Системы регрессионных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКА

Контрольная работа "ЭКОНОМЕТРИКА"

Тема: " Системы регрессионных уравнений"

Выполнила: Студентка 2 курса

Петренко Л.Н.

Москва 2013

Содержание

Введение

1. Линейная регрессионная модель

2. Общий вид системы одновременных уравнений

3. Модель спроса и предложения

4. Одновременное оценивание регрессионных уравнений

5. Метод инструментальных переменных

6. Экономические примеры систем одновременных уравнений

Заключение

Список литературы

Введение

эконометрический модель уравнение регрессионный

На практике реальные экономические объекты, исследуемые с помощью эконометрических методов, приводят к расширению понятия эконометрической модели, описываемой системой регрессионных уравнений и тождеств, которые в отличие от регрессионных уравнений не содержат, подлежащих оценке, параметров модели и не включают случайной составляющей.

Особенностью этих систем является то, что каждое из уравнений системы, кроме своих объясняющих переменных, может включать объясняемые переменные из других уравнений. Таким образом, имеется не одна зависимая переменная, а набор зависимых (объясняемых) переменных, связанных уравнениями системы. Такую систему называют также системой одновременных уравнений, само название которой подчеркивает, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и независимые в других.

Классическим примером такой системы является модель спроса Q^d и предложения Q^s, когда спрос на товар определяется его ценой Р и доходом потребителя I, предложение товара - его ценой Р и достигается равновесия между спросом и предложением:

Q^d = в₁ + в₂P + в₃I + е_1;

Q^s = в₄ + в₅P + е₂ ;

Q^d = Q^s .

В этой системе экзогенной переменной выступает доход потребителя I, а эндогенными - спрос (предложение) товара Q^d = Q^s = Q и цена товара (цена равновесия) Р.

В другой модели спроса и предложения в качестве объясняющей предложение Q^s_t переменной может быть не только цена товара Р в данный момент времени t - Р_t, но и цена товара в предыдущий момент времени P_t-1, т.е. лаговая эндогенная переменная:

Q^s_t = в₄ + в₅P_t + в₆ P_t-1 + е₂.

Подводя итог, можно сказать, что эконометрическая модель позволяет объяснить поведение эндогенных переменных в зависимости от значений экзогенных и лаговых эндогенных переменных.

Общим моментом для любой эконометрической модели является разбиение зависимой переменной на две части - объясненную и случайную.

Классическая эконометрическая модель рассматривает объясняющие переменные Х_j как детерминированные, однако, основные результаты статистического исследования модели остаются в значительной степени теми же, если считать Х_j случайными переменными.

Объясненная часть - обозначим ее Y_e - в любом случае представляет собой функцию от значений факторов - объясняющих переменных:

Y_e = f (X₁, …, X_p).

Таким образом, эконометрическая модель имеет вид

Y = f (X₁, …, X_p)+ е.

Наиболее естественным выбором объясненной части случайной величины Y является ее среднее значение - условное математическое ожидание Мх₁, х₂, …, х_р ( Y ), полученное при данном наборе значений объясняющих переменных (х₁, х₂, …, х_р). По своему смыслу объясненная часть - это ожидаемое значение зависимой переменной при заданных значениях объясняющих.

Уравнение М_х(Y) = f (х₁, …, х_p) - называется уравнением регрессии. Таким образом, экономическая модель имеет вид:

Y = M_x (Y) + е,

где е - случайная величина, называемая возмущением или ошибкой. В математической статистике данное уравнение называется уравнением регрессионной модели.

С математической точки зрения регрессионные модели оказываются наиболее простым объектом, чем эконометрическая модель общего типа.

1. Линейная регрессионная модель

Пусть определен характер экспериментальных данных и выделен определенный набор объясняющих переменных.

Для того, чтобы найти объясненную часть, т.е. величину M_x(Y), требуется знание условных распределений случайной величины Y. На практике это почти никогда не имеет места, поэтому точное нахождение объясненной части невозможно. В таких случаях применяется стандартная процедура сглаживания экспериментальных данных, состоящая из двух этапов:

- определяется параметрическое семейство, к которому принадлежит искомая функция M_x(Y);

- находятся оценки параметров этой функции с помощью одного из методов математической статистики.

Согласно двумерному нормальному закону линии регрессии M_x(Y) и M_y(X) нормально распределенных случайных величин представляют собой прямые линии, т.е. нормальные регрессии Y по Х и Х по Y всегда линейны.

2. Общий вид системы одновременных уравнений

В рассматриваемой экономической ситуации значения объясняемых переменных и регрессоров формируются одновременно под воздействием некоторых внешних факторов. Это означает, что рассматриваемая модель не полна: ее следует дополнить уравнениями, в которых объясняемыми переменными выступали бы сами регрессоры. Таким образом, мы приходим к необходимости рассматривать системы одновременных или регрессионных уравнений.

Классическим примером является одновременное формирование спроса Q^d и предложения Q^s товара в зависимости от его цены Р:

Q^d = в₁ + в₂P + в₃I + е₁, (3.1)

Q^s = в₄ + в₅P + е₂,

где I - доход.

Если предположить, что рынок находится в состоянии равновесия, то в равенствах следует положить Q^d = Q^s = Q. В этом случае наблюдаемое значение Р - это цена равновесия, которая формируется одновременно со спросом и предложением. Таким образом, мы должны считать P и Q объясняемыми переменными, а величину дохода I - объясняющей переменной.

Переменные Q и Р формируют свои значения, подчиняясь уравнениям (3.1), т.е. внутри модели. Такие переменные называются эндогенными. Однако, переменная I считается в данных уравнениях заданной, ее значения формируются вне модели. Такие переменные называются экзогенными.

Главное отличие между экзогенными и эндогенными переменными заключается в том, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибками регрессии, между тем как эндогенные могут коррелировать. Можно предположить, что схожие случайные факторы действуют как на цену равновесия, так и на спрос на товар. Причинная зависимость между переменными и приводит, очевидно, к коррелированности их со случайными членами.

Набор экзогенных переменных может быть различным. Например, в модели спроса и предложения в качестве экзогенных переменных к доходу могут быть добавлены процентная ставка, временной тренд и т.д.

Общий вид системы одновременных уравнений:

Пусть Y₁, …, Y_m - эндогенные переменные, Х₁, …, Х_l - экзогенные переменные. Введем блочные матрицы В и Г вида:

в₁₁ … в_{l m} Y₁₁ … Y_{1 l}

В = … … … ; Г = … …

в _ml … в_mm Y_m1… Y_ml

Тогда общий вид системы одновременных уравнений представляется в матричной форме как

BY + ГX = е, (3.2)

Y₁ Х₁ е₁

где Y = … ; Х = … ; е = … .

Y_m Х_l е_m

3. Модель спроса и предложения

Кроме регрессионных уравнений (поведенческих уравнений) модель может содержать тождества, которые представляют собой алгебраические соотношения между эндогенными переменными. Например, для модели формирования спроса и предложения и цены равновесия имеем два поведенческих уравнения (3.1) и одно тождество Q^s = Q^d.

Тождества позволяют исключить некоторые эндогенные переменные и рассматривать систему регрессионных уравнений меньшей размерности. Например, в модели спроса и предложения можно положить Q^s = Q^d = Q и рассматривать структурную форму (3.2), где

Q 1 е₁

Y = ; Х = ; е = ;

P l е₂

1 - в₂ - в₁ - в₃

В = ; Г = .

1 - в₅ - в₄ 0

В левой части системы можно выделить эндогенные переменные и записать уравнение в следующем виде:

Y₁ = б₁ + в₁X₁ + г₁Y₂ + е₁; (4.1)

Y₂ = б₂ + в₂X₂ + г₂Y₁ + е₂ (4.2)

Если применить к уравнениям (4.1) и (4.2) обычный метод наименьших квадратов, то получатся несостоятельные оценки параметров б, в, г, из чего следует, что оценивание систем одновременных уравнений требует специальных методов, таких как косвенный метод наименьших квадратов и метод инструментальных переменных.

4. Одновременное оценивание регрессионных уравнений

Косвенный метод наименьших квадратов по сути сводится к оцениванию по отдельности уравнений приведенной формы

Y₁ = a₁ + b₁X₁ + н₁, (5.1)

Y₂ = a₂ + b₂X₂ + н₂. (5.2)

Можно повысить эффективность оценивания, если объединить данные уравнения и применить к нему обобщенный метод наименьших квадратов.

Пусть

Х₁ 0 Y₁ в₁ н₁

Х = [ ]; Y = … ; в = … ; н = … .

0 Х₂ Y₂ в₂ н₂

Тогда уравнения (5.1) и (5.2) можно записать в виде:

Y = Xв + н. (5.3)

Пусть

У₁₁ = Cov (н₁, н₁), У₁₂ = Cov (н₁, н₂) , У₂₂ = Cov (н₂, н₂).

Если уравнения (5.1) и (5.2) по отдельности удовлетворяют условиям классической модели, матрицы У_ij - скалярные.

Тогда У₁₁ У₁₂

У = [ ------------- ]

У₁₂ У₂₂

- есть ковариационная матрица ошибок регрессии уравнения (5.3). Соответственно, оценка обобщенного метода наименьших квадратов уравнения (5.3) имеет вид b* = (X` У <sup>-1</sup> X)<sup>-1</sup> X` УY.

Для практического применения обобщенного метода наименьших квадратов следует оценить матрицу У. Это можно сделать, применив метод наименьших квадратов сначала к уравнениям (5.1) и (5.2) по отдельности, найти остатки регрессии и принять в качестве оценок матриц У_ij выборочные ковариации Cфv (e_i, e_j). Очевидно, эти оценки будут состоятельными.

Применяя метод одновременного оценивания, можно повысить эффективность косвенного метода наименьших квадратов. Если наборы экзогенных переменных в обоих уравнениях совпадают, то оценка одновременного оценивания совпадает с оценкой метода наименьших квадратов, примененного к уравнениям по отдельности.

5. Метод инструментальных переменных

Идея метода инструментальных переменных заключается в том, чтобы подобрать новые переменные У_j (j = 1, …, l), которые бы тесно коррелировали с X_j и не коррелировали с е в уравнении

Y = Xв + е. (6.1)

Набор переменных { Ж_j } может включать те регрессоры, которые не коррелируют с е , а также другие величины. При этом, количество переменных { Ж_j } может отличаться от исходного количества регрессоров. Такие переменные Ж₁, …, Ж_e называются инструментальными.

Инструментальные переменные позволяют построить состоятельную оценку параметра в модели (6.1), которая принимает вид:

~ 1 -1 1

в_iv = (Z`X)<sup>-1</sup> Z`Y = --- Z`X ---- Z`Y .

n n

где Z, X, Y - матрицы наблюдаемых значений переменных.

Метод инструментальных переменных - один из наиболее распространенных методов оценивания уравнений, в которых регрессоры коррелируют со свободными членами. Именно это оказывается характерным для систем одновременных уравнений.

При условии идентифицируемой системы.

Рассмотрим модель:

Y₁ = a₁ + b₁X₁ + н₁,

Y₂ = a₂ + b₂X₂ + н₂

Для ее коэффициентов метод оценки наименьших квадратов дает оценки

€ € € € € € € €

~ b₁c₂ - b₂c₁ ~ b₁c₂ - b₂c₁

в₁ = ---------------, в₂ = -------------- ,

€ €

€ c₂ b₁

€ c₂ € b₂

г₁ = --- ; г₂ = -----

€ €

c₁ b₁

Эти оценки совпадают с оценками, полученными методом инструментальных переменных. Т.о. экзогенные переменные Х₁ и Х₂ используются как инструментальные для переменных Y_1, Y₂. Другими словами если при оценке идентифицируемого уравнения в качестве инструментальных переменных используются экзогенные переменные, то получаемые при этом оценки совпадают с оценками косвенного метода наименьших квадратов.

6. Экономические примеры систем одновременных уравнений

1. Кейнсианская модель формирования доходов:

C_t = б + вY₁ + е_t, (7.1)

Y_t = C_t + I_t, (7.2)

где Y - совокупный выпуск

C - объем потреблений

I - объем инвестиций.

В данной модели I рассматривается как экзогенная переменная, а Y - как эндогенная. Эта модель описывает закрытую экономику без государственного вмешательства. Она содержит одно поведенческое уравнение (7.1) и одно тождество (7.2).

Очевидно, что данная модель является индентифицируемой. Ее приведенная форма имеет вид:

б 1 е

Y = --------- + --------- I + ---------- .

1 - в 1 - в 1 - в

2. Модель формирования спроса и предложения.

В простейшем виде эта модель рассматривалась выше (3.1). Теперь рассмотрим некоторые ее модификации.

Учет тренда. Учитывая, что привычки медленно меняются со временем, в уравнение формирования спроса следует добавить временной тренд. Тогда модель (3.1) принимает вид:

Q^d = в₁ + в₂P + в₃I + pt + е₁;

Q^s = в₄ + в₅P + е₂.

Приведенная форма записывается в виде:

в₁ - в₄ в₃ с е₁ - е₂

P = --------- + ----------- I + ----------- t + ----------

в₅ - в₂ в₅ - в₂ в₅ - в₂ в₅ - в₂

в₁ в₅ - в₂ в₄ в₃ в₅ св₅ в₅е₁ - в₂е₂

Q = --------------- + -------- I + ---------- t + -------------,

в₅ - в₂ в₅ - в₂ в₅ - в₂ в₅ - в₂

из чего следует, что система не является идентифицируемой. В то же время параметр в₅ оказывается сверхидентифицируемым. Таким образом, записав уравнения регрессии в виде

€

P = a + bI + ct,

€

Q = d + eI + ft,

e f

можно заметить, что ---- и ---- дают оценку в₅.

Учет налога. Предположим теперь, что торговые фирмы облагаются специальным налогом Т. Величина налога меняется со временем и в выборке представлена временным рядом, т.е. является экзогенной переменной. Тогда уравнение спроса не меняется (спрос определяется лишь одной эндогенной переменной - рыночной ценой товара), а в уравнение предложения добавляется соответствующий член. Тогда модель примет вид

Q^d = в₁ + в₂P + в₃I + е₁;

Q^s = в₄ + в₅P + сT +е₂.

Очевидно, в этом случае модель будет идентифицируемой.

Предположим теперь, что доход I считается постоянным на протяжении длительного времени. Тогда в уравнении спроса следует исключить переменную I, и получатся уравнения:

Q^d = в₁ + в₂P + е₁; (7.3)

Q^s = в₄ + в₅P + сT +е₂. (7.4)

Система (7.3) - (7.4), очевидно, не является идентифицируемой. К ней может быть применен метод инструментальных переменных. При этом одна экзогенная переменная Т, рассматриваемая как инструментальная, позволяет идентифицировать только уравнение, в которое она не входит. Для идентификации (7.4) требуется «внешняя» инструментальная переменная.

Другим способом получить идентифицируемое уравнение формирования предложения можно через ограничение на структурные коэффициенты: в₅ = -с. Это ограничение означает, что продавцы исходят из суммы, которую они получают после уплаты налога, т.е. Р*=Р-Т. Тогда система может быть представлена в виде:

Q^d = в₁ + в₂P + е₁;

Q^s = в₄ + в₅P* +е₂

и экзогенная переменная Т может быть использована как инструментальная для идентификации обоих уравнений.

Заключение

В заключение данной работы можно сделать вывод о том, что системы одновременных (регрессионных) уравнений могут иметь широкое применение в экономическом моделировании и наиболее полно описывают экономический объект, содержащий множество взаимосвязанных эндогенных и экзогенных переменных.

Список литературы

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. И.: ЮНИТИ, 1998.

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Уч. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.

3. Ферстер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа: Пер.с нем. М. Финансы и статистика, 1982.

Размещено на Allbest.ru

...