Размещено на http://www.allbest.ru

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Финансово-кредитный факультет

Кафедра: экономико-математических методов и аналитических информационных систем

Методы оптимальных решений

Контрольная работа

Вариант 7

Выполнил студент: Исаева С.Ю.

Факультет: Финансово-кредитный

Группа: 3Б2-ЭФ205

Руководитель: Концевая Н.В

Москва 2014

Задание 1.7. Основы теории игр

Теория игр -- это раздел математической экономики, изучающий решение конфликтов между игроками и оптимальность их стратегий. Конфликт может относиться к разным областям человеческого интереса: чаще всего это экономика, социология, политология, реже биология, кибернетика и даже военное дело. Конфликтом является любая ситуация, в которой затронуты интересу двух и более участников, традиционно называемых игроками. Для каждого игрока существует определенный набор стратегий, которые он может применить. Пересекаясь, стратегии нескольких игроков создают определенную ситуацию, в которой каждый игрок получает определенный результат, называемый выигрышем, положительным или отрицательным. При выборе стратегии важно учитывать не только получение максимального профита для себя, но так же возможные шаги противника, и их влияние на ситуацию в целом.

Краткая история развития

Основы теории игр зародились еще в 18 веке, с началом эпохи просвещения и развитием экономической теории. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки. Не смотря на то, что теория игр рассматривала экономические модели, вплоть до 50-х годов 20 века она была всего лишь математической теорией. После, в результате резкого скачка экономики США после второй мировой войны, и, как следствие, большего финансирования науки, начинаются попытки практического применения теории игр в экономике, биологии, кибернетике, технике, антропологии. Во время Второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений. В начале 50-х Джон Нэш (на фото) разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу». По его теории, стороны должны использовать оптимальную стратегию, что приводит к созданию устойчивого равновесия. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Эти работы Нэша сделали серьезный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. Джон Нэш показывает, что классический подход к конкуренции А.Смита, когда каждый сам за себя, не оптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других. За последние 20 -- 30 лет значение теории игр и интерес значительно растет, некоторые направления современной экономической теории невозможно изложить без применения теории игр. Большим вкладом в применение теории игр стала работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». игра математический экономика оптимизация

Представление игр

Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму. Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации:

· наличие нескольких участников;

· неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий;

· различие (несовпадение) интересов участников;

· взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников;

· наличие правил поведения, известных всем участникам.

Как это работает

Как мне кажется, смысл теории игр проще всего пояснить на «Дилемме заключенного», классическая формулировка которой звучит так:

Двое преступников, А и Б, попались примерно в одно и то же время на сходных преступлениях. Есть основания полагать, что они действовали по сговору, и полиция, изолировав их друг от друга, предлагает им одну и ту же сделку: если один свидетельствует против другого, а тот хранит молчание, то первый освобождается за помощь следствию, а второй получает максимальный срок лишения свободы (10 лет). Если оба молчат, их деяние проходит по более лёгкой статье, и они приговариваются к 6 месяцам. Если оба свидетельствуют противдруг друга, они получают минимальный срок (по 2 года). Каждый заключённый выбирает, молчать или свидетельствовать против другого. Однако ни один из них не знает точно, что сделает другой. Что произойдёт?

Представим развитие ситуации, поставив себя на место заключенного А. Если мой подельник молчит, лучше его сдать и выйти на свободу. Если он говорит, то так же лучше все рассказать, и получить всего два года, вместо десяти. Таким образом, если каждый игрок выбирает, что лучше для него, оба сдадут друг друга, и получат два года, что не является идеальной ситуацией для обоих. Если бы каждый думал об общем благе, они бы получили всего по пол года.

Применение теории игр

Теория игр, как один из подходов в прикладной математике, применяется для изучения поведения человека и животных в различных ситуациях. Первоначально теория игр начала развиваться в рамках экономической науки, позволив понять и объяснить поведение экономических агентов в различных ситуациях. Позднее область применения теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии. Теоретико-игровой анализ был впервые использован для описания поведения животных Рональдом Фишером в 30-х годах XX века (хотя даже Чарльз Дарвин использовал идеи теории игр без формального обоснования). В работе Рональда Фишера не появляется термин «теория игр». Тем не менее, работа по существу выполнена в русле теоретико-игрового анализа. Разработки, сделанные в экономике, были применены Джоном Майнардом Смитом в книге «Эволюция и теория игр». Теория игр используется не только для предсказания и объяснения поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий этичного или эталонного поведения. Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания хорошего (достойного) поведения. Вообще говоря, первые теоретико-игровые аргументы, объясняющие правильное поведения, высказывались ещё Платоном.

Описание и моделирование

Первоначально теория игр использовалась для описания и моделирования поведения человеческих популяций. Некоторые исследователи считают, что с помощью определения равновесия в соответствующих играх они могут предсказать поведение человеческих популяций в ситуации реальной конфронтации. Такой подход к теории игр в последнее время подвергается критике по нескольким причинам. Во-первых, предположения, используемые при моделировании, зачастую нарушаются в реальной жизни. Исследователи могут предполагать, что игроки выбирают поведения, максимизирующее их суммарную выгоду (модель экономического человека), однако на практике человеческое поведение часто не соответствует этой предпосылке. Существует множество объяснений этого феномена -- нерациональность, моделирование обсуждения, и даже различные мотивы игроков (включая альтруизм). Авторы теоретико-игровых моделей возражают на это, говоря, что их предположения аналогичны подобным предположениям в физике. Поэтому даже если их предположения не всегда выполняются, теория игр может использовать как разумная идеальная модель, по аналогии с такими же моделями в физике. Однако, на теорию игр обрушился новый вал критики, когда в результате экспериментов было выявлено, что люди не следуют равновесным стратегиям на практике. Например, в играх «Сороконожка», «Диктатор» участники часто не используют профиль стратегий, составляющий равновесие по Нэшу. Продолжаются споры о значении подобных экспериментов. Согласно другой точке зрения, равновесие по Нэшу не является предсказанием ожидаемого поведения, но лишь объясняет, почему популяции, уже находящиеся в равновесии по Нэшу, остаются в этом состоянии. Однако вопрос о том, как эти популяции приходят к равновесию Нэша, остается открытым. Некоторые исследователи в поисках ответа на этот вопрос переключились на изучение эволюционной теории игр. Модели эволюционной теории игр предполагают ограниченную рациональность или нерациональность игроков. Несмотря на название, эволюционная теория игр занимается не только и не столько вопросами естественного отбора биологических видов. Этот раздел теории игр изучает модели биологической и культурной эволюции, а также модели процесса обучения.

Нормативный анализ (выявление наилучшего поведения)

С другой стороны, многие исследователи рассматривают теорию игр не как инструмент предсказания поведения, но как инструмент анализа ситуаций с целью выявления наилучшего поведения для рационального игрока. Поскольку равновесие Нэша включает стратегии, являющиеся наилучшим откликом на поведение другого игрока, использование концепции равновесия Нэша для выбора поведения выглядит вполне обоснованным. Однако, и такое использование теоретико-игровых моделей подверглось критике. Во-первых, в некоторых случаях игроку выгодно выбрать стратегию, не входящую в равновесие, если он ожидает, что другие игроки также не будут следовать равновесным стратегиям. Во-вторых, знаменитая игра «Дилемма заключенного» позволяет привести ещё один контрпример. В «Дилемме заключенного» следование личным интересам приводит к тому, что оба игрока оказываются в худшей ситуации в сравнении с той, в которой они пожертвовали бы личными интересами.

Типы игр

Кооперативная\некооперативная игра

Кооперативной игрой является конфликт, в котором игроки могут общаться между собой и объединяться в группы для достижения наилучшего результата. Примером кооперативной игры можно считать карточную игру Бридж, где очки каждого игрока считаются индивидуально, но выигрывает пара, набравшая наибольшую сумму. Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Не смотря на то, что эти два вида противоположны друг другу, вполне возможно объединение стратегий, которое может принести больше пользы, чем следование какой-либо одной.

С нулевой суммой и с ненулевой суммой

Игрой с нулевой суммой называют игру, в которой выигрыш одного игрока равняется проигрышу другого. Например банальный спор: если вы выиграли сумму N, то кто-то эту же сумму N проиграл. В игре же с ненулевой суммой может изменяться общая цена игры, таким образом принося выгоду одному игроку, не отнимаю ее цену у другого. В качестве примера здесь отлично подойдут шахматы: превращая пешку в ферзя игрок А увеличивает общую сумму своих фигур, при этом не отнимая ничего у игрока Б. В играх с ненулевой суммой проигрыш одного из игроков не является обязательным условием, хотя такой исход и не исключается.

Параллельные и последовательные

Параллельной является игра, в которой игроки делают ходы одновременно, либо ход одного игрока неизвестен другому, пока не завершится общий цикл. В последовательной игре каждый игрок владеет информацией о предыдущем ходе своего оппонента до того, как сделать свой выбор. И совсем не обязательно информации быть полной, что подводит к следующему типу.

С полной или неполной информацией

Эти типы являются подвидом последовательных игр, и названия их говорят сами за себя.

Метаигры

Эти игры являются «леммами» теории игр. Они полезны не сами по себе, а в контексте какого-либо конфликата, расширяя его набор правил.

В любом конфликте типы объединяются, определяя таким образом правила игры, будь это кооперативная последовательная игра с нулевой суммой, или метаигра с неполной информацией.

Проблемы практического применения

Безусловно, следует указать и на наличие определенных границ применения аналитического инструментария теории игр. В следующих случаях он может быть использован лишь при условии получения дополнительной информации.

Во-первых, это тот случай, когда у игроков сложились разные представления об игре, в которой они участвуют, или когда они недостаточно информированы о возможностях друг друга. Например, может иметь место неясная информация о платежах конкурента (структуре издержек). Если неполнотой характеризуется не слишком сложная информация, то можно применять опыт подобных случаев с учетом определенных различий.

Во-вторых, теорию игр трудно применять при множестве ситуаций равновесия. Эта проблема может возникнуть даже в ходе простых игр с одновременным выбором стратегических решений.

В-третьих, если ситуация принятия стратегических решений очень сложна, то игроки часто не могут выбрать лучшие для себя варианты. Например, на рынок в разные сроки могут вступить несколько предприятий или реакция уже действующих там предприятий может оказаться более сложной, нежели быть агрессивной или дружественной.

Экспериментально доказано, что при расширении игры до десяти и более этапов игроки уже не в состоянии пользоваться соответствующими алгоритмами и продолжать игру с равновесными стратегиями.

К сожалению, ситуации реального мира зачастую очень сложны и настолько быстро изменяются, что невозможно точно спрогнозировать, как отреагируют конкуренты на изменение тактики. Тем не менее, теория игр полезна, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Эта информация важна, поскольку позволяет учесть дополнительные переменные или факторы, имеющие возможность повлиять на ситуацию, и тем самым повысить эффективность решения.

Список литературы

http://bgumanagement2009.narod.ru/theory/theory_13.html

http://www.0zd.ru/ekonomiko-matematicheskoe_modelirovanie/metodologiya_i_metody_prinyatiya.html

http://www.jur-portal.ru/work.pl?act=handbook_read&subact=1059415&id=563478

Задание 2.7. Решите графическим методом типовую задачу оптимизации. Осуществите проверку правильности решения с помощью средств MSExcel (надстройки Поиск решения)

Завод - производитель высокоточных элементов выпускает два различных вида деталей - Х и Y. Фонд рабочего времени составляет 4000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали Х требуется 1 чел.-ч, детали Y - 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей Х и 1750 деталей Y в неделю. Для производства одной детали Х требуется 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а производства одной детали Y - 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла - 10 000 кг в неделю. Еженедельно завод поставляет 600 деталей Х своему постоянному заказчику. В соответствии с профсоюзным соглашением общее число деталей, производимых в течение одной недели, должно составлять не менее 1500 штук.

Определите, сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства детали Х составляет 30 ден. ед./шт., а детали Y - 40 ден. ед./шт.

Постройте экономико-математическую модель задачи, дайте необходимые комментарии к ее элементам и получите решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение

Определение переменных. В рамках заданных ограничений завод должен принять решение о том, какое количество каждого вида деталей следует выпускать. Пусть х - число деталей Х, производимых за неделю. Пусть у - число деталей Y, производимых за неделю.

Определение цели и ограничений. Цель состоит в максимизации еженедельного дохода (целевая функция). Он максимизируется в рамках ограничений на количество человеко-часов и наличие материала.

Выразим цель через переменные:

Это целевая функция задачи - количественное соотношение, которое подлежит оптимизации.

Выразим ограничения через переменные. Существуют следующие ограничения на производственный процесс:

а) количество человеко-часов.

Для производства детали Х и детали Yтребуется: человеко-часов работы еженедельно. Фонд рабочего времени составляет 4000 чел.-ч в неделю, следовательно, объем производства должен быть таким, чтобы число затраченных человеко-часов работы было меньше либо равно4000 чел.-ч еженедельно. Таким образом:

б) количество материала.

Для производства одной детали Х требуется 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а производства одной детали Y - 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла - 10 000 кг в неделю.

Таким образом:

в) количество производимых деталей.

Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей Х и 1750 деталей Y в неделю. Еженедельно завод поставляет 600 деталей Х своему постоянному заказчику. В соответствии с профсоюзным соглашением общее число деталей, производимых в течение одной недели, должно составлять не менее 1500 штук.

Таким образом:

Других ограничений нет, но завод не может производить деталь Y в отрицательных количествах, поэтому:

г) условие неотрицательности:

Окончательная формулировка задачи линейного программирования имеет следующий вид:

при ограничениях:

Решим задачу графически.

Первое ограничение по времени работы Прямая проходит через точки (0, 2000) и (4000, 0).

Второе ограничение по материалу: и Прямаяпроходит через точки (0, 2000) и (5000, 0).Прямаяпроходит через точки (0, 5000) и (2000, 0).

Третьеи четвертное ограничение по количеству. Прямая проходит через точки (0, 1500) и (1500, 0).

На рис.1. заштрихована область допустимых решений.



Рисунок 1. Заштрихована область допустимых решений.

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент , координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е. .

Что бы построить этот вектор, нужно соединить точку (30;40) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации- в противо-положном направлении. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору . Так, на рисунке2 изображен векторградиент (900;1200).



Рисунок 2. Максимум целевой функции достигается в точке (1500, 1250).

В нашем случае движение линии уровня будем осуществлять до ее выхода из области допустимых решений. В крайней, угловой точке достигается максимум целевой функции. Для нахождения координат этой точки достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума:

Отсюда легко записать решение исходной задачи:

При решении задачи на минимум мы двигаемся в противоположном направлении вектора-градиента и получаем данные: х = 1500, у = 0.

Проверка решения с помощью средств MSExcel.

Ответ: для получения максимальной прибыли (95 000ден. ед.) необходимо изготовитьв неделю1500шт. детали Х и 1250 шт. детали Y.

Задание 3.7. Рассчитайте параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий

Годовая потребность автозавода в аккумуляторах «АКБ Подольск 6 СТ44А» составляет 18 тыс. шт. Затраты на размещение заказа - 220 руб. Доставка заказа осуществляется в течение семи дней. Годовые издержки на хранение запасов - 20 руб. на одно изделие. Предприятие работает 365 дней в году.

Определите:

а) оптимальный объем заказа;

б) период поставок;

в) точку заказа;

г) затраты на управление запасами за год.

Решение

За единицу времени выберем год. Введем условные обозначения:

период времени: ;

спрос (потребность компании в стартерах) за период Т:

издержки размещения заказа: s = 220руб.;

удельные издержки хранениязапериод Т: H = 20 руб./шт.;

среднее время реализации заказа:.

Оптимальный объем заказа определяется по формуле:

Период поставки, т.е. время между подачами заказа или между поставками:

Точка заказа, т.е.размер запаса на складе, при котором надо подавать заказ на доставку очередной партии:

Число партий за год:

Затраты на управление запасами на год:

Решение с помощью средств MSExcel.



Ответ: автозавод должен заказывать по 630 шт. аккумуляторов каждые 13 дней. Всего количество заказов за год составляет 29 партий. Заказ на поставку новой партии должен размещаться, когда величина наличного запаса составит 345 шт. аккумуляторов. При этих условиях суммарные годовые затраты будут минимальными и составят 12 585,7 руб.

Задание 4.7. В бухгалтерии организации в определенные дни непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.) в тот момент, когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся коллег, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно л = 10, а среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, - Т_ср= 10 мин.

Оцените основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать непроизводительных потерь рабочего времени!). Определите, сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85 %.

Решение

Оценим основные характеристики работы мастерской как СМО с отказами.

Определим параметр м потока обслуживаний:

Приведенная интенсивность потока заявок:

Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга:

Вероятность отказа в обслуживании заявки:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число занятых бухгалтеров:

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,095бухгалтера из двух - остальные 0,905будут простаивать. Работу бухгалтеров вряд ли можно считать удовлетворительной, так как они не обслуживают заявки в среднем в 34,3 % случаев (Р₂= 0,343). Очевидно, что пропускную способность при данных л и м можно увеличить только за счет увеличения числа бухгалтеров.

Определим, сколько нужно бухгалтеров, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85 %, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,15. Для этого используем формулу вероятности отказа:

Составим следующую таблицу:

n	1	2	3	4
р0	0,375	0,247	0,207	0,194
ротк	0,625	0,342	0,160	0,062

Анализируя данные таблицы, следует отметить, что увеличение количества бухгалтеров при данных значениях л и м до 4 человек позволит обеспечить вероятность обслуживания сотрудников на 93,8%, так как при n = 4 вероятность отказа в обслуживании (р_отк) составляет 0,062.

Решение средствами MS Excel.

Ответ: основные характеристики работы мастерской как СМО с отказами:

вероятность отказа в обслуживании бухгалтера: ;

относительная пропускная способность бухгалтерии: ;

абсолютная пропускная способность: сотрудников в час (в среднем);

среднее число занятых бухгалтеров:

Если в бухгалтерии начнет работать четыре человека, то вероятность обслуживания сотрудников будет выше 85 %.

Задание 5.7. Статистический анализ показал, что случайная величина Х(длительность обслуживания клиента в парикмахерской) следует показательному закону распределения с параметром , а число клиентов, поступающих в единицу времени (случайная величина Y), - закону Пуассона с параметром

Организуйте датчики псевдослучайных чисел для целей статистического моделирования (использования метода Монте-Карло).

Получите средствами MS Excel 15 реализаций случайной величины Х и 15 реализаций случайной величины Y.

Решение

Имитационный эксперимент проведем с использованием MS Excel.

Вводим значения параметров данных законов распределения и  = 2,2в ячейки B1 и B5.

Получим 15 реализаций случайной величины Х (длительность обслуживания клиента в парикмахерской, мин.). Для этого:

В ячейку B3 вводим формулу: =60*(-1/$B1)*LN(СЛЧИС()).

Копируем эту формулу в ячейки C3:P3.

Получим 15 реализаций случайной величины Y (время между приходом в парикмахерскую двух клиентов, мин.). Для этого:

В ячейку B7 вводим формулу: =60*(-1/$B5)*LN(СЛЧИС()).

Копируем эту формулу в ячейки C7:P7.

Введем учет времени прихода в парикмахерскую клиентов (мин.). Для этого:

В ячейку B9 вводим формулу: =B7 (время прихода 1-го клиента).

В ячейку C9 вводим формулу: =B9+C7 (время прихода 2-го клиента).

Копируем последнюю формулу в ячейки D9:P9 (время прихода следующих клиентов).

Для контроля генерации псевдослучайных чисел вводим:

в ячейку Q1 формулу: =60/B1;

в ячейку Q3 формулу: =СРЗНАЧ(B3:P3);

в ячейку Q5 формулу: =60/B5;

в ячейку Q3 формулу: =СРЗНАЧ(B7:P7).

Рисунок 3. 15 реализаций случайных величин Х и Y

Размещено на Allbest.ru

...