Расчет кредита на строительство

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года):

Таблица 1. Исходные значения заданного временного ряда

Т	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	39	50	59	38	42	54	66	40	45	58	69	42	50	62	74	46

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания б₁=0,3; б₂=0,6; б₃=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение: кредит коммерческий банк строительство

1. Построение модели Хольта-Уинтерса

Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий общий вид:

где k - период упреждения;

- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

, , - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности (для квартальных данных L = 4).

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

Параметры сглаживания б₁, б₂ и б₃ подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

Из формул видно, что для расчета и необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени (т.е для t=1-1=0).

Значения и имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные.

Для оценки начальных значений и применим линейную модель к первым восьми значениям заданного временного ряда (Таблица 2).

Линейная модель имеет вид:

.

Оценим коэффициенты линейной модели и с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Таблица 2. Расчёт коэффициентов линейной модели

	1	39	-9,5	-3,5	12,25	33,25
	2	50	1,5	-2,5	6,25	-3,75
	3	59	10,5	-1,5	2,25	-15,75
	4	38	-10,5	-0,5	0,25	5,25
	5	42	-6,5	0,5	0,25	-3,25
	6	54	5,5	1,5	2,25	8,25
	7	66	17,5	2,5	6,25	43,75
	8	40	-8,5	3,5	12,25	-29,75
Сумма	36	388	-	-	42	38
Среднее значение	4,5	48,5	-	-	-	-

Примеры расчета

и т.д.

Примеры расчета



:

и т.д.

Определим значения коэффициентов нашей линейной модели по формулам:

Где

Подставив исходные данные, получим:

Линейная модель с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Из этого уравнения находим расчётные значения и сопоставляем их с фактическими значениями заданного временного ряда (Таблица 3).

Таблица 3. Значения заданного временного ряда и расчетной модели

Т	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	39	50	59	38	42	54	66	40
Yр(t)	45,3336	46,2386	47,1436	48,0486	48,9536	49,8586	50,7636	51,6686

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I - IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные. В результате расчёта получим следующие данные:

Теперь можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.

Значения параметров сглаживания, согласно заданию, таковы:

Тогда для момента времени t=0, k=1 имеем:

При моменте времени t=1 имеем:

Для t=1, k=1 имеем:

Для момента времени t=2 имеем:

Для t=2, k=1 имеем:



Для момента времени t=3 имеем:

Для t=3, k=1 имеем:

Для момента времени t=4 имеем:

Для t=4, k=1 имеем:

Для момента времени t=5 имеем:



Для t=5, k=1 имеем:

Для момента времени t=6 имеем:

Для t=6, k=1 имеем:

Для момента времени t=7 имеем:



Для t=7, k=1 имеем:

Для момента времени t=8 имеем:

Для t=8, k=1 имеем:

Для момента времени t=9 имеем:

Для t=9, k=1 имеем:

Для момента времени t=10 имеем:

Для t=10, k=1 имеем:

Для момента времени t=11 имеем:

Для t=11, k=1 имеем:

Для момента времени t=12 имеем:

Для t=12, k=1 имеем:



Для момента времени t=13 имеем:

Для t=13, k=1 имеем:

Для момента времени t=14 имеем:

Для t=14, k=1 имеем:

Для момента времени t=15 имеем:



Для t=15, k=1 имеем:

Для момента времени t=16 имеем:

2. Проверка точности модели

Оценим точность полученной модели по средней относительной ошибке аппроксимации:

Так как средняя относительная ошибка аппроксимации меньше 5%, то условие точности выполнено.

3. Проверка условий адекватности

Оценим адекватность построенной модели. Для оценки адекватности модели исследуемому процессу нужно, чтобы ряд остатков E(t) обладал свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Общее число поворотных точек р в данной задаче равно 9.

Рассчитаем значение q:

Так как p > q, то условие случайностей ряда остатков выполняется, следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверку независимости уровней ряда остатков (отсутствие автокорреляции). Проверку проведем двумя методами:

1. По -критерию Дарбина-Уотсона;

2. По первому коэффициенту автокорреляции r(1).

Рассчитаем -критерий Дарбина-Уотсона:

1.

Расчётное значение находится в интервале от 2 до 4, что свидетельствует об отрицательной связи. В этом случае его надо преобразовать по формуле

и в дальнейшем использовать .

Так как , то уровни ряда остатков являются независимыми. Следовательно, модель адекватна.



2.

Так как < , то уровни ряда остатков независимы.

Проверку соответствия ряда остатков нормальному распределению выполним по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21:

где

- максимальное значение уровней ряда остатков ,

- минимальное значение уровней ряда остатков ,

- среднее квадратическое отклонение.

Так как полученное значение входит в интервал от 3 до 4,21, то уровни ряда подчиняются нормальному распределению, следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Таким образом, не все условия адекватности выполнены. Следовательно, нельзя говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя на четыре квартала вперед.

Построим точечный прогноз на 4 шага вперед:



Отобразим на графике фактические, расчётные и прогнозные данные. Из графика видно, что расчётные данные хорошо согласуются с фактическими значениями, что говорит от удовлетворительном качестве прогноза.

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица 4. Исходные данные

Дни	Цены
	Макс.	Мин.	Закр.
1	595	580	585
2	579	568	570
3	583	571	578
4	587	577	585
5	586	578	582
6	594	585	587
7	585	563	565
8	579	541	579
9	599	565	599
10	625	591	618

Решение:

Рассчитаем экспоненциальную скользящую среднюю по формуле:

где - значение экспоненциальной скользящей средней текущего дня t; - цена закрытия t- го дня,

- коэффициент. Интервал сглаживания n=5.

Тогда коэффициент К будет равен:

Вычислим простую среднюю для первых 5 дней. Получим следующее:

Экспоненциальная скользящая средняя является индикатором тренда. Из графика видно, что ЕМА пересекает ценовой график в районе 6-8 дня и идет над графиком цен что является сигналом к продаже.

Рассчитаем момент по следующей формуле:

где - значение момента текущего дня t, - цена закрытия t-го дня, - цена закрытия n дней назад, включая текущий. В итоге получим следующие значения момента:

График момента пересекает нулевую линию в районе 5-го и 8-го дня (график МОМ движется вверх из зоны отрицательных значений в зону положительных значений), что является сигналом к покупке, а пересечение графиком нулевой линии в районе 7-го дня, когда ситуация развивается в обратном направлении, - это сигнал к продаже.

Рассчитаем скорость изменения цен по следующей формуле:

где - значение скорости изменения цен текущего дня t, - цена закрытия t-го дня, - цена закрытия n дней назад, включая текущий.

График ROC пересекает уровень 100% в районе 6-7 дня сверху вниз, что является сигналом к продаже, а пересечение графиком уровня 100% в районе 5-го и 8-го дня снизу вверх - сигнал к покупке.

Рассчитаем индекс относительной силы по следующей формуле:

где AV (AD) - сумма приростов (убыли) конечных цен за n последних дней.

2-ой день: заполняем графу 4;

3-ий день: заполняем графу 3;

4-ый день: заполняем графу 3;

5-ый день: заполняем графу 4;

6-ой день: заполняем графу 3;

7-ой день: заполняем графу 4;

8-ой день: заполняем графу 3;

9-ый день: заполняем графу 3;

10-ый день: заполняем графу 3.

Заполним графу 5:

5-ый день: 8+7=15;

6-ой день: 8+7+5=20;

7-ой день: 8+7+5=20;

8-ой день: 7+5+14=26;

9-ый день: 5+14+20=39;

10-ый день:5+14+20+19=58.

Заполним графу 6:

5-ый день: 15+3=18;

6-ой день: 15+3=18;

7-ой день: 3+22=25;

8-ой день: 3+22=25;

9-ый день: 3+22=25;

10-ый день: 22.

Заполним графу 7:

;

;

;

;

Индексы стохастических линий %R_t, %K_t, %D_t рассчитаем по формулам:

где , , - значение индекса текущего дня t;

- цена закрытия текущего дня t;

и - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Смысл индексов и состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной цене, а при падении цен, наоборот, ближе к минимальной.

< 20% - зона перепроданности (цена закрытия ближе к минимальной); можно ожидать скорого разворота тренда.

> 80% - зона перекупленности (цена закрытия ближе к максимальной); можно ожидать скорого разворота тренда.

> 80% - зона перекупленности. Цена закрытия тяготеет к максимальной.

> 80% - зона перекупленности.

Ниже на графике (рис. 1) приведены расчётные значения осцилляторов.

Рис 1. Графики осцилляторов %R, %K, %D

Задание 3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

Сумма	Дата начальная	Дата конечная	Время в днях	Время в годах	Ставка	Число начислений
S	Тн	Тк	Тдн	Тлет	i	M
4000000	10.01.02	20.03.02	90	5	45	4

Банк дал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - Т_н, возврата - Т_к. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых.

Найти:

точные проценты с точным числом дней ссуды:

К=365 (дней) - количество дней в году;

t= 69 (дней) - количество дней, за которые начисляются проценты;

Точное число дней ссуды рассчитываем календарно:

10.01 - 31.01 - 22 дня;

1.02 - 28.02 - 28 дней;

1.03 - 20.03 - 20 дней.

t = (22 + 28 + 20) - 1 = 69 (дней).

обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

К=360 (дней) - количество дней в году;

t= 69 (дней) - количество дней, за которые начисляются проценты;

обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

К=360 (дней) - количество дней в году;

t= 70 (дней) - количество дней, за которые начисляются проценты;

Рассчитаем приближенное число дней ссуды t. Продолжительность ссуды определяется из условия, согласно которому месяц принимается за 30 дней:

10.01 - 30.01 - 21 день;

1.02 - 30.02 - 30 дней;

1.03 - 20.03 - 20 дней.

t = (21 + 30 + 20) - 1 = 70 (дней).



Через Т_н дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

где - наращенная сумма.

Через Т_дн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Т_лет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определите наращенную сумму.



Ссуда, размером S руб. предоставлена на Т_лет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

где где - наращенная сумма;

Р - первоначальная сумма (ссуда);

i - годовая ставка процентов;

m - число периодов начисления в году.

Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

или 53,18%

Определить какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

или 38,94%

Через Т_лет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

Через Т_лет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

В течение Т_лет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Р - первоначальная сумма (ссуда).



Список использованной литературы

1. Орлова И.В., Половников В.А., Федосеев В.В. Курс лекций по экономико-математическому моделированию. М.: Экономическое образование, 1993. - 289 с.

2. Финансовая математика: Методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания. Для студентов IV курса специальности 060400 «Финансы и кредит» / ВЗФЭИ. - М.: Финстатинформ, 2002. - 78 с.

3. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. М.: МЭСИ, 2000. - 402 с.

4. Финансовая математика: математическое моделирование финансовых операций: Учеб. пособие / Под ред. В.А. Половникова и А.И. Пилипенко. - М.: Вузовский учебник, 2004. - 345 с.

Размещено на Allbest.ru

...