Моделювання та чисельний аналіз систем масового обслуговування зі швидкозмінними в часі характеристиками

Размещено на http://www.allbest.ru/

Харківський національний університет радіоелектроніки

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Спеціальність 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Моделювання та чисельний аналіз систем масового обслуговування зі швидкозмінними в часі характеристиками

Агапова Ірина Степанівна

Харків - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Дікарєв Вадим Анатолійович, Харківський національний університет радіоелектроніки, професор кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Яковлев Сергій Всеволодович, Національний університет внутрішніх справ, начальник факультету управління та інформатики;

кандидат технічних наук, доцент Ситнік Борис Тимофійович, Українська державна академія залізничного транспорту, доцент кафедри автоматики та комп'ютерних систем управління.

Провідна установа - Національний технічний університет України „КПІ”, кафедра прикладної математики, м. Київ.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Безкоровайний В.В.

Анотація

Агапова І.С. Моделювання та чисельний аналіз систем масового обслуговування зі швидкозмінними в часі характеристиками. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Харківський національний університет радіоелектроніки, Харків, 2003.

У дисертаційній роботі розглянуті системи масового обслуговування зі змінними в часі характеристиками. Досліджена багатолінійна система масового обслуговування типу з наявністю у приладів часу відновлення. Для зазначеної системи знайдені перехідні та граничні ймовірності, математичне очікування інтервалів часу між подіями потоку вимог, що спостерігається, і на його підставі запропонована оцінка пропускної здатності системи за методом моментів. Розроблено та досліджено математичну модель системи масового обслуговування з обмеженим потоком вимог для випадків, коли характеристики цієї системи (кількість приладів, їх продуктивність, число заявок, що циркулюють у системі) змінюються в часі. Побудовано математичну модель СМО з накопичувачем заявок, що у своєму складі має декілька накопичувачів різної ємності. Проведені чисельні дослідження випадків, коли система має швидкозмінні в часі характеристики (ємність накопичувача, інтенсивність вхідного потоку вимог та інтенсивність їх обробки, кількість накопичувачів). Описано процес поділу неоднорідних сумішей за допомогою імпульсної технології. Для дослідження динаміки цього процесу використаний метод багатофакторного аналізу - шестифакторний аналіз за допомогою греко-латинського гіперкубу 3х3 першого порядку.

Ключові слова: система масового обслуговування, марковський процес, інфінітезимальна матриця, фінальний розподіл, швидкі осциляції, збурюючі фактори.

Аннотация

Агапова И.С. Моделирование и численный анализ работы систем массового обслуживания с быстро изменяющимися во времени характеристиками. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Харьковский национальный университет радиоэлектроники, Харьков, 2003.

Диссертация посвящена рассмотрению систем массового обслуживания с изменяющимися во времени характеристиками.

В первом разделе проведен обзор литературы по вопросам неоднородных марковских процессов, методов их стабилизации, идентификации входящего потока требований систем массового обслуживания.

Во втором разделе исследована многолинейная система массового обслуживания типа с наличием у приборов времени восстановления. С помощью метода вложенных цепей Маркова для моментов поступления требований на обслуживающие приборы найдены переходные и предельные вероятности. Доказано, что предельные вероятности выражаются формулами Эрланга. Найдено математическое ожидание интервалов времени между событиями наблюдаемого потока требований и на его основании предложена оценка пропускной способности системы по методу моментов. Найдена асимптотическая дисперсия этой оценки.

Описанная задача может служить математической моделью регистрирующих физических систем при наличии у приборов времени восстановления и нескольких регистрирующих приборов. Подобная схема течения процесса появляется в биологических системах, где имеется несколько путей передачи импульсов возбуждения.

Изложенный метод построения оценки плотности входящего потока требований обобщен для случая, когда плотность входящего потока является величиной, зависящей от времени. Проведен численный анализ для ситуации, когда интенсивность входящего потока претерпевает быстрые осцилляции во времени. Такие ситуации возникают, когда на процесс действуют быстро изменяющиеся во времени внешние факторы. На построенной математической модели исследованы следующие случаи: внешние факторы воздействуют на систему через равные промежутки времени; моменты воздействий распределены на рассматриваемом интервале неравномерно (имеются участки сгущения моментов воздействий); система подвергается внешним воздействиям в случайные моменты времени.

В третьем разделе рассмотрена СМО с ограниченным потоком требований. Произведен численный анализ для случая, когда параметры системы (число приборов, плотность входящего потока требований, число заявок, циркулирующих в системе, плотность обработки требований) изменяются во времени.

Построена математическая модель и проведены численные исследования для указанной СМО, состоящей из приборов, имеющих различные характеристики (). Исследованы случаи: один или несколько приборов выходят из строя; нагрузка вышедшего из строя прибора распределяется на другие приборы; один или несколько приборов заменяются новыми с большей производительностью; плотность входящего потока претерпевает быстрые осцилляции во времени; число требований, циркулирующих в системе, изменяется с течением времени.

В четвертом разделе рассмотрена СМО с накопителями заявок. Рассмотрен случай, когда указанная СМО имеет изменяющиеся во времени плотности входящего и выходящего потоков. Численные расчеты показали, что при достаточном количестве осцилляций, происходящих на малых промежутках времени, система достаточно быстро стабилизируется в некоторой -окрестности.

Построена математическая модель СМО с накопителем требований и проведены расчеты для случаев, когда объем накопителя изменяется с течением времени и когда в системе имеется несколько накопителей разной емкости. Этот случай описывается системой дифференциальных уравнений Колмогорова с изменяющимся числом уравнений.

Построена модель СМО, содержащей несколько накопителей разной емкости. Установлено, что для увеличения суммарного количества обработанных требований следует обрабатывать заявки в порядке увеличения среднего времени их обслуживания.

Описанные методы и вычислительные алгоритмы применены для решения задачи о выделении из жидкой многокомпонентной смеси одной из ее фракций. Ее выделение производится с помощью обработки смеси высокочастотными импульсами; при соответствующем выборе частот и амплитуд этих импульсов из смеси может быть выделена одна из ее компонент. Указанные воздействия подбираются таким образом, чтобы были разрушены межмолекулярные связи, действующие между компонентами обрабатываемой смеси. Данный подход может быть реализован в случае, когда разряды, воздействующие на смесь, реализуются за достаточно малые промежутки времени.

В работе установлено, что процесс разделения смеси при наличии воздействий можно свести к изучению процесса рождения и гибели.

Для исследования динамики процесса разделения неоднородной смеси использован метод шестифакторного анализа на основе греко-латинского гиперкуба 3х3 с тремя повторными опытами. Для каждого из статистически значимых факторов построены ряды предпочтительности.

Все предложенные в диссертационной работе алгоритмы реализованы в виде прикладных программ и могут быть использованы как в научных исследованиях, так и в учебном процессе.

Ключевые слова: система массового обслуживания, марковский процесс, инфинитезимальная матрица, финальное распределение, быстрые осцилляции, возмущающие факторы.

Abstract

Agapova I.S. Modeling and numerical analysis of mass service systems with fast variable in time characteristics. - Manuscript.

Thesis for the candidate degree of the technical sciences on the specialty 01.05.02 - mathematical modeling and computing methods. - Kharkov national university of radioelectronics, Kharkov, 2003.

The thesis is devoted to mass service systems with fast variable in time characteristics. The many linear mass service system with renewal time of devices was investigated. Transition and limiting probabilities, average of distribution of times intervals between events of the observed stream of demands are founded for mentioned system. The estimation of capacity of system by method of moments is proposed. The mathematical model of mass service system with bounded flow of demands is developed and investigated. This problem is examination for variable in time characteristics of the considered system. The mathematical model of mass service system with limited stream is developed for cases when characteristics of this system (number of devices, their productivity and number of demands circulating in system) are variable in time. The mathematical model of mass service system with the accumulator of demands what has some accumulators of different size is developed. Numerical researches are developed for case when the system has fast time variation (size of accumulator, intensity of the incoming stream and intensity of their service, number of accumulators). The process of division of non-homogeneous mixture using the pulsed technology was described. Multiple-factor analysis method was used for the investigation of this process dynamics. It is four-factor analysis using greco-latin hypercube 3х3 the first order.

Keywords: mass service systems, Markovian process, infinitesimal matrix, final distribution, fast oscillations, disturbing factors.

1. Загальна характеристика роботи

обчислювальний масовий поток вимога

Актуальність теми. Для дослідження багатьох процесів, що відбуваються в природі (процеси народження та загибелі, процеси розпаду та регенерації), техніці (технологічні процеси, різні види конвеєрів), організації виробництва (потоки транспорту, телефонні мережі) широко використовуються результати теорії масового обслуговування. Тому вивчення вказаних процесів, зокрема, побудова такої моделі системи масового обслуговування (СМО), яка б досить точно описувала реальну систему, є важливою задачею з погляду застосувань. Загальна теорія масового обслуговування була розроблена в працях А.К. Ерланга, Ф. Полачека, Л. Такача, О.Я. Хінчина, Б.В. Гнеденка, І.Н. Коваленка та ін.

У дисертаційній роботі досліджуються системи масового обслуговування зі змінними в часі характеристиками, що відповідає прикладним задачам. Підкреслимо, що до теперішнього часу в цьому напрямку були отримані окремі розрізнені результати. У цьому зв'язку можна згадати роботи А.Б. Кларка, Д.В. Ліндлі, В. Феллера, Г. Ньюелла, Д. Массі, Л. Клейнрока.

Багато задач, що виникають при дослідженні технічних, економічних, біологічних та інших процесів, пов'язані з вивченням потоків подій різної природи. Такі задачі виникають при дослідженні потоків інформації, що циркулює в обчислювальних системах і мережах зв'язку. В реальних системах ці потоки, як правило, є нестаціонарними, тому що їх інтенсивність змінюється з часом. Часто буває так, що деяка подія потоку може викликати ситуацію, коли наступні події стають недоступними для спостереження. До таких випадків можна віднести наявність помилок при передачі інформації по каналах зв'язку. Ці помилки пов'язані зі збоями зв'язку або виникають через несправність датчиків, коли корисна інформація не фіксується, оскільки виявляється недоступною для спостереження. З такими явищами доводиться мати справу при вивченні біологічних систем, наприклад, нейронних мереж.

З викладеного випливає, що ефективне функціонування систем масового обслуговування і керування ними (підключення резервних приладів, зміна маршруту передачі даних у мережах, зміна інтенсивності вхідного потоку інформації тощо) вимагає знання інтенсивностей потоків заявок, що надходять на вхід цих систем, і їх коливання в часі. Тому оцінка поточної інтенсивності потоку вимог є актуальною технічною проблемою (див. роботи В.В. Анісімова, Г.П. Клімова, І.Н. Коваленка, D.R. Cox, Sh.M. Ross і бібліографію, що в них міститься).

Зміна параметрів системи може відбуватися внаслідок багатьох причин (зміна характеристик середовища, в якому функціонує система, зношення працюючих приладів, зміна інтенсивності потоку заявок, що надходять). Фактори, що діють на СМО, у ряді випадків можуть істотно впливати на роботу таких систем, а іноді приводити до їхнього розбалансування і виведення з ладу. Тому актуальним є дослідження поведінки СМО, що знаходяться під дією таких факторів. Задачі, пов'язані з випадковими збуреннями стохастичних систем, розглядалися в роботах О.Д. Вентцеля, І.І. Єжова, В.С. Королюка, А.Ф. Турбіна. Іноді доводиться мати справу з такими СМО, в яких зміна їхніх основних характеристик може приводити до корисного результату.

Найважливішою задачею теорії випадкових процесів та її застосувань є знаходження умов, при виконанні яких спостерігається стабілізація досліджуваного процесу. У зв'язку з цим виникає задача про вибір такої моделі процесу, яка б достатньо точно описувала реальну систему.

Виходячи зі сказаного вище, тему дисертаційної роботи можна вважати актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася відповідно до плану науково-технічних робіт Харківського національного університету радіоелектроніки в рамках держбюджетних тем:

- 511(320) “Розробка математичних методів аналізу швидкоплинних електродинамічних процесів з метою ідентифікації їх характеристик” (№ ДР 0197U014162);

- 104-1 “Розробка методів дослідження марковських процесів зі швидкозмінними характеристиками з метою створення алгоритмів їх стабілізації. Додатки до задач економіки, екології та моделювання нейронних мереж” (№ ДР 0100U001344). Автор брала участь у роботі як виконавець.

Дисертація є складовою частиною проведених з цієї теми досліджень.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка обчислювальних методів і комплексу програм для дослідження динаміки поведінки технічних систем масового обслуговування у випадку, коли характеристики цих систем змінюються в часі. Досягнення цієї мети вимагає вирішення таких завдань:

1) розробити метод побудови оцінки інтенсивності вхідного потоку вимог за моментами їхнього надходження на обслуговуючі прилади для багатоканальної системи масового обслуговування, прилади якої мають час відновлення;

2) дослідити умови стабілізації зазначеної системи, коли інтенсивність вхідного потоку вимог має швидкі осциляції в часі;

3) побудувати математичну модель і провести чисельний аналіз СМО з обмеженим потоком вимог для випадку, коли прилади мають різні характеристики;

4) дослідити роботу зазначеної вище системи для випадку, коли кількість приладів і вимог змінюються в часі;

5) побудувати математичну модель і провести чисельний аналіз СМО з накопичувачами заявок, характеристики яких (обсяги накопичувачів, їх кількість, інтенсивність обробки вимог, інтенсивність звертань до накопичувачів) змінюються в часі;

6) застосувати результати дослідження процесів зі швидкозмінними в часі характеристиками до задачі про поділ багатокомпонентних рідких сумішей на окремі фракції.

Об'єктом дослідження є системи масового обслуговування зі змінними в часі характеристиками, аналіз яких проводиться за допомогою диференціальних рівнянь Колмогорова.

Предметом дослідження є математичні моделі систем масового обслуговування з параметрами, що змінюються в часі, та умови їх стабілізації.

Методи дослідження. У роботі використовуються аналітичні, теоретико-ймовірнісні, статистичні та чисельні методи досліджень. За допомогою методів моментів і лінеаризації побудована оцінка інтенсивності вхідного потоку вимог для багатолінійної системи масового обслуговування з наявністю у приладів часу відновлення. Для дослідження поведінки СМО з обмеженим числом вимог у системі та СМО з накопичувачем заявок застосовано метод, заснований на повідомленні параметрам системи направляючих збурень, що приводять до стабілізації основних характеристик за малі проміжки часу.

Наукова новизна отриманих результатів. Вперше розроблено метод ідентифікації вхідного потоку заявок за моментами їх надходження на обслуговуючі прилади для багатолінійної СМО, прилади якої мають час відновлення. Досліджено поведінку вказаної системи за умови, що інтенсивність вхідного потоку вимог зазначеної СМО перетерплює швидкі зміни в часі, та показано, що зазначені осциляції можна вибрати так, щоб стабілізація СМО була реалізована за як завгодно малий проміжок часу. Вперше побудовано модель СМО з обмеженим потоком вимог з урахуванням того, що інтенсивності обробки вимог приладами, які входять у СМО, різні. Досліджено поведінку вказаної СМО за умов, що її характеристики (інтенсивність вхідного потоку, кількість працюючих приладів, інтенсивність обробки вимог, кількість заявок, що знаходяться в системі) змінюються в часі. Подальшого розвитку отримала модель СМО з накопичувачем заявок. Зокрема, побудовано модель СМО, що містить кілька накопичувачів різного об'єму, та досліджені умови стабілізації зазначеної СМО, коли кількість накопичувачів та їх об'єм змінюються в часі.

Практичне значення отриманих результатів. Усі запропоновані в дисертації алгоритми реалізовані в прикладному пакеті Mathematіca ®. Розроблені методи можуть використовуватися для побудови оцінки інтенсивності вхідного потоку за спостереженнями над моментами надходження вимог на обслуговуючі прилади. Отримані результати можуть бути застосовані в різних галузях промисловості, техніки для моделювання й аналізу СМО зі змінними в часі характеристиками (інтенсивність вхідного потоку заявок, кількість працюючих приладів, інтенсивність обробки вимог, число вимог, циркулюючих у системі, об'єм і кількість накопичувачів). Побудована модель поділу сумішей з використанням багатофакторного аналізу може бути застосована в хімії, медицині, харчовій промисловості для поділу й очищення неоднорідних сумішей з метою зменшення енерговитрат виробництва.

Розроблені методи та програми були використані в дослідженнях по створенню ряду лікарських форм та при контролі технологічних процесів у Державному науковому центрі лікарських препаратів Держкоммедбіопрому і НАН України, що підтверджується відповідним актом впровадження від 19.09.2002. Теоретичні розробки і програмне забезпечення, що дають можливість проводити аналіз роботи систем з "мертвим часом", застосовані ЗАТ "Элтехком". Наукові результати і програмні засоби можуть використовуватися в дослідженнях по створенню мікропроцесорних електроживлячих установок і при контролі технологічних процесів (акт впровадження від 03.12.2002).

Особистий внесок здобувача. Дисертаційна робота є результатом самостійної роботи автора. У роботі [5] автором запропонований алгоритм формалізації технологічного процесу з метою спрощення вивчення цього процесу та дослідження умов його стабілізації. У роботі [3] знайдені перехідні та граничні ймовірності за моментами надходження вимог на прилади обслуговування для багатолінійної системи масового обслуговування з "мертвим часом". У роботі [1] автором розроблений алгоритм ідентифікації параметрів для зазначеної СМО. У роботі [4] дано опис стаціонарного розподілу слабко взаємодіючих марковських систем. У роботі [2] досліджені процеси, що відбуваються в рідинах і умови їх стабілізації.

Апробація результатів дисертації. Основні результати проведених досліджень доповідалися й обговорювалися на таких конференціях: 5-му Міжнародному молодіжному форумі “Радіоелектроніка та молодь у ХХІ столітті” (Харків, ХТУРЕ, 2001 р.); Всероссийской молодежной научной конференции “XXVI Гагаринские чтения” (Москва, 2000 р.); 6-му Міжнародному молодіжному форумі “Радіоелектроніка та молодь у ХХІ столітті” (Харків, ХНУРЕ, 2002 р.); Международной конференции “Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений” (Мінськ, Бєларусь, 2001 р.); 1-й Міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів і молодих учених “Сучасні завдання прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової математики” (Донецьк, 2002 р.); 8-й Міжнародній конференції “Теорія та техніка передачі, прийому й обробки інформації” (“Інтегровані інформаційні системи, мережі та технології”) ІІСТ-2002 (Харків, ХНУРЕ, 2002 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 5 наукових статтях і 6 тезах доповідей.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та чотирьох додатків на 38 сторінках. Загальний обсяг роботи - 177 сторінок. Дисертація містить 38 рисунків, 19 таблиць і список використаних джерел із 114 найменувань на 10 сторінках.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтована актуальність дисертаційної роботи, сформульовані мета та задачі досліджень, наукова новизна та практичне значення роботи.

У першому розділі сформульовані задачі, розглянуті в дисертаційній роботі. В основному - це задачі теорії масового обслуговування.

СМО, з якими доводиться мати справу на практиці, піддаються зовнішнім впливам, що, як правило, змінюються з часом. У роботі основна увага приділена дослідженню зазначених СМО. Побудова математичних моделей, які б досить точно описували зазначені реальні процеси, та їх аналіз є однією з основних цілей дисертації.

Знаходження умов, при виконанні яких має місце стабілізація процесу, також є основною задачею дослідження конкретної технічної системи, наділеної марковською властивістю. Тому одним із завдань проведених у даній роботі досліджень є побудова математичної моделі процесу з характеристиками, що змінюються в часі, та знаходження умов його стабілізації.

У другому розділі досліджується багатоканальна система масового обслуговування з відмовленнями типу , тобто система масового обслуговування з однотипними обслуговуючими приладами і відсутньою чергою. В систему надходить пуасонівський потік заявок інтенсивності , обслуговування на кожному приладі експонентне з параметром . Якщо хоча б один прилад вільний, то заявка, що надійшла, відразу ж починає обслуговуватися цим приладом. Якщо ж усі прилади зайняті, то вона залишає систему без обслуговування. Вважається, що після кожного надходження заявки вхідного потоку на прилад обслуговування виникає деякий час відновлення приладу , протягом якого заявки вхідного потоку не спостерігаються. Розглядається випадок, коли час відновлення приладу - величина постійна для кожного приладу, і передбачається, що заявки, які надходять у систему протягом цього часу, не викликають його продовження.

Під станом досліджуваної системи в момент часу розумітимемо число працюючих у цей момент приладів. Стани досліджуваної системи розглядаються відразу після надходження заявок на обслуговуючі прилади, тобто тільки в моменти часу . Через позначене число працюючих приладів у момент . Величини утворюють ланцюг Маркова. У роботі були знайдені перехідні ймовірності для станів :

де - пропускна здатність системи.

Доведено, що граничні ймовірності станів системи виражаються формулами Ерланга:

.

Побудовано оцінку пропускної здатності системи. Цю оцінку отримано за допомогою методу моментів. Для цього знайдена асимптотична дисперсія цієї оцінки:

.

Тут

,

.

Знання дозволяє знаходити довірчі інтервали для _ пропускної здатності системи. Якщо є асимптотично нормальною, то вірна рівність

.

Описаний вище метод побудови оцінки вхідного потоку вимог узагальнений на випадок вхідного потоку з параметром , що залежить від часу, та інтенсивністю обробки вимог , однаковою для всіх каналів, при обслуговуванні вимог у порядку надходження.

Часто має місце випадок, коли інтенсивність вхідного потоку зазнає швидких змін (осциляцій) у часі. При цьому виникають ситуації, коли при наближенні до деякого фіксованого моменту часу елементи інфінітезимальної матриці, що описує процес, зазнають швидких осциляцій у часі. У цьому випадку при виконанні деяких умов мають місце фокусування або у-фокусування процесу. У першому з цих випадків за кінцевий проміжок часу, незалежно від початкового розподілу, ймовірності станів процесу набувають заданих значень, у другому випадку ймовірності станів локалізуються поблизу деяких значень.

Вивчено характер змін імовірностей станів СМО під впливом швидкозмінних у часі факторів. Як і раніше, під станом СМО розуміється число приладів.

Нехай - число всіх станів СМО; - імовірності переходу з у за проміжок ; - імовірність того, що система знаходиться в момент часу у стані , у припущенні, що її еволюція почалася в момент .

Позначимо через інфінітезимальну матрицю, що визначає процес, який відбувається в СМО. Система диференціальних рівнянь (рівнянь Колмогорова), що описує еволюцію імовірностей станів СМО, має вигляд:

,

або у векторній формі

.

Тут , імовірність того, що процес, який почався в момент , у момент часу знаходитиметься в стані .

Підкреслимо, що результати чисельних експериментів можуть бути строго обґрунтовані. Було встановлено, що які б не були початковий розподіл імовірностей , заданий у момент , і числа (,), варіації елементів матриці на можна вибрати так, що при всіх виконуватимуться умови

. (1)

Для СМО типу було досліджено поведінку вектора розподілу ймовірностей при зміні на . Проведено наступний обчислювальний експеримент. На було взято точок (). У моменти часу елементи інфінітезимальної матриці процесу зазнавали збурень. Число точок, у яких матриця зазнавала збурень, було вибрано настільки великим, щоб впливом фонової матриці на процес можна було знехтувати.

Чисельний експеримент показав, що при відповідному виборі збурень у точках на буде мати місце (1). Були розглянуті різні випадки розташування точок на . На рис. 1-3 показано поведінку однієї з компонент вектора розподілу ймовірностей на .

Рис. 1. Графік першої компоненти вектора розподілу (кількість збурень )

Рис. 2. Графік першої компоненти вектора розподілу (кількість збурень і три точки згущення , і )

На рис. 1 наведений графік зміни однієї з компонент вектора при рівномірному розподілі точок на ; на рис. 2 зображений графік однієї з компонент вектора розподілу для випадку, коли точки згущаються відповідно поблизу точок , , ; на рис. 3 показані результати чисельного аналізу для однієї з компонент у випадку, коли елементи інфінітезимальної матриці зазнають збурень в моменти часу, розташовані на випадковим чином: передбачалося, що збурення з номером розподілене на відрізку рівномірно.

Рис. 3. Графік другої компоненти вектора розподілу (кількість збурень )

У третьому розділі розглянута СМО з обмеженим потоком вимог. Проведено чисельний аналіз для випадку, коли параметри системи (кількість приладів, їх продуктивність, число заявок, що циркулюють у системі) змінюються в часі.

Для зазначеної СМО проведені дослідження для таких випадків:

1. Характеристики всіх приладів однакові, але протягом проміжку часу, що досліджується, їх число змінюється (збільшується чи зменшується). Динаміка поведінки такої системи показана на графіку (рис. 4). З нього видно, що перед зміною числа приладів у момент процес стабілізується. Зміна числа приладів при порушила стабільність роботи системи. Якщо робота СМО до якогось моменту стабілізувалася, то після зміни числа приладів у момент ця стабілізація буде порушена. При цьому, якщо при на систему впливають стабілізуючі фактори і зміна числа приладів якийсь час не відбувається, то система через певний час потрапляє в зону стабільного режиму. Стабільний режим діятиме доти, поки на СМО не почнуть діяти які-небудь дестабілізуючі фактори. До них, зокрема, належить зміна числа приладів.

Рис. 4. Графік першої компоненти вектора розподілу ймовірностей

2. Інтенсивності обробки вимог () приладами, що входять у СМО, різні. Побудовано математичну модель для цієї системи в припущенні, що прилади працюють у визначеному порядку (у порядку їхньої нумерації): якщо заявка, що надійшла до системи, застає приладів зайнятими (працюють 1-й, 2-й, ..., прилади), то вона буде обслуговуватися приладом. Для випадку, коли в системі знаходяться приладів, що обслуговують заявок, інфінітезимальна матриця процесу має вигляд:

;

;

;

;

.

Оскільки зазначена матриця сильно розріджена, для її запису використана скорочена форма: так запис означає, що елемент матриці дорівнює . Не виписані елементи матриці дорівнюють нулю.

Розглянуто випадок, коли частина приладів, що входять у СМО, оброблюють заявки значно швидше, ніж інші її прилади. Зроблений чисельний аналіз такої СМО. З отриманих даних випливає: чим вища продуктивність приладів, що вводяться в експлуатацію, швидкості обробки заявок якими значно перевершують швидкості обробки вимог іншими приладами, тим швидше відбувається стабілізація процесу.

3. Розглянуто випадок, коли характеристики всіх приладів однакові, але інтенсивність потоку заявок, що надходять до системи, швидко змінюється в часі. Проведено чисельний аналіз, за допомогою якого встановлено зв'язок між числом працюючих приладів і характером зміни в часі інтенсивності вхідного потоку вимог. Встановлено, що стабілізація досліджуваної СМО залежить від числа осциляцій інтенсивності потоку вимог на одиницю часу.

4. Число вимог, що циркулюють у системі, змінюється з плином часу. Ця задача вирішується за допомогою диференціальних рівнянь Колмогорова, які описують роботу СМО, з числом рівнянь, що змінюється. На рис. 5 а) і б) зображені графіки поведінки системи для часткових інтервалів, на яких число вимог у системі змінюється, відповідно і .



а) б)

Рис. 5. Графіки першої компоненти вектора розподілу ймовірностей

Результати обчислювального експерименту показали, що чим менші проміжки часу, на яких відбуваються зміни числа вимог, які циркулюють у системі, тим стабільніша її робота.

У четвертому розділі розглянуті СМО з накопичувачами заявок, характеристики яких змінюються в часі. Розглянуті СМО зі змінними в часі інтенсивностями вхідного та вихідного потоків. У таких СМО ймовірності станів системи можна обчислити, розв'язуючи систему диференціальних рівнянь Колмогорова:

(2)

Тут - інтенсивність вхідного потоку, - інтенсивність обслуговування вимог.

Інфінітезимальна матриця системи (2) містить стовпець, всі елементи якого відмінні від нуля. Передбачається, що на досліджуваному проміжку часу всі або частина елементів системи (2) під впливом визначених зовнішніх факторів швидко змінюються в часі. Проведено чисельний аналіз такої СМО. Встановлено, що для будь-якого знайдеться збурення таке, що в деякому околі точки вектор рішень збуреної системи буде задовольняти (1). З рис. 6 видно, що при великій кількості осциляцій вхідного потоку вимог, розподілених на малих проміжках часу з , розподіл досліджуваної СМО стабілізується (попадає в -окіл деякої векторної кривої) за малий проміжок часу.

Рис. 6. Графік першої компоненти вектора розподілу ймовірностей

Підкреслимо, що зазначені осциляції можна вибрати так, щоб стабілізація СМО була реалізована за як завгодно малий проміжок часу.

Побудовано математичну модель СМО з накопичувачами вимог: проведені розрахунки для випадків, коли об'єми накопичувачів змінюються з плином часу. Передбачається, що в початковий момент часу накопичувачі мали різні об'єми. Зазначений випадок досліджений за допомогою рівнянь Колмогорова зі змінним числом рівнянь. Стабілізація процесу спостерігається тільки на часткових проміжках часу , на яких кількість рівнянь не змінюється.

Побудовано модель СМО, що містить кілька накопичувачів різного об'єму. Передбачалося, що прилад звертається за заявками до накопичувачів. Інтенсивність звертання до накопичувача з номером () дорівнює . Тривалість обслуговування приладом заявок з накопичувача - величина випадкова, розподілена за показовим законом з параметром , де - середній час обслуговування заявок з накопичувача.

При цьому в системі вводиться пріоритет для заявок кожного накопичувача, за яким надається право першочергового обслуговування заявкам з накопичувача, що має менший номер. Тобто, якщо в момент надходження заявок з накопичувача прилад обслуговує заявки з накопичувача, причому , то вимоги з накопичувача заміщуються заявками, що надійшли.

Потрібно так організувати роботу системи та вибрати послідовність пріоритетів (пронумерувати накопичувачі), щоб у сталому режимі максимізувати сумарну цінність усіх повністю виконаних заявок в одиницю часу, тобто максимізувати вираз:

,

де - імовірність повного обслуговування інформації з накопичувача.

Оскільки заявки з кожного накопичувача мають однакову цінність, тому байдуже, з якого накопичувача будуть обслуговуватися заявки, головне, щоб імовірність повного обслуговування була максимальною.

Система диференціальних рівнянь Колмогорова, що описують імовірності станів системи, запишеться у вигляді:

де - імовірність того, що прилад вільний від обслуговування в момент часу ; - імовірність того, що прилад у момент часу зайнятий обслуговуванням заявок з накопичувача.

Задачі, подібні описаній, виникають при обробці інформації, коли керуюча програма здійснює вибір порядку обслуговування інформації.

Встановлено, що незалежно від інтенсивностей звертання до накопичувачів право першочергового обслуговування має надаватися заявкам з того накопичувача, час обслуговування яких менший (чи інтенсивність обслуговування більша). У цьому випадку кількість виконаних вимог за визначений проміжок часу буде максимальною.

Розглянуто випадок, коли на досліджуваному відрізку інтенсивність звертань до накопичувача з першим номером зазнає швидких змін у часі. У цьому випадку інфінітезимальна матриця, що описує процес, містить стовпець типу . Чисельні розрахунки показали, що при досить швидких осциляціях інтенсивності звертань до накопичувача з першим номером стабільність роботи системи не порушується.

Описані вище методи й обчислювальні алгоритми застосовані для вирішення задачі про виділення з рідкої багатокомпонентної суміші однієї з її фракцій. Її виділення здійснюється за допомогою обробки суміші високочастотними імпульсами; при відповідному виборі частот і амплітуд цих імпульсів із суміші може бути виділена одна з її компонент. Зазначені впливи підбираються таким чином, щоб були зруйновані міжмолекулярні зв'язки, що діють між компонентами оброблюваної суміші. Даний підхід може бути реалізований у випадку, коли розряди, що впливають на суміш, реалізуються за досить малі проміжки часу.

Процес виділення з багатокомпонентної суміші потрібної фракції може бути описаний за допомогою відповідним чином підібраного марковського процесу. Його фазовим простором є круговий циліндр, заповнений сумішшю. Основи цього циліндра є обкладками конденсатора. Між їх частинами (вони являють собою кругові сектори, розташовані один під одним) підтримується різниця потенціалів. Частину рідкої суміші, що знаходиться між зазначеними секторами, будемо називати станом. Якщо деякий стан отримає сильне збурення, локалізоване на малому проміжку часу (це збурення може бути реалізоване за допомогою швидкої зміни в часі різниці потенціалів на верхньому і нижньому секторах), то збурення одержить і частина суміші, що граничить з цим станом. Погоджений вплив на суміш таких збурень при виконанні деяких умов (накладаються на різницю потенціалів) приведе до стабілізації всього процесу. Встановлено, що процес поділу суміші при його обробці зазначеним способом може бути описаний з деяким огрубінням системою рівнянь Колмогорова з трьохдіагональною матрицею. Побудова цієї матриці здійснюється за тією ж схемою, що і для процесів народження та загибелі.

Для процесу виділення із суміші потрібної компоненти досліджена швидкість цього виділення в залежності від ряду факторів: відстані між обкладками конденсатора (фактор А), центрального кута рухливої секторальної пластини (фактор В), напруги на обкладках конденсатора (фактор С), кута повороту рухливого сектора (фактор D), числа розрядів при фіксованому положенні секторальної пластини (фактор Е), числа повних обходів пластини за одиницю часу (фактор F).

Використано метод багатофакторного аналізу за допомогою греко-латинського гіперкуба 3х3 першого порядку. Розглядався вплив таких факторів: А - відстань між обкладками конденсатора ( _, _, _), В - центральний кут рухливої секторальної пластини ( _ , _, _), С - напруга на обкладках конденсатора ( _ , _ , _ ), D - кут повороту рухливого сектора (, , ), Е - число розрядів при фіксованому положенні пластини (, , ), F - число повних обходів пластини за одиницю часу (, , ).

Дисперсійний аналіз показав статистичну значущість ефектів чотирьох факторів (А, С, Е і F) і парних взаємодій (АВ, АС, АD, AE, AF, BF, CD, CE, CF, DF, EF). Фактори В, D і парні взаємодії BC, BD, BE, DF для даного процесу - не значущі. Для кожного з факторів побудовані ряди переваг.

Ряд переваги для фактора А має такий вигляд ():; для фактора С: ; для фактора Е: ; для фактора F: . Ґрунтуючись на цій інформації, найкращою комбінацією можна вважати таке поєднання рівнів факторів: . Цій комбінації відповідає дослід №36, де за трьома повторними дослідами сума в рядку дорівнює 11,4. Отже, найкращі результати одержимо при проведенні процесу поділу суміші в таких умовах: відстань між обкладками конденсатора - , центральний кут рухливої секторальної пластини - , напруга на обкладках конденсатора - , кут повороту рухливого сектора - , число розрядів при фіксованому положенні пластини - 1, число повних обходів пластини за одиницю часу - .

Відзначимо, що для інших сумішей, ніж досліджувана в роботі, результати будуть іншими. Таким чином, запропонований метод планування експерименту дозволяє одержати необхідний результат при проведенні значно меншого числа дослідів.

Висновки

1. Роботи, що стосуються ідентифікації систем масового обслуговування (оцінки інтенсивності вхідного потоку заявок по спостереженням над функціонуванням СМО), в основному присвячені оцінці параметрів СМО по спостереженням над вихідним потоком заявок. Тому запропонований у даній дисертаційній роботі метод ідентифікації СМО типу , прилади якої мають час відновлення, по спостереженнями за моментами надходження вимог на обслуговуючі прилади є новим. Крім того, для даної системи знайдені перехідні та граничні ймовірності кількості працюючих приладів, математичне очікувння тривалості часткових інтервалів між подіями потоку вимог, що спостерігається, оцінка пропускної здатності системи й асимптотична дисперсія цієї оцінки. Розроблений метод може використовуватися для побудови оцінки інтенсивності вхідного потоку по спостереженням за моментами надходження вимог на обслуговуючі прилади.

2. Вивчення реальних систем масового обслуговування показало, що параметри цих систем змінюються в часі. Тому в роботі досліджено випадок, коли інтенсивність вхідного потоку зазначеної СМО на деякому інтервалі зазнає швидких осциляцій. Подібна задача виникає, коли на систему діють швидкозмінні в часі зовнішні фактори. Досліджено випадки: зовнішні фактори впливають на систему через рівні проміжки часу; моменти впливів розподілені на розглянутому інтервалі нерівномірно (існують ділянки згущення моментів впливів); система піддається зовнішнім впливам у випадкові моменти часу. Встановлено, що при певному виборі зовнішніх впливів, можна домогтися стабілізації процесу на заданому проміжку часу.

3. В роботі вперше побудована математична модель СМО з обмеженим потоком вимог для випадку, коли прилади, що входять до неї, мають різні інтенсивності обробки вимог. Досліджено випадок, коли навантаження приладу, що вийшов з ладу, перерозподіляється на інші прилади. Встановлено, що при заміні першого працюючого приладу новим з більшою продуктивністю, можна домогтися відсутності черги в системі. Досліджено поведінку зазначеної СМО для випадку змінного числа заявок, що знаходяться в системі. Встановлено, що робота такої СМО може бути описана системою рівнянь Колмогорова зі змінним числом рівнянь. Розроблені алгоритми та програми можуть бути використані для дослідження СМО з обмеженим числом вимог, що має змінні в часі параметри (кількість працюючих приладів, кількість заявок, що знаходяться в системі).

4. Подальшого розвитку отримала модель СМО з накопичувачем заявок. Зокрема, побудовано модель СМО, що містить кілька накопичувачів різного об'єму, та досліджені умови стабілізації зазначеної СМО, коли кількість накопичувачів та їх об'єм змінюються в часі. Встановлено, що для збільшення сумарної кількості оброблених вимог варто обробляти заявки в порядку збільшення середнього часу їх обслуговування. Розроблені моделі СМО можуть бути використані для дослідження систем, особливість роботи яких полягає в тому, що заявки надходять спочатку не на обслуговуючі прилади, а в накопичувач.

5. На основі розробленого математичного апарату досліджено динаміку процесів поділу неоднорідних рідких сумішей при імпульсному впливі. Імпульсна технологія є одним із методів інтенсифікації процесів у хіміко-фармацевтичній промисловості. Основним недоліком таких методів є великі енерговитрати. Тому запропонований у роботі метод багатофакторного аналізу дозволяє на етапі досліджень значно скоротити кількість дослідів, а, отже, і кількість обчислень для вивчення процесу поділу неоднорідної рідкої суміші за допомогою імпульсної технології. Такий підхід з використанням багатофакторного аналізу може бути застосований у хімії, медицині, харчовій промисловості для поділу й очищення неоднорідних сумішей з метою зменшення енерговитрат виробництва.

Список праць за темою дисертації

1. Агапова И.С. Построение оценки интенсивности входящего потока заявок для определенных многолинейных систем массового обслуживания // АСУ и приборы автоматики. - 2002. - Вып. 119. - С. 21-27.

2. Агапова И.С., Дикарев В.А., Мирошниченко А.В. Марковское описание процессов, происходящих в растворах // Радиоэлектроника и информатика. - 2002. - № 1. - С. 43-44.

3. Агапова И.С. Исследование многолинейных систем массового обслуживания некоторого типа // Механіка та машинобудування. - 2001. - № 1-2. - С. 267-273.

4. Агапова И.С., Бескоровайная И.В., Муравьева И.С. Стационарное распределение слабо взаимодействующих марковских систем // Радиоэлектроника и информатика. - 2001. - № 3. - С. 32-34.

5. Агапова И.С. Использование теории неоднородных марковских процессов при исследовании вероятностных характеристик некоторых технологических процессов // Радиоэлектроника и информатика. - 2001. - № 4. - С. 63-66.

6. Агапова И.С. Нахождение некоторых характеристик многолинейных СМО // Труды 6-го Междунар. молодежного форума “Радиоэлектроника и молодежь в ХХІ веке”. - Ч. 2. - Харьков: ХТУРЭ. - 2002. - С. 466-467.

7. Агапова И.С., Гибкина Н.В. Моделирование и управление процессами обмена веществ в животных организмах // Труды 8-ой Междунар. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации” (“Интегрированные информационные системы, сети и технологии”). - Харьков: ХНУРЭ. - 2002. - С. 551-552.

8. Мирошниченко А.В., Агапова И.С. Проверка гипотезы о перемещениях горизонтальных слоев жидкого раствора в активной фазе его реакции // Труды 1-ой Междунар. науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых “Современные задачи прикладной статистики, промышленной, актуарной и финансовой математики”._ Донецк: ДонНУ. - 2002. - С. 58-59.

9. Агапова И.С. Применение теории неоднородных марковских процессов для исследования вероятностных характеристик некоторых технологических процессов в горном деле // Труды 5-го Междунар. молодежного форума “Радиоэлектроника и молодежь в ХХІ веке”. - Ч. 1. - Харьков: ХТУРЭ. - 2001. - С. 253-254.

10. Агапова И.С., Гибкина Н.В., Мирошниченко А.В. Восстановление сети по ее компонентам // Труды Междунар. молодежной науч. конф. “ХХVII Гагаринские чтения”. - М.: МАТИ. - 2001. - С. 5-6.

11. Агапова И.С., Дикарев В.А. Теорема о существовании предела для вектора распределения вероятностей неоднородного марковского процесса // Труды Междунар. конф. “Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений”. - Минск: БГУ. - 2001. - С. 14-15.

Размещено на Allbest.ru

...