Исследование и анализ сходимость несобственных интегралов

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Несобственные интегралы - одно из направлений, которое изучается дисциплиной математический анализ.

При введении самого понятия определенного интеграла (исходного в интегрировании), а также для того, чтобы рассмотреть задачи, которые тесно связанны с ним, делалось все время предположение, что область интегрирования конечна, а сама интегрируемая функция на этом интервале непрерывна. интеграл математический задача сходимость

Представим теперь ситуацию, что наш интервал интегрирования будет бесконечен либо функция в этом интервале будет иметь точки разрыва. В такой ситуации использование определенного интеграла невозможно. Однако существует обширный ряд задач, в которых зачастую встречаются именно такие случаи бесконечных интервалов интегрирования или разрывных функций. Для решения таких задач используется понятие несобственных интегралов.

Если существует конечный предел, то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции. Отсюда следует и способ решения несобственных интегралов. Если некоторая математическая величина, в том числе и интеграл, имеет предел, то про нее можно сказать, что она является сходимой. Понятие сходимости возникает, например, когда при изучении того или иного математического объекта строится последовательность более простых в известном смысле объектов, приближающихся к данному. То есть имеющих его своим пределом (так, для вычисления длины окружности используется последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность; для вычисления значений функций используются последовательности частичных сумм рядов, которыми представляются данные функции).

В своей курсовой работе я рассматриваю несобственные интегралы и сходимость, а также их применение на практике. Данный вопрос является наиболее актуальным на сегодняшний день, так как большинство практических задач требуют умение работы с несобственными интегралами.

Цель данной курсовой работы - исследовать и проанализировать сходимость несобственных интегралов.

Для достижения поставленной цели выдвигается ряд задач:

1) Изучить несобственные интегралы первого и второго рода;

2)Выделить признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций;

3)Рассмотреть применение сходимости несобственных интегралов при решении практических задач.



ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1.1 Несобственные интегралы первого рода

Пусть функция f(х) определена для всех х?a и интегрируема на каждом конечном отрезке [б;t].

Определение. Несобственным интегралом 1-го рода

Называется

Если этот предел существует и конечен, несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Таким же образом вводятся понятия несобственного интеграла 1-го рода на неограниченных промежутках (-?;a] и (-?;+?).

Последний интеграл называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части равенства независимо от выбора числа a.

Пример. Вычислить интеграл или установить его расходимость

Решение:

=)= .



Данный интеграл сходится, его величина равна

Эталонный интеграл 1-го рода.

Рассмотрим интеграл

По определению = = )= , то есть интеграл расходится.

Рассмотрим интеграл , где p?1. Выясним условия сходимости этого интеграла.

Рис.1.1



Обобщая результаты исследования сходимости двух последних интегралов, имеем: несобственный интеграл 1-го рода сходится при p>1 и расходится при p?1. Он называется эталонным интегралом 1-го рода.

Замечание. Нижний предел интегрирования был взят из соображений простоты вычислений. Рассуждения останутся справедливыми, если вместо числа x=1 взять любое число a, удовлетворяющее условию a>0.

Полученные результаты имеют простой геометрический смысл. Рассмотрим область S, ограниченную сверху кривой y=, снизу - осью Оx, слева - прямой х=1 (рис. 1.1). Ее площадь оказывается конечной величиной, если p?1.

1.2 Несобственные интегралы второго рода

Пусть функция y=f(x) неограниченна на конечном промежутке [a;b), причем

Дадим определение. Несобственным интегралом 2-го рода на промежутке [a;b) называется .

Если предел существует и конечен, несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Аналогично , если функция y=f(x) неограниченна на конечном промежутке (a;b], причем , или если функция y=f(x) неограниченна на конечном промежутке [a;b], причем во внутренней точке этого промежутка обращается в бесконечность , a<c<b, то несобственный интеграл 2-го рода определяется так:

,

Или .



Последний интеграл называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части равенства.

Пример: вычислить интеграл или установить его расходимость .

Решение. Подынтегральная функция f(x)= интегрируется на конечном промежутке. При x>1-0 функция f(x)>+?.

Следовательно,

Эталонный интеграл 2-го рода.

Рассмотрим два интеграла

Их величины



Рис. 1.2.

Суммируя результаты, можем сказать, что несобственный интеграл 2-го рода (он называется эталонным интегралом 2-го рода) сходится при p<1 и расходится при p?1.

Замечание. Верхний предел интегрирования был взят из соображений простоты вычислений, как и в случае несобственного интеграла 1-го рода. Рассуждения останутся справедливыми, если вместо числа x=1 взять любое число a, удовлетворяющее условию a>0.



ГЛАВА 2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Как известно, нахождение интеграла может представлять собой достаточно сложную задачу. Было бы большим разочарованием заняться вычислением несобственного интеграла и обнаружить в конце пути, что он расходится. Поэтому представляют интерес методы, позволяющие без серьезных вычислений по одному виду функций сделать заключение о сходимости или расходимости несобственного интеграла. Первая и вторая теоремы сравнения, которые будут рассмотрены ниже, в значительной степени помогают исследовать несобственные интегралы на сходимость.

Пусть f(x)?0. Тогда функции

являются монотонно возрастающими от переменных t или-д (поскольку берем д>0, -д стремится к нулю слева). Если при возрастании аргументов функции F₁ (t) и F₂ (-д) остаются ограниченными сверху, это означает, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. На этом основана первая теорема сравнения для интегралов от неотрицательных функций.

Теорема сравнения для несобственных интегралов 1-го рода.

Пусть для функции f(x)и g(x) при x?a выполнены условия:

1) 0?f(x)?g(x);

2) Функции f(x) и g(x)непрерывны.

Тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость

Поскольку 0?f(x)?g(x) и функции непрерывны, то

По условию интеграл сходится, т.е. имеет конечную величину. Следовательно , интеграл сходится также.

Пусть теперь интеграл расходится. Предположим, что интеграл сходится, но тогда должен сходиться интеграл , что противоречит условию. Наше предположение неверно, интеграл расходится.

Теорема сравнения для несобственных интегралов 2-го рода.

Пусть для функций f(x) и g(x) на промежутке [a,b) выполнены условия:

1) 0?f(x)?g(x);

2) Функции f(x) и g(x) непрерывны;

3) и .

Тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость .

Доказательство теоремы для несобственных интегралов 2-го рода в точности совпадает с доказательством теоремы для несобственных интегралов 1-го рода. Отличие состоит лишь в обозначениях несобственного интеграла.

Замечание. Если интегралы умножить на произвольные не равные нулю числа m и n, выводы теоремы останутся справедливыми.

Пример1. Исследовать на сходимость интеграл.

Решение. Функция непрерывна и положительна на промежутке [2;+?), причем >. Несобственный интеграл представляет собой эталонный интеграл 1-го рода, который при p=<1 является расходящимися, следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 1-го рода интеграл расходятся также.

Пример 2. Исследовать на сходимость интегралов .

Решение. Функция непрерывна, положительна на промежутке (0;2], неограниченно возрастает при x>+0. Для нее при x>+0 справедливо неравенство <. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.

Теорема сравнения для несобственных интегралов 1-го рода.

Пусть для функции f(x) и g(x) на промежутке [a;?) выполнены условия:

1) f(x)>0, g(x)>0;

2) f(x) и g(x) непрерывны;

3) =k>0.

Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Из равенства =к по определению предела следует, что

Возьмем любое е, например, е=.

Тогда -<-k<.

Прибавим ко всем частям неравенства число к и умножим неравенство на g(x)>0. Получим

0,5kg(x)<f(x)<1?5kg(x).

По первой теореме сравнения из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла . Полученные выводы справедливы для интегралов и при a?, поскольку интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство справедливости утверждения в точности совпадает с доказательством теоремы сравнения для несобственных интегралов 1-го рода, следует лишь внести изменения в обозначении интегралов.

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. Функция y= непрерыва и положительна. При x>+? ~ .

Степенной признак

Если f(x)~c/ при , то при a

интеграл сходится, при a - расходится.

Признак Абеля

Если сходится, а g монотонна и ограничена на [a;+], то сходится.

Признак Дирихле

Если f имеет ограниченную первообразную на [a;+], а g монотонно стремится к нулю при сходится.



ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ НА ПРАКТИКЕ

Для более подробного изучения темы необходимо особо тщательно подойти к исследованию сходимости несобственных интегралов при решении практических вопросов. Для начала подробно разберем несколько примеров из математического анализа.

Пример 1.

Исследовать на сходимость .

Решение.

Вычислим интеграл по определению:

Таким образом, данный интеграл сходится при а>1 и расходится при а<1.

Пример 2.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Решение



Разложим на множители знаменатель подынтегральной функции:

xІ ? 7·x + 10 = (x ? 5)·(x ? 2)

На области интегрирования функция не определена в точке x = 5, в которой знаменатель дроби обращается в ноль.

Используем линейную подстановку t=x?5; dt=dx.

Пределы интегрирования: t?=3?5=?2; t?=6?5=1.

Интеграл запишется в виде:

Разложим дробь в сумму элементарных дробей:

1/(t·(t+3))=?(1/t?1/(t+3))

Тогда

Интеграл I? является несобственным: знаменатель подынтегральной функции обращается в ноль в начале координат --то есть в точке t = 0. Принимая во внимание, что подынтегральная функция нечётная, представим интеграл в виде суммы двух интегралов, пределы одного из которых симметричны относительно начала координат:

Интеграл равен нулю как интеграл от нечётной функции с симметричными пределами интегрирования.

Тогда I? = 0 ? ln 2 = ?ln 2; I = (?ln 2 ? 2·ln 2)/3 = (?3·ln 2)/3 = ?ln 2

Ответ: I = ?ln 2. Интеграл сходится.

Пример 3

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение.

Учитывая, что x? ? 4 = (xІ ? 2)·(xІ + 2), применим подстановку t = xІ ? 2.

Тогда dt = 2·x·dx. Заметим при этом, что новая переменная t(x) -- монотонно неубывающая в области интегрирования.

Пределы интегрирования после подстановки: t? = 0І ? 2 = ?2, t? = 2І ? 2 = 2.

Исходный интеграл перепишется в виде:

Разложим дробь в сумму элементарных дробей.

1/(t·(t + 4)) = ј (1/t ? 1/(t + 4))

Получаем:



Во втором интеграле подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования, он является табличным и вычисляется элементарно:

Тогда I = (I? ? ln 3)/8

Интеграл I? является несобственным: знаменатель подынтегральной функции обращается в ноль в точке t = 0.

Необходимо отметить, что подынтегральная функция в последнем интеграле -- нечётная, т. е. её график симметричен относительно начала координат. Пределы интегрирования также симметричны относительно начала координат. Функция претерпевает разрыв в единственной точке --

t = 0, в которой знаменатель дроби обращается в ноль. Этих условий вполне достаточно для вывода о равенстве интеграла нулю: I? = 0.

Тогда исходный интеграл равен I = ?(ln 3)/8. Интеграл сходится.

2 способ:

С учётом разрыва подынтегральной функции в точке t = 0 запишем:

Оба слагаемых являются интегралами расходящимися, но этот факт ещё не даёт оснований для вывода о расходимости несобственного интеграла, поскольку предстоит раскрыть неопределённость вида [? ? ?]. Устремим пределы интегрирования к нулю слева и справа с одинаковой скоростью, проинтегрируем и применим формулу Ньютона-Лейбница.

Исходный интеграл сходится. I = ?(ln 3)/8

Теперь рассмотрим экономические примеры, в которых нам придется воспользоваться умением брать интегралы.

Пример 3.

Предположим, что проведен статистический опрос населения с целью определения величины доходов на душу населения. По результатам опроса, используя методы математической статистики, выведем формулу, связывающую долю доходов y и долю населения x, имеющего эти доходы. При равном распределении доходов зависимость доли населения от доли населения, имеющего эти доходы, должна выражаться прямой y=x. Наши исследования дают формулу y=2^х -1. Оценим степень равенства в распределении доходов. Она характеризуется коэффициентом Джинни, равным отношению площади фигуры ОАВ к площади треугольника ОАС.

Коэффициент Джинни удовлетворяет условию 0< К_Джинни <1. Чем он выше, тем больше неравномерность распределения доходов среди населения и, следовательно, тем сильнее концентрация денежных средств в руках немногих.

Вычислим этот коэффициент.

Площадь фигуры S_ОВАС удобно найти, взяв определенный интеграл.

Линия ОВА называется кривой Лоренца. Ее предложил нидерландский физик и математик Лоренц в 105 году. Кривая Лоренца строится как нарастающая доля в процентах или долях одной величины в зависимости от нарастающей доли другой величины, начиная с наименьшей. Например, кривая Лоренца может отражать относительное неравенство размера фирм на рынке.

Рис. 3.3.

Пример 4.

В процессе работы оборудования с течением времени t ухудшаются его полезные характеристики: оно изнашивается, падает производительность, снижаются качество изготавливаемой продукции и надежность работы, растут эксплуатационные расходы. Момент времени T замены оборудования определяется желанием минимизировать затраты в расчете на единицу времени. Они складываются из затрат на эксплуатацию С (t) и затрат ? на приобретение нового оборудования.

Пусть по результатам обслуживания удалось оценить затраты на эксплуатацию и описать их формулой С(t)=2t+ . Стоимость нового оборудования равна 36 ед. требуется найти тот момент времени T>0, в котором оборудование следует заменить при условии минимизации затрат.

Решение. Составим функцию F(T)= ( и исследуем ее на максимум.

F(t)===T+

Найдем производную функции F(T) и, приравняв ее нулю, определим все критические точки.

При T>0 существует одна критическая точка T=3, производная которой при возрастании T меняет знак с минуса на плюс. В точке T=3 достигается минимум. Если время в задаче выражено в годах, то через три года оборудование следует заменить на новое. Именно тогда будет достигнут минимум затрат на эксплуатацию и замену оборудования.

Итак, из представленных примеров решения задач на несобственные интегралы, мы приходим к выводу, что, действительно, они являются важным направлением в изучении математического анализа и экономики.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В своей курсовой работе мною было изучено понятие несобственных интегралов. Несобственный интеграл - это определенный интеграл, у которого один из пределов является бесконечным или функция f(х) имеет одну или несколько точек разрыва внутри рассматриваемого отрезка.

У интеграла существует конечный предел - этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции. Отсюда возникает, изученное нами понятие - сходимость, которое означает, что несобственный интеграл имеет предел.

В курсовой работе мы рассмотрели виды несобственных интегралов, а именно первого и второго рода, также была изучена сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций и изучено практическое применение несобственных интегралов. Из ряда выполненных задач следует, что мы достигли цели данной курсовой работы.

Несобственные интегралы выполняют различные функции во многих областях математического анализа, а также в его приложениях. Например, в теории специальных функций главным способом изучения является наглядное изображение функций в виде несобственных интегралов, зависящих, например, от параметра.

Решение краевых задач в области физики осуществляются также с помощью несобственных интегралов. В теории вероятностей при решении задач тоже применяются несобственные интегралы.

Но наибольший интерес представляют для нас несобственные интегралы с точки зрения экономической науки. Из рассмотренных нами примеров в одной из глав мы, действительно, могли убедиться в необходимости такого понятия, как несобственный интеграл. При исследовании различных экономических показателей, таких как коэффициент Джинни или дифференциация по уровню дохода, нельзя обойтись без несобственного интеграла.

Из всего вышеперечисленного, мы приходим к выводу, что несобственный интеграл играет важнейшую роль в различных науках, а следовательно его изучение необходимо для профессионального развития, дабы без труда применять данное понятие на практике.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Малугин В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. - М.:Эксмо, 2005.- 272 с.

2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. 3-е изд. - М.:2007-479 с.

3. Математические методы и модели в экономике / Орехов Н.А., Левин А.Г., Горбунов Е.А. - М.: Юнити-Дана, 2004 - 302 с.

4. Экономико-математические методы и модели в управлении производством /под ред. А.С, Пелих, Л.Л. Терехов, Л.А. Терехова. - Ростов н/Д: «Феникс», 2005 - 248 с.

5. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике. Учебное пособие. - М.: Инфра-М, 2003- 444 с.

Размещено на Allbest.ru

...