Построение и анализ модели временного ряда
Изучение характеристик модели (коэффициента корреляции, коэффициента детерминации, остатков, значимости F-критерия Фишера). Рассмотрение экономической интерпретации коэффициентов модели. Использование расчета показателя относительной ошибки аппроксимации.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.04.2014 |
| Размер файла | 209,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http:www.allbest.ru/
Задача 1.
Изучите зависимость стоимости квартиры от ряда основных факторов.
|
№ п/п |
x1 - общая площадь квартиры (м2) |
x2 - жилая площадь квартиры (м2) |
x3 - тип дома (1- кирпичный, 0 - другой) |
x4 - наличие балкона (1- есть, 0 - нет) |
y - цена квартиры, тыс. долл. |
|
|
1 |
39,0 |
20,0 |
0 |
1 |
15,9 |
|
|
2 |
68,4 |
40,5 |
0 |
1 |
27,0 |
|
|
3 |
34,8 |
16,0 |
0 |
1 |
13,5 |
|
|
4 |
39,0 |
20,0 |
0 |
1 |
15,1 |
|
|
5 |
54,7 |
28,0 |
0 |
1 |
21,1 |
|
|
6 |
74,7 |
46,3 |
0 |
1 |
28,7 |
|
|
7 |
71,1 |
45,9 |
0 |
0 |
27,2 |
|
|
8 |
74,5 |
47,5 |
0 |
0 |
28,3 |
|
|
9 |
137,7 |
87,2 |
0 |
1 |
52,3 |
|
|
10 |
40,0 |
17,7 |
1 |
1 |
22,0 |
|
|
11 |
53,0 |
31,1 |
1 |
1 |
28,0 |
|
|
12 |
86,0 |
48,7 |
1 |
1 |
45,0 |
|
|
13 |
98,0 |
65,8 |
1 |
1 |
51,0 |
|
|
14 |
62,6 |
21,4 |
1 |
1 |
34,4 |
|
|
15 |
45,3 |
20,6 |
1 |
1 |
24,7 |
|
|
16 |
56,4 |
29,7 |
1 |
1 |
30,8 |
|
|
17 |
37,0 |
17,8 |
0 |
1 |
15,9 |
|
|
18 |
67,5 |
43,5 |
0 |
1 |
29,0 |
|
|
19 |
37,0 |
17,8 |
0 |
1 |
15,4 |
|
|
20 |
69,0 |
42,4 |
0 |
1 |
28,6 |
|
|
21 |
40,0 |
20,0 |
0 |
0 |
15,6 |
|
|
22 |
69,1 |
41,3 |
0 |
1 |
27,7 |
|
|
23 |
68,1 |
35,4 |
1 |
1 |
34,1 |
|
|
24 |
75,3 |
41,4 |
1 |
1 |
37,7 |
|
|
25 |
83,7 |
48,5 |
1 |
1 |
41,9 |
|
|
26 |
48,7 |
22,3 |
1 |
1 |
24,4 |
|
|
27 |
39,9 |
18,0 |
1 |
0 |
21,3 |
|
|
28 |
68,6 |
35,5 |
1 |
1 |
36,7 |
|
|
29 |
39,0 |
20,0 |
1 |
0 |
21,5 |
|
|
30 |
48,6 |
31,0 |
1 |
0 |
26,4 |
По исходным данным требуется:
1. Построить классическую линейную модель множественной регрессии, выполнить экономический анализ основных показателей модели: коэффициентов «чистой» регрессии, индекса корреляции, индекса детерминации, оценить значимость модели в целом (F-критерий Фишера) и отдельных ее параметров (t-статистика Стьюдента).
2. Проанализировать матрицу парных коэффициентов корреляции на наличие мультиколлинеарности. Если мультиколлинеарность присутствует - устранить (или ослабить) ее методом пошагового отбора переменных.
3. Построить линейную модель регрессии только со значимыми факторами (на основании выводов, сделанных в п.п. 1 и 2). Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели. Оценить качество построенной модели (индексы корреляции и детерминации, F-критерий Фишера, средняя относительная ошибка аппроксимации). Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, в- и Д- коэффициентов.
4. Построить и проанализировать линейную модель парной регрессии с наиболее значимым фактором. Сравнить качество моделей, построенных в п.п. 3 и 4.
5. Осуществить прогнозирование (точечный прогноз и доверительный интервал прогноза) среднего значения показателя Y при уровне значимости = 0,1 при условии, что прогнозное значения фактора X составит 80% от его максимального значения (для однофакторной модели).
6. Представить графически: фактические и модельные значения, точечный прогноз и доверительный интервал прогноза (для однофакторной модели). модель корреляция экономический коэффициент
Решение:
1. Внесем исходные данные в рабочий лист MS Excel.
Воспользуемся инструментом Регрессия, пакета Анализ данных.
В результате получим отчет:
|
Регрессионная статистика |
||
|
Множественный R |
0,989928 |
|
|
R-квадрат |
0,979957 |
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,97675 |
|
|
Стандартная ошибка |
1,561233 |
|
|
Наблюдения |
30 |
|
Дисперсионный анализ |
||||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
Регрессия |
4 |
2979,336 |
744,8339 |
305,5792 |
7,88E-21 |
|
|
Остаток |
25 |
60,93624 |
2,43745 |
|||
|
Итого |
29 |
3040,272 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
|
Y-пересечение |
-1,42738 |
1,098473 |
-1,29943 |
0,205654 |
-3,68973 |
0,834964 |
|
|
x1 |
0,35411 |
0,066329 |
5,338721 |
1,56E-05 |
0,217503 |
0,490716 |
|
|
x2 |
0,074295 |
0,090525 |
0,820711 |
0,419568 |
-0,11215 |
0,260736 |
|
|
x3 |
8,147036 |
0,636438 |
12,80098 |
1,78E-12 |
6,836267 |
9,457805 |
|
|
x4 |
1,628587 |
0,784502 |
2,075948 |
0,048335 |
0,012874 |
3,2443 |
По последней таблице можно выписать уравнение регрессии (столбец Коэффициенты):
Y=-1,43+0,35х1+0,07х2+8,15х3+1,63х4.
В таблице Регрессионной статистики коэффициент корреляции r = 0,989928, коэффициент детерминации R2 = 0,979957. Эти индексы показывают, что зависимость y - цены квартиры от включенных в модель факторов достаточна сильная. Коэффициент детерминации указывает на то, что 97,9957% вариации результата объясняется вариацией переменных модели.
В таблице Дисперсионного анализа вычислен F-критерий Фишера, который оценивает в целом значимость модели и коэффициента корреляции. Так как его значимость равна 7,88E-21<0,05, то на уровне значимости 0,05 модель в целом признается значимой.
t-статистики Стьюдента, которые оценивают значимость каждого из коэффициентов модели, представлены в столбце t-статистика. Если значимость соответствующего коэффициента (р-Значение) меньше 0,05, то коэффициент статистически надежен и не случайно отличается от нуля. В нашем случае незначимыми является свободный член и коэффициент при переменной х2. Их статистическую незначимость также подтверждает 95% доверительный интервал (концы этого интервала имеют разные знаки).
2. Найдем матрицу парных коэффициентов корреляции. Воспользуемся инструментом Корреляция пакета Анализ данных.
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
y |
|
|
x1 |
1 |
|||||
|
x2 |
0,972573 |
1 |
||||
|
x3 |
-0,00045 |
-0,09762 |
1 |
|||
|
x4 |
0,196666 |
0,113266 |
0 |
1 |
||
|
y |
0,90662 |
0,843805 |
0,392706 |
0,231286 |
1 |
Наибольшее влияние на результативный признак у оказывают факторные переменные х1 и х2. Однако, межфакторная корреляция rx1x2 = 0,972573, так же весьма сильная, что позволяет предположить наличие мультиколлинеарности между признаками. Исключим из модели признак, влияние которого на у меньше, то есть фактор х2. Так же исключим из модели факторы х3 и х4, так как их парные коэффициенты корреляции rx3y и rx4y меньше 0,5, что показывает их слабое влияние на результат.
3. Найдем уравнение множественной линейной регрессии по факторам х2, х3, х4. В результате работы инструмента Регрессия пакета
Анализ данных получим отчеты.
|
Регрессионная статистика |
||
|
Множественный R |
0,989655 |
|
|
R-квадрат |
0,979417 |
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,977042 |
|
|
Стандартная ошибка |
1,551402 |
|
|
Наблюдения |
30 |
|
Дисперсионный анализ |
||||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
Регрессия |
3 |
2977,694 |
992,5647 |
412,3921 |
4,93E-22 |
|
|
Остаток |
26 |
62,57802 |
2,406847 |
|||
|
Итого |
29 |
3040,272 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистиа |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
|
Y-пересечение |
-1,83714 |
0,972293 |
-1,88949 |
0,070026 |
-3,83572 |
0,161437 |
|
|
x1 |
0,407469 |
0,013051 |
31,22179 |
3,85E-22 |
0,380642 |
0,434295 |
|
|
x3 |
7,914816 |
0,566492 |
13,97163 |
1,34E-13 |
6,750375 |
9,079257 |
|
|
x4 |
1,386218 |
0,722219 |
1,919386 |
0,065973 |
-0,09833 |
2,870761 |
Уравнение регрессии по включенным в модель факторам:
Y=-1,84+0.41x1+7,91х3+1,39х4.
Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели.
При нулевых значениях всех факторных переменных, включенных в модель значение Y будет равно -1,84.
При увеличении x1 - общей площади квартиры на 1 м2, цена квартиры будет увеличиваться в среднем на 0,41 тыс. дол.
При изменении х3 - типа дома, цена в среднем будет увеличиваться на 7,91 тыс. дол.
х4 - наличие балкона, увеличивает цену квартиры в среднем на 1,39 тыс. дол.
Оценить качество построенной модели (индексы корреляции и детерминации, F-критерий Фишера, средняя относительная ошибка аппроксимации).
Для построенной модели индекс корреляции (множественный R) равен 0,989655, индекс детерминации (R-квадрат) 0,979417. Эти индексы указывают на хорошее качество построенной модели.
F-критерий Фишера равен 412,3921, его значимость 4,93E-22, что говорит о статистической значимости и надежности уравнения регрессии в целом и показателей тесноты связи.
Посчитаем среднюю ошибку аппроксимации. Воспользуемся таблицей остатков.
|
Наблюдение |
Предсказанное y |
Остатки |
|
|
1 |
15,44035 |
0,45965 |
|
|
2 |
27,41992 |
-0,41992 |
|
|
3 |
13,72898 |
-0,22898 |
|
|
4 |
15,44035 |
-0,34035 |
|
|
5 |
21,83761 |
-0,73761 |
|
|
6 |
29,98698 |
-1,28698 |
|
|
7 |
27,13387 |
0,066129 |
|
|
8 |
28,51926 |
-0,21926 |
|
|
9 |
55,65749 |
-3,35749 |
|
|
10 |
23,76263 |
-1,76263 |
|
|
11 |
29,05973 |
-1,05973 |
|
|
12 |
42,50619 |
2,493814 |
|
|
13 |
47,39581 |
3,604192 |
|
|
14 |
32,97142 |
1,428577 |
|
|
15 |
25,92222 |
-1,22222 |
|
|
16 |
30,44512 |
0,354882 |
|
|
17 |
14,62541 |
1,274587 |
|
|
18 |
27,0532 |
1,946798 |
|
|
19 |
14,62541 |
0,774587 |
|
|
20 |
27,66441 |
0,935595 |
|
|
21 |
14,4616 |
1,138399 |
|
|
22 |
27,70515 |
-0,00515 |
|
|
23 |
35,2125 |
-1,1125 |
|
|
24 |
38,14627 |
-0,44627 |
|
|
25 |
41,56901 |
0,330992 |
|
|
26 |
27,30761 |
-2,90761 |
|
|
27 |
22,33567 |
-1,03567 |
|
|
28 |
35,41623 |
1,283766 |
|
|
29 |
21,96895 |
-0,46895 |
|
|
30 |
25,88065 |
0,519354 |
Средняя ошибка аппроксимации вычисляется по формуле
Заполним расчетную таблицу.
|
Наблюдение |
y |
||||
|
1 |
15,9 |
15,44035 |
0,45965 |
0,028909 |
|
|
2 |
27 |
27,41992 |
-0,41992 |
0,015553 |
|
|
3 |
13,5 |
13,72898 |
-0,22898 |
0,016962 |
|
|
4 |
15,1 |
15,44035 |
-0,34035 |
0,02254 |
|
|
5 |
21,1 |
21,83761 |
-0,73761 |
0,034958 |
|
|
6 |
28,7 |
29,98698 |
-1,28698 |
0,044842 |
|
|
7 |
27,2 |
27,13387 |
0,066129 |
0,002431 |
|
|
8 |
28,3 |
28,51926 |
-0,21926 |
0,007748 |
|
|
9 |
52,3 |
55,65749 |
-3,35749 |
0,064197 |
|
|
10 |
22 |
23,76263 |
-1,76263 |
0,08012 |
|
|
11 |
28 |
29,05973 |
-1,05973 |
0,037847 |
|
|
12 |
45 |
42,50619 |
2,493814 |
0,055418 |
|
|
13 |
51 |
47,39581 |
3,604192 |
0,07067 |
|
|
14 |
34,4 |
32,97142 |
1,428577 |
0,041528 |
|
|
15 |
24,7 |
25,92222 |
-1,22222 |
0,049482 |
|
|
16 |
30,8 |
30,44512 |
0,354882 |
0,011522 |
|
|
17 |
15,9 |
14,62541 |
1,274587 |
0,080163 |
|
|
18 |
29 |
27,0532 |
1,946798 |
0,067131 |
|
|
19 |
15,4 |
14,62541 |
0,774587 |
0,050298 |
|
|
20 |
28,6 |
27,66441 |
0,935595 |
0,032713 |
|
|
21 |
15,6 |
14,4616 |
1,138399 |
0,072974 |
|
|
22 |
27,7 |
27,70515 |
-0,00515 |
0,000186 |
|
|
23 |
34,1 |
35,2125 |
-1,1125 |
0,032625 |
|
|
24 |
37,7 |
38,14627 |
-0,44627 |
0,011837 |
|
|
25 |
41,9 |
41,56901 |
0,330992 |
0,0079 |
|
|
26 |
24,4 |
27,30761 |
-2,90761 |
0,119164 |
|
|
27 |
21,3 |
22,33567 |
-1,03567 |
0,048623 |
|
|
28 |
36,7 |
35,41623 |
1,283766 |
0,03498 |
|
|
29 |
21,5 |
21,96895 |
-0,46895 |
0,021812 |
|
|
30 |
26,4 |
25,88065 |
0,519354 |
0,019673 |
|
|
Сумма |
1,184805 |
, говорит о хорошем качестве модели, так как средняя ошибка аппроксимации не превосходит допустимых 7%.
Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, в- и Д- коэффициентов.
Коэффициент эластичности определяется
, где
- среднее значение соответствующего факторного признака
- среднее значение результативного признака
bi - коэффициенты факторных признаков из уравнения множественной регрессии
Я-коэффициент определяется
, где
- среднеквадратическое отклонение (СКО) соответствующего факторного признака (рассчитывается как корень квадратный из дисперсии признака)
- СКО результативного признака
?-коэффициент определяется
, где
- коэффициент парной корреляции результативного признака и соответствующего фактора X (1-й столбец таблицы парной корреляции)
Выполним операцию Описательная статистика для всех включенных в модель переменных.
|
у |
Х1 |
Х3 |
Х4 |
||
|
Среднее |
28,04 |
60,89 |
0,5 |
0,8 |
|
|
Стандартная ошибка |
1,869376 |
4,110492 |
0,092848 |
0,074278 |
|
|
Медиана |
27,45 |
59,5 |
0,5 |
1 |
|
|
Мода |
15,9 |
39 |
0 |
1 |
|
|
Стандартное отклонение |
10,23899 |
22,51409 |
0,508548 |
0,406838 |
|
|
Дисперсия выборки |
104,837 |
506,8844 |
0,258621 |
0,165517 |
|
|
Эксцесс |
0,270605 |
3,267557 |
-2,14815 |
0,527447 |
|
|
Асимметричность |
0,75652 |
1,397165 |
4,1E-17 |
-1,58013 |
|
|
Интервал |
38,8 |
102,9 |
1 |
1 |
|
|
Минимум |
13,5 |
34,8 |
0 |
0 |
|
|
Максимум |
52,3 |
137,7 |
1 |
1 |
|
|
Сумма |
841,2 |
1826,7 |
15 |
24 |
|
|
Счет |
30 |
30 |
30 |
30 |
|
|
Наибольший(1) |
52,3 |
137,7 |
1 |
1 |
|
|
Наименьший(1) |
13,5 |
34,8 |
0 |
0 |
|
|
Уровень надежности(95,0%) |
3,823303 |
8,4069 |
0,189895 |
0,151916 |
Коэффициенты эластичности:
0,89; 0,14; 0,04.
Я-коэффициенты:
0,90; 0,39; 0,05.
Для данного набора переменных найдем матрицу парных коэффициентов корреляции.
|
|
x1 |
x3 |
x4 |
y |
|
|
x1 |
1 |
||||
|
x3 |
-0,00045 |
1 |
|||
|
x4 |
0,196666 |
0 |
1 |
||
|
y |
0,90662 |
0,392706 |
0,231286 |
1 |
?-коэффициенты:
0,84; 0,16; 0,01.
Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько % изменится среднее значение результативного признака, если среднее значение конкретного факторного признака изменится на 1%, т.е при увеличении на 1% общей площади квартиры (X1) цена квартиры увеличится на 0,89%.
в-коэффициент показывает, на какую величину изменится СКО результативного признака, если СКО конкретного факторного признака изменится на 1 единицу, т.е. при увеличении на 1 единицу СКО общей площади квартиры (X1), СКО цена квартиры увеличится на 0,9.
?-коэффициент показывает удельный вес влияния конкретного факторного признака в совместном влиянии всех факторных признаков на результативный показатель, т.е. удельный вес влияния общей площади квартиры (X1) от совместного влияния X1, X3 и Х4 на результативный признак цену квартиры составляет примерно 84%.
4. Построить и проанализировать линейную модель парной регрессии с наиболее значимым фактором. Сравнить качество моделей, построенных в п.п. 3 и 4.
Наиболее значимым является фактор х1. Построим регрессию с этим фактором.
|
Регрессионная статистика |
||
|
Множественный R |
0,90662 |
|
|
R-квадрат |
0,82196 |
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,815602 |
|
|
Стандартная ошибка |
4,396788 |
|
|
Наблюдения |
30 |
|
Дисперсионный анализ |
||||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
Регрессия |
1 |
2498,983 |
2498,983 |
129,2684 |
5,26E-12 |
|
|
Остаток |
28 |
541,2889 |
19,33175 |
|||
|
Итого |
29 |
3040,272 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
tстатистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
|
Y-пересечение |
2,934193 |
2,349533 |
1,248841 |
0,222064 |
-1,87861 |
7,746994 |
|
|
x1 |
0,412314 |
0,036265 |
11,36962 |
5,26E-12 |
0,33803 |
0,486599 |
Получили уравнение регрессии:
Y=2,93+0.41x1.
По всем характеристикам модели (коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, остатки, значимость F-критерия Фишера) получается, что модель, полученная в п.3 лучше отражает зависимость между факторами.
По всем критериям модель, полученная в п. 4 должна быть признана адекватной и пригодной для прогноза.
5. 80% максимальное значение признака х1 составляет 0,8*137,7=110,16. Подставим это значение в полученное уравнение линейной регрессии:
Yпр=2,93+0.41*110,16=48,35 (тыс. дол.)
6. Представить графически: фактические и модельные значения.
Задача 2. Построение и анализ модели временного ряда
По исходным данным требуется:
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Проверить наличие тренда.
3. Построить линейную модель временного ряда , параметры которой оценить с помощью метода наименьших квадратов.
4. Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности уровней ряда остатков и соответствия ряда остатков нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия воспользоваться таблицами).
5. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6. Осуществить прогноз (точечный прогноз и доверительный интервал) результирующего показателя на следующие два временных шага (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности 0,85).
7. Представить графически фактические значения исследуемого показателя, результаты моделирования и прогнозирования
Известен помесячный выпуск продукции фирмы yt (ед.) за 12 месяцев:
|
Неделя, t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
Объем yt, тыс. ед. |
5435 |
5315 |
3940 |
3729 |
3628 |
3700 |
3470 |
3002 |
3190 |
3450 |
2918 |
2890 |
Решение:
Решение
1. Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристическое число ().
; ,
Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.
|
|
t |
Y |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
5435 |
-5,5 |
30,25 |
1712,75 |
2933513 |
- |
- |
|
|
|
2 |
5315 |
-4,5 |
20,25 |
1592,75 |
2536853 |
120 |
0,000154 |
|
|
|
3 |
3940 |
-3,5 |
12,25 |
217,75 |
47415,06 |
1375 |
0,001761 |
|
|
|
4 |
3729 |
-2,5 |
6,25 |
6,75 |
45,5625 |
211 |
0,00027 |
|
|
|
5 |
3628 |
-1,5 |
2,25 |
-94,25 |
8883,063 |
101 |
0,000129 |
|
|
|
6 |
3700 |
-0,5 |
0,25 |
-22,25 |
495,0625 |
72 |
9,22E-05 |
|
|
|
7 |
3470 |
0,5 |
0,25 |
-252,25 |
63630,06 |
230 |
0,000295 |
|
|
|
8 |
3002 |
1,5 |
2,25 |
-720,25 |
518760,1 |
468 |
0,0006 |
|
|
|
9 |
3190 |
2,5 |
6,25 |
-532,25 |
283290,1 |
188 |
0,000241 |
|
|
10 |
3450 |
3,5 |
12,25 |
-272,25 |
74120,06 |
260 |
0,000333 |
||
|
11 |
2918 |
4,5 |
20,25 |
-804,25 |
646818,1 |
532 |
0,000681 |
||
|
12 |
2890 |
5,5 |
30,25 |
-832,25 |
692640,1 |
28 |
3,59E-05 |
||
|
Сумма |
78 |
44667 |
143 |
7806462 |
|||||
|
Среднее |
6,5 |
3722,25 |
780646,2
Все полученные значения сравнили с табличными значениями не превышает их, то есть, аномальных наблюдений нет.
По диаграмме заметно, что со временем объем продукции снижается. Можно заметить, что тренд будет существовать.
3. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК.
Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel.
Результат регрессионного анализа:
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
|
|
Y-пересечение |
5035,909 |
272,8657 |
18,45563 |
|
|
Неделя, t |
-202,101 |
37,07515 |
-5,45113 |
Уравнение регрессии зависимости (объем продукции) от (время) имеет вид .
4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).
Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.
4.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d - критерия Дарбина - Уотсона по формуле:
- остатки (получены в результате регрессионного анализа).
|
Наблюдение |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
601,1923 |
361432,2 |
- |
- |
||
|
2 |
683,2937 |
466890,3 |
601,1923 |
82,1014 |
6740,64 |
|
|
3 |
-489,605 |
239713 |
683,2937 |
-1172,9 |
1375691 |
|
|
4 |
-498,503 |
248505,7 |
-489,605 |
-8,8986 |
79,18511 |
|
|
5 |
-397,402 |
157928,4 |
-498,503 |
101,1014 |
10221,49 |
|
|
6 |
-123,301 |
15203,06 |
-397,402 |
274,1014 |
75131,58 |
|
|
7 |
-151,199 |
22861,23 |
-123,301 |
-27,8986 |
778,332 |
|
|
8 |
-417,098 |
173970,7 |
-151,199 |
-265,899 |
70702,07 |
|
|
9 |
-26,9965 |
728,8112 |
-417,098 |
390,1014 |
152179,1 |
|
|
10 |
435,1049 |
189316,3 |
-26,9965 |
462,1014 |
213537,7 |
|
|
11 |
105,2063 |
11068,36 |
435,1049 |
-329,899 |
108833,1 |
|
|
12 |
279,3077 |
78012,79 |
105,2063 |
174,1014 |
30311,3 |
|
|
Сумма |
9,09E-13 |
1965631 |
2044206 |
1,04,
Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от d1=0.97 до d2=1.33, т.е. в зону неопределенности. Следовательно, модель по этому критерию оценить нельзя.
3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек.
P >
Количество поворотных точек равно 7.
Неравенство выполняется (7 >3,5). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
4.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS - критерия:
, где
- максимальный уровень ряда остатков, 683,2937
- минимальный уровень ряда остатков, -498,503
- среднеквадратическое отклонение,
, 44,72
2,796
Расчетное значение попадает в интервал (2,8-3,91), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
4.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
В таблице собраны данные анализа ряда остатков.
|
Проверяемое свойство |
Используемые статистики |
Граница |
Вывод |
|||
|
наименование |
значение |
нижняя |
верхняя |
|||
|
Независимость |
d-критерий |
1,04 |
0,97 |
1,33 |
Не определено |
|
|
Случайность |
Критерий поворотных точек |
7 >3,5 |
3,5 |
адекватна |
||
|
Нормальность |
RS-критерий |
2,796 |
2,8 |
3,91 |
адекватна |
|
|
Среднее=0? |
t-статистика Стьюдента |
0 |
-2,23 |
2,23 |
адекватна |
|
|
Вывод: модель статистики адекватна |
5. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:
, где
Расчет относительной ошибки аппроксимации
Таблица 4.4
|
|
t |
Y |
Предсказанное Y |
|
|
|
|
|
1 |
5435 |
4833,808 |
601,1923 |
0,110615 |
|
|
|
2 |
5315 |
4631,706 |
683,2937 |
0,128559 |
|
|
|
3 |
3940 |
4429,605 |
-489,605 |
0,124265 |
|
|
|
4 |
3729 |
4227,503 |
-498,503 |
0,133683 |
|
|
|
5 |
3628 |
4025,402 |
-397,402 |
0,109538 |
|
|
|
6 |
3700 |
3823,301 |
-123,301 |
0,033325 |
|
|
|
7 |
3470 |
3621,199 |
-151,199 |
0,043573 |
|
|
|
8 |
3002 |
3419,098 |
-417,098 |
0,13894 |
|
|
|
9 |
3190 |
3216,997 |
-26,9965 |
0,008463 |
|
|
10 |
3450 |
3014,895 |
435,1049 |
0,126117 |
||
|
11 |
2918 |
2812,794 |
105,2063 |
0,036054 |
||
|
12 |
2890 |
2610,692 |
279,3077 |
0,096646 |
||
|
Сумма |
78 |
44667 |
0 |
1,089779 |
||
|
Среднее |
6,5 |
3722,25 |
9,08%
Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.
6. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 0,85%).
2408,591
2206,49
Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 4.10)
t = 1,56
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости , следовательно, доверительная вероятность равна 85 %, а критерий Стьюдента при равен 1,56.
Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
, где
443,3543
, , (вычислено ранее)
686,3324
686,4303
Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза.
Таблица прогноза
|
n +k |
U (k) |
Прогноз |
Верхняя граница, Прогноз-U(k) |
Нижняя граница, Прогноз+U(k) |
|
|
13 |
U(1) =686,3324 |
2408,591 |
1722,259 |
3094,923 |
|
|
14 |
U(2) =686,4303 |
2206,49 |
1520,06 |
2892,92 |
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Преобразуем график подбора, дополнив его данными прогноза.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Построение доверительного интервала для коэффициента регрессии в заданной модели. Оценка качества модели по анализу ошибки аппроксимации, индекса корреляции и F-критерия Фишера. Оценка эластичности спроса в зависимости от цены. Уравнение авторегрессии.
контрольная работа [156,8 K], добавлен 28.02.2011Построение модели множественной линейной регрессии по заданным параметрам. Оценка качества модели по коэффициентам детерминации и множественной корреляции. Определение значимости уравнения регрессии на основе F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
контрольная работа [914,4 K], добавлен 01.12.2013Построение линейного уравнения парной регрессии, расчет линейного коэффициента парной корреляции и средней ошибки аппроксимации. Определение коэффициентов корреляции и эластичности, индекса корреляции, суть применения критерия Фишера в эконометрике.
контрольная работа [141,3 K], добавлен 05.05.2010Выбор факторных признаков для построения регрессионной модели неоднородных экономических процессов. Построение диаграммы рассеяния. Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции. Определение коэффициентов детерминации и средних ошибок аппроксимации.
контрольная работа [547,6 K], добавлен 21.03.2015Экономическая интерпретация коэффициента регрессии. Нахождение статочной суммы квадратов и оценка дисперсии остатков. Проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Расчет средней относительной ошибки аппроксимации.
контрольная работа [261,1 K], добавлен 23.03.2010Построение и анализ классической многофакторной линейной эконометрической модели. Вид линейной двухфакторной модели, её оценка в матричной форме и проверка адекватности по критерию Фишера. Расчет коэффициентов множественной детерминации и корреляции.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 01.06.2010Построение поля корреляции и формулировка гипотезы о линейной форме связи. Расчет уравнений различных регрессий. Расчет коэффициентов эластичности, корреляции, детерминации и F-критерия Фишера. Расчет прогнозного значения результата и его ошибки.
контрольная работа [681,9 K], добавлен 03.08.2010Построение ряда динамики. Расчет параметров линейного, степенного, экспоненциального (показательного), параболического, гиперболического трендов с помощью пакета Excel. Вычисление относительной ошибки аппроксимации. Оценка адекватности линейной модели.
практическая работа [165,9 K], добавлен 13.05.2014Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Построение поля корреляции и расчёт параметров линейной регрессии. Результаты вычисления функций и нахождение коэффициента детерминации. Регрессионный анализ и прогнозирование.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 07.08.2011Построение доверительного интервала для коэффициента регрессии. Определение ошибки аппроксимации, индекса корреляции и F-критерия Фишера. Оценка эластичности изменения материалоемкости продукции. Построение линейного уравнения множественной регрессии.
контрольная работа [250,5 K], добавлен 11.04.2015Построение эконометрической модели, описывающей линейную зависимость результативного признака факторов, входящих в нее, методом матрицы. Проверка ее на адекватность по критерию Фишера. Определение дисперсии, ковариации, корреляции и детерминации.
контрольная работа [180,5 K], добавлен 03.12.2014Публикация данных: источники информации и влияние факторов на деятельность. Статистическая автокоррелированность ряда и проверка ее порядков, статистика Дарбина–Уотсона. Регрессионные зависимости и леммы эконометрической модели, доверительный интервал.
практическая работа [327,4 K], добавлен 15.03.2009Построение и анализ однофакторной и многофакторной эконометрической модели. Вычисление парных и частичных коэффициентов корреляции. Проверка адекватности модели по критерию Фишера. Исследование наличия мультиколлениарности по алгоритму Феррара-Глобера.
контрольная работа [172,4 K], добавлен 28.05.2010Нахождение коэффициента корреляции и параметров линии регрессии по заданным показателям y и х. Оценка адекватности принятой модели по критерию Фишера. Построение графика линии регрессии и ее доверительной зоны, а также коэффициента эластичности.
контрольная работа [2,1 M], добавлен 09.07.2014Построение модели для зависимой переменной, используя пошаговую множественную регрессию. Рассчет индекса корреляции, оценка качества полученного уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации. Оценка статистической значимости уравнения регрессии.
лабораторная работа [2,1 M], добавлен 25.05.2009Расчет параметров уравнения линейной регрессии, оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Определение средней ошибки аппроксимации. Статистическая надежность моделирования с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
контрольная работа [58,3 K], добавлен 17.10.2009Построение линейной модели зависимости цены товара в торговых точках. Расчет матрицы парных коэффициентов корреляции, оценка статистической значимости коэффициентов корреляции, параметров регрессионной модели, доверительного интервала для наблюдений.
лабораторная работа [214,2 K], добавлен 17.10.2009Параметры уравнения и экономическое толкование коэффициента линейной регрессии. Расчет коэффициентов детерминации и средних относительных ошибок аппроксимации. Построение структурной формы модели с использованием косвенного метода наименьших квадратов.
контрольная работа [99,2 K], добавлен 27.04.2011Расчет матрицы парных коэффициентов корреляции и статистической значимости коэффициентов регрессии. Оценка статистической значимости параметров регрессионной модели с помощью t-критерия. Уравнение множественной регрессии со статистически факторами.
лабораторная работа [30,9 K], добавлен 05.12.2010Построение уравнения регрессии. Эластичность степенной модели. Уравнение равносторонней гиперболы. Оценка тесноты связи, качества и точности модели. Индекс корреляции и коэффициент детерминации. Оценка статистической значимости регрессионных уравнений.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 25.03.2015
