Методы прогнозирования в научных исследованиях

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Основные положения теории прогнозирования

В снабженческой, производственной и транспортной сфере широко используются методы прогнозирования, поскольку значения прогнозных оценок развития анализируемых процессов или явлений являются основой принятия управленческих решений при оперативном, тактическом и стратегическом планировании.

Очевидно также, что точность и надежность прогноза определяет эффективность реализации различных операций и функций - от оценки вероятности дефицита продукции на складе до выбора стратегии развития фирмы. математический задача прогнозирование решение

Различным аспектам теории прогнозирования посвящено значительное количество исследований.

В большинстве работ по прогнозированию прогноз определяется как вероятностное научно обоснованное суждение о перспективах, возможных состояниях того или иного явления в будущем и (или) об альтернативных путях и сроках их осуществления.

Методологией прогнозирования - область знаний о методах, способах и системах прогнозирования.

Метод прогнозирования - способ исследования объекта, направленный на разработку прогноза.

Методика прогнозирования - совокупность одного или нескольких методов.

Система прогнозирования - упорядоченная совокупность методик и средств реализации.

Теория прогнозирования включает:

анализ объекта прогнозирования;

методы прогнозирования, подразделяющиеся на математические (формализованные) и экспертные (интуитивные);

системы прогнозирования.

При анализе объектов прогнозирования производится классификация прогнозов, при этом в качестве основных признаков указываются следующие:

масштабность, отражающая количество значащих переменных в описании объекта;

сложность, характеризующая степень взаимосвязи переменных;

детерминированность или стохастичность переменных;

информационная обеспеченность периода прогнозирования.

собственно период прогнозирования (краткосрочный прогноз - до года; среднесрочный - до лет; долгосрочный - свыше лет.

Математические методы прогнозирования подразделяются на три группы:

1. Симплексные (простые) методы экстраполяции по временным рядам.

2. Статистические методы, включающие корреляционный и регрессионный анализ и др.

3. Комбинированные методы, представляющие собой синтез различных вариантов прогнозов.

При формировании методики прогнозирования целесообразно рассматривать прогноз в узком ( прогноза) и в широком смысле ( прогноза).

В узком смысле прогноз выполняется при условии, что основные факторы, определяющие развитие прогнозируемого процесса или явления, не претерпят существенных изменений.

Прогнозы типа:

осуществляются с применением симплексных или статистических методов на основе временных рядов;

число значимых переменных включают от одного до трех параметров, т.е. по масштабности они относятся к сублокальным прогнозам;

при использовании одного параметра, например, времени, такие прогнозы считаются сверхпростыми, при двух-трех взаимосвязанных параметрах - сложными;

по степени информационной обеспеченности прогнозы этого типа могут быть отнесены к объектам с полным информационным обеспечением.

Прогноз типа подразумевает, что исходные данные для получения оценок определяются с использованием опережающих методов прогнозирования: патентного, публикационного и др.

Как правило, прогнозы типа используются для долгосрочного прогнозирования и разбиваются на два этапа:

первый - получение прогнозных оценок основных факторов;

второй - собственно прогноз развития процесса или явления.

Наибольшее распространение получили методы прогнозирования типа.

Наиболее часто для прогнозирования типа используется метод экстраполяции.

В общем случае модель прогноза включает три составляющие (рис.1.1) и записывается в виде:

, (1.1)

где - прогнозные значения временного ряда;

- среднее значение прогноза (тренд);

- составляющая, отражающая сезонные колебания (сезонная волна);

- случайная величина отклонения прогноза.



Рис.1.1 Прогнозирование на основе временных рядов: 1 - экспериментальные данные на интервале наблюдения (А); 2 - тренд; 3 - тренд и сезонная волна; 4 - значение точечного прогноза на интервале упреждения (В); 5 - интервальный прогноз

При этом может быть предложена следующая последовательность расчета:

1. На основе значений временного ряда на предпрогнозном периоде (интервале наблюдения) с использованием метода наименьших квадратов определяются коэффициенты уравнения тренда , видом которого задаются.

Обычно для описания тренда используются полиномы различных порядков, экспоненциальные, степенные функции и т.п.

2. Для исследования сезонной волны значения тренда исключаются из исходного временного ряда. При наличии сезонной волны определяют коэффициенты уравнения, выбранного для аппроксимации .

3. Случайные величины отклонения определяются после исключения из временного ряда значений тренда и сезонной волны на предпрогнозном периоде. Как правило, для описания случайной величины используется нормальный закон распределения.

4. Для повышения точности прогноза применяются различные методы (дисконтирование, адаптация и др.). Наибольшее распространение в практике расчетов получил метод экспоненциального сглаживания, позволяющий повысить значимость последних уровней временного ряда по сравнению с начальными.

2. применение МЕТОДов ПРОГНОЗИРОВАНИЯ для решения прикладных задач

Рассмотрим применение методов прогнозирования на основе данных расхода деталей на складе. В табл.2.1 приведены три реализации текущего расхода. Для каждой реализации даны величины расхода за день и интегральные характеристики, представляющие собой расход деталей со склада за соответствующий цикл.

Таблица 2.1 Динамика спроса в течение трех циклов расхода запасов

1-й цикл	2-й цикл	3-й цикл
день	спрос, ед.	Всего с начала цикла	день	спрос, ед.	всего с начала цикла	день	спрос, ед.	всего с начала цикла
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	9 2 1 3 7 5 4 8 6 5	9 11 12 15 22 27 31 39 50	11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	0 6 5 7 10 7 6 9 * *	0 6 11 18 28 35 41 50 50 50	21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	5 5 4 3 4 1 2 8 3 4	5 10 14 17 21 22 24 32 35 39

Проиллюстрируем возможные варианты прогнозов для одной реализации и для ансамбля из трех реализаций.

Воспользуемся первой реализацией.

Допустим, что нам известны значения расхода деталей со склада за пять дней работы (табл.2.2).

Выберем уравнение тренда в виде линейной зависимости:

. (2.1)



Расчет коэффициентов уравнения и производится по формулам:

; (2.2)

. (2.3)

Формулы (2.2) и (2.3) получены на основе метода наименьших квадратов.

Входящие в формулы значения сумм рассчитаны в табл.2.2. Подставляя их значения, находим

.

Таким образом, уравнение прогноза пишется в виде:

.

Таблица 2.2 Исходные данные и результаты расчета коэффициентов уравнения (2.1) при

Для оценки границ интервального прогноза необходимо рассчитать среднее квадратичное отклонение:



. (2.4)

Вспомогательные расчеты приведены в табл.2.2. Подставляя значения в формулу (2.4), находим :

.

На основании полученных зависимостей и рассчитываются прогнозные оценки:

среднего времени расхода текущего запаса ;

страхового запаса с заданной доверительной вероятностью ;

вероятности отсутствия дефицита деталей на складе в течение прогнозируемого периода.

Приняв , находим:

.

Для расчета страхового запаса воспользуемся формулой:

, (2.5)

где - среднее квадратичное отклонение, формула (2.4);

- параметр нормального закона распределения, соответствующий

доверительной вероятности .

Параметр определяет для нормального закона число средних квадратических отклонений, которые нужно отложить от центра рассеивания (влево и вправо) для того, чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна .

В нашем случае доверительные интервалы откладывают вверх и вниз от среднего значения .

В табл.2.3 приведены наиболее часто встречающиеся в практических расчетах значения вероятности и параметра для нормального закона распределения.

Таблица 2.3 Доверительная вероятность и параметр нормального закона распределения

0,80	1,282	0,92	1,750
0,82	1,340	0,94	1,880
0,84	1,404	0,95	1,960
0,86	1,475	0,96	2,053
0,88	1,554	0,98	2,325
0,90	1,643	0,99	2,576
0,91	1,694	0,999	3,290

Для рассматриваемого примера для доверительной вероятности по табл.2.3 находим и по формуле (2.5) величину страхового запаса:

.

Примем .

На рис.2.1 приведены границы интервального прогноза при .

у. ед.



Дни

Рис.2.1 Прогноз текущего расхода деталей на складе (): 1 - исходные данные; 2 - уравнение тренда; 3,3- границы интервального прогноза; 4 - время расхода запаса

Для учета возможных нарушений срока поставки необходимо оценить влияние задержки, связанной с выполнением заказа, в частности с транспортировкой.

По одной реализации невозможно оценить вероятностный характер длительности функциональных циклов поставки. Однако можно предположить, что выявленная тенденция расхода запаса, формула (1.2), сохранится.

В этом случае для оценки прогнозной величины страхового запаса можно воспользоваться формулой:

, (2.6)

где - параметр, характеризующий количество дней задержки поставки заказа.

Рассчитаем величину страхового запаса при условии задержки на один день по сравнению с прогнозной оценкой дней, т.е. на день.

По формуле (2.6) находим:

.



Аналогично при ( день) .

Допустим, что отклонения ежедневного расхода деталей от среднего значения (тренда) подчиняются нормальному закону распределения.

Определим вероятность отсутствия дефицита по формуле:

, (2.7)

где - уравнение тренда, формула (2.1);

- среднее квадратическое отклонение, формула (2.4).

Сделаем в интеграле замену переменной:

(2.8)

и приведем его к виду:

. (2.9)

Для расчетов данного интеграла можно воспользоваться численными методами и ЭВМ или специальными таблицами.

Для нормальной функции распределения с параметрами и

. (2.10)

Очевидно, что: .

В табл.2.4 приведен ряд значений функции и .

Таблица 2.4 Значения нормальной функции распределения Ф(х), вероятности Р(х) и параметра х

0,00	0,50	0,50	-1,280	0,10	0,90
-0,125	0,45	0,55	-1,405	0,08	0,92
-0,253	0,40	0,60	-1,555	0,06	0,94
-0,385	0,35	0,65	-1,645	0,05	0,95
-0,525	0,30	0,70	-1,75	0,04	0,96
-0,675	0,25	0,75	-2,05	0,02	0,98
-0,842	0,20	0,80	-2,30	0,01	0,99
-1,037	0,15	0,85	-3,10	0,001	0,999

Между параметрами и , а также и существует соотношение:

. (2.11)

На рис.2.2 приведены графики нормальной функции распределения и плотности нормального распределения.

Появление дефицита означает, что текущая величина запаса на складе равна нулю, т.е. .

Для определения вероятности отсутствия дефицита необходимо:

по формуле (2.8) рассчитать ;

по табл.2.4 с помощью найти .

Рис.2.2. Нормальный закон распределения: а) - плотность распределения; б) - функция распределения



Для рассматриваемого примера рассчитаем вероятности отсутствия дефицита деталей на складе на , и дни.

Для получаем:

; .

По табл.2.4 находим , т.е. вероятность дефицита ничтожно мала.

Для получаем:

;

Размещено на http://www.allbest.ru/

; .

Для получаем: .

Определим ошибку прогноза среднего времени , поскольку имеются реальные данные о текущем расходе в табл.2.1:

, (2.12)

где - соответственно фактическая и прогнозная продолжительность цикла.

Подставив значения в (2.12), находим:

.

Ошибка прогноза велика, но это закономерно, так как нарушено одно из эмпирических правил экстраполяционного прогнозирования: между предпрогнозным периодом и периодом упреждения (прогноза) должно соблюдаться соотношение:

. (2.13)

Если следовать соотношению (2.13), то при допустимая величина времени прогноза:

. (2.14)

Следовательно, величина надежного прогноза соответствует дней и период упреждения составляет дня.

Рассмотрим ансамбль из трех реализаций расхода деталей на складе.

Как и в предыдущем примере, допустим, что информация ограничена днями.

Рассчитаем средние значения и дисперсии для каждого дня прогнозного периода по формулам

; (2.15)

. (2.16)

;

.

Результаты расчетов приведены в таблице на рис.2.3.



Рис.2.3 Зависимость средних значений и средних квадратических отклонений от времени для трех реализаций

Для аппроксимации средних значений выберем линейную зависимость

. (2.17)

Таблица 2.5

Воспользовавшись методом наименьших квадратов, найдем коэффициенты и .

Спрогнозируем среднюю величину времени расхода запаса:

.



Зависимости и имеют явно нелинейный характер и для точных прогнозов они могут быть аппроксимированы полиномами различных порядков, например в виде параболы:

(2.18)

В первом приближении ограничимся средними значениями дисперсии и среднего квадратического отклонения , которое рассчитывается по формуле:

. (2.19)

При подстановке значений из табл.2.5 находим:

.

Рассчитаем величину страхового запаса.

В первом случае расчет производится по формуле (2.5). Например, при находим:

.

Во втором случае расчет производится по формуле (2.6).

Особенность расчета для ансамбля реализаций состоит в том, что имеется возможность оценки величины - среднего количества дней, в которые наблюдается дефицит деталей.

В общем случае можно рассчитать по формуле:



, (2.20)

где - число дней дефицита в -й реализации,

- количество -x реализаций.

Например, в рассматриваемом примере в первой реализации не наблюдается дефицита, т.е. ; у второй - два дня дефицита ; а у третьей нет дефицита.

Тогда по формуле (2.20):

.

При подстановке в (2.6) находим:

В заключение следует сделать следующие замечания:

1. Рассчитанные величины среднего запаса получены при условии, что наблюдающая величина дефицита и вариация ежедневного расхода - независимые величины. Несомненно, это допущение требует проверки.

2. При наличии большого количества реализаций расчет величины должен быть выполнен до проведения прогнозных расчетов.

Проверка формул (2.6) и (2.20) может быть осуществлена с использованием имитационного моделирования.

Размещено на Allbest.ru

...