Решение экономико-математических моделей задачи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Исполнитель: Тёткина Т.А.

Специальность ФиК

III курс

№ зачетной книжки 05ФФБ01703

Содержание

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Литература

Задача 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден.ед., а улучшенный - 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Решение:

Обозначим через x₁ и x₂ число наборов удобрений, обычный и улучшенный соответственно.

Ограничения:

,

,

,



В результате решения был получен ответ: необходимо приобрести 2 обычных набора удобрений и 2 улучшенных, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость.

При максимизации функции (решении задачи на максимум) прямая, соответствующая линии уровня, при своем движении не покидает ОДР, т.е. максимум функции не существует.

Задача 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья IРазмещено на http://www.allbest.ru/

и II видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида;

Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение:

1. Сформулируем экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через x₁, x₂, x₃, x₄ число продукции каждого типа. Целевая функция имеет вид

,

а ограничения по сырью

Полученное решение означает, что максимальный доход 460 единиц можно получить при выпуске 80 изделий А и 10 изделий Г. При этом сырье II и III типа будет использовано полностью, а из 200 сырья I типа будет использовано 180 единиц.

Содержание отчета по результатам

Отчет по результатам
Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$F$4	коэф. В ЦФ ЦФ	0	460
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$B$3	значение X1	0	80
	$C$3	значение X2	0	0
	$D$3	значение X3	0	0
	$E$3	значение X4	0	10
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула
	$F$7	I левая часть	180	$F$7<=$H$7
	$F$8	II левая часть	160	$F$8<=$H$8
	$F$9	III левая часть	170	$F$9<=$H$9
	$B$3	значение X1	80	$B$3>=0
	$C$3	значение X2	0	$C$3>=0
	$D$3	значение X3	0	$D$3>=0
	$E$3	значение X4	10	$E$3>=0

2. Сформулируем экономико-математическую модель двойственной задачи.

Число неизвестных в двойственной задачи равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 3 ограничения. Следовательно, в двойственной задаче 3 неизвестных:

y₁ - двойственная оценка I сырья, или цена I сырья;

y₂ - двойственная оценка II сырья, или цена II сырья;

y₃ - двойственная оценка III сырья, или цена III сырья.

Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициенты при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:



баланс математический программирование

Необходимо найти такие цены на сырье (y_i), чтобы общая стоимость сырья была минимальной.

Число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 4 переменных, следовательно, в двойственной задаче 4 ограничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть ограничений определяет стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы изделия. Каждое ограничение соответствует определенному виду продукции:

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности

, тогда

,

,

.

Подставляем оптимальные значения вектора в полученные выражения и получим

, т.к. 180<200, то Y₁ = 0

,

.

Воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двойственности

;

если , то .

В нашей задаче x₁=80>0 и x₄=10>0, поэтому первое и четвертое ограничения двойственности обращаются в равенства

,

y₁ = 0

Решая полученную систему уравнений, находим y₂, y₃.

Теневые цены сырья типа I, II и III соответственно равны y₁ = 0, y₂ = , y₃ = , или в десятичных дробях 0; 0,4667; 2,2667.

Проверим выполнение первой теоремы двойственности

g() = 200y₁ + 160y₂ + 170y₃ = 200*0 + 160* + 170* = 460.

f() = 5x₁ + 7x₂ + 3x₃ + 6x₄ = 5*800 + 7*0 + 3*0 + 6*10 = 460

Это означает, что оптимальный план двойственной задачи определен верно.

3. Если изделие вошло в оптимальный план (X_j > 0), то в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость сырья, затраченного на производство единицы изделия, равна его цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимальности. В нашей задаче -- это изделия A и Г .

Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за его убыточности. В нашей задаче в план выпуска не вошли изделия Б и В, потому что затраты по ним превышают цену на 3 (10 -- 7 = 7) и 1,133 (4,133 -- 3 = 1,133) соответственно. Этот факт можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y:

2x0 + 1x7/15 + 2x34/15 = 75/15 = 5 = 5,

1x0 + 2x7/15 + 4x34/15 = 150/15 = 10 > 7,

3x0 + 4x7/15 + 1x34/15 = 62/15 > 3,

2x0 + 8x7/15 + 1x34/15 = 90/15 = 6 = 6.

Разницу между правыми и левыми частями ограничений двойственной задачи можно найти в Отчете по устойчивости в столбце Нормир. градиент.

Отчет по устойчивости

Изменяемые ячейки
			Результ.	Нормир.
	Ячейка	Имя	значение	градиент
	$B$3	значение X1	80	0
	$C$3	значение X2	0	-2,999999944
	$D$3	значение X3	0	-1,133333198
	$E$3	значение X4	10	0
Ограничения
			Результ.	Лагранжа
	Ячейка	Имя	значение	Множитель
	$F$7	I левая часть	180	0
	$F$8	II левая часть	160	0,466666667
	$F$9	III левая часть	170	2,266666667

4. Анализ использования ресурсов в оптимальном плане выполняется с помощью второй теоремы двойственности.

Ресурсы II и III имеют отличные от нуля оценки и - эти ресурсы полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Правые части этих ограничений равны левым частям.

Ресурс I используется не полностью, поэтому имеет нулевую двойственную оценку(y₁ = 0). Нулевая оценка ресурса свидетельствует о его недефицитности, которая возникла из-за невозможности его полного использования в оптимальном плане. Этот ресурс не влияет на план выпуска продукции. Данный ресурс не препятствует и дальше максимизировать целевую функцию.

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины b_i приводит к увеличению или уменьшению f(). Оно определяется величиной y_i в случае, когда при изменении величин b_i значения переменных y_i в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. В нашей задаче увеличении запасов сырья I и II видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида приведет к уменьшению значения целевой функции на .

Для двойственных оценок оптимального плана существенное значение имеет их предельный характер. Оценки являются точной мерой влияния ограничений на функционал лишь при малом приращении ограничения. Известно, что оценки не меняют своей величины, если не меняется набор векторов, входящих в базис оптимального плана, тогда как интенсивность этих векторов (значения неизвестных) в плане могут меняться.

Поэтому необходимо знать такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, или интервалы устойчивости двойственных оценок, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы. Эту информацию можно получить из Отчета по устойчивости.

Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Результ. значение	Нормир. градиент
	$B$3	значение X1	76,66666667	0
	$C$3	значение X2	0	-2,999999944
	$D$3	значение X3	0	-1,133333198
	$E$3	значение X4	11,66666667	0
Ограничения
	Ячейка	Имя	Результ. значение	Лагранжа Множитель
	$F$7	I левая часть	176,6666667	0
	$F$8	II левая часть	170	0,466666667
	$F$9	III левая часть	165	2,266666667

В приведенном фрагменте отчета видно, что запасы дефицитных ресурсов II и III могут быть как уменьшены, так и увеличены. Увеличение запаса ресурса I не влияет на план выпуска продукции.

После увеличении запасов сырья I и II видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида было получено новое решение задачи. Изменение запасов ресурсов в пределах интервалов устойчивости двойственных оценок привело не только к изменению значения целевой функции, но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась -- изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, так как цены на ресурсы не изменились.

	Переменные
	X1	X2	X3	X4
значение	76,66667	0	0	11,66667	ЦФ
коэф. В ЦФ	5	7	3	6	453,333333

Целесообразно включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья, т.к. при этом структура плана изменяется. Оптимальный план приведен ниже

Переменные
	X1	X2	X3	X4	X5
значение	10	0	0	0	75	ЦФ
коэф. В ЦФ	5	7	3	6	10	800
		Ограничения
Тип сырья					левая часть	знак	правая часть
I	2	1	3	2	2	170	<=	200
II	1	2	4	8	2	160	<=	160
III	2	4	1	1	2	170	<=	170

Включения в план изделия Д привело не только к увеличению значения целевой функции до 800, но и к изменению плана выпуска и уменьшению неиспользования сырья I.

Задача 3

Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции производства.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида, третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутренне потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_ij (i=1, 2, 3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норма расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется: задача баланс математический программирование

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=(a_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Решение

,

Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат B = (E - A)^-1.



Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат B неотрицательны, следовательно, матрица A продуктивна.

Вычисляем вектор валового выпуска X по формуле

X = BY.

Межотраслевые поставки вычисляем по формуле

x_ij = a_ijX_j.

Заполняем схему МОБ.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовый продукт
	1	2	3
1	50,2	23,1	27,8	150	251,1
2	0	23,1	27,8	180	230,9
3	25,1	0	13,9	100	139
Условно чистая продукция	175,8	184,7	69,5	430
Валовый продукт	251,1	230,9	139		621

Задача 4

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд этого показателя приведен в таблице.

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК (Y(t)) - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представит графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение.

1. Для диагностики аномальных наблюдений применим метод Ирвина.

Для всех наблюдений вычислим величину _t:

_t = y_t - y_t-1/S_y,

где S_y = , = .

Вычисления сведем в таблицу

t	yt	(yt - )^2	t
1	3	136,1111	0,532152
2	7	58,77778	0,399114
3	10	21,77778	0,133038
4	11	13,44444	0,532152
5	15	0,111111	0,266076
6	17	5,444444	0,532152
7	21	40,11111	0,532152
8	25	106,7778	0,266076
9	23	69,44444
	132	452

= 132/9 = 14,67

S_y = = 7,52

Т.к. расчитаные величины не превышают табличный уровень, то аномальных наблюдений нет

2. Построим однопараметрическую модель регрессии Y от t.

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	a0	1,17	1,05	1,11
t	a1	2,7	0,19	14,48

Во втором столбце содержатся коэффициенты уравнения регрессии. Уравнение регрессии зависимости y_t от t _t имеет вид

Y(t) = 1,17 + 2,7t

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	3,866666667	-0,87
2	6,566666667	0,43
3	9,266666667	0,73
4	11,96666667	-0,97
5	14,66666667	0,33
6	17,36666667	-0,37
7	20,06666667	0,93
8	22,76666667	2,23
9	25,46666667	-2,47

3. Проверку независимости определим с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона.

Вычисления сведем в таблицу

Наблюдение	Остатки t	(t - t-1)2
1	-0,87	1,69	0,75
2	0,43	0,09	0,19
3	0,73	2,89	0,54
4	-0,97	1,69	0,93
5	0,33	0,49	0,11
6	-0,37	1,69	0,13
7	0,93	1,69	0,87
8	2,23	22,09	4,99
9	-2,47		6,08
		32,32	14,6

d = = = 2,21

d = 4 - 2,21 = 1,79

Так как d₂ < d <2 - ряд остатков не коррелирован, следовательно модель по этому критерию адекватна.

Значение границы d₂ = 1,36 для уровня значимости =0,05 взяли из специальной таблицы (Приложение 2 табл. П-3)

Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек.

p>

Количество поворотных точек 5. Неравенство выполняется (5 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения

_max - максимальный уровень ряда остатков, _max = 2,23

_min - минимальный уровень ряда остатков,_min = -2,47

S = = = 1,35

RS = ==3,48

Расчетное значение попадает в интервал (2,7 - 3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна

6) Y₁₀ = 1,17 + 2,7*10 = 28,17

Y₁₁ = 1,17 + 2,7*11 = 30,87

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости =0,3, следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при =n-2=7 равен 1,12. Находим ширину доверительного интервала:

= = = 1,44,

U(k) = t_,

U(1) = 1.44*1.12=1,99

U(2) = 1.44*1.12=2,11

Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза

n+k	U(k)	Прогноз	Формула	Верхняя граница	Нижняя граница
10	U(1) =1,99	28,17	Прогноз + U(1)	30,16	26,17
11	U(2) =2,11	30,87	Прогноз - U(2)	32.97	28,76

4. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представим графически

Литература

1. Орлова И.В.Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. - М.: Вузовский учебник, 2004. - 144 с.

2. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2001, - 391 с.

Размещено на Allbest.ru

...