Узгоджувальні економіко-математичні моделі та методи їх обчислення

Размещено на http://www.allbest.ru/

У процесі розширення сфери застосування математичного моделювання в економіці традиційно вело до створювалися відповідних програмних системи багатовимірного кореляційного та регресійного аналізів, прогнозування економічного розвитку методом імітації, моделі засобів виявлення вузьких місць у розвитку виробництва зі метою підготовці пропозицій щодо покращення використання виробничих ресурсів. Такі напрямки були найбільш характерні за умовах, коли важливі розділи економічної науки, зокрема, на макрорівні, розглядалися дуже абстрактно, часто як предмет політекономії. В нових умовах перехідної економіки потрібно переглядати і тематика у економіко-математичних досліджень переглядається і рівень конструктивності їх проведення в напрямку індуктивних і дедуктивних підходів, а також в напрямку використання дієвості відповідного запровадження в умовах новітніх інформаційних технологій.

Якщо раніше прикладами застосування високо відповідальних систем були енергетичні комплекси, транспорт, зв'язок, автоматизовані системи управління галузями виробництва, то нині зараз об'єктами моделювання є також це грошова система держави, механізми приватизації майнових комплексів, галузей, механізми трансформації економіки на ринкових засадах тощо. Застосування економіко-математичних моделей для вивчення систем взаємозв'язку макроекономічних показників та їх балансів, розробка необхідних узгоджувальних процедур і засобів підтримки алгоритмів прийняття рішень за умовах багатоваріантності підходів, їх й імовірнісного характеру - актуальна тема для даного дослідження. Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у рамках тематики: В.Г.Е.100.09 “Разработать эффективные методы доказательства утверждений и решения задач на алгебро-логических моделях предметных областей”,

Н.105.01 “Засоби розробки прикладних програмних систем, що базуються на паралельних обчисленнях”, М.Н.135.07 “Мультимодульна ЕОМ з розподіленим керуванням, розподіленою пам'яттю обробкою даних (ММКк)”, В.Ф.100.03 “Розробка математичної теорії взаємодії компонент комп'ютерного середовища та її застосування у системі програмування АПС”, В.Ф.100.04 “Розробка ефективних формалізмі для відображення процесів свідомої (інтелектуальної) діяльності у техногенному середовищі і засобів її комп'ютерної підтримки ”. Розглянуті в дисертації задачі пов'язані з системою розробки комп'ютерного інструментарію для економіко-математичних моделей. Автором розроблені: комплексна макроекономічна модель. Автором розроблені: комплексна макроекономічна модель трансформаційного напрямку, узгоджувальна макроекономічна модель, процедури і засоби підтримки системи макроекономічних моделей, застосування рівняння Бесселя для економічного моделювання.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи - є розробка подання сучасних моделей макроекономічного аналізу та прогнозування, регулювання попиту та пропозиції, вивчення визначення станів економічної рівноваги засобами математичного аналізуко-економічного дослідження.

Задачі роботи:1) аналіз виявлення основних моделей макроекономіки, їх зв'язків, співвідношень, а також факторів впливів, ризику, випадковостей;, 2) побудова математичної моделі економічної системи у вигляді багатовимірного процесу з необхідними узгоджувальними процедурами і алгоритмами високоточного розв'язку;,3) розробка засобів реалізації моделей та побудова прикладів, що підтверджують їх працездатність. Об'єктом дослідження є процеси аналізу і підготовки формалізованих економічних рішень на макрорівні для сучасного стану розвитку економіки України, та побудова математичних засобів їх реалізації. Предметом дослідження є економіко-математичні методи і моделі прийняття рішень на макрорівні в економіці України, відповідні засоби узгодження, підтримки і забезпечення їх високоточного розв'язку. Дослідження базуються на діалектичному підході, що передбачає виявлення закономірностей, тенденцій і взаємозалежносте й зміни макроекономічних показників,, теорії економіко-математичного моделювання, що представлені працями вітчизняних вчених: В.Глушкова, В. Миіхалевича, І. Коваленкао, І. Сергієнка, О. Бакаєва, Н.Шора, І. Ляшенкао; закордонних вчених: Дж. Кейнса, А. Філіпса, Н.Менк'ю, Дж. Тобіна, М. Фрідмеана, Л. Вальраса, В. Гальперіна, Моно-Ієрусалімського; засобах теорії обчислень (В. Дзядик, Ю. Люк) та математичного програмування.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації ненаукова новизна роботи полягає, по-перше, у постановці нових задач математико-економічного моделювання, які раніше не розглядалися: комплексна макроекономічна модель трансформаційного напрямку, узгоджувальна макроекономічна модель, застосування рівняння Бесселя до оцінки економічного ризику, модель інспектування та відповідальності;. по-друге, у розробці алгоритмів і процедур високоточного обчислення (рівняння Бесселя) із застосуванням до економічної теорії. Практичне значення одержаних результатів. Практичне значення роботи полягає у розробці сучасних комплексних математико-економічних моделей макроекономіки в умовах трансформації економіки та в розробці методів і програм їх обчислення. Крім того, у роботі проведені експерименти з програмами та наведені приклади, що демонструють принадність знадність розроблених моделей: комплексна модель трансформаційного напрямку, узгоджувальна макроекономічна модель, грошова модель попиту та пропозиції, модель грошового сеньйоражу, макроекономічний прогноз із застосуванням логістичної функції тощо. Впровадження результатів роботи здійснено у складі м методичних матеріалів викладання навчального курсу “Макроекономіка” для студентів кафедри економічної кібернетика Київського національного університету імені Тараса Шевченка у 1997-2002 Р. (2 комплексні моделі та 5 окремих моделей), а також у запроваджені елементів математичного аналізу в розробці нових напрямків соціологічних досліджень (екологія, принцип узгодження рішень).

Інститут соціології. У відділі соціальної експертизи Інституту соціології НАН України апробовані і запроваджуються результати дисертаційного дослідження Алєксєєва Д.А. при виконанні теми “Методологія та методика інтегральних соціальних показників ”. Особистий внесок здобувача. У праця роботах, виконаних з використанням літературних джерел. Особисто здобувачем розроблені:

1) Комплексна модель трансформаційного напрямку, яка включає моделі рахунків: валового національного продукту, оновлення основних виробничих фондів, витрачання ресурсів і забруднення навколишнього середовища. Побудовано відповідну систему інтегродиференційних рівнянь, знайдено метод і спосіб їх розв'язання, виконано експериментальний розрахунок комплексної моделі з відповідним тлумаченням результатів моделювання для економіки України;.

2) Комплексна узгоджувальна модель макроекономіки, яка інтегрує основні підходи до її вивчення у вигляді системи диференційних рівнянь. Розроблено спосіб метод її розв'язання;

3) Алгоритм реалізації теоретичної схеми грошового сеньйоражу М.Фрідмана (оптимізації емісії грошей у державі) методом диференційних рівнянь. Апробація роботи. Основні положення роботи були темами доповідей і обговорені на Міжнародній науково-практичній конференції “Теорія і практика ринкових перетворень в країнах з перехідною економікою ”, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, економічний факультет, 27-29 листопада 2002 р., на двох Міжнародних семінарах “Теорія оптимізації обчислень ”, які були проведені Інститутом кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України в 1999, 2001 Р. (м. Кациівелі),. дві2 комплексні моделі та п'ять і 5 окремих моделей опробуванні процесі викладання на кафедрі економічної кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка у 1997-2002 Р.

Публікації. Основні положення і результати дослідження опубліковано у у 76 наукових друкованих працях,роботах загальним обсягом 2,0 др. арк., із них: 65 статей у наукових виданнях, та1 тези у збірнику науково-практичної конференції. Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, двох додатків: вона викладена на 160 сторінках, серед них; містить 13 таблиць, 7 рисунків. Вона викладена на 160 сторінках машинописного тексту. Бібліографія налічує Список використаних літературних джерел містить 543 найменування і наведений на 5 сторінках.

У вступі обґрунтовуються актуальність обраної теми, сформульовано мета у роботи, її наукова новизна та практичне значення. Подана характеристика сформульованих і вирішених у дисертації задач, одержаних триманих наукових результатів.

Основний результат подано у Главі І у вигляді економіко-математичної моделі трансформаційного типу, який відповідає періоду розвитку економіки з переходом до нових виробничих потужностей з переоцінкою проблем запасів, екології, ресурсів праці тощо. Основна система рівнянь:

Рівняння валового і кінцевого продукту

макроекономічний математичний багатовимірний

де x(t) - вектор валових випусків за одиницю часу;, A(t) - технологічні коефіцієнти; ,y(t) - вектор кінцевого продукту;, С(t) - вектор споживання; ,(t) - вектор зміни виробничих потужностей;, B(t) - коефіцієнти фондомісткості; ,(t) - вектор зміни запасів.;Рівняння оновлення фондів, споживання і праці де v1(t), v2(t) - показники потужності (кількості робочих місць) за новими технологіями в групах виробництва А і Б: виробництво засобів виробництва і виробництво засобів споживання;,(,t), (,t) - коефіцієнти завантаження в момент часу t потужностей, створених в момент часу ;,(,t) - кількість робочих місць в технології t- моменту часу, що створюються зав одиницю часу у розрахунку на одне робоче місце, яке працює в технології -го моменту часу у виробництві групи А;,() - обсяг виробництва засобів споживання зав одиницю часу в розрахунку на одиницю виробничої потужності у групі Б;,r(t) - кількість працюючих.

Рівняння зміни запасів і концентрації відходівдеm0 - початкова концентрація природних ресурсів (сировини);,m - залишкові ресурси (невикористаної сировини); ,z - концентрація відходів (забруднень),);u - інтенсивність технологічного процесу зменшення забруднень,;h - швидкість надходження ресурсу-замінника,;- швидкість надходження нейтралізуючого контрагента,; (m,z) - деяка функція взаємодії виробництва, використання ресурсів та виникнення забруднень,;w - технологічний коефіцієнт, w >1.В роботі Рівняння (1)-(7) розглянуті в роботі комплексі як єдина система інтегро-диференційних рівнянь із необхідними умовами та обмеженнями.

У роботі також як доповнюючи описані сучасні модифікації моделей макроекономіки та їх модифікації:: Macrosolve, Мандела-Флемінга, Холдена, Піла, Томпсона, Миіхалевича, Баумоля-Тобіна, Філіпса, Мінца-Пшеляськовського та інші. Основний результат Глави ІІ - створення засобів узгодження прогнозів макроекономічних показників виробництва, капіталовкладень, експорту-імпорту, споживання тощо. Згідно з моделлю і Філіпса (8)де Z - національний доход;,S - величина попиту на національний продукт та національні вкладення,;s - параметр стимуляції зміни національного доходу (НД), яка спостерігається при де балансі попиту та пропозиції. Зміст функції попиту визначається як сума функції споживання (С) і “незалежних” капіталовкладень (К), тобто(9)Незалежність розуміється тут у такому сенсі, що величина К не індуційована безпосередньо зростанням НД. “Незалежні” капіталовкладення можуть бути у вигляді вкладень на охорону здоров'я, культуру, екологію, оборону тощо. Відповідно до концепції Дж. Кейнса обсяг споживання є пропорційний обсягу НД, тобто(10)де С - обсяг споживання; ,с - параметр схильності до споживання. Згідно з моделлю і національних рахунків, (11)де I - капіталовкладення, що індуційовані приростом національного доходу:, (12)де v - акселератор капітальних вкладень (за термінологією Харода-Домара);,K - незалежні капіталовкладення,;N - сальдо: експорт-імпорт.

Величину поняття акселератора можна визначається через співвідношення індуційованих інвестицій(Zt-Zt-1) = rZt-1,

де r - гранична схильність до збереження. Визначимо інтегровану систему рівнянь, яка відповідає переліченим залежностям.:З рівнянь (8)-(10) маємо(13)З рівнянь (10)-(12) маємо(14)Згідно з неперервному аналогову рівняння накопичення національного доходу Мінца-Пшеляськовського:(15)

де Е - ефективність капіталовкладень: коефіцієнт, який оцінює приріст доходу на одиницю вкладень;- частка доходу, що використовується на розширення виробництва. Кожну із залежностей (13)-(15) можна розглядати окремо як фрагмент задачі. В цілому, для надання узгодженості визначеним фрагментам задачі моделювання національного доходу побудуємо рівняння(16)що отримується як зважена сума (13)-(15) з ваговими коефіцієнтами w1,w2,w3 (w1+w2+w3=1).УВ роботі знайдені розв'язки інтегруючого рівняння (16) у вигляді розкладу рішення по малому параметру для практично вагомих варіантів обмежень. В Главі ІІ Описано результати макроекономічного прогнозу із застосуванням логістичної функції. Розглянуто розв'язок диференційного рівняння М.Фрідмана, яке описує механізм грошового сеньйоражу - доходу держави за рахунок грошової емісії. Описується метод спосіб інтерпретування (розв'язку) моделі інспектування природо-охоронних дій.

На заключення множина моделей розглядається з точки зору системної комп'ютерної підтримки. В Главі ІІІ метод побудови узгоджувальних моделей розповсюджується для визначення стану економічної рівноваги. Розглядається модель Вальраса, яка складається з системи рівнянь, що описують баланси рівність попиту і пропозиції на ринка праці і ринку продуктів. Загальний Результати угод i-го індивіда на ринку j-го продукту врівноважується цінами на продукти, що виробляються, а грошові ресурси урівноважуються цінами на працю.

Розглянемо структуру господарства, що складається з m- ферм та n- споживачів, кожен з яких одночасно може бути робітником однієї з ферм. Кожна ферма виробляє деякий конкретний продукт. За рахунок умовного збільшення кількості ферм можна пов'язати виробництво кожної ферми тільки з одним продуктом, що не буде обмежувати загальність постановки задачі. Нехай виробничі функції, які характеризують технологію виробництва, мають такий вигляд:,

(17)де Qj - об'єм продукту, який виробляє j- та ферма (об'єм j-го продукту);L - витрати праці;aj, j - числові параметри виробничої функції, 0 j 1.Функцію попиту на працю кожної ферми можна визначити з умови максимізації прибутку:

де Рj - ціна j- го продукту;r - ціна (доходність) праці. Використовуючи умови екстремуму, (19)визначимо з них функцію попиту на працю кожної з ферм:. (20)

Тоді з (17), (20)(21). (22)Ознака S визначає пропозицію продукту, яка відповідає витратам праці на рівні оптимального попиту на неї фермою, ознака D - функцію попиту відповідно.

Функція попиту на товари визначається в роботі з умови максимізації функції корисності з у врахуванням бюджетного обмеження методом побудови функції Лагранжа.

В роботі розглянуті розширення відомої моделі (17)-(22) з врахуванням важливих нетрадиційних критеріїв узгодження інтересів за рахунок - фактору вивільнення часу працівників, а також фактору захисту власного виробника.

У главі IV вперше досліджено зв'язок функції Бесселя з функціями економічного ризику.

Нехай функція вигідності описується розв'язком диференційного рівняння, (23)

де V(x) - деяка утиліта користувача залежно від величини гарантованого доходу x,;a(x) - функція конкретики задачі.

визначає міру несхильності до ризику. (25)Розглядаючи (23), (24) сумісно, отримуємо рівняння узгодженості, (26)або, (27)

де - функція відносної зміни. В дисертації розглянуті варіанти розв'язку рівняння

(23) для певних видів конкретної функції задачі:

1). ,

2). ,

- варіант функції Бесселя.

Властивості Бесселевих функцій забезпечують можливість моделювання ситуацій вигідності та ризику з у врахуванням фактора циклічності їх зміни. В дисертації досліджується метод високоточного розв'язку рівняння Бесселя за допомогою методу наближення алгебраїчними багаточленами розв'язку лінійних диференційних рівнянь (А - методу).

У Додатку 1 розглянуто приклад розв'язку системи (1)-(7) з використанням реальних числових даних економіки України, які поданих у Додатку 2.Нехай припущення відносно змінних системи (3)-(5) мають вигляд, (28), (29), t , (30), (31). (32)Тоді розв'язок системи (1)-(6) має вигляд:(33)де (34);;. (35)Розглянемо числовий приклад. Нехай A(t) = a = const, B(t) = b = const.(m,Z) = = const,; 1 = 1 = 0,03,; = 0,2,;= - 1 - 1 = 0,14;, 21 =0,05,;V(0) = 20 млн. робочих місць (рм),);V1(0) = 10 млн. рм,; V2(0) = 2 = 10 млн. рм.Як розв'язок інтегрального рівняння (3) отримуємо. Тоді V1(1) = 11,57, V2(1) = 10,51, V(0) = 22,08.Таким чином, зростання кількості робочих місць у виробництві засобів споживання на величину 0,51 млн. чол. веде до зростання робочих місць у виробництві засобів виробництва на величину 1,57 млн. чол. Нехай = 3 тис. грн. - річна продуктивність робочих місць у сфері споживання, ;1 = 0,03 - бажаний темп збільшення виробництва засобів споживання,;= 0,9 - максимальний коефіцієнт завантаження робочого місця,;1 = 0,05 - темп вибуття фондів (робочих місць) минулих періодів. Згідно з (5) кількість працюючих при = 0,222, , = 0,9 складає(1) = 19,45 млн. чол. Тобто за рік кількість реально працюючих зменшиться на 550 тис. чол. (внаслідок зростання безробіття або зменшення чисельності населення). Обсяг споживання згідно з (4) зросте за рік на величину С(1) - С(0) = 27,4 млрд. грн., що відповідає прогнозу приростка споживання в Україні вв 2002 р. (Обсяг споживання у 2001 р. оцінюється у 162,5 млрд. грн.). При a = 0,6, u = 0,2, b = 25 тис. грн. (показник фондомісткості введення оду одного робочого місця), то за формулами (34) маємо: к0 = 0,038, к1 = 853,5, к2 = 42,5, к3 = 78,9, к4 = 492,8, к5 = 2595,8.ЯкщоПри w = 1,7, к = 0,476, Х(0) = 210,6 млрд. дол. (оцінка ВВП України 2001 р.), маємо за формулою (33)Х2002 = х(1) = 238,8 млрд. грн.

Згідно з (35) отримуємо прогноз витрат природних ресурсів (сировини) ву 2002 р.:m(1) - m(0) = -135,5 млрд. грн. При = 1 річна оцінка величини відходів - показника забруднення навколишнього середовища, яка отримується в результаті інтегрування рівняння (7), складе Z(1) - Z(0) = 112, 35 млрд. грн. (Як відомо, тільки у промисловості України щорічно створюється близько 1 млрд.т. відходів, не враховуючи відходів у побуті, у вигляді використаної тари тощо).В И С Н О В К Основні результати дисертаційній роботі досягнуті слідуючи результати:1. Проведено аналіз існуючих макроекономічних моделей і засобів їх системної підтримки. Це стосується, моделі перебудови структури економіки, моделі оновлення фондів, загальної моделі взаємодії суспільства і природи тощо.2. Розроблено комплекс моделей трансформаційного напрямку, який включає модель перебудови структури економіки, модель оновлення фондів, модель регулювання запасами, а також модель виникнення забруднення навколишнього середовища.

Розглянуті способи алгоритмізації цього комплексу із застосуванням перехідних функцій вигляду.3. Проведено доповнення системи складу макроекономічних моделей та окремих моделей їх підтримки на основі вивчення досвіду економічного моделювання розвинутих країн. Це стосується моделі Macrosolve,моделей Дж.Кейнса, Дж.Тобіна, А.Філіпса, М. Фрідмана, М. Миіхалевича тощо.4. Розроблені алгоритми процедури комплексування деяких макроекономічних моделей з метою визначенням узгоджувальних процедура алгоритмів та обчисленням їх результатів. Зокрема, це стосується моделей Дж. Кейнса, А. Філіпса,Е. Домара, Д. Ха Рода, які з'єднуються у комплекс за допомогою системи диференціальних рівнянь. Узгоджувальний алгоритм будується як процедура оптимізації, що реалізована з точністю до змінних третього порядку малості.5. Розроблено алгоритм оптимізації грошової емісії, яка визначеної за термінологією М.Фрідмана. Додатково модель визначення грошової маси пов'язується з виробничими факторами за моделлю Р.Солоу.6. Визначений макроекономічний прогноз за видами промислової продукції України до 2010 р. на основі застосування логістичної функції.7. Розглянута одна з моделей, яка включає аспекти національної безпеки та охорони навколишнього середовища і визначає оптимальну процедуру інспектування.8. Визначена схема віртуальної організації макроекономічного моделювання як динамічного процесу задоволення вимог наявними ресурсами або ресурсами, що створюються.9. Розглянута роблена узгоджувальна модель оптимізації стану економічної рівноваги як цілісної системи відповідно до концепції Л. Вальраса з урахуванням факторів вивільнення часу працюючих та захисту власного виробника.. Знайдений загальний розв'язок системи рівнянь, що описує рівність попиту і пропозиції на ринку праці і ринку продуктів відповідно концепції Л.Вальраса.10.

Вперше знайдено застосування функцій Бесселя для обчислення одного з фундаментальних показників економічного аналізу -- коефіцієнта еластичності ризику, який будується з використанням функції гарантованого доходу (функції корисності). Раніше застосування функцій Бесселя було обмежене задачами математичної фізики (крайові задачі, теорія потенціалу тощо).11. Розроблений високоточний алгоритм обчислення розв'язків рівняння Бесселя.

Размещено на Allbest.ru