Подтвердите достоверность полученных оценок расчетом генеральных характеристик.

Сделайте выводы.

Решение:

Таблица 1 - Исходные данные

1. На основе таблицы случайных чисел был сформирован массив случайных чисел и произведена 30-процентная простая случайная бесповторная выборка.

После ранжирования, с помощью метода аналитической группировки, образуем 4 группы с равными интервалами. Величина интервала:

Тогда ряд распределения в табличной форме будет выглядеть следующим образом (таблица 2).

Таблица 2 - Ряд распределения

Представим ряд распределения также графически (рисунок 1).

Рисунок 1 - Ряд распределения предприятий по размеру выручки от продаж

2. Определим средний размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг одного предприятия, а также долю микропредприятий с размером выручки более 20 млн руб.

Общий средний размер выручки на 1 предприятие составляет:

Определим долю микропредприятий с объемом выручки более 20 млн. руб.:

3. С вероятностью 0,954 определим доверительные интервалы, в которых можно ожидать генеральные параметры:

а) средний размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг одного предприятия:

Рассчитаем предельную ошибку:

==2,39 млн руб.

где t - табличное значение,

- средняя ошибка выборки для средней величины бесповторной выборки.

То есть:

Средний размер выпуска товаров и услуг одного микропредприятия следует ожидать с вероятностью 0,954 в пределах от 13,8 млн руб. до 18,6 млн руб.

б) долю микропредприятий с размером выручки более 20млн руб.:

p - доля единиц, обладающих изучаемым значением признака в генеральной совокупности;

Тогда,

Долю микропредприятий с размером выручки более 20 млн руб. следует ожидать с вероятностью 0,954 в пределах от 18,9% до 47,7%.

в) общий размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг малых предприятий региона:

Общий размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг микропредприятий региона следует ожидать с вероятностью 0,954 в пределах от 1380 млн руб. до 1860 млн руб.

г) число предприятий с размером выручки более 20 млн руб.:

где А - число единиц, обладающих изучаемым значением признака в генеральной совокупности.

С вероятностью 0,954 можно ожидать от 19 до 47 предприятий с размером выручки более 20млн руб.

Теперь рассчитаем генеральные характеристики для проверки полученных оценок:

Средний размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг одного предприятия:

Средний размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг одного предприятия составил 16,43 млн руб., общий размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг - 1643 млн руб.

Доля предприятий с размером выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг более 20 млн руб.:

Доля предприятий с объемом выпуска товаров и услуг составляет 31% или 31 предприятие из 100.

Выводы: Для генеральных параметров оценки среднего размера выручки и доли предприятий с размером выручки более 20 млн руб. оказались достоверными.

Задача 2

ранжирование группировка экстраполяция прогноз

Используя статистическую информацию, размещенную в сети Интернет на официальном сайте Федеральной службы государственной статистики в Центральной базе статистических данных (ЦБСД) или официальных публикациях Росстата (режим удаленного доступа http://www.gks.ru), постройте временной ряд за последние 8 - 10 лет по любому из заинтересовавших Вас показателей. Проанализируйте данные. Для этого:

1) определите все возможные цепные, базисные и средние показатели анализа ряда динамики;

2) произведите сглаживание уровней временного ряда методами укрупнения интервалов, скользящей средней, а также аналитического выравнивания (интервал укрупнения и период скольжения определите самостоятельно).

3) осуществите аналитическое выравнивание уровней анализируемого динамического ряда, проведите на его основе экстраполяцию показателя на среднесрочную длину прогнозного горизонта (2-3 года).

Для визуализации анализируемых, расчетных и прогнозируемых данных используйте табличный и графический методы.

Сделайте выводы.

Решение:

Исследуем численность образовательных учреждений высшего профессионального образования в РФ за 2004-2012 гг. (таблица 3).

Таблица 3 - Образовательные учреждения высшего профессионального образования за 2004-2012 гг.

1) Определим все возможные показатели ряда динамики:

1. Цепные показатели

Таблица 4 - Расчет цепных показателей

2.Базисные показатели

Таблица 5 - Расчет базисных показателей

3. Средние показатели

Ряд интервальный полный, значит для расчета среднего уровня используем след.формулу:

учр.

Т.е. в среднем в каждом году в России было 1080 образовательных учреждений.

Среднегодовые показатели

ь средний абсолютный прирост

,

Т.е число образовательных учреждений в период 2004-2012 гг. в среднем за год повышалось на 10.

ь средний темп роста

ь средний темп прироста

2) Произведем сглаживание уровней временного ряда различными методами:

1. Метод укрупнения интервалов

Период укрупнения составляет 3 года. Таким образом, из исходного временного ряда образуем три укрупненных группы.

Таблица 6 - Сглаживание уровней временного ряда методом укрупнения интервалов

Можно заметить положительный тренд увеличения числа образовательных учреждений в РФ за 2004-2012 гг.

2. Метод скользящей средней

Период скольжения - 3 года, следовательно,

Таблица 7 - Сглаживание уровней временного ряда методом скользящей средней

В данном методе также наблюдается увеличение числа образовательных учреждений в стране.

3. Аналитическое выравнивание

Для выравнивания ряда динамики по прямой используем уравнение:

При помощи МНК составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными - параметрами а₀ и а₁:

где у - исходный уровень ряда динамики,

n - число членов ряда,

t - показатель времени, который обозначается порядковыми номерами, начиная от низшего.

Таблица 8 - Вспомогательные расчеты

Решение системы уравнений позволяет получить выражение для параметров а₀ и а₁:

Число исходных уровней ряда нечетное (n=9). При этом уравнения системы примут следующий вид:

и

откуда:

представляет собой средний уровень ряда динамики ();

По итоговым данным определяем параметры уравнения:

В результате получаем следующее уравнение основной тенденции числа образовательных учреждений в России в 2004-2012 гг.:

Таблица 9 - Аналитическое выравнивание уровней временного ряда

С помощью различных методов сглаживания уровней временного ряда была установлена тенденция роста числа образовательных учреждений в РФ за 2004-2012 гг.

Определим прогнозные значения на три года путем экстраполяции:

? Метод среднего абсолютного прироста.

Заключается в последовательном прибавлении среднего абсолютного прироста к последнему уровню ряда столько раз, на сколько периодов экстраполируется ряд:

y_i+t = y_i + Дt_ср

Дt_ср = 10, значит ожидается численность занятых:

? Метод среднего темпа роста:

y_i+t = y_i х Тр_ср

Тр_ср = 101%, тогда прогнозное значение составит:

Построим соответствующий график для визуализации полученных данных (рисунок 2).

Рисунок 2 - Число образовательных учреждений высшего профессионального образования в России за 2004-2012 гг. с прогнозом на последующие три года

Задача 3

За отчетный период имеются первичные данные о работе учреждений дошкольного образования региона (данные условные).

Таблица 10 - Исходные данные

Определите средние значения по каждому признаку. Напишите формулы расчета, введя условные буквенные обозначения признаков. Укажите виды использованных средних величин. Сделайте выводы.

Решение:

Для расчета среднего числа детей всего воспользуемся средней арифметической простой:

где ?Чд - количество детей в детском саду,

i - номер детского сада,

n - общее число детских садов.

Значит, в среднем, в каждом детском саду около 113 детей.

Среднее число детей в группе через среднюю арифметическую взвешенную:

где Чд/гр_i - число детей в одной группе в i-м детском саду.

В среднем в одной группе детских садов около 22 детей.

Среднее число рабочих дней детских садов определим с помощью средней арифметической:

где ?Чрд - число рабочих дней детского сада,

i - номер детского сада,

n - общее число детских садов.

В среднем в месяц детские сады работают примерно 26 дней.

Средняя продолжительность рабочего дня в детских садах вычисляется через среднюю арифметическую:

где ?Прд - продолжительность рабочего дня детского сада,

i - номер детского сада,

n - общее число детских садов.

В среднем продолжительность рабочего дня в детских садах составляет 14 часов.

Среднее число детей на одного воспитателя определим по формуле средней арифметической взвешенной:

где Чд/в - число детей на одного воспитателя.

В среднем на одного воспитателя приходится около 20 детей.

Таким образом при решении задач были использованы 2 вида средних величин: простая арифметическая, взвешенная арифметическая.

Задача 4

Численность клиентов компании "Faberlic" в городе составляет 2500 чел. В отчетном месяце 300 из них был разослан новый каталог товаров. С целью выяснения суммы трат на продукцию компании в результате выборочного опроса, проведенного методом пропорционального расслоенного (типического) отбора, были получены следующие данные:

Таблица 11 - Исходные данные

Определите:

1) тесноту связи между средней суммой трат и фактом получения нового каталога, исчислив эмпирическое корреляционное отношение;

2) с вероятностью 0,954 доверительные интервалы, в которых можно ожидать: а) среднюю сумму трат на данную продукцию всех клиентов компании в городе; б) общую сумму трат всех клиентов;

3) как изменится точность средней и предельной ошибок выборки, если предположить, что приведенные данные получены в результате простой случайной бесповторной выборки

Сделайте выводы.

Решение:

· Эмпирическое корреляционное отношение:

,

где - межгрупповая дисперсия, отражающая вариацию частных средних признака по группам (i) относительно общей средней по совокупности (); данная вариация определяется влиянием на результативный признак признака-фактора, лежащего в основе группировки:

,

где i - частные средние по группам;

- общий средний уровень признака в совокупности;

fi - частота варианта по группам.

- общая дисперсия, отражающая колеблемость результативного признака относительно общей средней по совокупности .

Общую дисперсию рассчитывается по правилу сложения дисперсий:

где - средняя внутригрупповых дисперсий, отражающая случайную или остаточную вариацию результативного признака:

,

где у²_i - частные внутригрупповые дисперсии,

;

f_i - частота варианта по группам,

Расчеты:

руб.

Эмпирическое корреляционное отношение:

Вывод: 93,6% общей вариации среднего размера покупки продукции Faberlic (560 руб.) обусловлено признаком-фактором, положенным в основу группировки (потенциальные покупатели получили каталог); оставшиеся 6,4% вариации среднего размера покупки продукции Faberlic отражают случайную вариацию трат.

· С вероятностью 0,954 доверительный интервал, в котором можно ожидать величину средних трат на продукцию Faberlic всех клиентов компании (пределы генеральной средней), считая, что проведенная выборка была повторной:

,

где - выборочная средняя;

- генеральная средняя;

- предельная ошибка повторного собственно-случайного отбора;

t - коэффициент доверия, зависящий от установленного уровня доверительной вероятности (t =2,0 для вероятности 0,954);

n - объем выборки

руб.

С вероятностью 0,954 доверительный интервал, в котором можно ожидать величину средних трат на продукцию Faberlic всех клиентов компании (пределы генеральной средней):

руб.

руб.

Выводы: с вероятностью 0,954 доверительный интервал, в котором можно ожидать сумму средних трат на продукцию Faberlic всех клиентов компании (пределы генеральной средней) составит руб.

· С вероятностью 0,954 доверительный интервал, в котором можно ожидать общую сумму трат всех клиентов на продукцию Faberlic - распространение результатов, полученных в выборке, на генеральную совокупность проводится способом прямого пересчета:

руб.

руб.

руб.

Выводы: с вероятностью 0,954 доверительный интервал, в котором можно ожидать общую сумму трат всех клиентов на продукцию Faberlic, составит руб.

· Изменение точности средней и предельной ошибок выборки, если предположить, что приведенные данные получены в результате простой случайной бесповторной выборки.

- предельная ошибка бесповторного собственно-случайного отбора;

- средняя ошибка бесповторного собственно-случайного отбора;

руб.

Изменение точности средней и предельной ошибок выборки, если предположить, что приведенные данные получены в результате простой случайной бесповторной выборки, незначительно, на 2,3 руб.

Задача 5

По материалам Всероссийских переписей населения имеются данные о размещении сельского населения страны:

Таблица 12 - Исходные данные

Для оценки концентрации населения в сельских населенных пунктах:

1) определите за каждый год коэффициенты концентрации К. Джини;

2) постройте кривые М. Лоренца.

Сделайте выводы.

Решение:

Определим коэффициент К. Джини:

где

- доля населения в i-й группе;

- доля i-й группы населения в совокупной численности населения, проживающих в населенных пунктах;

- сумма накопленных частот по доли в общей сумме численности населенных пунктов.

Таблица 13 - 2002 г.

Проранжируем Yi по возрастанию:

Таблица 14

Фактическое распределение населения по группам населенных пунктов в 2002 году отличается от их равномерного распределения на 60,7 %.

Таблица 15 - 2010 г.

Проранжируем Yi по возрастанию:

Таблица 16

В 2010 г. фактическое распределение населения по населенным пунктам отличается от их равномерного распределения на 64,6%.

Построим кривую М. Лоренца, которая характеризует концентрацию населения по населенным пунктам. Для построения кривой Лоренца будем использовать следующие данные:

· по оси OX отложим накопленную частость населенных пунктов (dx);

· по оси OY отложим накопленную частость населения (df);

Получаем кривую Лоренца:

Рисунок 3 - Кривые Лоренца равномерного распределения, базисного и отчетного периодов

По графику видно, что концентрация населения далека от равномерного и в 2002 г., и в 2010 г., что также подтверждается расчетами коэффициента Джини.