Оптимальный план и линейная модель производства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1. Предприятие осуществляет выпуск комплектующих изделий А и В, для производства которых используются сталь и цветные металлы. Технологический процесс предполагает обработку изделий на токарных и фрезерных станках. Технологическими нормами производства изделий предусмотрены определенные затраты сырья (кг) и времени (станко-час). Технологические данные производственного процесса представлены в таблице.

В течение месяца предприятие располагает ограниченными ресурсами сырья и времени обработки изделий в производственных цехах. Прибыль от реализации изделия А составляет 60 руб./шт., изделия В -- 160 руб./шт.

Продукция/ресурсы	Сырье, кг	Обработка, станко-час	Прибыль, руб
	Цветные металлы	Сталь	Токарные работы	Фрезерные работы
Изделие А	10	20	70	150	60
Изделие В	60	50	40	200	160
Ресурсы	6000	5700	10500	30000

1. Найдите оптимальный план производства (количество изделий А и В), дающий наибольшую прибыль.

2. Проведите анализ решения с использованием двойственных оценок.

Решение:

Экономико-математическая модель задачи:

Переменные: -изделие А; - изделие В.

Целевая функция:

f () = 60+160 max

Ограничения:



,0

1. Строим ОДР ЗЛП:

:		0	600
		100	0
:+ 5700		0	285
		114	0
+4010500		0	150
		262,5	0
+20030000		0	200
		150	0

В результате пересечения построенных четырех полуплоскостей получаем многоугольник, который и является областью допустимых решений нашей задачи. Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем четырем функциональным неравенствам, а для любой точки вне этого многоугольника хотя бы одно неравенство будет нарушено.

2. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент , координаты которого являются частными произведениями целевой функции:

=

Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (60;160) с началом координат.

3. Строим линию уровня, которая является перпендикуляром вектора градиента.

4. Далее будем передвигать линию уровня до ее выхода из ОДР. При максимизации целевой функции движение линии уровня будем осуществлять по направлению градиента. В точке С достигается max целев. функции. Для нахождения координат этой точки решим систему из уравнений двух прямых, дающих в пересечении точку максимума:

Получаем и . При этих значениях

max f () = 60+160

Вывод: для получения max прибыли (17800) необходимо 110 шт изделия А (=110) и 70 шт изделия В (=70).

Задание 2. Сформулируем двойственную задачу и найдем двойственные оценки.

Целевая функция:

g () = 6000+5700 min

Ограничения:

,0

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности:

Подставим оптимальные значения вектора х в полученное выражение:

план производство линейная модель

Получим:

, так 30500>30000, то

Воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двойственности:

Если , то

В нашей задаче Х1=110 > 0 и Х2=70>0, поэтому первое и второе ограничения двойственной задачи обращаются в равенства:

Решив систему уравнений, получим:

Проверим выполнение первой теоремы двойственности:

g()=6000+5700

f () = 60+160

Оптимальный план двойственной задачи определен, верно.

Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

Если , то

Если , то

Необходимый запас сырья по изделию А и В имеют отличные от нуля оценки 2 и 3- они полностью используются в оптимальном плане, являются дефицитными, сдерживающими рост целевой функции. Правые части этих ограничений равны левым

Необходимый фонд рабочего времени токарных работ используется не полностью 53000<6000, поэтому имеет нулевую двойственную оценку . Этот ресурс не влияет на план получения прибыли.

Необходимый фонд рабочего времени фрезерных работ используется не полностью 35000>30000, поэтому имеет нулевую двойственную оценку . Этот ресурс не влияет на план получения прибыли

Общая прибыль изготовления изделия А 110 и В 70составит 17800 руб

Решение в MS EXCEL:



Ответ: Получаем и . При этих значениях

max f () = 60+160

Задание 3. 1.Постройте график временного ряда, сделайте вывод о наличии тренда.

Номер варианта	Номер наблюдения (t = 1, 2, …, 11)
3	3 7 10 11 15 17 21 25 27 27 30

2. Постройте линейную модель Y(t) = a0 + а1t, оцените ее параметры с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

3. Оцените адекватность построенной модели, используя свойства остаточной компоненты e(t).

4. Оцените точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

5. Осуществите прогноз спроса на следующие два месяца (доверительный интервал прогноза рассчитайте при доверительной вероятности P = 75%).

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представьте графически.

7. Используя MS Excel и VSTAT, подберите для данных своего варианта наилучшую трендовую модель и выполните прогнозирование по лучшей модели на два ближайших периода. Представьте в отчете соответствующие листинги с комментариями.

Решение:

1. Постройте график временного ряда, сделайте вывод о наличии тренда.



Рис.1.1 график временного ряда

-делим исходный временной ряд на 2 примерно равные по числу уровней части: N1-5, n2-6

-для каждой из этих частей вичисляем средние значения и дисперсии:

-проверяем гипотезу о равенстве дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера:

Так как Fрасч<Fкрит (3,47), то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

-тогда проверяем основную гипотезу о равенстве сред значение с использованием t-критерия Стьюдента:

Так как / tрасч/ <tкрит(0,05;9), то нет основания отвергать нулевую гипотезу о равенстве средних, расхождение между вычисленными данными средними незначимо. Отсюда вывод, что тренд отсутствует.

2. Постройте линейную модель Y(t) = a0 + а1t, оцените ее параметры с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

В табл.3.1 приведены промежуточные расчеты параметров линейной модели по формулам (3.5.16).

Подставляем значения и в

Y(t) =+t: .

Расчеты приведены в табл. 3.1

Таблица 3.1

3. Оцените адекватность построенной модели, используя свойства остаточной компоненты e(t). Промежуточные вычисления представлены в таблице 3.2

Таблица 3. 2

· Свойства независимости остаточной компоненты, или наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях от моделей роста, осуществляется с помощью критерия Дарбина-Уотсона по формуле (3.4.8.):

 ,

где

Результаты расчетов приведены в табл.3. 2

; =1,36; dw'=4- dw=4-0,95=3,05.

Так как dw'=3,05 не попало в интервал от до 2, то по данному критерию можно сделать вывод о невыполнении свойства независимости. Это означает, что в ряде динамики имеется автокорреляция, следовательно, модель по этому критерию неадекватна.

· Проверка условия случайности возникновения от тренда с помощью критерия поворотных точек. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше соседних с ним элементов, или , наоборот меньше значений предыдущего и последующего за ним члена. Количество поворотных точек p при n=11 равно 5. Количество поворотных точек сравнивается с величиной, заключенной в квадратные скобки.

Неравенство выполняется (6>3). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

· Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим с помощью RS-критерия:

,

где а среднее квадратичное отклонение

Получаем

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна. Данные анализа ряда остатков приведены в табл.3.3.

Таблица 3.3

Проверяемой свойство	Используемая статистика	Граница	Вывод
	наименование	значение	нижняя	верхняя
Независимость	dw-критерий Дарбина-Уотсона		1,08	1,36	неадекватна
Случайность	Критерий пиков (поворотных точек)	6>3	3	адекватна
Нормальность		3,108	2,7	3,7	адекватна
Вывод: модель статистически адекватна

4. Оцените точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации. Таблица 3.2

Получаем

Вывод: % - уровень точности модели приемлемый.

5. Осуществите прогноз спроса на следующие два месяца (доверительный интервал прогноза рассчитайте при доверительной вероятности P = 75%).

· для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующее значение фактора t=n+k

(n+k)

.

· Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. При уроне значимости, а=0,1, доверительная вероятность равна 75%, а критерий Стьюдента при н=n-2=9 равен 0,703. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле 3.15.21:

, где

, , , .

Получаем

Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (табл.3):

+ - верхняя граница

-- нижняя граница

		прогноз	верхняя граница	нижняя граница
12		33,91	35,16	32,66
13		36,63	37,93	35,33

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представьте графически.

7. Используя MS Excel и VSTAT, подберите для данных своего варианта наилучшую трендовую модель и выполните прогнозирование по лучшей модели на два ближайших периода. Представьте в отчете соответствующие листинги с комментариями.

· Щёлкните правой кнопкой мыши на ряде динамики

· Выберите команду Добавить линию тренда из контекстного меню

· Выберите тип регрессии. При выборе типа Полиноминальная введите значение степени в поле Степень

· В параметрах отметить:

-показывать уравнение на диаграмме

-поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации

· Щелкните Ок.

Экспоненциальная линия тренда

Логарифмическая линия тренда

Полиномиальная линия тренда

Степенная линия тренда

Наилучшей трендовой моделью считается Полиномиальная, так как у нее большее значение коэффициента детерминации. Ее то мы и возьмем в качестве лучшей для построения прогноза.

В параметрах при построении линии тренда введем прогнозируемое количество периодов (=2):

Задание 4

Компания выпускает ножи. В среднем она может производить 150 ножей в день. Спрос -- 40 ножей в день. Издержки хранения одного ножа -- 8 руб. в год. Стоимость организации производственного цикла -- 100 руб.

Определите экономичный размер партии, издержки, число циклов за год и расстояние между циклами.

Дано:

М = 150шт;

h = 8руб/год

K = 100руб..;

С=40шт/день.

Определить: Qопт, издержки, период поставок и точку заказа

Решение.

1. Количество единиц в одной поставке:

2. Общие издержки за год:

3. Частота поставок (количество поставок за год):

4. Периодичность поставок (интервал между поставками):

то есть одна поставка происходит каждые .

Ответ: оптимальный объем заказа = 61 ед; годовые расходы на хранение запасов = 489,9руб; период поставок = 123 дня.

Задание 5

Восемь экспертов оценили объем спроса на стеклопакеты (млн руб.) в 2013 г.

Эксперт	1	2	3	4	5	6	7	8
прогноз	10,1	13,6	8,8	9,6	11,7	12	14,6	12,4

Получите точечный и интервальный прогнозы спроса на стеклопакеты, используя метод Дельфи.

Решение: расположив результаты оценок в порядке возрастания, получим следующий ряд:

8,8	9,6	10,1	11,7	12	12,4	13,6	14,6

В последовательности из 8 данных значение Ме будет отвечать [(8+1)/2]= [4,5]-му порядковому номеру (те между 4-м и 5-м значениями). Таким образом,

Ме=11,7+(12-11,7)/2=11,85

Определим значения первого и третьего квартиля:

- нижний (первый) квартиль Q1 -- значение признака у единицы ранжированного ряда, делящей совокупность в соотношении ј и 3/4: ([(n + 1)/4]-е порядковое значение):

Q1 = 8,8 + 0,75 (9,6 - 8,8) = 9,4;

- верхний (или третий) квартиль Q3 -- значение признака у единицы ранжированного ряда, делящей совокупность в соотношении ѕ и ј: ([3(n + 1)/4]-е порядковое значение):

Q3 = 12,4 + 0,25(13,6 - 12,4) = 12,7.

Межквартильный размах Q3 ? Q1 включает 50% центральных значений. Второй квартиль Q2 есть не что иное, как медиана. При этом

Q2 = 1,76

и межквартильный размах

Q3 ? Q1 = 3,3.

Список литературы

1. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: учебное пособие/ под ред А.Н.Гармаш.-М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012.

2. Орлова И.В., половников В.А. Экономико-математическое методы: Компьютерное моделирование: учебное пособие/ под ред. И.В.Орловой-3-е изд., перераб. и доп..-М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012.

3. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач: учебное пособие/ под ред И.В.Орловой-2-е изд., исп. и доп..-М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012.

4. Федосеев В.В. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебник для бакалавров/под ред. В.В.Федосеева.-3-е изд., перераб. и доп.-М.: Юрайт,2012

5. Федосеев, В. В. Экономико-математические методы и прикладные модели [Электронный ресурс] : Учеб. пособие для вузов / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, И .В. Орлова и др.; Под ред. В. В. Федосеева. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 304 с.

6. Федосеев, В. В. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, Д.М.Дайитбегов и др.; Под ред. В. В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 391 с

7. Хуснутдинов Р.Ш. Экономико-математические методы и модели: Учебное пособие / Р.Ш. Хуснутдинов. - М.: НИЦ Инфра-М, 2013. - 224 с.

8. http://emm.ostu.ru/lect/lect2_3.html#vopros5

9. http://nashaucheba.ru/v55495

Размещено на Allbest.ru

...