Методика решения задач по экономико-математическому моделированию

Размещено на http://www.allbest.ru/

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Пример2 По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов ( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих ().

Номер предприятия				Номер предприятия
1	7,0	3,9	10,0	11	9,0	6,0	21,0
2	7,0	3,9	14,0	12	11,0	6,4	22,0
3	7,0	3,7	15,0	13	9,0	6,8	22,0
4	7,0	4,0	16,0	14	11,0	7,2	25,0
5	7,0	3,8	17,0	15	12,0	8,0	28,0
6	7,0	4,8	19,0	16	12,0	8,2	29,0
7	8,0	5,4	19,0	17	12,0	8,1	30,0
8	8,0	4,4	20,0	18	12,0	8,5	31,0
9	8,0	5,3	20,0	19	14,0	9,6	32,0
10	10,0	6,8	20,0	20	14,0	9,0	36,0

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .

5. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .

6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Решение

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

регрессия множественный продукция выработка

№
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	7,0	3,9	10,0	27,3	70,0	39,0	15,21	100,0	49,0
2	7,0	3,9	14,0	27,3	98,0	54,6	15,21	196,0	49,0
3	7,0	3,7	15,0	25,9	105,0	55,5	13,69	225,0	49,0
4	7,0	4,0	16,0	28,0	112,0	64,0	16,0	256,0	49,0
5	7,0	3,8	17,0	26,6	119,0	64,6	14,44	289,0	49,0
6	7,0	4,8	19,0	33,6	133,0	91,2	23,04	361,0	49,0
7	8,0	5,4	19,0	43,2	152,0	102,6	29,16	361,0	64,0
8	8,0	4,4	20,0	35,2	160,0	88,0	19,36	400,0	64,0
9	8,0	5,3	20,0	42,4	160,0	106,0	28,09	400,0	64,0
10	10,0	6,8	20,0	68,0	200,0	136,0	46,24	400,0	100,0
11	9,0	6,0	21,0	54,0	189,0	126,0	36,0	441,0	81,0
12	11,0	6,4	22,0	70,4	242,0	140,8	40,96	484,0	121,0
13	9,0	6,8	22,0	61,2	198,0	149,6	46,24	484,0	81,0
14	11,0	7,2	25,0	79,2	275,0	180,0	51,84	625,0	121,0
15	12,0	8,0	28,0	96,0	336,0	224,0	64,0	784,0	144,0
16	12,0	8,2	29,0	98,4	348,0	237,8	67,24	841,0	144,0
17	12,0	8,1	30,0	97,2	360,0	243,0	65,61	900,0	144,0
18	12,0	8,5	31,0	102,0	372,0	263,5	72,25	961,0	144,0
19	14,0	9,6	32,0	134,4	448,0	307,2	92,16	1024,0	196,0
20	14,0	9,0	36,0	126,0	504,0	324,0	81,0	1296,0	196,0
Сумма	192	123,8	446	1276,3	4581	2997,4	837,74	10828,0	1958,0
Ср. знач.	9,6	6,19	22,3	63,815	229,05	149,87	41,887	541,4	97,9

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

;;

.

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

;

;

.

Находим

;

;

.

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

.

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

;

.

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

;.

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,61% или 0,20% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

;;.

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где

- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

- определитель матрицы межфакторной корреляции.

.

Коэффициент множественной корреляции

.

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

;

;

.

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами - на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата в модели факторами и .

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

.

Получили, что (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5. С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

;

.

Найдем и .

;

.

Имеем

;

.

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

6. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

,.

Задача 1

Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг - страхование на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке из 10 случаев пожаров анализируется зависимость стоимости ущерба, нанесенного пожаром от расстояния до ближайшей пожарной станции (табл. 1)

Табл. 1

№ п.п.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Общая сумма ущерба, млн. руб.	26,2	17,8	31,3	23,1	27,5	36,0	14,1	22,3	19,6	31,3
Расстояние до ближайшей станции, км	3,4	1,8	4,6	2,3	3,1	5,5	0,7	3,0	2,6	4,3

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры линейной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Оцените с помощью средней квадраической ошибки и средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

5. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

7. Оцените статистическую значимость коэффициента регрессии и коэффициента корреляции.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.

9. Оцените полученные результаты, оформите выполненное задание в виде отчета.

1. Построим поле корреляции (рис. 1). По расположению эмпирических точек можно предположить наличие линейной корреляционной зависимости между переменными и , т.е. можно принять гипотезу о линейной связи. Поэтому уравнение регрессии будем искать в виде линейного уравнения

Рис. 1. Поле корреляции

2. Найдем оценки параметров и . Все расчеты представлены в таблице

№ п.п.
	1	2	3	4	5	6
1	3,4	26,2	11,56	89,08	26,80	686,44
2	1,8	17,8	3,24	32,04	18,70	316,84
3	4,6	31,3	21,16	143,98	31,80	979,69
4	2,3	23,1	5,29	53,13	21,00	533,61
5	3,1	27,5	9,61	85,25	24,80	756,25
6	5,5	36,0	30,25	198,00	36,00	1296,00
7	0,7	14,1	0,49	9,87	13,50	198,81
8	3,0	22,3	9,0	66,9	24,30	497,29
9	2,6	19,6	6,76	50,96	22,40	384,16
10	4,3	31,3	18,49	134,59	30,40	979,69
	31,3	249,2	115,85	863,8	249,2	6628,78
ср. знач.	=3,13	=24,92	=11,585	=86,38

Система нормальных уравнений для нахождения оценок параметров и имеет вид:

Уравнение линейной регрессии

Коэффициент регрессии говорит о том, что при увеличении расстояния до пожарной станции на 1 км общая сумма ущерба увеличивается в среднем на 4,687 млн. руб.

Проверим правильность расчетов сравнением сумм

.

.

3. Найдем коэффициент корреляции и коэффициент детерминации

Коэффициента корреляции:

Или;

;

Так как значение коэффициента больше 0,9, то это говорит о наличии весьма высокой связи между признаками.

Коэффициент детерминации:

Проверка

Это означает, что 96,86% вариации общей суммы ущерба (y) объясняется вариацией фактора x - расстояния до ближайшей станции (общая сумма ущерба на 96,86% зависит от расстояния до ближайшей станции, и лишь на 3,14% зависит от факторов, не включенных в модель).

4. Найдем среднюю квадратическую ошибку и среднюю ошибку аппроксимации

Средняя квадратическая ошибка:

Так как , то использование модели регрессии является целесообразным.

Средняя ошибка аппроксимации

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 10%.

5. Найдем коэффициент эластичности:

Коэффициент эластичности говорит о том, что при увеличении фактора x (расстояния до ближайшей станции) на 1% от уровня , т.е. на 0,0313 км (31 м), приведет к увеличению результативного признака y (общей суммы ущерба) на 0,5887% относительно уровня млн. руб., т.е. на 0,1467 млн. руб. (146700 руб.).

6. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия составит:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы составляет . Так как , то уравнение регрессии признаётся статистически значимым.

7. Оценку статистической значимости коэффициента регрессии и коэффициента корреляции проведем с помощью t-статистики Стьюдента.

Определим стандартные ошибки :

Тогда

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составит .

Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:

,

Поэтому параметры b, r не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

8. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза

Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.

Решение.

; . .

.

Пример 3 Макроэкономическая модель:

где C--расходы на потребление, Y -совокупный доход в период t, r - процентная ставка в период t, I - инвестиции в период t, M - денежная масса в период t, G - государственные расходы в период t,It-1 - инвестиции в период t-1, Ct-1 - расходы на потребление в период t, t - текущий период, t-1 - предыдущий период.

РЕШЕНИЕ.

Модель включает четыре эндогенные переменные () - K = 4 и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные - и две лаговые эндогенные переменные - ) - M = 4.

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

I уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные () - k1 = 2 и одну предопределенную переменную - m1 = 1. Таким образом, M - m1 = 4 - 1 = 3 > k1 - 1 = 2 - 1 = 1. Уравнение сверидентифицировано.

II уравнение.

Уравнение II включает две эндогенные переменные () - k2 = 2 и одну предопределенную переменную - m2 = 1. Следовательно, M - m2 = 4 - 1 = 2 > k2 -1 = 2 - 1 = 1. Уравнение сверхидентифицировано.

III уравнение.

Уравнение III включает две эндогенные переменные -- k3 = 2 и одну предопределенную переменную - m3 = 1. Следовательно, M - m3 = 4 - 1 = 3 > k3 - 1 = 2 - 1 = 1. Уравнение сверхидентифицировано.

IV уравнения.

Четвертое уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Поэтому идентифицировать это уравнение не нужно.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

	Сt	Yt	Ct-1	It	rt	It-1	Mt	Gt
I уравнение	-1	b11	b12	0	0	0	0	0
II уравнение	0	0	0	-1	b21	b22	0	0
III уравнение	0	b31	0	0	-1	0	b32	0
IV уравнение	1	-1	0	1	0	0	0	1

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т.е. 4 - 1 = 3.

I уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3 * 3 этой матрицы не равен нулю:

Достаточное условие идентификации для I уравнения выполняется.

II уравнение.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3 * 3 этой матрицы не равен нулю:

Достаточное условие идентификации для II уравнения выполняется.

Ш уравнение.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3 * 3 этой матрицы не равен нулю:

Достаточное условие идентификации для II уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. Модель в целом является сверхидентифицированной.

2. Запишем приведенную форму модели:

где U1, U2, U3, U4 - случайные ошибки

Размещено на Allbest.ru

...