Основы эконометрики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

По данным об экономических результатах деятельности российских банков , по данным Банка России и Федеральной службы государственной статистики выполните следующие задания.

1. Проведите качественный анализ связей экономических переменных, выделив зависимую и независимую переменные.

2. Построить поле корреляции результата и фактора.

3. Рассчитайте параметры следующих функций:

· линейной;

· степенной;

· показательной;

· равносторонней гиперболы.

4. Оценить качество каждой модели через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05.

Таблица

Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Решение:

Для предварительного определения вида связи между указанными признаками построим корреляционное поле.

Получим следующий рисунок.



Рис.

По внешнему виду поля корреляции предположим, что зависимость между указанными показателями линейная, т.е. вида y = a + bx.

Для расчета параметров линейной регрессии составим таблицу.

Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу.

Таблица

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные предыдущей таблицы.

= 4,96.

= 111326,6 - 4,9625208,2 = -13626,62.

Уравнение регрессии имеет вид: .

По полученному уравнению рассчитаем теоретические значения , а также значения (ошибка аппроксимации).

Тесноту линейной связи оценим с помощью коэффициента корреляции. Определим его по следующей формуле:

= 0,981.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

= 55,9%.

Качество построенной модели можно оценить как неудовлетворительное, так как превышает 10%.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

 = 460,96.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1 = 1 и k2 = 20 - 2 = 18 составляет Fтабл = 4,41.

Поскольку , то уравнение регрессии нельзя признать статистически значимым.

Построение степенной модели парной регрессии.

Уравнение степенной модели имеет вид: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Произведем линеаризацию модели путем замены и . В результате получим линейное уравнение .

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

С учетом введенных обозначений уравнение примет вид: Y = A + bX - линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

= 1,086.

= 10,748 - 1,0869,473 = 0,462.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

a = eA = e0,462 = 1,588.

Получим уравнение степенной модели регрессии: .

Определим индекс корреляции:

Используя данные таблицы, получим:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,9802 = 0,960 или 96%.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

= 74,2%.

Таблица

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 430,33.

Поскольку , то уравнение регрессии можно признать статистически значимым.

Построение показательной модели регрессии.

Уравнение показательной кривой: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: .

Получим линейное уравнение регрессии:

Y = A + Bx.

С учетом введенных обозначений уравнение примет вид: Y = A + bX - линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

= 0,00001989.

= 10,748 - 0,0000198925208,2 = 10,247.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Таблица

Определим индекс корреляции:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,6312 = 0,398 или 39,8%.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

105,6%.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 11,92.

Поскольку , то уравнение регрессии можно признать статистически значимым.

Построение обратной (гиперболической) модели регрессии.

Уравнение гиперболической функции: .

Произведем линеаризацию модели путем замены . В результате получим линейное уравнение .

 = -1,37109.

= 111326,6 - 1,371090,000108 = 2,59•105.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

.

Таблица

Определим индекс корреляции:

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,4562= 0,208 или 20,8%.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

= 479,4%.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 4,73.

Поскольку , то уравнение регрессии по критерию Фишера можно признать статистически значимым.

Для выявления формы связи между указанными признаками были построены линейная, степенная, показательная и гиперболическая регрессии. Анализ показателей корреляции, а также оценка качества моделей с использованием средней ошибки аппроксимации позволил предположить, что из всех перечисленных моделей наиболее адекватной является линейная модель, поскольку для нее коэффициент корреляции принимает наибольшее значение R = 0,981, свидетельствующий о том, что между рассматриваемыми признаками существует тесная корреляционная связь.

Рассчитаем ожидаемое значение результата, если значение фактора увеличивается на 15% от его среднего уровня. Для прогноза используем линейную модель.

Прогнозное значение промышленного производства составит:

= 25208,2 1,15 = 28989,4 млн. р.,

тогда прогнозное значение y составит:

= 130069,6 млн. р.

Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

= 2,093 47607,97 = 99643,48

Доверительный интервал прогноза:

= 130069,6 99643,48.

= 130069,6 - 99643,48 = 30426,1 млн. р.

= 130069,6 + 99643,48 = 229713,1 млн. р.

Выполненный прогноз для y является надежным.

Задание 2

По данным об экономических результатах деятельности российских банков выполнить следующие задания.

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

2. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии.

3. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции.

4. Дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

6. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Таблица

Банк	Работающие активы, млн руб.	Привлеч. межбанковские кредиты (МБК), %	Средства предприятий и организаций, %
Сбербанк	1917403	3	19
Внешторгбанк	426484	28	25
Газпромбанк	362532	17	38
Альфа-банк	186700	14	30
Банк Москвы	157286	2	27
Росбанк	151849	4	55
Ханты-Мансийский банк	127440	0	9
МДМ-банк	111285	23	25
ММБ	104372	15	62
Райффайзенбанк	96809	27	42
Промстройбанк	85365	13	29
Ситибанк	81296	27	46
Уралсиб	76617	15	19
Межпромбанк	67649	3	7
Промсвязьбанк	54848	14	46
Петрокоммерц	53701	5	37
Номос-банк	52473	24	17
Зенит	50666	19	36
Русский стандарт	46086	52	1
Транскредитбанк	41332	7	46

Решение:

Введем обозначения: у - работающие активы, x1 - привлеченные межбанковские кредиты (МБК), x2 - средства предприятий и организаций. Стоимость активов выразим в млрд. р. Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу.

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

= 403523,688.

= 12,16.

= 15,78.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии воспользуемся формулами:

;

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

= -0,220.

= -0,158.

= -0,170.

Находим

= -8443,73.

= -5148,23.

a = 212609,65 - (-8443,73)1586- (-5148б23)30,8 = 502897,32.

Таким образом, получаем следующее уравнение множественной регрессии:

.

Таблица

№	y	x1	x2	yx1	yx2	x1x2			y2
1	1917403	3	19	5752209	36430657	57	9	361	3,67643E+12
2	426484	28	25	11941552	10662100	700	784	625	1,81889E+11
3	362532	17	38	6163044	13776216	646	289	1444	1,31429E+11
4	186700	14	30	2613800	5601000	420	196	900	34856890000
5	157286	2	27	314572	4246722	54	4	729	24738885796
6	151849	4	55	607396	8351695	220	16	3025	23058118801
7	127440	0	9	0	1146960	0	0	81	16240953600
8	111285	23	25	2559555	2782125	575	529	625	12384351225
9	104372	15	62	1565580	6471064	930	225	3844	10893514384
10	96809	27	42	2613843	4065978	1134	729	1764	9371982481
11	85365	13	29	1109745	2475585	377	169	841	7287183225
12	81296	27	46	2194992	3739616	1242	729	2116	6609039616
13	76617	15	19	1149255	1455723	285	225	361	5870164689
14	67649	3	7	202947	473543	21	9	49	4576387201
15	54848	14	46	767872	2523008	644	196	2116	3008303104
16	53701	5	37	268505	1986937	185	25	1369	2883797401
17	52473	24	17	1259352	892041	408	576	289	2753415729
18	50666	19	36	962654	1823976	684	361	1296	2567043556
19	46086	52	1	2396472	46086	52	2704	1	2123919396
Сумма	4252193	312	616	44732669	110852304	8956	7824	23952	4,16068E+12
Ср. знач.	212609,65	15,600	30,8	2236633,450	5542615,2	447,800	391,2	1197,6	2,08034E+11

Стандартизованные коэффициенты регрессии определим по формулам:

Получаем:

= -0,254;

= -0,1201.

Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

= -0,220; = -0,158; = -0,170.

Они указывают на слабую связь факторов х1 и x2 с результатом, а также на слабую связь фактора x1 с фактором х2.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

= -0,254.

= -0,203.

Коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где

- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

- определитель матрицы межфакторной корреляции.

= 0,8857.

= 1 - (-0,170)2 = 0,9710.

Коэффициент множественной корреляции

= 0,296.

Коэффициент множественной корреляции указывает на слабую связь всего набора факторов с результатом.

Вычислим коэффициент множественной детерминации.

= 0,2962 = 0,088.

Коэффициент множественной детерминации указывает на то, что на 8,8% вариация результата y в модели обусловлена факторами x1 и x2.

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает F-критерий Фишера:

В нашем случае фактическое значение F-критерия Фишера:

= 0,818.

Табличное значение F-критерия Фишера при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы k1 = 2 (число факторов) и k2 = n - d - 1 = 20 - 2 - 1 = 17 найдем по таблице.

Fтабл(0,05; 2; 17) = 4,45.

Получили, что Fфакт < Fтабл, тогда статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи не подтверждается.

Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

= 52 0,8 = 41,6.

= 62 0,8 = 49,6.

Подставим эти значения в уравнение множественной регрессии:

= 502897,32 - 8443,7341,6 - 5148,2349,6 -103714,07 млн. руб.

Задание 3

По данным о средних потребительских ценах в РФ, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

1. Параметры линейного, экспоненциального, степенного, гиперболического трендов, описывающих динамику доли малых предприятий. Выберите из них наилучший, используя среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации.

2. Выбрать лучшую форму тренда и выполнить точечный прогноз на 2012, 2013 и 2014 годы.

3. Определить коэффициенты автокорреляции 1, 2, 3 и 4 порядков.

4. Построить автокорреляционной функцию временного ряда. Охарактеризовать структуру этого ряда.

Таблица

год	Газ сетевой за месяц с человека, руб.
1998	3,18
1999	4,31
2000	5,66
2001	6,89
2002	9,47
2003	12,34
2004	14,36
2005	18,08
2006	20,63
2007	24,3
2008	30,2
2009	37,04
2010	43,81
2011	48,32

Решение:

Для предварительного определения вида связи между указанными признаками построим корреляционное поле. Поместим на него линию тренда с помощью инструмента Excel Добавить линию тренда, отметив галочкой Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации.

Получим следующий рисунок:

Рис.

Аналогичным образом получим экспоненциальную и степенную модели тренда:



Рис.

Рис.

Для построения уравнения гиперболической модели произведем линеаризацию модели путем замены . В результате получим линейное уравнение .

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

= -36,7.

= 28,42.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

.

Определим индекс корреляции:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,6182 = 0,382.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

= 93,7%.

Таблица

№ п/п	x	y	X = 1/x	Xy	X2	y2				Ai
1	1	3,18	1,00000	3,180	1,00000	10,11	-8,3	279,535	131,223	360,23
2	2	4,31	0,50000	2,155	0,25000	18,58	10,1	243,026	33,219	133,73
3	3	5,66	0,33333	1,887	0,11111	32,04	16,2	202,757	110,879	186,04
4	4	6,89	0,25000	1,723	0,06250	47,47	19,2	169,242	152,722	179,36
5	5	9,47	0,20000	1,894	0,04000	90	21,1	108,770	134,861	122,63
6	6	12,34	0,16667	2,057	0,02778	152	22,3	57,143	99,325	80,76
7	7	14,36	0,14286	2,051	0,02041	206	23,2	30,684	77,792	61,42
8	8	18,08	0,12500	2,260	0,01563	326,89	23,8	3,310	33,123	31,83
9	9	20,63	0,11111	2,292	0,01235	425,60	24,3	0,534	13,801	18,01
10	10	24,3	0,10000	2,430	0,01000	590,49	24,8	19,366	0,205	1,86
11	11	30,2	0,09091	2,745	0,00826	912,04	25,1	106,105	26,149	16,93
12	12	37,04	0,08333	3,087	0,00694	1371,96	25,4	293,804	136,321	31,52
13	13	43,81	0,07692	3,370	0,00592	1919,32	25,6	571,722	331,619	41,57
14	14	48,32	0,07143	3,451	0,00510	2334,82	25,8	807,737	507,095	46,60
Итого	105	278,59	3,252	34,582	1,576	8437,4757	278,59	2893,734	1788,334	1312,498
Среднее	7,5	19,9	0,2323	2,4701	0,1126	602,6768	19,9	206,7	127,7	93,7

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 7,42.

Поскольку , то уравнение гиперболического тренда можно признать статистически значимым.

Для расчета средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации линейной модели составим расчетную таблицу.

Таблица

№ п/п	x	y				Ai
1	1	3,18	-2,5	279,53451	32,538876	179,4
2	2	4,31	0,9	243,02583	11,454877	78,5
3	3	5,66	4,4	202,75726	1,650519	22,7
4	4	6,89	7,8	169,24151	0,8743278	13,6
5	5	9,47	11,3	108,77	3,25743	19,1
6	6	12,34	14,7	57,142801	5,6863905	19,3
7	7	14,36	18,2	30,683686	14,549614	26,6
8	8	18,08	21,6	3,3098005	12,561182	19,6
9	9	20,63	25,1	0,5339434	19,748745	21,5
10	10	24,3	28,5	19,366286	17,839948	17,4
11	11	30,2	32,0	106,10471	3,1453607	5,9
12	12	37,04	35,4	293,80409	2,6137295	4,4
13	13	43,81	38,9	571,72226	24,373209	11,3
14	14	48,32	42,3	807,737	35,965722	12,4
Итого	105	278,59	278,6	2893,734	186,2599	451,5649
Среднее	7,5	19,899	19,90	206,6953	13,30428	32,25464

Средняя ошибка аппроксимации:

 32,25%.

Определим индекс корреляции:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,9672 = 0,936.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 175,5.

Поскольку , то уравнение линейного тренда можно признать статистически значимым.

Для расчета средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации экспоненциальной модели составим расчетную таблицу.

Таблица

№ п/п	x	y				Ai
1	1	3,18	3,77	279,53451	0,3460305	18,5
2	2	4,31	4,64	243,02583	0,108272	7,6
3	3	5,66	5,71	202,75726	0,0026097	0,9
4	4	6,89	7,03	169,24151	0,0198415	2,0
5	5	9,47	8,66	108,77	0,6632124	8,6
6	6	12,34	10,66	57,142801	2,8363629	13,6
7	7	14,36	13,12	30,683686	1,5417932	8,6
8	8	18,08	16,15	3,3098005	3,7255895	10,7
9	9	20,63	19,88	0,5339434	0,5596768	3,6
10	10	24,3	24,48	19,366286	0,0311135	0,7
11	11	30,2	30,13	106,10471	0,0045373	0,2
12	12	37,04	37,10	293,80409	0,0031353	0,2
13	13	43,81	45,67	571,72226	3,4540576	4,2
14	14	48,32	56,22	807,737	62,44236	16,4
Итого	105	278,59	283,21	2893,734	75,73859	96,0
Среднее	7,5	19,899	20,229	206,6953	5,409899	6,86

Средняя ошибка аппроксимации:

6,86%.

Определим индекс корреляции:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,9872 = 0,974.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 449,5.

Поскольку , то уравнение экспоненциального тренда можно признать статистически значимым.

Для расчета средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации степенной модели составим расчетную таблицу.

Таблица

№ п/п	x	y				Ai
1	1	3,18	2,03	279,53451	1,3126285	36,0
2	2	4,31	4,34	243,02583	0,0010188	0,7
3	3	5,66	6,77	202,75726	1,2217972	19,5
4	4	6,89	9,27	169,24151	5,6510476	34,5
5	5	9,47	11,83	108,77	5,564927	24,9
6	6	12,34	14,44	57,142801	4,4085539	17,0
7	7	14,36	17,09	30,683686	7,4617493	19,0
8	8	18,08	19,78	3,3098005	2,8882256	9,4
9	9	20,63	22,50	0,5339434	3,4935948	9,1
10	10	24,3	25,25	19,366286	0,8973837	3,9
11	11	30,2	28,02	106,10471	4,7461606	7,2
12	12	37,04	30,82	293,80409	38,696512	16,8
13	13	43,81	33,64	571,72226	103,44426	23,2
14	14	48,32	36,48	807,737	140,19552	24,5
Итого	105	278,59	262,2545	2893,734	319,9834	245,83
Среднее	7,5	19,899	18,73247	206,6953	22,85596	17,56

Средняя ошибка аппроксимации:

17,56%.

Определим индекс корреляции:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,9432 = 0,889.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 96,1.

Поскольку , то уравнение степенного тренда можно признать статистически значимым.

Все построенные модели (линейная, экспоненциальная, степенная и гиперболическая) хорошо аппроксимируют исходные данные. Анализ показателей корреляции, а также оценка качества моделей с использованием средней ошибки аппроксимации позволяет предположить, что из всех перечисленных моделей наиболее адекватной является экспоненциальная модель, поскольку для нее коэффициент детерминации принимает наибольшее значение R = 0,974.

Выполним по линейной модели точечный прогноз на 2012, 2013 и 2014 годы. Указанным годам соответствуют условные значения 22, 23 и 24. Подставив эти значения в уравнение экспоненциального тренда, получим:

2012 год: = 69,21 руб.

2013 год: = 85,21 руб.

2014 год: = 104,90 руб.

При наличии во временном ряду тенденции и циклических изменений значения предыдущего уровня ряда зависит от предыдущих. Зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью индекса корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Чтобы построить автокорреляционной функцию временного ряда, исходный ряд динамики дополним рядами из уровней этого ряда, сдвинутыми во времени.

Рассчитаем коэффициенты корреляции:

1-ого порядка для рядов хt и хt-1,

2-ого порядка для рядов хt и хt-2,

3-его порядка для рядов хt и хt-3,

4-ого порядка для рядов хt и хt-4,

Для расчета коэффициентов корреляции будем использовать функцию Excel КОРРЕЛ(). Получаем автокорреляционную функцию:

Таблица

Лаг (порядок) - L	Автокорреляционная функция
1	0,99711
2	0,99449
3	0,99452
4	0,99626

Как видим, наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции 1-го порядка, следовательно, данный временной ряд не содержит циклических колебаний.

Список использованной литературы

аппроксимация гиперболический тренд регрессия

1. Кремер Н.Ш. Эконометрика: учеб. для вузов. / Путко Б.А.; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2009 Гриф МО РФ Тихомиров, Н.П. Эконометрика: учебник / Н.П. Тихомиров, Е.Ю. Дорохина - М.: Изд-во «Экзамен», 2008. - 512 с.

2. Дорохина, Е.Ю. Сборник задач по эконометрике: учебное пособие / Е.Ю. Дорохина, Л.Ф. Преснякова, Н.П. Тихомиров. - М.: Изд-во «Экзамен», 2010. - 224 с.

3. Кремер, Н.Ш. Эконометрика: учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009.-311 с.

4. Магнус, Я.Р. Эконометрика. Начальный курс: учеб. - 4-е изд. / Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. - М.: Дело, 2008.-500 с.

5. Бородич, С.А. Эконометрика: учебное пособие. - Мн.: Новое знание, 2006. - 408 с.

6. Катышев, П.К. Сборник задач к начальному курсу эконометрики / П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. - М.: Дело, 2009.-408 с.

7. Размещено на Allbest.ru

...