изготовляются датчики, приборы и их узлы, основная часть которых идет на внутреннее потребление, остальная является конечным продуктом и поставляется внешним приборостроительным и машиностроительным организациям, а также в ремонтные мастерские.

Требуется составить межпродуктовый баланс производства и распределения продукции, если известны коэффициенты прямых затрат и конечный продукт.

Исходные данные приведены в таблице:

Решение: Находим вектор валовой продукции по известной матрице прямых затрат А и вектору конечной продукции Y по формуле: X=(E-A)^-1Y.

Вносим данные в таблицу, создаем единичную матрицу и вычисляем Е-А:

Вычисляем обратную матрицу B=(E-A)^-1. Ииспользуем встроенную функцию МОБР: аргумент функции ссылка на B13-D15, обводим курсором ячейки B20-D22 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter.

Вычисляем вектор валовой продукции X=(E-A)^-1Y=B*Y. Используем встроенную функцию МУМНОЖ: аргументы: в поле «массива1» даем ссылку B20:D22, в поле «массива 2»- F3:F5. Далее обводим ячейки В27:В29 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter.

Итак, нашли валовую продукцию по отраслям. Теперь можно вычислять числовые значения распределения продукции внутри предприятия и заполнять таблицу межпродуктового баланса. Используем основную формулу:

, ij=1,2,3,

0,15*401,292=60,194 0,10*622,756=62,276 0,30*596,077=178,823

0,25*401,292=100,323 0,15*622,756=93,413 0,25*596,077=149,019

0,30*401,292=120,388 0,25*622,756=155,689 0*596,077=0,00

Получаем искомую таблицу:

Задача 4. На основании данных, приведенных в нижеследующей таблице, восстановить схемы межотраслевого материального баланса.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то:

x_i = (x_i1 + x_i2 + ... + x_in) + y_i, (i = 1,2,...,n)

Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат:

a_ij = x_ij/x_j, (i,j = 1,2,...,n),

показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли.

По формуле находим коэффициенты прямых затрат:

a_ij = x_ij / x_j

Коэффициент прямых затрат (a_ij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A = (a_ij), вектор-столбец валовой продукции X = (X_i) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Y_i), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид:

X = AX +Y

Идея сбалансированности лежит в основе всякого рационального функционирования хозяйства. Суть ее в том, что все затраты должны компенсироваться доходами хозяйства. В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод - взаимное сопоставление имеющихся ресурсов и потребностей в них.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Пусть экономика страны имеет n отраслей материального производства. Каждая отрасль выпускает некоторый продукт, часть которого потребляется другими отраслями (промежуточный продукт), а другая часть - идет на конечное потребление и накопление (конечный продукт).

Обозначим через X_i (i=1..n) валовый продукт i-й отрасли; x_ij - стоимость продукта, произведенного в i-й отрасли и потребленного в j-й отрасли для изготовления продукции стоимостью X_j; Y_i - конечный продукт i-й отрасли.

Критерии продуктивности матрицы А. Существует несколько критериев продуктивности матрицы А:

1. Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.

2. Для того чтобы обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

– Определитель матрицы (E - A) не равен нулю, т.е. матрица (E- A) имеет обратную матрицу (E - A)^-1.

– Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т.е. решение уравнения |лE - A| = 0 строго меньше единицы.

– Все главные миноры матрицы (E - A) порядка от 1 до n, положительны.

Матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ?a_ij ? 1).

1. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближенно, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.

Матрица коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка равна:

Матрица коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна:

Матрица коэффициентов полных затрат приближенно равна:

2. Определим матрицу коэффициентов полных затрат точно с помощью формул обращения невырожденных матриц.

Коэффициент полных затрат (b_ij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.

Находим матрицу (E-A):

Вычисляем обратную матрицу (E-A)^-1. Запишем матрицу в виде:

Главный определитель

?=0.8*(0.5*0.75-(-0.33*(-0.25)))-(-0.1*(-0.33*0.75-(-0.33*(-0.5))))+(-0.1*(-0.33*(-0.25)-0.5*(-0.5)))=0.1583

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.

Транспонированная матрица:

Найдем алгебраические дополнения:

?_1,1=(0.5*0.75-(-0.25*(-0.33)))=0.291667

?_1,2=-(-0.33*0.75-(-0.5*(-0.33)))=0.41667

?_1,3=(-0.33*(-0.25)-(-0.5*0.5))=0.3333

?_2,1=-(-0.1*0.75-(-0.25*(-0.1)))=0.1

?_2,2=(0.8*0.75-(-0.5*(-0.1)))=0.55

?_2,3=-(0.8*(-0.25)-(-0.5*(-0.1)))=0.25

?_3,1=(-0.1*(-0.33)-0.5*(-0.1))=0.0833

?_3,2=-(0.8*(-0.33)-(-0.33*(-0.1)))=0.2999

?_3,3=(0.8*0.5-(-0.33*(-0.1)))=0.36667

Обратная матрица:

Найдем величины валовой продукции трех отраслей

Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой

x_ij = a_ij * X_j

еxcel матрица алгебраический баланс

Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продукция) находятся как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов. Первый квадрант отражает межотраслевые потоки продукции. Второй характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.

Третий представляет национальный доход как стоимость условно-чистой продукции (Z_j), равной сумме амортизации (c_j), оплаты труда (v_j) и чистого дохода j-й отрасли (m_j). Четвертый квадрант показывает конечное распределение и использование национального дохода.

Применение межотраслевого баланса для анализа экономического показателя труда.

Различные модификации рассмотренной выше модели межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве позволяют расширить круг показателей, охватываемых моделью.

Размещено на Allbest.ru