Размещено на http://www.allbest.ru/

Государственное казенное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Российская таможенная академия"

Кафедра таможенной статистики

Курсовая работа

по дисциплине "Математический анализ"

на тему "Об экономической сущности производной"

Выполнила: П.Ю. Буторина

Научный руководитель: Г.О. Вафодорова

Люберцы 2013

Оглавление

Введение

Глава 1. Производная

Глава 2. Производная в экономике

Глава 3. Использование производной для решения задач в экономике

3.1 Примеры задач

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Экономика - неотъемлемая часть нашей жизни. Мы работаем, учимся, занимаемся домашним хозяйством, но даже не подозреваем, что без экономики всего этого могло бы и не быть. Экономические задачи помогают нам правильно тратить ресурсы и средства.

Основная проблема, рассмотренная в моей работе, - использование производной в экономических целях и её роль.

Цель работы: анализ различных производственных задач с точки зрения эффективности применения для их решения аппарата производной.

Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными.

Экономические задачи достаточно сложны, и чтобы облегчить решения данных задач, существует такое понятие, как "производная". В своей работе я попыталась объяснить и доказать, что производная действительно помогает решать различные экономические задачи.

Производная - одно из фундаментальных понятий математики.

Данная тема очень актуальна. Мы часто упоминаем понятие производной в физике, геометрии и даже в экономике. Само понятие "производная в экономике" тесно связано с производственными задачами, предельным анализом и эластичностью функций.

Исследование поведения различных систем часто не обходится без анализа и решения уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. В экономике очень часто требуется найти значение таких показателей, как предельная производительность труда, максимальная прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких переменных, нахождение которых сводится к вычислению производной.

Глава 1. Производная

Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

y'=f '(x) или .

Рассмотрим функцию y = f(x). Отметим на оси Оx некоторое значение аргумента x, а на оси Оу - соответствующее значение функции f(x).

Дадим аргументу х некоторое приращение, обозначаемое ?х. Попадем в точку х+?х. Обозначим ее на рисунке вместе с соответствующим значением функции f (x+?x). Величина

?f = f (x+?x) - f(x)

называется приращением функции, которое отвечает данному приращению аргумента ?х.

Тот процесс, как уже было сказано, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f '(x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов:

1) даем аргументу x приращение ?x и определяем соответствующее приращение функции

?y = f(x+?x) -f(x);

2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а ?x 0, находим,

который обозначаем через f '(x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

Определение:

Производной y'=f '(x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.

Таким образом или



Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение

при ?x0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции у=f(х), дифференцируемой в окрестностях точки x0.

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x0, f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x;

ВС=?у; tgв= .

Так как

АС || Ox, то ALO = BAC = в

(как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgв = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х>0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ?х>0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ?х > 0 в равенстве

tgв =,

то получим

или tg =f '(x0), так как

- угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох

,

по определению производной. Но tg = k - угловой коэффициент касательной, значит,

k = tg = f '(x0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0, или, что то же самое угловому коэффициенту k этой касательной.

Табличные производные и правила дифференцирования.

Производные некоторых функций:

()?	-

Правила дифференцирования:

1. Число (константа) выносится за знак производной

где С - число

2. Дифференцирование суммы

3. Дифференцирование произведения

4. Дифференцирование частного

5. Дифференцирование сложной функции

Глава 2. Производная в экономике

Экономическое приложение производной

В экономической теории активно используется понятие "маржинальный", что означает "предельный". Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем. Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин. производная экономический дифференцирование

Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда x- прирост продукции, а y - приращение издержек производства.

В этом случае производная

выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции

,

где MC - предельные издержки (marginal costs);

TC - общие издержки (total costs);

Q - количество.

Геометрическая интерпретация предельных издержек - это тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке (см. рис.).

Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.

Другой пример: категория предельной выручки (MR-- marginal revenue) - это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта.

Она представляет собой первую производную от выручки:



При этом R=PQ, где R - выручка (revenue); P - цена (price).

Таким образом

, MR= P.

Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции, когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния на цену.

Применение производной в экономической сфере

Примером использования производной в экономике является анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию - предельный продукт труда MPL(marginal product of labor) - это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда (L - labor) при неизменной величине капитала:

.

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то

,

т.к. dY - результат, dL - затраты, то MPL - предельная производительность труда.

Аналогично, MPk - предельный продукт капитала - дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:

.

Если вложения осуществляются малыми порциями, то

.

MPk - характеризует предельную производительность капитала.

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f'(x0) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".

То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если

MC(Qo)=MR(Qo), где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда

П(Q) = R(Q) - C(Q),

где R - прибыль, а C - общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке

П'(Q) = 0. Но П'(Q)=R'(Q) - C'(Q),

поэтому

R'(Qo) = C'(Qo),

откуда следует, что

MR(Qo) = MC(Qo).

Глава 3. Использование производной для решения задач в экономике

3.1 Примеры задач

Задача 1

Цементный завод производит х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х 3+98х 2+200х.

Удельные затраты составят

=-х 2+98х+200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции

у= -х 2+98х+200.

На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2

Предприятие производит х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой

f(x)=-0,02+600x-1000.

Исследовать потенциал предприятия.

Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при х=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Задача 3.

Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара, которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за определенный период времени и при прочих равных условиях.

Зависимость спроса от цены описывается функцией

,

Данная функция исследуется с помощью производной:

Производная меньше нуля, если P>=0. Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6), т.е. при P< спрос убывает медленнее, а при P> спрос убывает все быстрее.

Заключение

В ходе своей работы я рассмотрела различные производственные задачи, функции, анализы и доказала, что производная действительно помогает решать экономические задачи и показала её роль в экономике.

Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.

Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем

Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.

Список используемой литературы

1. Воронов М.В., Мещерякова Г.П. Математика для студентов гуманитарных факультетов. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2002.

2. Малыхин В.Л. Математика в экономике. - М.: ИНФРА-М, 2001.

3. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике. - М.: Книжный дом "Университет". Высш. шк., 2002

4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. В 2-х ч. - М.: Финансы и статистика, 2001

5. Иванов С.И. Экономика. Основы экономической теории. Учебник для 10-11клВ 2-х ч. - "Вита-Пресс", 1999.

Размещено на Allbest.ru

...