Модель коллективного риска

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Украины

Донецкий Национальный Университет

Доклад

Модель коллективного риска

Донецк - 2013



Содержание

дисперсия вероятность разорение биномиальный

1. Вычисление производящих функций, математического ожидания и дисперсии суммарного иска

2. Точный расчет вероятности разорения

3. Составное пуассоновское распределение, характеристики

4. Свойство составного распределения Пуассона

5. Нахождение составного пуассоновского распределения при условии, что величина реально предъявляемого иска принимает неотрицательные целые значения

6. Составное отрицательное биномиальное распределение

7. Приближенный расчет вероятности разорения. Предельные теоремы: нормальное приближение

8. Приближенный расчет вероятности разорения. Предельные теоремы: гамма-приближение

Литература



1. Вычисление производящих функций, математического ожидания и дисперсии суммарного иска

Допущения:

Рассматривается фиксированный промежуток времени, достаточно короткий, чтоб не учитывать изменение стоимости денег со временем

Плата за страховку полностью вносится в начале анализируемого периода

Рассматриваются иски, поступающие в страховую компанию У₁, У_2, ,…, У_i - СВ (случайные величины); имеют одинаковое распределение, положительны и независимы.

Рассматриваются СВ V - общее число исков за рассматриваемый промежуток времени

СВ V, У₁, У_2, ,…, У_i - независимы.

S=У₁ + … + У_V ; V=0 => S=У₁ + … + У₀ =0;

R=P(S>U) = 1- F_S(U)

Основные характеристики суммарного иска.

S=У₁ + … + У_V , V- число исков (0,1,2..)

ТЕОРЕМА:

S=У₁ + … + УV,

где У_i- независимые,V имеет производящую ф-ю вер-ти: m_V (z) = E(z^V), У_i имеет производящую функцию моментов M_Y (t) = E(е^Уt) => M_S(t)= m_V (M_Y (t)).

Доказательство:

M_S(t)=E(е^St) = E(e ^(У₁ ^{+ … + У}_V^{) t})= У от i=0 до ?(E(e^( У₁ + … + У_V)РV=i)*P(V=i))= У от i=0 до ? (E(e^( У₁t+ … + У_it)*P(V=i)=< У₁,У₂ - независимые > = У от i=0 до ? (E(е^( У₁t)… E(е^( У_it)*P(V=i))= У от i=0 до ? ((M_Y (t))ⁱ*P(V=i))

m_V (z)=E(z^v)= У от i=0 до ?((z^i)*P(V=i));

M_S(t)= m_V (M_Y (t))

Замечание: У_i -дискретная СВ, принимающая неотрицательные целые значения => S - дискретная СВ , принимающая неотрицательные целые значения. m_S (z) = m_V(m_Y(z)), m_Y (z) = E(z^Y)- производящая функция вероятностей Y.

ТЕОРЕМА:

S=У₁ + … + У_V => ES=EY*EV, Var S= Var Y* EV + Var V (EY)².

Доказательство:

M_S(t)= m_V (M_Y (t)); ES=M_S'(0);

Var S = M_S''(0)-(M_S'(0))².

M_S'(t)= m_V' (M_Y (t)) * M_Y' (t);

M_S''(t)= m_V'' (M_Y (t)) * (M_Y' (t))² + m_V' (M_Y (t)) * M_Y'' (t);

M_S'(0)= m_V' (M_Y (0)) * M_Y' (0)= ((M_Y (t) = E(е^Уt) )) = m_V' (1) * M_Y' (0)= EV*EY;

VarS = M_S''(0)-( M_S'(0))² = m_V'' (M_Y(0)) * (M_Y'(0))² + m_V' (M_Y(0)) * M_Y''(0)- (EV*EY)²= m_V''(1) * (EY)² + EV * E(Y²)- (EV*EY)² = ((VarV=m''(1)+m'(1)-m'(1)²= m''(1) +EV -(EV)² )) = (Var V -EV + (EV)²) (EV)²+ EV * E(Y²)- (EV*EY)² = Var V (EY)² + EV (E(Y²) - (EY)²) = Var Y* EV + Var V (EY)².



2. Точный расчет вероятности разорения

Случай:

У_i -дискретная СВ, принимающая неотрицательные целые значения => S - дискретная СВ , принимающая неотрицательные целые значения.

m_S (z) = m_V(m_Y(z)) =У от i=0 до ? (zⁱ*P(S=i)) => P(S=i), i=0,1,2… =>

R=P(S>U) = У от i=[U]+1 до ? (P(S=i))

Случай:

У_i -непрерывная СВ, и S - непрерывная СВ.

R=P(S>U) =? от u до ? (f_s(x)dx) =1- F_S(U).

F_S(x)= P(S<=x)= У от i=0 до ? (P(S<=UРV=i))=

< S= У₁ + … + У_V=

У от i=0 до ? (P(У₁ + … + У_i<=x)*P(V=i))=V, У_i - независимые СВ>

= У от i=0 до ? ( F_Y1+…+Yi(X)*P(V=i)).

Положим, что

f_S(x)= F_S'(x)= У от i=0 до ? (f_Y1+…+Yi(X)*P(V=i)) по формуле свертки.

3. Составное пуассоновское распределение, характеристики

Определение:

Пусть

S - СВ; S=У₁ + … + У_V ;



У₁, У_2, ,…, У_i - независимые одинаково распределенные СВ с функцией распределения F(x);

V- СВ с распределением Пуассона с параметрами и F(x).

СВ V, У₁, У_2, ,…, У_i - независимы,

тогда S имеет составное (сложное) распределение Пуассона с параметрами и F(x).

Характеристики распределения.

M_S (t) = m_V(M_Y(t)), т.к. m_V(z) = e^(*z- ) =>

M_S (t)= e^(* M_Y(t)- )

ES=EV*EY= *EY, т.к. EV= .

Var S = Var Y *EV+Var V*(EY)²= (E(Y²)-(EY)²)* + *(EY)²=*E(Y²).

Коэффициент асимметрии.

A_ss=(E(S-ES)^3)/()^3 - показывает симметричность плотности.

A_ss =0 - значит, плотность не сдвинута, симметрична.

Если A_ss > 0, то плотность сдвинута вправо. (A_ss >0 для составного распределения Пуассона).



Если A_ss < 0, то плотность сдвинута влево.

4. Свойство составного распределения Пуассона

ТЕОРЕМА. Пусть S₁, S_2, ,…, S_n - независимые СВ, каждая из которых имеет составное распределение Пуассона S_i с параметрами л _i и F_i(x), тогда сумма S=S₁ +S_2, +…+ S_n - СВ с составным распределением Пуассона с параметрами:

, .

Доказать: M_S(t) = - ?

Доказательство:

S_i=Y₁ ⁱ +Y₂ ⁱ +…+ Y_Viⁱ. .

M_S(t) = E(e ^St) = E(e ^(S₁ ^{+ … + S}_n^{) t})= E(e ^S₁^t…e ^S_n ^t)=

= (( S₁, S_2, ,…, S_n - независимые СВ )) = E(e ^S₁^t) …E(e ^S_n ^t)=

=



Покажем, что - производящая функция моментов

F(x) =.

- производная функция моментов F(x).

5. Нахождение составного пуассоновского распределения при условии, что величина реально предъявляемого иска принимает неотрицательные целые значения

S=У₁ + … + У_V;

У₁, У_2, ,…, У_i - независимые одинаково распределенные СВ с функцией распределения F(x), принимающие целые положительные значения.

V- СВ с распределением Пуассона с параметрами и F(x).

=> S - дискретная СВ;

P(S=n) = P_n, n=0,1,2…

ТЕОРЕМА:

, n=1,2…



ПРИМЕР:

S=У₁ + … + У_V ; =33

и т.д.

.

6. Составное отрицательное биномиальное распределение

Пусть S - СВ; S=У₁ + … + У_V;

У₁, У_2, ,…, У_i - независимые одинаково распределенные СВ с функцией распределения F(x);

СВ V, У₁, У_2, ,…, У_i - независимы,

V- СВ с отрицательным биномиальным распределением с параметрами и ;

тогда S имеет составное (сложное) отрицательное биномиальное распределение с параметрами , и F(x).

Характеристики распределения.

M_S (t) = m_V(M_Y(t)), т.к. m_V(z) =

Если У_i - СВ, принимающая натуральные значения, то существует: m_Yi (z) = E(z^Yi), S - СВ , принимающая неотрицательные целые значения =>

m_S (z) = m_V(m_Y(z)) = ;

ES=EV*EY=*EY, т.к. EV=.

Var S = Var V (EY)² + Var Y; EV =*(EY)² + * Var Y;

.

S имеет положительную асимметрию, если коэффициент > 0.



7. Приближенный расчет вероятности разорения. Предельные теоремы: нормальное приближение

ТЕОРЕМА 1: Пусть S - СВ, суммарный иск, с составным распределением Пуассона с параметрами и F(x); S=У₁ + … + У_V; Тогда, если , то СВ , (СВСВ со стандартным нормальным законом распределения).

Замечание:означает =EV (среднее число исков стремится к ).

Доказательство: Для обеих СВ докажем, что производящая функция моментов первой к производящей функции моментов второй:

.

Найдем :

=

=>

=



Покажем, что :



ТЕОРЕМА 2: Пусть S - СВ, суммарный иск, с составным отрицательным бином. распределением с параметрами , и F(x); S=У₁ + … + У_V; Тогда, если , то СВ , (СВ СВ со стандартным норм законом распределения).

Замечание:означает EV= (среднее число исков стремится к ).

8. Приближенный расчет вероятности разорения. Предельные теоремы: гамма-приближение, связь гамма-распределения и распределения

ТЕОРЕМА: Пусть S - СВ с составным отрицательным биномиальным распределением с параметрами .

Тогда,

Доказательство:

Покажем, что



Докажем, что :

.



Литература

1. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. - М.: Российский юридический издательский дом, 1994.

2. Денисов Д.В. Теория риска. - М., 2006.

Размещено на Allbest.ru

...