9

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• Теоретические сведения
• Выполнение задания в среде Mathcad
• Заключение
• Список литературы

Введение

математическая модель планирование эксперимент

Целью выполнения курсовой работы является развитие и закрепление навыков работы в среде Mathcad и применение их для самостоятельного решения с помощью компьютера задач из предметной области.

Курс математических методов обработки данных необходим для приобретения знаний и навыков в обработки экспериментальных данных, проведению эксперимента.

Проведение активного эксперимента зачастую требует больших материальных затрат. Поэтому важной задачей является получение необходимых сведений при минимальном числе опытов. Решением этой проблемы занимается теория планирования эксперимента, представляющая собой раздел математической статистики. В общем случае она позволяет ответить на вопросы:

- как спланировать эксперимент, обеспечивающий при требуемой точности результатов, минимальные затраты времени и средств;

- как обработать результаты, чтобы извлечь из них максимум информации об исследуемом объекте;

- какие выводы можно сделать по результатам эксперимента и какова достоверность этих выводов.

Активный эксперимент в сочетании с методами планирования позволяет получить требуемые результаты, затратив минимальные средства и время на проведение исследования.

Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения с требуемой точностью и достоверностью поставленной задачи.

Целью планирования эксперимента, как правило, является получение математической модели исследуемого объекта.

Теоретические сведения

Выбор входных и выходных переменных

Входные переменные Х_i, i=, которые определяют состояние объекта исследования называется влияющими факторами. Основное требование, предъявляемое к ним - это достаточная управляемость, то есть возможность установить нужный уровень фактора, стабилизируя его в течение всего опыта.

Выходная переменная Y - реакция объекта исследования на влияющие факторы - функция отклика. Выбор этой функции определяется целью исследования, которая может представлять собой оптимизацию экономической (стоимость, производительность), технологической (точность, качество, быстродействие), конструктивной (надёжность) или другой характеристикой объекта исследования.

Выбор области экспериментирования

Область эксперимента - область факторного пространства, изучение которой представляет интерес для исследования. Границы этой области по каждому фактору Х_i, обусловлены его min и max значением, то есть X_i min < X_i < X_i max , как показано на рисунке 1.

Рис. 1. Схема определения области эксперимента для 2-х факторного эксперимента

Выбор математической модели объекта исследования

Если аналитическую зависимость, связывающую функцию отклика (Y) с влияющими факторами (X_i), найти невозможно, и вид функции априори неизвестен, то есть Y=f(X₁, X_{2, ….,} X_i), то целесообразно использовать степенной ряд:

(1),

где k - число влияющих факторов.

Для определения коэффициента аппроксимирующего полинома, применяется наиболее универсальный метод - метод наименьших квадратов.

Как отмечалось выше, при его использовании необходимым условием является выполнение неравенства (N>S), где N - число опытов, S - количество коэффициентов аппроксимирующего полинома, то есть количество проведённых опытов должно быть больше чем число коэффициентов аппроксимирующего полинома. Увеличить количество опытов N возможно повторением опытов в исходных точках либо увеличением количества этих точек.

Для удобства обработки результатов экспериментов целесообразно все факторы представить в безмерной форме для чего проводится операция кодирования переменных. Её сущность заключается в том, что начало координатного факторного пространства переносится в точку с координатой - эта точка центр эксперимента:

(2).

Кроме того интервал варьирования факторов разбивается на ряд уровней симметрично относительно центра эксперимента. В случае составления симметричных двухуровневых планов все k - факторов изменяются на 2-х уровнях. При этом X_i min ставится в соответствии с кодированием переменных -1, а X_i max - +1.

Для количественных факторов связь между физическими (X_i) и кодированными (х_i) значениями факторов определяется следующим соотношением:

(3), (4),

где I_i - интервал варьирования.

Составление плана эксперимента

Выбрав математическую модель объекта исследования, определяем какое значение должен принимать каждый из факторов в каждом из опытов. Таблица, составленная из значений факторов для каждого опыта - матрица планирования. Она включает как независимые факторы, так и зависимые. Та её часть, которая включает независимые факторы, называется планом эксперимента. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов - полный факторный эксперимент (ПФЭ).

В общем случае ПФЭ типа 2^к обладает следующими свойствами:

1. Симметричность относительно центра эксперимента. При этом алгебраическая сумма элементов вектора столбца для каждого фактора равна 0:

2. Соответствие условиям нормировки. При этом сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:

3. Соответствие условиям ортогональности. При этом сумма почленных произведений любых 2-х вектор-столбцов матрицы планирования равно 0:

.

Ортогональность матриц планирования позволяет при обработке данных при методе наименьших квадратов получить независимые друг от друга оценки коэффициентов.

Модель, включающая в себя только линейные эффекты и эффекты парных взаимодействий факторов, имеет соответствующие ей планы, которые называются планами первого порядка. В случае необходимого учёта нелинейного влияния фактора аппроксимирующий полином должен содержать члены более высокого порядка, в связи с этим для оценки коэффициентов аппроксимирующего полинома следует пользоваться более сложными планами, чем планы 1-го порядка. В данной работе используем план 2-го порядка.

Планы второго порядка позволяют сформировать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, который содержит большее число членов, чем неполный квадратичный полином, сформированный по планам первого порядка, и поэтому требуют большего числа выполняемых опытов. Полный квадратичный полином при n =2 содержит 6 членов:

(5)

при n = 3 - 11 членов

(6)

Известно, что для получения квадратичной зависимости каждый фактор должен фиксироваться как минимум на трех уровнях.

Ортогональный центрально-композиционный план второго порядка

Ортогональным планом называется такой план, у которого матрица планирования Х строится так, что бы матрица С=Х_tХ оказалась диагональной.

Используем этот подход и при построении планов второго порядка. План называется центральным, если все точки расположены симметрично относительно центра плана. ОЦКП - центральный симметричный ортогональный композиционный план.

В ОЦКП входят: ядро - план ПФЭ с N₀= 2ⁿ точками плана, n₀ (одна для этого плана) центральная точка плана () и по две “звездные” точки для каждого фактора

б- плечо “звездных” точек.

При этом в каждой плоскости, содержащей ось Y и координатную ось i-того фактора (проходящей через центр плана), оказываются три значения фактора х_i (-б; 0; б) и три соответствующих значения Y.

Общее количество точек в плане ОЦКП составляет

,

где для ОЦКП n₀=1.

При n > 2 в ОЦКП оказывается меньшее количество точек, чем в плане ПФЭ 3ⁿ.

Число точек в плане

Графическое представление ОЦКП для n=3 приведено на рисунке 2.

Рис. 2. ОЦКП при n=3

В общем случае ОЦКП обладает следующими свойствами:

1. Симметричность относительно центра эксперимента. При этом алгебраическая сумма элементов вектора столбца для каждого фактора равна 0:

2. Соответствие условиям ортогональности. При этом сумма почленных произведений любых 2-х вектор-столбцов матрицы планирования равно 0:

.

Коэффициенты полинома определяются как:

(7)

Можно преобразовать полином к виду:

Где

Обработка результатов эксперимента

Обработка результатов проведённого эксперимента осуществляется по следующей схеме:

1. На основании данных параллельных наблюдений оценивается дисперсия воспроизводимости (отклонение) для каждой строки плана:

(8).

Затем определяется критерий Кохрена - критерий равноточности погрешности опыта:

(9).

При этом расчётное значение критерия Кохрена сравнивают с табличным. В случае, если G_расч < G_табл. приходят к выводу, что все опыты выполнены с равной погрешностью. Если G_расч > G_табл. делают вывод, что опыты выполнены не с равной погрешностью и эксперимент нужно переделать.

Также осуществляется расчёт погрешности опыта и проверка однородности дисперсии опыта:

(10),

где m - число повторений опытов.

2. Определяются коэффициенты аппроксимирующего полинома (формула (7)) Найденные коэффициенты подставляем в аппроксимирующий полином.

3. Производится проверка адекватности модели по критерию Фишера:

(11),

где D_{y адекв} - дисперсия адекватности

(12),

где N - число опытов,

S - число коэффициентов полинома,

Y_Pi - расчётное значение,

Y_i - экспериментальное,

D_{y опыт} - дисперсия опыта.

Полученное значение критерия Фишера сравнивается с табличным. Если F< F_табл., то модель считается адекватной. Если F > F_табл., то модель считается неадекватной.

4. Проверка значимости коэффициентов аппроксимирующего полинома по критерию Стьюдента:

(13),

(14),

(15).

Где д_ai - среднеквадратическое отклонение коэффициента аппроксимирующего полинома,

t_ai - коэффициент Стьюдента,

D_ai - дисперсия коэффициента аппроксимирующего полинома.

Для оценки значимости коэффициента аппроксимирующего полинома расчётные значения критерия Стьюдента необходимо сравнить с табличным. Если t_р > t_т приходят к выводу, что коэффициент оказывает существенное влияние и из рассмотрения не исключается. Если t_р < t_т, то следует, что коэффициент не оказывает существенное влияние и этот коэффициент исключают из полинома.

5. Интерпретация модели в терминах:

Анализ результатов эксперимента завершается интерпретацией модели в терминах объекта исследования. Прежде всего выясняется в какой мере каждый из факторов влияет на функцию отклика, то есть X на Y. Чем больше коэффициент b_i, тем сильнее влияние. Знак коэффициента позволяет судить о характере зависимости функций отклика от соответствующих факторов. Если положительный коэффициент, то связь прямо пропорциональная, если отрицательный, то обратно пропорциональная. Затем следует проанализировать эффекты парных и нелинейных взаимодействий.

Выполнение задания в среде Mathcad

В данной курсовой работе был рассмотрен метод обработки данных - планирование эксперимента, его особенности и этапы его реализации.

С помощью данного метода был составлен план эксперимента типа 2³.

Я получил Критерий Фишера равный F=10.3333, а табличный критерий Фишера Fтабл=2.905, F>Fтабл, из этого следует, что математическая модель признаётся неадекватной объекту исследования. Гипотеза об адекватности аппроксимирующей зависимости экспериментальным данным отвергается.

Размещено на Allbest.ru