Размещено на http://www.allbest.ru/

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНІ МОДЕЛІ ТА МЕТОДИ У ЗАДАЧАХ УПРАВЛІННЯ РИЗИКАМИ

кандидата фізико-математичних наук

Приварнікова Анастасія Олегівна

Дніпропетровськ - 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Запорізькому державному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор Перепелиця Віталій Опанасович, Запорізький державний університет, завідувач кафедри економічної кібернетики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Михалевич Михайло Володимирович, Українська академія зовнішньої торгівлі Міністерства економіки України, завідувач кафедри макроекономічного прогнозування (м. Київ);

кандидат фізико-математичних наук, доцент Черняк Олександр Іванович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри економічної кібернетики.

Провідна установа

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, м. Київ, відділ економічної кібернетики.

Захист відбудеться " 02 ” листопада 2001 р. о 14.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08.051.09 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 35, корп. 3, ауд. 25.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

Автореферат розісланий "26” вересня 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.А. Турчина

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Формування оптимальної структури портфеля цінних паперів (ЦП) - одна з основних економічних задач, розв'язання якої дозволяє оптимізувати розподіл фінансових та матеріальних ресурсів, прогнозувати результати економічної діяльності.

Результати дослідження математичних моделей цієї задачі об'єднані в класичну портфельну теорію, важливість якої для світової економіки відмічена Нобелевською премією Марковіцу, Шарпу, Міллеру у 1990 році. Класична теорія була розроблена і широко використовується в рамках розвинутої ринкової економіки, що значно спрощує математичні моделі. Більшість з них формулюється у вигляді постановки "ризик-прибутковість”. Що до методів, то для побудови наближення множини Парето оптимальних портфелів найчастіше використовується принцип головного критерію. Аналітичне дослідження цих задач з метою параметризації множини Парето представляє значний науковий інтерес.

Перехідна економіка України характеризується практичною відсутністю достовірної інформації відносно динаміки прибутковостей ЦП, підвищеним ризиком портфеля внаслідок можливого банкрутства емітентів, невизначеністю економічного стану, тому важливою науковою проблемою є розробка методів формування оптимального портфеля ЦП з урахуванням вказаних факторів на основі нових концепцій ризику, збільшення числа критеріїв, побудови стохастичних моделей.

Отже, подальший розвиток класичної портфельної теорії, її адаптація до реалій перехідної економіки, розробка нових підходів до проблеми оптимізації структури портфеля ЦП в умовах підвищеного ризику та неповної інформації є актуальною задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження виконані в рамках держбюджетних тем "Дослідження екстремальних задач в умовах невизначеності та розробка методів їх розв'язання” (№ ДР 0197У012777) та "Математичне моделювання, розробка методів багатокритеріального оцінювання для задач підтримки прийняття рішень в умовах невизначеності, розробка програмного забезпечення для візуалізації методів прийняття рішень, застосування методів теорії катастроф, детермінованого хаосу та фрактальної геометрії" (№ ДР 0100У001723).

Мета і задачі дослідження. Предметом дослідження є деякий клас багатокритеріальних моделей з лінійними і квадратичними критеріями та лінійними обмеженнями. Основним методом дослідження в дисертаційній роботі є пошук оптимального рішення за допомогою лінійної згортки критеріїв і методу множників Лагранжа. Метою дослідження є розробка нових підходів до розв'язання багатокритеріальних задач, де критеріями є лінійна, додатково визначена квадратична форми та корінь квадратний з квадратичної форми, а сума невід'ємних координат допустимих векторів дорівнює одиниці; параметризація множини Парето для дво- і трикритеріальних задач даного класу; застосування одержаних результатів до вирішення проблеми вибору оптимальної структури портфеля ЦП при класичних, альтернативних і стохастичних критеріях ризику, неповній інформації відносно фінансового стану емітентів, невизначеності економічного стану.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше для двокритеріальних задач, де критеріями є очікувана прибутковість (лінійна форма) і загальний ризик у вигляді нормованої дисперсії (квадратична форма) або стандартного відхилення (корінь квадратний з квадратичної форми), одержана в параметричному і явному виглядах множина Парето оптимальних портфелів. Для трикритеріальних задач, де цільова функція представляє собою лінійну згортку класичних, альтернативних і змішаних критеріїв прибутковості та ризику, множина Парето представлена у вигляді двопараметричних залежностей. За допомогою інтегрального критерію Шарпа аналітично визначена структура оптимальних портфелів.

На основі запропонованого підходу аналітично розв'язані важливі практичні задачі управління систематичним ризиком портфеля, побудови оптимальної структури портфеля з урахуванням ймовірності банкрутства емітентів згідно Z-моделі Альтмана.

Запропонована стохастична модель задачі оптимізації портфеля ЦП на основі найбільш загального поняття ризику як ймовірності неодержання прогнозованої прибутковості. Для нормального розподілу прибутковостей знайдено аналітичний розв'язок цієї задачі і встановлено зв'язок її з двокритеріальними задачами при класичних критеріях прибутковості і загального ризику.

Розроблено математичні моделі забезпечення фінансової стійкості портфеля ЦП при неповній інформації відносно фінансового стану емітентів.

Запропонована методика вибору оптимальної моделі формування структури портфеля ЦП в умовах невизначеності економічного стану.

Сформульовано оптимальну стратегію страхування кредитного ризику і запропоновано ймовірнісні оцінки допустимої суми кредитів, яка не порушує стабільності кредитної установи.

Вірогідність та обґрунтованість одержаних результатів. Наукові положення, висновки та рекомендації дисертаційної роботи ґрунтуються на відомих результатах попередніх досліджень у напрямках багатокритеріальної оптимізації, математичних методів управління в умовах неповної інформації, теорії прийняття рішень в умовах невизначеності, портфельної теорії та теорії економічного ризику. Вірогідність отриманих результатів підтверджується коректністю постановок розглянутих задач, математичним обґрунтуванням розроблених і застосованих алгоритмів та методів, чисельним аналізом деяких моделей.

Практичне значення одержаних результатів. На основі аналітичного розв'язку дво- і трикритеріальних задач з класичними та альтернативними критеріями прибутковості і загального ризику можна створити більш ефективні чисельні алгоритми пошуку множини Парето і вибору з цієї множини оптимального портфеля за інтегральним критерієм. Аналітичні розв'язки можна використати в задачах управління систематичним ризиком портфеля, оптимізації його структури з урахуванням ймовірності банкрутства емітентів. В умовах України рекомендується застосовувати двокритеріальну модель з експертними оцінками прибутковостей при гіпотезі про їх некорельованість і нормальний розподіл.

Запропонована стохастична модель оптимізації структури портфеля ЦП, яка дозволяє розв'язати задачу управління систематичним ризиком портфеля при максимальній ймовірності забезпечення гарантованої прибутковості.

Розроблені в дисертації математичні моделі забезпечення фінансової стійкості портфеля ЦП з урахуванням неповної інформації відносно фінансового стану емітентів є адекватними нестабільній економіці України, що дозволяє зменшити ризик портфеля.

Проведені дослідження дають можливість інвестору прийняти оптимальне рішення відносно методики формування структури портфеля ЦП при невизначеності економічного стану.

Методи визначення оптимальної страхової кредитної ставки, ймовірносної оцінки допустимої суми кредитів, забезпечення фінансової стійкості кредитного портфеля дозволяють покращити інвестиційний клімат на Україні.

Частина результатів використана для виконання робіт за науковими темами, а також у навчальному процесі в Запорізькому державному університеті.

Особистий внесок здобувача. У працях, що написані в співавторстві, дисертанту належить: [4] - розробка стратегії оцінки страхової кредитної ставки в залежності від повноти інформації; [8] - постановка прямої і оберненої задач оптимізації структури портфеля цінних паперів при найбільш загальному критерію ризику та пошук аналітичних розв'язків при нормальному розподілі прибутковостей цінних паперів.

Праця [4] опублікована в співавторстві з Перепелицею В. О.; [8] - із Перепелицею В.О., Козіним І.В., Касаевим А. Д.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертаційної роботи доповідалися на: Міжнародній науковій конференції "Розробка та застосування математичних методів у науково-технічних дослідженнях” (Львів, 1998 р.); VI Міжнародній конференції "Математика. Комп'ютер. Освіта” (Пущино, 1999 р.); Міжнародній науково-практичній конференції "Проблеми та перспективи розвитку економіки України в умовах ринкової трансформації" (Дніпропетровськ, 1999р.); II Міжнародній школі з актуарної та фінансової математики (Київ, 1999 р.); II Всеукраїнській конференції "Сучасні економіко-математичні методи у ринковій економіці" (Київ, 2000 р.); щорічних наукових конференціях у Запорізькому державному університеті (1998, 1999, 2000); III Міжнародній школі з актуарної та фінансової математики (Феодосія, 2000 р.)

Дисертаційна робота в цілому обговорювалась на науковому семінарі кафедри економічної кібернетики Запорізького державного університету.

Публікації. Основні результати дисертації викладено у 11 наукових працях, з них 8 статей у збірниках наукових праць (4 статті у наукових фахових виданнях); 2 тези доповідей на міжнародних наукових конференціях; 1 препринт РАН.

Обсяг та структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації становить 158 сторінок, серед яких 1 рисунок і 14 таблиць займають 5 сторінок, бібліографія нараховує 119 найменувань на 10 сторінках.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтована актуальність обраної теми і проаналізовано сучасний стан її вивчення. Сформульовані мета і завдання дослідження, його наукова новизна та практичне значення одержаних результатів, визначено особистий внесок здобувача, ступень апробації дисертації, вказана кількість публікацій автора з даної теми.

У першому розділі "Огляд стану досліджуваної проблеми” зроблено аналітичний огляд досліджень проблеми оптимізації в умовах багатокритеріальності (теорії прийняття рішень), проведена класифікація математичних моделей, розглянута можливість їх застосування до задач портфельної теорії. Огляд основних етапів розвитку класичної портфельної теорії, сучасного стану досліджень, який характеризується збільшенням числа критеріїв оптимізації, внесенням додаткових обмежень при визначенні множини допустимих портфелів, застосуванням критеріїв ризику, альтернативних класичним, показує, що невирішеними, а також недостатньо вивченими залишилися питання:

проблема параметризації множини Парето в багатокритеріальних моделях портфельної теорії,

адаптація результатів класичної портфельної теорії до умов перехідної економіки,

вибір критеріїв ризику при формуванні структури оптимального портфеля,

управління систематичним ризиком портфеля,

забезпечення фінансової стійкості портфеля,

вибір оптимальної математичної моделі формування портфеля ЦП в умовах невизначеності економічного стану,

вибір оптимальної моделі прогнозу страхової кредитної ставки,

оцінка допустимої суми кредитів, яка не порушує стабільності роботи кредитної установи.

У зв'язку з актуальністю проблеми оптимізації в умовах багатокритеріальності та застосування математичних результатів для розв'язання практичних задач портфельної теорії виникає необхідність проведення таких досліджень:

розробки аналітичних методів пошуку оптимальної структури портфеля ЦП в умовах багатокритеріальності з метою параметризації множини Парето,

розробки стохастичних моделей оптимізації структури портфеля ЦП на основі найбільш загального поняття ризику як ймовірності неодержання прогнозованої прибутковості,

розробки алгоритмів розв'язання задачі управління систематичним ризиком портфеля,

розробки математичних моделей забезпечення фінансової стійкості портфеля ЦП при неповній інформації відносно фінансового стану емітентів,

розробки методу вибору оптимальної моделі формування портфеля ЦП в умовах невизначеності економічного стану,

розробки стратегії вибору оптимальної моделі прогнозу страхової кредитної ставки,

розробки математичної моделі ймовірносної оцінки допустимої суми кредитів на основі статистичного аналізу неповернених кредитів.

У другому розділі "Багатокритеріальні моделі та методи оптимізації структури портфеля цінних паперів" розглянуто класичні і альтернативні критерії ризику та прибутковості портфеля ЦП, на основі яких запропоновано ряд математичних моделей оптимізації його структури в умовах багатокритеріальності, а також досліджується проблема зменшення ризику при кредитуванні.

В класичній портфельній теорії прибутковість портфеля ЦП характеризують очікуваною прибутковістю (математичне сподівання) і відхиленням від неї (дисперсія або середнє квадратичне відхилення), яке є критерієм загального ризику. Загальний ризик розглядається як сума систематичної і несистематичної складових. Систематичний ризик вимірюється за допомогою - коефіцієнта портфеля і відображає схильність інвестора до ризику. Очікувану прибутковість кожного ЦП, його -коефіцієнт, коваріацію прибутковостей в класичній теорії прогнозують шляхом статистичного аналізу часових рядів, які приймаються стаціонарними, а також за допомогою експертних оцінок. Недоліком класичних критеріїв ризику є гіпотези про стаціонарність часових рядів і рівнонебезпечність коливань прибутковості в обидві сторони від середнього значення. Альтернативні критерії ризику враховують нестаціонарність часових рядів шляхом обчислення середнього квадрата коливань прибутковості портфеля, а також експоненційно зваженої суми квадратів коливань. Критерій втрати прибутковості портфеля оперує лише з небажаними від'ємними коливаннями прибутковості за весь попередній період. Слід зазначити, що математична структура альтернативних критеріїв аналогічна структурі класичних. При відсутності статистичної інформації відносно прибутковостей ЦП за попередній період застосовуються експертні оцінки і відповідно класичні критерії.

При порівнянні портфелів ЦП між собою, виборі оптимального портфеля використовуються інтегральні критерії Фама, Шарпа, Трейнора, які являються цільовими функціями. Доведено, що для пошуку оптимальної структури портфеля ЦП при основних обмеженнях можна застосовувати тільки критерій Шарпа.

Для побудови наближення до множини Парето оптимальних портфелів в класичній портфельній теорії використовується принцип головного критерію, але цю множину можна також одержати за допомогою лінійної згортки критеріїв. Доведено, що на опуклій множині допустимих портфелів лінійна згортка критеріїв прибутковості і ризику, яка включає критерій загального ризику або аналогічний йому по структурі, дає однозначно визначену опуклу множину Парето оптимальних портфелів.

Розширення рамок класичної теорії можливе шляхом заміни класичних критеріїв альтернативними, а також за рахунок додаткових критеріїв, які можна включити як в цільову функцію, так і в систему обмежень.

управління ризик багатокритеріальна модель

При виборі математичної моделі формування структури оптимального портфеля, найбільш адекватної динаміці ринку ЦП, можна керуватись критерієм сумарної прибутковості портфеля ЦП за весь вибірковий період.

Проблему формування структури оптимального портфеля ЦП можна розглядати як задачу стохастичного програмування. Найбільший інтерес представляє -модель, де критерієм ризику є ймовірність неодержання очікуваної прибутковості. Оскільки оптимальний портфель є детермінований вектор, то для стохастичних задач треба знайти їх детермінований еквівалент.

В умовах невизначеності економічного стану при виборі оптимальної методики формування портфеля ЦП можна використати байесовий підхід при матриці оціночного функціоналу, одержаній згідно критерію Шарпа.

При формуванні оптимальної структури кредитного портфеля для зменшення ризику необхідно страхувати кредити і враховувати фінансовий стан позичальників. Прогноз страхової кредитної ставки може здійснюватись за допомогою трендів, варіаційного ряду неповернених кредитів, числа неповернених кредитів. Фінансовий стан позичальників визначається за допомогою фінансових коефіцієнтів, що дозволяє сформулювати умови фінансової стійкості кредитного портфеля і включити їх в систему обмежень. Розмір кредитного портфеля можна оцінювати виходячи з умови стабільності роботи кредитної установи, яка забезпечується, коли втрати від кредитних операцій не перевищують допустимої величини з заданою ймовірністю. Оцінити максимальну величину одного кредиту можна за допомогою статистики екстремальних значень.

У третьому розділі "Розробка аналітичних методів пошуку оптимальної структури портфеля цінних паперів в багатокритеріальних моделях" запропоновано для пошуку оптимальної структури портфеля ЦП і побудови множини Парето оптимальних портфелів використати лінійну згортку критеріїв прибутковості і ризику.

Класична теорія базується на критеріях очікуваної прибутковості , загального ризику , , інтегральному - критерію Шарпа:

;

, , , ;

;

; (1)

,

де - доля -го виду ЦП в портфелі;

- очікувана прибутковість -го виду ЦП;

- коваріаційна матриця випадкових величин ;

- параметр нормалізації;

- прибутковість безризикових ЦП. Множина допустимих портфелів задається умовами:

.

Цільова функція задається у вигляді лінійної згортки критеріїв , і для пошуку , використовується метод множників Лагранжа, що дозволяє представити координати вектора оптимального портфеля в аналітичному вигляді:

,

, , , , , , (2)

де - елементи матриці, оберненої до коваріаційної.

У процесі розрахунку ми можемо отримати від'ємні координати вектора , тоді, приймаючи їх нульовими, повторюємо процедуру з тими ЦП, що залишилися.

Співвідношення (2) дозволяють параметризувати множину Парето оптимальних портфелів, тобто представити очікувану прибутковість і загальний ризик як функції параметра :

,,,, ;

, ,,,

, , . (3)

Після виключення параметра маємо:

. (4)

Таким чином, в загальному випадку графік функції (4), що встановлює залежність "прибутковість - загальний ризик”, складається з відрізків кривих другого порядку, де кожному відрізку відповідають вектори з однаковим розташуванням ненульових координат. При відсутності нульових координат функція задається однією кривою.

Аналогічний підхід використано для лінійної згортки критеріїв , . Для обчислення координат вектора оптимального портфеля можна використати як одержану ітераційну формулу, так і аналітичні залежності, за допомогою яких параметризована множина Парето оптимальних портфелів. Доведено, що лінійна згортка критеріїв і дає однакову множину Парето оптимальних портфелів, яка складається з відрізків кривих другого порядку. Вказані результати можна розповсюдити на двохкритеріальні задачі, де замість класичних використовуються альтернативні критерії, а також комбінації класичних з альтернативними.

Шляхом включення - коефіцієнта портфеля (систематичний ризик) в систему обмежень для двокритеріальних задач одержано алгоритм побудови множини Парето оптимальних портфелів із заданим - коефіцієнтом, що дозволяє управляти систематичним ризиком портфеля.

Розглянуто клас трикритеріальних задач, де цільова функція представляє собою лінійну згортку класичних, альтернативних і змішаних критеріїв. Отримано аналітичні двопараметричні залежності для і , за допомогою яких можна побудувати множину Парето оптимальних портфелів.

Представлення множини Парето в аналітичному вигляді дозволяє шляхом дослідження на екстремум - функції Шарпа (1) одержати структуру оптимальних портфелів для двокритеріальних задач в явному вигляді.

Для трикритеріальних задач оптимальний портфель можна знайти після чисельного розв'язання системи двох нелінійних рівнянь.

При некорельованих між собою прибутковостях ЦП значно спрощується розв'язок вказаних вище задач, оскільки нема потреби знаходити матрицю, обернену коваріаційній.

Для ітераційної формули зроблена оцінка зверху числа ітерацій, необхідних при визначенні координат оптимального портфеля з заданою похибкою.

Запропоновано алгоритми вибору з усього ринку ЦП оптимального портфеля заданої розмірності.

Розглянуто ряд задач побудови оптимальної структури портфеля ЦП з урахуванням ймовірності банкрутства емітентів згідно Z - моделей Альтмана. Включаючи характеристики Z - моделі в систему обмежень або цільову функцію, приводимо вказані задачі до описаних раніше, для яких розроблено аналітичні методи пошуку оптимального портфеля.

Для двокритеріальних задач з класичними критеріями прибутковості і ризику на конкретному прикладі умовного ринку ЦП перевірено запропоновані алгоритми визначення структури оптимального портфеля.

У четвертому розділі "Стохастичні моделі оптимізації структури портфеля цінних паперів" одержано аналітичний розв'язок деяких задач портфельної теорії на основі ймовірносного критерію ризику, запропоновано ряд стохастичних моделей оптимізації структури портфеля ЦП в умовах неповної інформації та невизначеності економічного стану.

При ймовірносному критерії ризиком портфеля приймається ймовірність недоотримання прибутків порівняно з прогнозним варіантом. Якщо F - нижня межа прибутковості портфеля (гарантована прибутковість), то ймовірність одержання гарантованої прибутковості запишемо у вигляді . Закон розподілу лінійної форми залежить від законів розподілу її коефіцієнтів . При їх нормальному розподілі лінійна форма також буде розподілена по нормальному закону з математичним сподіванням і коваріаційною матрицею , а ймовірність можна виразити через - функцію Лапласа:

, . (7)

Задачу максимізації гарантованої прибутковості при заданій ймовірності її перевищення (, ; ) вважаємо прямою, а задачу одержання гарантованої прибутковості з максимальною ймовірністю (; ) - оберненою.

Отримано в аналітичному вигляді рішення прямої і оберненої задач, показано, як по розв'язку оберненої задачі знайти розв'язок прямої.

Встановлено, що цільова функція оберненої задачі співпадає з критерієм Шарпа, якщо гарантована прибутковість дорівнює прибутковості безризикових ЦП.

Для стохастичної моделі одночасного зростання або падіння прибутковостей всіх ЦП оптимальний портфель складається з одного виду ЦП. Модель можна використати, якщо ринок вдається розбити на групи ЦП з тісним зв'язком прибутковостей в межах кожної групи. Тоді вибираються найкращі ЦП з кожної групи, а потім з них формується оптимальний портфель.

Одержано аналітичний розв'язок задачі управління систематичним ризиком портфеля зміною його бета-коефіцієнта при максимальній ймовірності отримання гарантованої прибутковості шляхом включення - коефіцієнта в основну систему обмежень, яка визначає множину допустимих портфелів:

при , , , , , (8)

де - бета-коефіцієнт - го ЦП.

Після зняття обмеження задача (8) розв'язана методом множників Лагранжа.

Встановлено зв'язок між класичними і ймовірносними критеріями оптимізації. Незалежно від законів розподілу прибутковостей ЦП задача одержання гарантованої прибутковості портфеля з максимальною ймовірністю при мінімальному по модулю відхиленні від очікуваної прибутковості еквівалентна двокритеріальній задачі максимізації очікуваної прибутковості при мінімальному загальному ризику.

При нормальному розподілі прибутковостей ЦП задача одержання гарантованої прибутковості портфеля з ймовірністю, більшою 0,5, еквівалентна двокритеріальній з цільовою функцією, що є лінійною згорткою критеріїв очікуваної прибутковості і стандартного відхилення від неї, причому ваговий коефіцієнт, який задає ранги критеріям, визначається вказаною ймовірністю.

Запропоновані математичні моделі для дослідження впливу фінансового стану емітентів на структуру портфеля ЦП. Фінансова стійкість портфеля забезпечується системою обмежень на фінансові коефіцієнти портфеля, які є лінійною комбінацією координат портфеля з фінансовими коефіцієнтами емітентів, що відображають їх фінансовий стан. Фінансові коефіцієнти портфеля обмежені базовими показниками.

У випадку, коли фінансові коефіцієнти емітентів і базові показники є нормально розподіленими випадковими величинами, детерміновані обмеження замінюються построковими ймовірносними. Якщо вони виконуються з ймовірностями, більшими 0,5, то при цільовій функції прямої задачі і аналогічних їй по структурі маємо задачі опуклого програмування.

При детермінованій матриці фінансових коефіцієнтів і випадкових базових показниках построкові ймовірнісні обмеження є лінійними. Якщо вся система обмежень виконується з заданою ймовірністю, оптимальний портфель визначається одночасно з базовими показниками його фінансової стійкості.

Для випадку відомих законів розподілу прибутковостей ЦП, але невідомого розподілу прибутковості портфеля, можна ввести ймовірнісні характеристики ризику і прибутковості (рівень ризикованості, сподівана величина можливої збитковості, індикатор надприбутку) для кожного ЦП, а відповідні характеристики портфеля представити у вигляді лінійної комбінації його координат з характеристиками ЦП і розглядати їх як інтегральні цільові функції. Пошук їх екстремуму на множині допустимих портфелів, заданих лінійною системою обмежень, є задачею лінійного програмування.

Недостатня кількість і надійність інформації відносно прибутковостей ЦП, невизначеність економічного стану може суттєво вплинути на прибутковість портфеля ЦП, сформованого по вибраній інвестором методиці, яка може не відповідати тому економічному стану з множини можливих, що реалізувався. Для вибору оптимальної методики формування структури портфеля ЦП в умовах невизначеності використано байесовий підхід при матриці оціночного функціоналу, одержаній згідно критерію Шарпа. Основні труднощі пов'язані з оцінкою апріорних ймовірностей станів економічного середовища. Якщо для цих станів встановлено лінійне відношення порядку, можна використати точечні оцінки Фішберна. В умовах повного незнання "поведінки" економічного середовища при виборі оптимальної методики формування портфеля застосовуються критерії Бернуллі - Лапласа і принцип максимуму Гіббса - Джейнса.

Показана можливість використання оцінок апріорного розподілу ймовірностей для лінійного відношення порядку при заданні вагових коефіцієнтів в багатокритеріальних цільових функціях.

Запропонована методика формування структури портфеля з використанням ранжування інвестором ЦП по їх привабливості, принципу Бернуллі, оцінки ймовірностей для інтервального відношення порядку. Структуру портфеля можна також побудувати, якщо цільовою функцією взяти міру невизначеності, а обмеження накласти на очікувану прибутковість і ризик.

Для умовного ринку ЦП проведено чисельний аналіз основних стохастичних моделей оптимізації структури портфеля ЦП.

У п'ятому розділі "Математичні моделі зменшення кредитного ризику” досліджується ряд задач, пов'язаних з проблемою зменшення кредитного ризику в умовах нестабільної економіки.

Розглянуто математичні моделі прогнозу страхової кредитної ставки за допомогою трендів (звичайного і квантильного), по емпіричній і теоретичній функціях розподілу неповернених сум кредитів, числа неповернених кредитів. В результаті теоретичного і чисельного аналізу цих моделей сформульовано оптимальну стратегію оцінки кредитної ставки в залежності від сум і числа неповернених кредитів та їх коливань по роках:

1) Перевіряється гіпотеза про належність вибірок неповернених сум кредитів по роках до однієї генеральної сукупності за допомогою критерію Краскела-Уоліса. Якщо гіпотеза підтверджується, перевіряємо загальну вибірку (n>50) на нормальний, логнормальний розподіли по критерію Колмогорова-Смирнова. При нормальному, логнормальному розподілах прогноз тарифної ставки здійснюється по квантилю верхнього рівня. Для (n>50) використовується критерій Шапіро-Уілкі і тариф прогнозується по верхній надійній межі квантилю верхнього рівня.

2) У випадку, коли вибірки не належать до однієї генеральної сукупності, тарифна ставка визначається за допомогою трендів. Підтвердження гіпотези про нормальний розподіл вибірок по роках за допомогою критерію Шапіро-Уілкі гарантує достатню точність прогнозу.

3) При малій кількості неповернених кредитів (k>10) рекомендується визначати тариф по верхній надійній межі числа неповернених кредитів.

4) При великих коливаннях по роках неповернених сум кредитів прогнозування слід здійснювати по останньому року.

Запропонована математична модель ймовірносної оцінки допустимої суми кредитів, яка не порушує стабільності роботи кредитної установи, тобто втрати від неповернення кредитів із заданою ймовірністю не перевищують деякої граничної величини. Для типових законів розподілу долі неповернених кредитів і граничної величини втрат (обидва закони нормальні, логнормальні, Релея та нормальний, експоненціальний та нормальний) одержано аналітичні оцінки допустимої суми кредитів. Оцінка впливу закону розподілу долі неповернених кредитів на її середню величину показує, що гіпотетичними законами можуть бути: для стабільної економіки - експоненціальний, періоду стабілізації - Релея, нестабільної - нормальний або логнормальний.

Максимальну величину кредиту одному позичальнику рекомендується оцінювати за допомогою квантиля вибраного рівня подвійного експоненціального закону, побудованого за допомогою ретроспективного аналізу збитків.

При формуванні оптимального кредитного портфеля в залежності від трьох основних показників фінансового стану позичальників (абсолютної ліквідності, покриття, автономії) визначається їх класність та задається область фінансово стійких портфелів. Найбільш просто фінансовий стан позичальника враховується моделями типу Чессера за допомогою інтегрального показника ймовірності невиконання кредитної угоди, який є лінійною комбінацією незалежних фінансових коефіцієнтів.

Розглянуто дві двоетапні моделі міжгалузевого розподілу інвестицій по критеріям прибутковості та ризику для реалізації інвестиційних проектів, а також багатокритеріальна модель, яка при виборі проектів враховує інші показники, наприклад, число нових робочих місць, інтегральну економічну шкоду (екологічність проекту).

Висновки

Для багатокритеріальних задач, де критеріями є лінійна, додатньо визначена квадратична форма та корінь квадратний з неї, а сума невід'ємних координат допустимих векторів дорівнює одиниці, виділено класи дво - і трикритеріальних задач і розроблено для них методи параметризації множини Парето, що дозволило аналітично розв'язати ряд важливих практичних задач, які приводяться до моделі портфеля цінних паперів.

Адаптація результатів класичної портфельної теорії до реалій перехідної економіки, а також розробка нових підходів до проблеми оптимізації структури портфеля ЦП в умовах підвищеного ризику, неповної інформації, невизначеності економічного стану є дуже актуальною задачею, яка інтенсивно досліджується вченими України та Росії.

Для двокритеріальних задач з класичними критеріями очікуваної прибутковості та загального ризику методами лінійної згортки критеріїв і множників Лагранжа аналітично визначена множина Парето оптимальних портфелів в параметричному та явному виглядах і структура оптимального по Шарпу портфеля, а для трикритеріальних задач з додатковим лінійним критерієм множина Парето представлена в формі двопараметричних функцій прибутковості і ризику. В задачах з більшим числом критеріїв прибутковості та ризику (класичних, альтернативних, їх комбінацій), які при відомих вагових коефіцієнтах лінійною згорткою зводяться до вказаних вище двокритеріальних, вагові коефіцієнти запропоновано визначати по оцінкам Фішберна, якщо інвестор може встановити серед критеріїв лінійне відношення порядку. Одержані результати використані при розв'язанні важливих практичних задач управління систематичним ризиком портфеля, побудови оптимального портфеля з урахуванням ймовірності банкрутства емітентів згідно Z-моделі Альтмана.

В період формування ринку ЦП, що має місце на Україні, при побудові оптимального портфеля слід застосовувати класичні критерії з експертними оцінками прибутковостей, вважаючи їх некорельваними і нормально розподіленими. Математичні моделі в цьому випадку є найбільш простими, оскільки нема потреби обертати коваріаційну матрицю прибутковостей.

Запропонована стохастична модель задачі "ризик - прибутковість" на основі найбільш загального поняття ризику як ймовірності неодержання прогнозованої прибутковості. Для нормального розподілу прибутковостей ЦП знайдено аналітичний розв'язок прямої задачі - максимізації нижньої межі прибутковості портфеля при заданій ймовірності її перевищення, а також оберненої - максимізації ймовірності перевищення цієї межі. Встановлено зв'язок стохастичної моделі з класичною двокритеріальною. Розглянуто в стохастичній постановці важливу для перехідної економіки задачу забезпечення фінансової стійкості портфеля ЦП і відповідні їй математичні моделі, які можна привести до задач опуклого і лінійного програмування.

Для вибору оптимальної математичної моделі формування портфеля ЦП з множини розглянутих в умовах невизначеності економічного стану рекомендовано байесовий підхід при матриці оціночного функціонала, одержаній згідно критерію Шарпа, і оцінках ймовірностей станів економічного середовища по Фішберну, критерію Бернуллі-Лапласа, принципу максимуму Гіббса-Джейнса.

В результаті аналізу математичних моделей прогнозу страхової кредитної ставки сформульовано оптимальну стратегію її визначення.

Для типових законів розподілу долі неповернених кредитів і граничної величини втрат від кредитних операцій одержано аналітичні оцінки допустимої суми кредитів, яка не порушує стабільності кредитної установи.

Запропоновано математичні моделі оптимізації структури кредитного портфеля з урахуванням фінансового стану позичальників, а також оптимального розподілу інвестицій при кредитуванні інвестиційних проектів.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Приварнікова А.О. Чисельний метод побудови оптимальної структури портфеля цінних паперів при некорельованих прибутках // Вісник Державного Університету "Львівська політехніка”. Прикладна Математика. - 1998. - №337. - Том 2. - С.380 - 383.

Приварнікова А.О. Ймовірнісні оцінки допустимої суми кредитів // Вісник Запорізького державного університету. Фізико-математичні науки. Біологічні науки. - 1999. - №1. - С.93 - 97.

Приварнікова А.О. Побудова множини оптимальних портфелів цінних паперів шляхом лінійної згортки критеріїв максимальної прибутковості і мінімального ризику // Вісник Запорізького державного університету. Фізико-математичні науки. Біологічні науки. - 1999. - №2. - С.113-117.

Перепелиця В.О., Приварнікова А.О. Аналіз математичних моделей страхування // Вісник Запорізького державного університету. Фізико-математичні науки. Біологічні науки. - 2000. - №1. - С.85 - 89.

Приварнікова А.О. Стохастична модель формування структури портфеля цінних паперів // Машинна обробка інформації. Міжвідомчий науковий збірник. Випуск 62. - К.: КНЕУ, 1999. - С.152 - 157.

Приварникова А.О. Алгоритм выбора оптимального портфеля ценных бумаг // Економічний вісник національної гірничної академії України. - 1999. - Том 3. - С.138-141.

Приварникова А.О. Связь между двухкритериальными и стохастическими задачами формирования оптимального портфеля ценных бумаг // Математика. Компьютер. Образование: Сб. науч. тр. - Вып.6. - Ч.2/Под ред.Г.Ю. Ризниченко. - М.: Прогресс - Традиция, 1999. - С.585-589.

Козин И.В., Перепелица В.А., Приварникова А.О., Касаев А.Д. Вероятностная модель "риск-доход”: Препр. / РАН. Специальная астрофизическая обсерватория. - Нижний Архыз: 1999. - 11с.

Приварникова А.О. Формирование оптимальной структуры портфеля ценных бумаг по вероятностному критерию доходности // Abstracts Second international school on actuarial and financial mathematics. - Kyiv (Ukraine). - 1999. - P.21.

Приварникова А.О. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг в условиях неполной информации и неопределенности экономического состояния // Abstracts Third international school on applied statistics, financial and actuarial mathematics. - Kyiv (Ukraine). - 2000. - P.34.

Приварнікова А.О. Управління систематичним ризиком портфеля цінних паперів при максимальній ймовірності отримання гарантованої прибутковості // Ризикологія в економіці та підприємництві: Зб. наук пр. за матеріалами міжнародної науково-практичної конференції. - К.: КНЕУ, Академія ДПС України, 2001. - С.339-340.

Анотація

Приварнікова А.О. Багатокритеріальні моделі та методи у задачах управління ризиками. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2001.

Дисертацію присвячено розробці аналітичних методів дослідження деяких багатокритеріальних моделей управління ризиками. Розглянуто клас задач, де критеріями є лінійна, додатньо визначена квадратична форма та корінь квадратний з неї, а сума невід'ємних координат допустимих векторів дорівнює одиниці. Методом лінійної згортки критеріїв параметризована множина Парето для дво - і трикритеріальних задач. Одержано аналітичний розв'язок важливих задач портфельної теорії: побудова множини оптимальних портфелів при різних критеріях прибутковості і ризику, управління систематичним ризиком. На основі поняття ризику, як ймовірності неперевищення лінійною формою деякого граничного значення, побудовано та досліджено ряд стохастичних моделей з детермінованими та ймовірнісними обмеженнями. Для випадку нормального розподілу коефіцієнтів лінійної форми аналітично розв'язано ряд практичних задач оптимізації структури портфеля цінних паперів. Запропоновано математичні моделі забезпечення фінансової стійкості портфеля, формування його в умовах неповної інформації та невизначеності економічного стану. Знайдено аналітичні оцінки допустимої суми кредитів, яка не порушує стабільності роботи кредитної установи.

Ключові слова: математичне моделювання, багатокритеріальна оптимізація, стохастичні моделі, множина Парето, лінійна згортка критеріїв, портфель цінних паперів, прибутковість, ризик.

Аннотация

Приварникова А.О. Многокритериальные модели и методы в задачах управления рисками. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск, 2001.

Диссертация посвящена разработке аналитических методов исследования некоторых многокритериальных моделей управления рисками. Рассмотрен класс задач, где критериями являются линейная, положительно определенная квадратичная форма и корень квадратный из нее, а сумма неотрицательных координат допустимых векторов равна единице. Полученные теоретические результаты использованы для решения задач портфельной теории.

Для двухкритериальных задач с классическими критериями ожидаемой доходности (математическое ожидание линейной формы) и общего риска (нормированная дисперсия или стандартное отклонение линейной формы) методами линейной свертки критериев и множителей Лагранжа аналитически определено множество Парето оптимальных портфелей в параметрическом и явном видах, а также структура оптимального по интегральному критерию Шарпа портфеля. Для трехкритериальных задач с дополнительным линейным критерием множество Парето представлено в форме двухпараметрических функций доходности и риска. В задачах с большим числом критериев доходности и риска (классических, альтернативных, их комбинаций), которые при известных весовых коэффициентах с помощью линейной свертки приводятся к рассмотренным двухкритериальным, весовые коэффициенты предложено задавать с помощью оценок Фишберна, если инвестор может установить среди критериев линейные отношения порядка. Полученные результаты использованы для решения важных практических задач управления систематическим риском портфеля, построения оптимального портфеля с учетом вероятности банкротства эмитентов согласно - модели Альтмана.

В период формирования рынка ценных бумаг при построении оптимального портфеля предлагается использовать классические критерии с экспертными оценками доходностей ценных бумаг, имеющихся на рынке, предполагая их некоррелированными и нормально распределенными. Математические модели в этом случае являются наиболее простыми.

На основе - модели задачи стохастического программирования исследована задача "риск-доходность" на основании наиболее общего понятия риска как вероятности неполучения прогнозируемой доходности. Для нормального распределения доходностей ценных бумаг получено аналитическое решение прямой задачи - максимизации нижней границы доходности портфеля при заданной вероятности ее превышения, а также обратной - максимизации вероятности превышения этой границы. Установлена связь стохастической модели с классической двухкритериальной. Рассмотрена в стохастической постановке важная для переходной экономики задача обеспечения финансовой устойчивости портфеля ценных бумаг и соответствующие ей математические модели, которые приводятся к задачам линейного и выпуклого программирования.

Для выбора оптимальной математической модели формирования портфеля ценных бумаг в условиях неопределенности экономического состояния из множества рассмотренных в диссертации моделей рекомендуется использовать байесовский подход при матрице оценочного функционала, полученной на базе интегрального критерия Шарпа, и оценках вероятности состояний экономической среды по Фишберну, критерию Бернулли-Лапласа, принципу максимума Гиббса-Джейнса.

В результате анализа математических моделей прогноза страховой кредитной ставки сформулирована оптимальная стратегия ее оценки в зависимости от объема имеющейся информации. Для типичных законов распределения доли невозвращенных кредитов и граничной величины потерь от кредитных операций получены аналитические оценки допустимой суммы кредитов, не нарушающей стабильности работы кредитного учреждения. Предложены математические модели оптимизации структуры кредитного портфеля с учетом финансового состояния заемщиков, а также оптимального распределения инвестиций при кредитовании инвестиционных проектов.

Ключевые слова: математическое моделирование, многокритериальная оптимизация, стохастические модели, множество Парето, линейная свертка критериев, портфель ценных бумаг, доходность, риск.

Annotation

Pryvarnikova A. O. Multicriterial Models And Methods In Risk Management Problems. - Manuscript.

A dissertation in pursuit of the degree of Candidate of the Physico-Mathematical Sciences, with specialization number 01.05.02 - mathematical modeling and computational methods. - Dnepropetrovsk National University, Dnepropetrovsk, 2001.

This dissertation is dedicated to the development of analytic methods for the investigation of certain multicriterial risk management models. In the class of problems considered, the criteria consist of the linear, positively defined quadratic form and of its square root, and the sum of the non-negative coordinates of the allowed vectors is equal to one. The Pareto set for the two - and three-criterion problems is parameterized by means of the linear convolution of the criteria. Analytic solutions are obtained for important problems of portfolio theory: the composition of optimal portfolios given various criteria of profitability and risk, the management of systematic risk. On the basis of the notion of risk as the probability of the linear form's not exceeding a certain boundary value, a series of stochastic models with determinate and probabilistic constraints are constructed and investigated. An analytic solution for a number of practical problems of portfolio structure optimization is found for the case of the normal distribution of the linear form coefficients. Models are suggested for ensuring the financial stability of the portfolio, as well as its formation under conditions of incomplete information and economic uncertainty. Also obtained are analytic estimates of the permissible sum of credits, which does not disturb the operational stability of a lending institution.

Keywords: mathematical modeling, multicriterial optimization, stochastic models, Pareto set, linear convolution of criteria, securities portfolio, profitability, risk.

Размещено на Allbest.ru

...