Керування нелінійними гібридними системами методом кінцевого стану достатку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Севастопольський національний технічний університет

Спеціальність 05.13.03 - системи та процеси керування

УДК 681.511.46

Автореферат

дисертації на здобуття конкурс наукового ступеня міри кандидата технічних наук

Керування нелінійними гібридними системами методом кінцевого стану достатку

Подольська Ольга Георгіївна

Севастополь - 2008

Дисертація є рукописом

Робота виконана в Севастопольському національному технічному університеті Міністерства освіти і науки України, м. Севастополь.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Шушляпін Євгеній Андрійович Севастопольський національний технічний університет, професор кафедри технічної кібернетики

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Цуканов Олександр Вікторович Севастопольський національний технічний університет, завідувач завідуючий кафедри менеджменту і економіко-математичних методів

кандидат технічних наук, доцент Бочарник Олександр Олександрович Севастопольський військово-морський Ордени Червоної Зірки інститут імені П.С. Нахимова, доцент кафедри захисту інформації

Захист відбудеться «17» квітня 2008 р. о 1300 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д50.052.02 при Севастопольському національному технічному університеті за адресою: 99053, м. Севастополь, вул. Університетська, 33

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Севастопольського національного технічного університету за адресою: 99053, м. Севастополь, вул. Університетська, 29.

Автореферат розісланий «04» березня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Ю.К. Апраксин.



Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена розробці методів управління нелінійними гібридними системами з безперервно-дискретним часом і безперервними (континуальними ) станами достатками з можливими розривами рішень в задані моменти часу. Такі системи можуть описувати як безперервно-дискретні за часом системи, так і, наприклад, системи із зовнішніми збуреннями ударного типу . Крім того, досліджуються і окремі випадки гібридних систем - чисто безперервні і чисто дискретні системи, що функціонують в умовах обмежень на фазові координати й керуючі впливи.

Особливо актуальні ці моделі для задач керування економічними системами й процесами. Однією з особливостей економіки є те, що в ній динамічні процеси (найчастіше нелінійні) протікають в безперервному часі, а керуючі впливи, які здійснюються людьми, як правило, дискретні в часі. По цим причинам відповідні методи управління повинні базуватися на нелінійних безперервно-дискретних моделях. Проте, в основному, застосовуються чисто безперервні або чисто дискретні за часом економіко-математичні моделі та методи. При вирішенні ж безперервно-дискретних задач проводиться штучна дискретизація, що є джерелом додаткової похибки. У технічних системах дана проблема також має місце, причому тут основним джерелом дискретності є комп'ютери в ланцюзі цепі управління. Оскільки існуючі методи управління нелінійними гібридними системами вказаного класу не завжди придатні для практики управління, то задача розробки відповідних методів є актуальною.

В середині 90-х років ХХ сторіччя століття з'явилися появлялися методи достатньо досить широкого призначення, які придатні для управління нелінійними багатовимірними багатомірними системами, один з яких - метод кінцевого скінченного стану достатку (МКС), призначений для вирішення термінальних задач управління нелінійними диференціальними багатовимірними багатомірними системами. У дисертаційній роботі розглянута розглядувати задача задачу розповсюдження поширення базового варіанту МКС на гібридні системи з моделями у вигляді систем кінечно-різницевих рівнянь, а також моделей з розривами рішень в задані моменти часу.

Ще одна актуальна задача , яка пов'язана з розвитком МКС і вирішена рішати,розв'язати в дисертації, - систематизація і подальший дальший розвиток підходів і методик застосування вживання МКС для вирішення задач управління, що мають відмінності відзнаки в критеріях і обмеженнях від базового варіанту МКС. До таких відмінностей відзнак відносяться, зокрема, амплітудні обмеження на фазові координати, неадитивні управління, нетермінальні критерії та ін.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційні дослідження виконані в межах у рамках тематичних планів НДР Севастопольського національного технічного університету й увійшли до звіту по держбюджетній темі «Математичні методи дослідження і проектування систем управління функціонально складними процесами і об'єктами» (шифр «Изумруд» № 0104U000567).

Мета ціль і задачі дослідження. Основною метою ціллю досліджень є розробка узагальнень методу кінцевого скінченного стану достатку для вирішення задач керування нелінійними гібридними системами з математичними описами у вигляді систем кінцево-різницевих рівнянь й систем диференціальних рівнянь з розривами рішень в задані моменти часу (дискретний і безперервно-дискретний МКС) та їх комп'ютерна реалізація.

Для досягнення поставленої мети необхідно було вирішити наступні логічно зв'язані задачі .

Провести класифікацію сучасних методів управління гібридними системами.

Провести аналіз динамічних економіко-математичних моделей і відповідних методів управління.

Виконати систематизацію й розвиток методик застосування вживання МКС для наближених вирішень задач стабілізації, оптимального управління, швидкодії за наявності амплітудних обмежень на управління й фазові координати, неадитивних управлінь.

Розробити узагальнення методу кінцевого скінченного стану достатку на нелінійні гібридні системи з дискретним часом і з розривами рішень в задані моменти часу;

Розробити програмне забезпечення для реалізації дискретного й безперервно-дискретного методу кінцевого скінченного стану достатку .

Апробувати розроблені методи, методики й програмне забезпечення МКС на задачах управління економічними процесами.

Об'єктом дослідження є гібридні системи управління з багатовимірними багатомірними нелінійними математичними моделями, які задані системами нелінійних дискретних рівнянь й диференціальних рівнянь з розривами рішень в задані моменти часу.

Предметом дослідження є метод кінцевого скінченного стану достатку як основа для модифікації; моделі кінцевого скінченного стану достатку для нелінійних гібридних систем з дискретним і безперервно-дискретним часом; методи керування на основі моделей кінцевого скінченного стану достатку ; методики застосування вживання МКС на прикладах зразках задачкерування економічними системами.

Методи дослідження. Методами досліджень були з'являлися,являлися математичний аналіз і комп'ютерне моделювання. Математичний аналіз спирався обпирався на теорію оптимального й термінального управління, теорію автоматичного управління, теорію економічних вчень навчань,вчень , макроекономіку. Комп'ютерне моделювання виконувалося за допомогою пакетів MathCAD , Matlab , Delphi , чисельних методів інтегрування диференціальних рівнянь, матричної алгебри, нелінійного програмування, комп'ютерної графіки.

Наукова новизна новинка й значення дисертаційної роботи полягає в наступному:

1. Вперше уперше отримані одержувати моделі кінцевого скінченного стану достатку для гібридних систем з дискретним часом і з розривами рішень в задані моменти часу (дискретна і безперервно-дискретна моделі кінцевого скінченного стану достатку ).

2. Вперше уперше розроблена модифікація методу кінцевого скінченного стану достатку для нелінійних гібридних систем з дискретним часом, що мають математичні моделі у вигляді систем нелінійних кінцево-різницевих рівнянь з адитивними управліннями, і заснована на використанні дискретної моделі кінцевого скінченного стану достатку .

3. Вперше уперше розроблена модифікація методу кінцевого скінченного стану достатку для нелінійних гібридних систем з безперервно-дискретними за часом системами, що мають математичні моделі у вигляді систем нелінійних диференціальних рівнянь з розривами рішень в задані моменти часу й адитивними управліннями, і заснована на використанні безперервно-дискретної моделі кінцевого скінченного стану достатку .

Практичне значення отриманих результатів полягає в тому, що був проведений виробляти,справляти аналіз динамічних економіко-математичних моделей і відповідних методів управління; систематизовані й отримали одержували подальший дальший розвиток методики застосування вживання методу кінцевого скінченного стану достатку для наближеного вирішення задач стабілізації, оптимального й термінального управління, швидкодії з алгебраїчними обмеженнями у вигляді амплітудних обмежень на керуючі впливи й фазові координати, неадитивними управліннями; розроблено програмне забезпечення на мові язиці m-файлов Matlab дискретного методу кінцевого скінченного стану достатку ; розроблено програмне забезпечення на мові язиці m-файлов Matlab безперервно-дискретного методу кінцевого скінченного стану достатку . Розроблені методи, методики й програмне забезпечення апробовані на чотирьох економічних задачах - динамічній задачі управління запасами, неокласичної задачі про інвестиції, задачі про максимізацію споживання вжитку , задачі про взаємний вплив тіньової та легальної економік.

Всі розроблені методи, які доведені до чисельних алгоритмів і комп'ютерних програм, мають практичне значення і підтверджені комп'ютерним моделюванням, результати якого приведені у відповідних розділах дисертації. На прикладі зразку задач управління економічними моделями проведено виробляти,справляти порівняння результатів застосування вживання розроблених в дисертації методів і методик з оптимальними рішеннями розв'язаннями,вирішеннями,розв'язуваннями . Показано, що розроблені методи й методики незначно поступаються оптимальним методам по досягнутих значеннях критерію та перевершують їх по простоті реалізації і попередньої підготовчої роботи.

Особистий особовий внесок вклад претендента конкурсанта . У роботах, виконаних в співавторстві, авторові належать: отримання здобуття моделей кінцевого скінченного стану достатку й виводи висновки,виведення виразів для дискретного та безперервно-дискретного варіантів МКС на основі висунутої співавтором ідеї про визначальне значення моделей кінцевого скінченного стану достатку [1, 4]; перевірка дискретного МКС на тестових задачах задачі , отримання здобуття результатів комп'ютерних експериментів [2]; перевірка отриманого теоретичного результату на прикладах зразках [3] [12]; розробка й опис комп'ютерної програми, проведення й аналіз результатів комп'ютерних експериментів [5].

Апробація випробування результатів дисертації проводилася на наступних семи міжнародних і всеукраїнських наукових і науково-практичних конференціях: «Автоматика - 2003»; «Економічні проблеми промислового виробництва» (2004 г); «Ідентифікація систем і завдання управління» SICPRO' 05 (2005 р.); «Актуальні проблеми управління багатоетнічним регіоном» (2006 г); «Системний аналіз і управління» (2006 р.) (2007 р.); «Актуалізація проблеми гуманізації громадських суспільних відносин в сучасному українському суспільстві» (2007 р.) в мм. Севастополь, Одеса, Москва, Керч, Запоріжжя; а також на наукових семінарах кафедри технічної кібернетики Севастопольського національного технічного університету та кафедри «Фінанси» Керченського економіко-гуманітарного інституту Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 14 наукових працях, з них - 7 статей в фахових наукових виданнях, які входять в Перелік ВАК України, 7 статей в працях конференцій, журналі і збірниках. Кількість робіт без співавторів - 8.

Структура і об'єм обсяг роботи. Дисертація складається з введення вступу, чотирьох розділів, виводів висновків,виведень і додатків застосувань. Загальний спільний об'єм обсяг дисертації представлений уявляти на 209 сторінках машинописного тексту, об'єм обсяг основного тексту дисертації - 137 с. Дисертація містить утримує : 46 малюнків, з яких 18 - на 11 окремих сторінках; 2 таблиці; 5 додатків на 51 сторінці; 108 найменувань використаних літературних джерел на 12 сторінках.



Основний зміст вміст,утримання роботи

У вступі обґрунтована актуальність досліджень, сформульовані мета ціль й основні завдання задачі , дана характеристика наукової новизни новинки та практичне значення отриманих результатів, приведені відомості про апробацію випробування й практичну реалізацію отриманих результатів.

У першому розділі дисертаційної роботи зроблені систематизація й аналіз математичних моделей, задачі методів управління складними системами з нелінійними динамічними моделями стосовно економіки, проведений огляд методів управління нелінійними дискретними та безперервно-дискретними системами

Метою аналізу було виявлення кола економіко-математичних задач, для яких можливе застосування методу кінцевого стану достатку, а також тих задач, для яких потрібні узагальнення методу або методик його застосування, зокрема, нелінійних дискретних і безперервно-дискретних. Як виявилось, серед розглянутих в першому розділі економічних задач, більшість (біля 80 відсотків процентів ) є нелінійними, що відображає, мабуть очевидно, реальну картину в економіці. Серед нелінійних моделей кількість дискретних досить велика, а ось от постановок економічних задач безперервно-дискретного типу зустрілося всього дві (зведені в процесі рішення розв'язання,вирішення,розв'язування до дискретних). Це говорить не про відсутність таких задач, а швидше скоріше,скоріш про відсутність методів управління нелінійними безперервно-дискретними системами, оскільки насправді в економіці рішення розв'язання,вирішення,розв'язування приймаються, як правило, в дискретні моменти часу, а процеси при цьому - безперервні.

По цим причинам відповідні методи управління повинні базуватися на нелінійних безперервно-дискретних моделях. Проте, в основному, застосовуються чисто безперервні або чисто дискретні за часом економіко-математичні моделі й методи. При вирішенні ж безперервно-дискретних задач проводиться штучна дискретизація, що, у свою чергу, є джерелом додаткової похибки.

Основна мета дисертації полягає в розповсюдженні одного методу управління нелінійними системами - методу кінцевого стану достатку, скорочено МКС, - на нелінійні дискретні й безперервно-дискретні системи. МКС в його базовому варіанті призначений для вирішення термінальних задач управління нелінійними багатовимірними багатомірними диференціальними системами й заснований на використанні перемінних і моделей кінцевого скінченного стану достатку . Виконані дослідження показали, що МКС має хорошу доброю точність й достатню грубість до невідповідності математичної моделі, яка закладена в алгоритм управління, й дійсних властивостей динаміки об'єкту управління. Тому залишається актуальною задача його розповсюдження поширення на інші види математичних моделей об'єктів управління, зокрема, на дискретні за часом моделі у вигляді систем кінцево-різницевих рівнянь, а також змішані, безперервно-дискретні системи.

У другому розділі розглянутий розглядувати базовий варіант МКС, покладений в основу виконаних в дисертації узагальнень для нелінійних дискретних і безперервно-дискретних систем.

Постановка задачі для базового МКС має вигляд вид :(1) (2) де тут і далі бажане значення термінального критерію, яке може бути досягнене; безперервна й безперервно-диференцьована вектор-функція; вектор керуючих впливів, який відшукується; початковий і кінцевий скінченний часи функціонування системи;- поточний стан;- матриця перемінних коефіцієнтів при управлінні (може залежати й від поточного стану).

Запропонована відомим математиком Алексєєвим В. М. форма представлення неоднорідної нелінійної системи через вирішення однорідної системи, яка є узагальненням відомої формули Коши-Лагранжа для лінійних систем, має вигляд вид:

де заінтегральний член, названий накликати «перемінною кінцевого скінченного стану достатку », має сенс прогнозу кінцевого скінченного стану достатку некерованої системи, що знаходиться перебуває у момент часу в стані спроможний . Рівняння, що визначають перемінні кінцевого скінченного стану достатку й перехідну матрицю як функцію першого аргументу, які отримані одержувати Алексєєвим, мають вигляд вид : (4) де- одинична поодинока матриця, - якобіан .

Після потім диференціювання (3) по через рівняння системи (2) отримується векторно-матричне рівняння для вектора ПКС як функції другого аргументу: (5) назване накликати моделлю кінцевого скінченного стану достатку .

Похідна ПКС по третьому (просторовому) аргументу, як показано Алексєєвим, дорівнюється . Це добре видно показний в окремому випадку лінійної системи, коли. Таким чином, насправді основним засобом коштом представлення динаміки нелінійної системи є не перехідна матриця, а вектор перемінних кінцевого скінченного стану достатку . Важливою поважною властивістю ПКС є рівність ПКС при однакових значеннях часових аргументів і перемінних стану достатку , тобто при будь-якому.

Виходячи з цієї властивості, можна замінити термінальну задачу в просторі простір-час перемінних стану достатку з критерієм задачею у просторі простір-час перемінних кінцевого скінченного стану достатку . Засобом коштом отримання здобуття рішення задачі є забезпечення заданої траєкторії критерійної функції, наприклад експоненти, яка «прагне» при до заданого згідно з рівнянню (постійна часу експоненти - регульований параметр): (7) Вираз вираження для управління методом кінцевого скінченного стану достатку (МКС- управління) одержується з (5 - 7) і має вигляд вид: (8) де (9)

У дисертаційній роботі даний метод розглядається розглядує як база для його узагальнення на нелінійні гібридні системи.

Оскільки метод (4), (8), (9) призначений для вирішення термінальних задач виду (1), (2) з адитивним управлінням, а на практиці доводиться вирішувати рішати,розв'язати й інші задачі, в другому розділі систематизовані й отримали одержували подальший дальший розвиток методики застосування вживання МКС для вирішення різних задач управління - термінальної з неадитивними управліннями, з алгебраїчними обмеженнями типу нерівностей; задач стабілізації, оптимального управління, зокрема оптимальної швидкодії. Вказані методики частково використовувалися в роботах інших дослідників, частково запропоновані вперше уперше . До останніх відноситься урахування амплітудних обмежень на фазові координати з використанням штрафної функції типу «квадрат зрізки», методики застосування вживання МКС для вирішення задачі швидкодії, термінальних задач з використанням прийому зменшення амплітуд керуючих впливів за рахунок введення вступу нових керуючих впливів.

Розглянуті розглядувати форми математичних моделей дискретних і безперервно-дискретних за часом систем. В результаті унаслідок,внаслідок аналізу існуючих способів запису математичних моделей вибрані форми: для дискретних систем - одновекторна індексна форма, для гібридних систем - одновекторна форма з розривами рішень в задані моменти часу (стрибками). На основі вибраних форм сформульовані задачі узагальнення МКС на дискретні й безперервно-дискретні системи.

У третьому розділі дисертації сформульовані і вирішені рішати,розв'язати основні теоретичні задачі - отримані одержувати моделі кінцевого скінченного стану достатку й узагальнення МКС на нелінійні гібридні системи. Постановки задачі результати рішення розв'язання,вирішення,розв'язування у вигляді моделей кінцевого скінченного стану достатку для дискретних і безперервно-дискретних систем і відповідних узагальнених варіантів МКС мають наступний такий вигляд вид .

Постановка термінальної задачі для нелінійних дискретних систем: (10) де, ? відповідно -мірні та вектори стану достатку й управління; ? відомий вектор початкових умов; ? індекс, вказуючий на номер дискретної точки по осі часу; ? -мірна відома й визначена при всіх значеннях своїх аргументів в загальному спільному випадку нелінійна вектор-функція; ? мірна матриця коефіцієнтів при - мірному векторі управління (може залежати й від поточного стану).

Узагальнення МКС на гібридні системи з дискретним часом (дискретний МКС).

Отримана одержувати дискретна модель кінцевого скінченного стану достатку у вигляді векторно-матричної кінцево-різницевої системи: (11)

Отримано одержувати нелінійне кінцеве скінченне рівняння для визначення в кожен момент дискретного часу вектора дискретного МКС-управління (12) під впливом якого за умови існування рішення (12) і формується траєкторія критерійної функції (дискретна експонента), яка визначається кінцево-різницевим рівнянням .(13)

У (12-13), а має сенс постійної часу.

У співвідношеннях (11 - 13) використані позначення для критерійної функції (дискретного аналога безперервної критерійної функції (6)) , рекурсивної функції (з глибиною рекурсії ) (14) вектора дискретних перемінних кінцевого скінченного стану достатку , що розраховується як функція першого аргументу (по аналогії з (4)) по векторно-матричному кінцево-різницевому рівнянню (15)

Постановка термінальної задачі для нелінійних гібридних систем з розривами рішень в задані моменти часу має вигляд вид : (16) де -мірні вектори керуючих впливів на безперервному й дискретному входах відповідно; -мірний вектор початкових умов; - матриці коефіцієнтів при управліннях (можуть залежати й від поточного стану). Відомі на всьому інтервалі детерміновані зовнішні збурення, по припущенню гадці , входять в безперервну і безперервно-диференційовану по всіх своїх аргументах -мірну вектор-функцію та визначену при всіх своїх аргументах -мірну вектор-функцію , ? задані моменти розривів рішень (стрибків).

Узагальнення МКС на гібридні системи з розривами рішень в задані моменти часу (безперервно-дискретний МКС).

Отримана одержувати безперервно-дискретна модель кінцевого скінченного стану достатку у вигляді векторно-матричної гібридної системи: (17) де,? задані моменти розривів рішень .

Отримані одержувати співвідношення для розрахунку управління, що безперервно змінюється, на кожній з ділянок які розраховується по аналогії з (4), (8), (9) за допомогою співвідношень (18)

Під впливом управління (18) на кожній тимчасовій ділянці за умови формується експоненціальна траєкторія критерійної функції, визначувана диференціальним рівнянням (19) якщо, де визначений (13).

Отримано одержувати нелінійне кінцеве скінченне рівняння для розрахунку в кожен момент стрибка вектора дискретного МКС-управління (20) під впливом якого за умови існування рішення (20) формується траєкторія критерійної функції, яка визначається (13) при.

У (20) використані рекурсивні функції де означений стрибок стану достатку від до у момент за допомогою перетворення і подальше наступної інтегрування на інтервалі однорідного диференціального рівняння з вектором правих частин часток .

Як видно показний , моделі кінцевого скінченного стану достатку (11), (17) щодо відносно дискретних управлінь мають неадитивну форму, на відміну від безперервного випадку (5). З цієї причини і алгоритми розрахунку дискретних МКС-управлінь мають форму нелінійних кінцевих скінченних рівнянь, а не кінцево-різницевих, як можна було чекати по аналогії з безперервним випадком. При цьому дискретні управління знаходяться перебувають на нижньому рівні рекурсивних вкладень.

Наведені приклади зразки використання розроблених методів для вирішення двох тестових задач.

У четвертому розділі розглянуто розглядувати декілька задач задачі з області управління економічними процесами, для вирішення яких застосовані розроблені в дисертації методи й методики.

У підрозділі 4.1 наведені результати застосування вживання дискретного МКС до вирішення задачі управління запасами з нестаціонарним попитом, постановка й оптимальне вирішення якої узяте з літератури. Ця задача є прикладом зразком нелінійної дискретної системи, для якої, по-перше, відоме оптимальне рішення розв'язання,вирішення,розв'язування , а, по-друге, її нелінійність ? розривна. Останнє дозволило перевірити дискретне МКС-управління на достатньо досить складному класі задач управління.

Розглянута розглядувати задача задачу управління запасами на періодів в припущенні гадці , що заявка на поповнення запасу виконується негайно; витрати на виконання замовлення ? , а витрати на зберігання надмірного надлишкового запасу в -м м-код періоді ? . Необхідно мінімізувати сумарні витрати по постачанням за періодів. Відповідна постановка задачі має вигляд вид : (21) де - залишок остача запасу від ()-го періоду;-- сумарний попит за -й період;- запас, створюваний в -й період (або замовлення в -м м-код періоді). Обмеження відображають відображують вимоги до ненегативності величин залишків і запасів.

Для окремого випадку задачі (21) - планування планерування постачань продукції деяким підприємством, - передбачається припускається , що залишок остача на початку першого періоду нульовий, а витрати на виконання замовлення й зберігання надмірного надлишкового запасу визначаються функціями: де

Після потім перетворення (21) до вигляду виду (10) і заміни вимоги мінімізації критерію пошуком його заданого значення отримана одержувати наступна система: (22)

Умови ненегативності на залишки й запаси забезпечені вибором елементів конструйованого сконструйовувати управління при яких, з одного боку, вказані умови виконуються на всьому інтервалі функціонування системи, а з іншого боку, величини запасів найменші. Параметр, що забезпечує швидкість наближення критерійної функції до бажаного значення, не може бути менше одиниці через умову стійкості дискретної інерційної ланки, а при, згідно (13), забезпечується досягнення за один такт при строго суворий ненегативних залишках і запасах на всіх інтервалах роботи системи.

Отримане одержувати для часткового випадку задачі МКС-рішення розв'язання,вирішення,розв'язування при зіставленні з відомим оптимальним дає результат для МКС- рішення за значенням критерію на 39% гірше оптимального. Це пояснюється тлумачить , зокрема, додатковими обмеженнями на управління, викликаними спричиняти перетворенням початкової вихідного постановки задачі з неадитивним управлінням до задачі з адитивним управлінням (порівняйте (21) і (22)).

Отриманий і результат застосування вживання МКС- управління, співпадаючий з оптимальним, для чого використана оптимальна критерійна функція, отримана одержувати в результаті унаслідок,внаслідок застосування вживання відомого оптимального управління. В процесі вирішення цієї задачі використані методики з другого розділу в частині частці вирішення неадитивних задач, з обмеженнями на фазові координати, оптимального управління.

У підрозділі 4.2 розглянута розглядувати задача задачу про виробничі інвестиції, відома під назвою «неокласична». Задача вирішена рішати,розв'язати в двох постановках: безперервною із застосуванням базового МКС і безперервно-дискретною із застосуванням розробленого в дисертації безперервно-дискретного МКС. Вказана задача відноситься до макроекономічного рівня і має диференціальне обмеження у вигляді виду. (23) кінцевий диференціальний нелінійний гібридний

Для вирішення задачі максимізації прибутку існує відомий критерій, (24) де: - накопичений до теперішнього моменту об'єм обсяг капіталу;- деякий зовнішній параметр, що характеризує ефективність інвестицій в конкретній області економіки;- процентна відсоткова ставка;- середня заробітна плата одного працівника;- кількість працівників;- об'єм обсяг інвестицій (керуючий вплив);- доход від економічної діяльності, який залежить від наявного капіталу, кількості працівників і параметрів й. Параметр відображає відбиває вагу доходу порівняно з іншими складовими прибутку - витрат затрат на оплату праці у вигляді добутку заробітної плати на число працівників і витрат затрат на інвестиції.

У дисертації наведені рішення розв'язання,вирішення,розв'язування як задачі (23), (24) (за допомогою базового МКС і застосування вживання методики рішення розв'язання,вирішення,розв'язування з допомогою МКС задач оптимального управління), так і рішення розв'язання,вирішення,розв'язування для видозміненої безперервно-дискретної постановки, що враховує відомі заздалегідь наперед зміни в часі щорічних витрат затрат на оплату праці і додатковому, яке підлягає визначенню, керуючому впливу у вигляді зміни кількості працівників. Безперервно-дискретна постановка, яка зведена до термінальної задачі , має вигляд вид: (25)

У підрозділі 4.3 наведено МКС-рішення розв'язання,вирішення,розв'язування узятої з літератури задачі про максимізацію споживання вжитку , для якої відоме оптимальне рішення розв'язання,вирішення,розв'язування , отримане одержувати з використанням принципу максимуму Понтрягина.

Змістом вмістом,утриманням задачі максимізації споживання вжитку є визначення такого коефіцієнта капіталізації на заданому інтервалі часу, при якому досягається максимальне споживання вжиток , що виражається виказує,висловлює критерієм оптимальності (26) при диференційних обмеженнях, (27) де - накопичений за час капітал; - виробнича функція; - зміна витрат затрат на працю в часі; - коефіцієнт капіталізації (керуючий вплив); - частка доля вибуття капіталу; - початковий капітал.

Відповідна термінальна постановка задачі має вигляд вид : (28) де - відомий вектор початкових умов; - відповідно.

На основі задачі (28) сформульована й безперервно-дискретна постановка задачі, що має практичний сенс задачі :(29) де - коефіцієнт капіталізації (безперервний керуючий вплив), - приріст витрат затрат на працю (дискретний керуючий вплив).

Отримані одержувати вирішення задач(28) (за допомогою базового МКС і методики вирішення оптимальних задач) й (29) за допомогою безперервно-дискретного МКС (18), (20). Слід зазначити, що слід відзначити, що, перше з вказаних рішень практично співпало збігалося з оптимальним (відмінність - порядку ладу одного відсотка процента ).

У підрозділі 4.4 базовий МКС використаний у поєднанні з методиками його застосування вживання для задачі оптимальної швидкодії і неадитивного управління при вирішенні задачі взаємного розвитку тіньової і легальної економік. Вказана задача узята з літератури і має постановку: із перемінними, де - матеріальні ресурси легальної економіки, які розподіляються й використовуються на власну підтримку та розширене відтворення; - частка ресурсів легальної економіки, яка прямує на просте і розширене відтворення нелегальної економіки,;

- матеріальні ресурси, задіяні в нелегальній економіці; - частка ресурсів, що направляється спрямовує,скеровує на просте відтворення в нелегальній економіці,;, - вкладення в розширене відтворення легальної і нелегальної економік відповідно; вважаючи лічити.

Для розрахунку оптимального управління в першоджерелі застосований принцип максимуму Понтрягина з управлінням у вигляді виді

Представляє уявляє інтерес порівняти отримане одержувати по методу Понтрягина оптимальне управління (МП) і результати його застосування вживання з відповідними результатами для МКС- управління, для чого задача зведена до термінального вигляду виду :

Відмінність відзнака даної постановки від початкової полягає в тому, що умова на правому кінці для координати перетворена в термінальний критерій. Вимога ж мінімального часу задоволена за допомогою ітераційного пошуку такого мінімального, при якому задане досяжне. Така процедура має сенс, якщо і заздалегідь наперед невідомі. У задачі ж порівняння оптимального управління і МКС-управління має сенс зворотний підхід: задатися відомим, отриманим одержувати при розрахунках оптимального управління, і знайти максимально досяжне.

Аналіз показав, що результати застосування вживання ПМ- і МКС- управлінь достатньо досить близькі. Так, в кінці у кінці,наприкінці процесу рівні легальної і тіньової економік при оптимальному (МП) управлінні дорівнюються відповідно до 1,015 і 0,6075. Для МКС-управління відповідно дорівнюються 0,847 і 0,579. У першому випадку результати краще приблизно на 17% по рівню легальної економіки і на 5% по рівню тіньової економіки. При цьому частка доля тіньової економіки в першому випадку - 60%, а в другому випадку - 68%.

Ця модель підтверджує емпірично отримані криміналістами дані про зростання тіньової економіки, яка складає по оцінках експертів від 40% до 60% від економіки країни.



Висновки

1. Гібридні математичні моделі, які вживаються при описах складних систем, широко використовуються в задачах управління економічними процесами. Виконаний в дисертаційній роботі аналіз математичних моделей і методів, які використовуються в цій області, показав, що тут мають місце різноманітні всілякі математичні моделі об'єктів і постановки задач управління: застосовуються безперервні, дискретні, безперервно-дискретні за часом і станом достатку моделі, вирішуються розв'язуються задачі стабілізації, термінального управління, оптимального управління (зокрема оптимальної швидкодії). Виявлено, що переважна більшість задач є нелінійними або по цільовій функції критерію, або по обмеженнях, або по тому й іншому. Часто задачі містять утримують алгебраїчні обмеження у вигляді рівнянь і/або нерівностей, а управління й перемінні стану достатки обмежені по амплітуді.

Що стосується методів, то для відносно простих безперервних задач в основному використовуються методи оптимального управління, для дискретних задач - методи математичного програмування або послідовного аналізу варіантів (динамічного програмування, гілок і меж кордонів та ін.). Безперервно-дискретні нелінійні задачі вирішуються розв'язуються шляхом попередньої дискретизації безперервної частини частки й подальшого наступного застосування вживання дискретних методів. Методів, призначених для вирішення нелінійних безперервно-дискретних задач в їх початковій вихідній постановці, не виявлено. Недоліками нестачами відомих методів вирішення нелінійних дискретних і безперервно-дискретних задач, які спонукають до розробки нових методів, є висока розмірність задач математичного програмування, величезний об'єм обсяг комп'ютерної пам'яті, трудомістка «ручна» підготовча робота. Вказані недоліки нестачі долаються переборюють при використанні одного з нових методів вирішення нелінійних термінальних задач - методу кінцевого скінченного стану достатку . Поставлено завдання задачу узагальнення методу на дискретні й безперервно-дискретні за часом системи.

2. Показано, що метод кінцевого скінченного стану достатку , спочатку призначений для вирішення термінальних задач задачі з диференційними обмеженнями та адитивним управлінням (базовий МКС), може використовуватися для вирішення інших задач управління (задач стабілізації, субоптимального управління, швидкодії, з амплітудними обмеженнями на перемінні стану достатки й керуючі впливи, з неадитивним управлінням). У дисертації узагальнені й отримали одержували подальший дальший розвиток відповідні методики застосування вживання МКС.

На основі аналізу існуючих форм запису математичних моделей нелінійних гібридних систем з дискретним і безперервно-дискретним часом вибрані одновекторнi форми запису відповідних математичних моделей. Вказані форми мають однорідний і замкнутий вигляд вид і є зручним об'єктом для теоретичного аналізу.

Проаналізовано два можливі підходи до узагальнення МКС на нелінійні гібридні системи з дискретним і безперервно-дискретним часом: на основі узагальнень формули В.М. Алексєєва (нелінійного аналога формули Коши-Лагранжа) і поняття перехідної матриці; на основі узагальнення поняття перемінної кінцевого скінченного стану достатку й моделі кінцевого скінченного стану достатку . Встановлено установлений , що перший підхід, щонайменше, проблематичний, а, найімовірніше, взагалі неможливий. Другий підхід, як показано в третьому розділі дисертації, дозволив вирішити поставлені завдання задачі .

3. Отримані одержувати узагальнення методу кінцевого скінченного стану достатку на нелінійні дискретні системи й системи диференціальних рівнянь з розривами рішень в задані моменти часу (в окремому випадку безперервно-дискретні за часом системи). Задачі вирішені рішати,розв'язати на шляху колії,дороги відповідних узагальнень поняття перемінної кінцевого скінченного стану достатку , а також отримання здобуття моделей кінцевого скінченного стану достатку.

Перевагою чеснотою,достоїнством методу порівняно з використанням «прямого» способу, коли вирішується розв'язується одна задача математичного програмування розмірності , є значно вища швидкодія. На відміну від методу динамічного програмування, де також багатовимірна багатомірне задача замінюється послідовністю задач меншої розмірності, при розрахунку МКС-управління немає необхідності зберігати проміжні результати як функції стану достатку в дискретні моменти часу, що є основною проблемою застосування вживання методу динамічного програмування. Порівняно з методами оптимального управління на основі варіаційного числення обчислення або принципу максимуму, в даному методі не використовуються трудомісткі і ненадійні з погляду гарантованого отримання здобуття результату чисельні процедури типу методів вирішення крайових задач.

Розроблено програмне забезпечення на мові язиці m-файлов Matlab , що реалізовує дискретний і безперервно-дискретний МКС. Програмне забезпечення представлене уявляти у вигляді макетів (заготовок програмних модулів з означенням змінних частин часток ) і незмінних Matlab-функций.

4. Розглянуті розглядувати додатки застосування методу кінцевого скінченного стану достатку для вирішення чотирьох завдань задач управління економічними процесами. Цілями досліджень були з'являлися,являлися: перевірка працездатності базового методу й розроблених в дисертації його узагальнень на різних задачах, що мають ті або інші особливості в їх постановках; тестування розробленого програмного забезпечення; дослідження властивостей МКС в зіставленні з відомими оптимальними рішеннями розв'язаннями,вирішеннями,розв'язуваннями. Показано, що у всіх задачах досягнуті поставлені цілі управління, що свідчить про коректність використаних і розроблених методів управління, програмного забезпечення. Для трьох задач, щодо відносно яких відомі оптимальні рішення проведені їх порівняння з відповідними результатами для МКС-управління.



Список опублікованих праць по темі дисертації

1. Шушляпин Е.А., Подольская О.Г. Управление терминальными нелинейными дискретными системами методом конечного состояния» // Радиоэлектроника, информатика и управление. ? 2003. - №2.- С.138?142.

2. Подольская О.Г., Шушляпин Е.А. Применение дискретного метода конечного состояния для расчета управления в динамической задаче управления запасами // Труды Одесского политехнического университета: Научный и производственно-практический сборник по техническим и естественным наукам. ? Одесса, 2004. ? Спецвыпуск: в 3-х т. ? Т.2 - С.184?188.

3. Шушляпин Е.А., Шушляпина А.Е., Подольская О.Г. Способ приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений и его применение в задачах управления динамическими системами // Вестник СевГТУ, Вып.57: Автоматизация процессов и управление: Сб. науч. тр. - Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2004.- С.47?55.

4. Шушляпин Е.А., Подольская О.Г. Управление нелинейными непрерывно-дискретными системами методом конечного состояния» // Труды IV Международной конференция «Идентификация систем и задачи управления SICPRO'05», г. Москва, 25?28 января 2005 г. ? М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, С.1495?1513.

5. Подольская О.Г., Шушляпин Е.А. Особенности алгоритмической и программной реализации дискретного метода конечного состояния // Оптимизация производственных процессов. Вып.8: Сб. наун. тр. / Севастоп. нац. техн. ун-т ? Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2005. ? С.14?25.

6. Подольская О.Г. Сравнительный анализ двух методов управления на примере экономической задачи о максимизации потребления // Вестник СевГТУ, Вып.83: Автоматизация процессов и управление: Сб. науч. тр. - Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2007.- С.121?125.

7. Подольская О.Г. Оптимизация процесса инвестирования производства методом конечного состояния // Оптимизация производственных процессов. Вип. 10: Сб. науч. тр. / Севастоп. нац. техн. ун-т. ? Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2007. ? С.183 ?188.

8. Подольская О.Г. Применение метода конечного состояния для модели взаимного развития теневой и легальной экономики» // Сб. мат-лов междун. науч.-практ. конф. «Стратегия сотрудничества центра и регионов в решении проблем социально-экономического и культурного развития», г. Керчь, 26 мая 2006 г.: ? Керчь, 2006. ? С.62?66.

9. Подольская О.Г. Исследование двухсекторной модели экономики // Сб. мат-лов междун. науч.-практ. конф. «Стратегия сотрудничества центра и регионов в решении проблем социально-экономического и культурного развития», г. Керчь, 26 мая 2006 г.: ? Керчь, 2006. ? С.67?68.

10. Подольская О.Г. Управление моделью теневой экономики методом конечного состояния // Сб. мат-лов междун. науч.-практ. конф. «Стратегия сотрудничества центра и регионов в решении проблем социально?экономического и культурного развития», г. Керчь, 26 мая 2006 г.: ? Изд?во КЭГИ ТНУ, Керчь, 2006. ? С.69?72.

11. Подольская О.Г. Решение задачи максимизации потребления методом конечного состояния // Материалы конференции «Актуальные проблемы гуманизации общественных отношений в современном украинском обществе», КЭГИ, г. Керчь, 13?16 апреля 2007г.: Изд?во КЭГИ ТНУ, Керчь, С.13?18.

12. Шушляпин Е.А., Шушляпина А.Е., Подольская О.Г. Об одном способе линеаризации и его применении в задачах управления динамическими системами // Автоматика - 2003: Материалы 10?й Международной конференции по автоматическому управлению, г. Севастополь, 15?19 сентября 2003г.: в 3?х т. - Севастополь Изд?во СевГТУ, 2003.- Т.1. - С.103.

13. Подольська О.Г. Застосування методу кінцевого стану для моделі взаємного розвитку тіньової й легальной экономiк // ДНІ НАУКИ: Зб. тез доповідей: В 4 т. / Гуманітарний університет «ЗІДМУ», 5?6 жовтня 2006; ? Запоріжжя: ГУ «ЗІДМУ», 2006. ? Т.3. ? С.42.

14. Подольская О.Г. Применение метода конечного состояния для задачи максимизации потребления // Наука і вища освіта: Тези доповідей учасників XV Міжнародної наукової конференції молодих науковців, м. Запорiжжя, 17?18 травня 2007р.: у 3?х ч. / Гуманітарний університет «Запорізький інститут державного та муніципального управління». ? Запоріжжя: ГУ «ЗІДМУ», 2007. ? Ч.2. ? С.309.



Анотація

Подольська О.Г. Керування нелінійними гібридними системами методом кінцевого стану. ? Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.13.03 - системи та процеси керування. Севастопольський національний технічний університет, Севастополь, 2008.

Дисертація присвячена розробці методів керування гібридними системами з моделями у вигляді систем кінцево-різницевих рівнянь та систем диференціальних рівнянь з розривами рішень в задані моменти часу на основі методу кінцевого стану.

Отримані узагальнення методу кінцевого стану на дискретний й безперервно-дискретний випадки та їх комп'ютерні реалізації на мові m-файлів Matlab.

Систематизовані й отримали подальший розвиток методики застосування методу кінцевого стану для вирішення задач керування, які відрізняються від базової постановки.

Розроблені модифікації методу кінцевого стану, методики їх застосування, а також програмне забезпечення тестування на чотирьох задачах із економіки.

Ключові слова: динамічна система, багатомірна система, нелінійна система, дискретна система, гібридна система, оптимальне керування, термінальне керування, модель кінцевого стану, перемінна кінцевого стану, метод кінцевого стану.



Аннотация

Подольская О.Г. Управление нелинейными гибридными системами методом конечного состояния. ? Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 05.13.03 ? системы и процессы управления. Севастопольский национальный технический университет, Севастополь, 2008.

Диссертация посвящена разработке методов управления гибридными системами с моделями в виде систем конечно-разностных уравнений и систем дифференциальных уравнений с разрывами решений в заданные моменты времени. В основу разработок положены соответствующие модификации метода конечного состояния, предназначенного для терминального управления динамическими дифференциальными системами с аддитивными управляющими воздействиями.

Решение задачи найдено на пути определения дискретной и непрерывно-дискретной моделей конечного состояния и последующего применения к ним основной идеи базового метода конечного состояния - эквивалентной замены задачи терминального управления в пространстве состояний задачей управления в пространстве переменных конечного состояния.

В непрерывном (базовом) случае модели конечного состояния строятся на основе переходных матриц и так называемых переменных конечного состояния, смыслом которых являются прогнозные значения конечного состояния неуправляемого движения системы, имеющей некоторое состояние в текущий момент времени. Нелинейные переходные матрицы и переменные конечного состояния являются функциями двух временных и векторного пространственного аргументов и рассчитываются как функции первого аргумента по соотношениям, выведенным известным математиком В.М. Алексеевым, а модели конечного состояния - на основе формулы Алексеева, являющейся обобщением на нелинейные системы с аддитивным управлением формулы Коши-Лагранжа для представления решений неоднородных линейных дифференциальных систем.

Сформулированы постановки задач терминального управления гибридными системами рассматриваемого класса в виде системы конечно-разностных уравнений с нелинейной однородной частью и аддитивным управлением (дискретная модель) и системы дифференциальных уравнений с разрывами решений в заданные моменты времени с нелинейными однородными частями непрерывной и дискретной подсистем и аддитивными непрерывными и дискретными управлениями (непрерывно-дискретная модель).

Получена модель конечного состояния для дискретного случая в виде нелинейного векторного конечно-разностного уравнения с правой частью в виде композиции вектор-функций однородной части уравнений управляемой системы от разных дискретных моментов времени.

Получена модель конечного состояния для непрерывно-дискретного случая в виде гибридной системы, непрерывная и дискретная части которой сходны с соотношениями для чисто непрерывного и чисто дискретного случаев.

Получено обобщение метода конечного состояния на дискретный и непрерывно-дискретный случаи, где непрерывно изменяющиеся управления рассчитываются путем интегрирования системы дифференциальных уравнений для переходной матрицы и переменных конечного состояния как функций первого аргумента, а дискретно изменяющиеся управления - путем решения скалярных нелинейных конечных уравнений.

Разработано программное обеспечение дискретного и непрерывно-дискретного методов конечного состояния на языке m-файлов Matlab.

Систематизированы и получили дальнейшее развитие методики применения метода конечного состояния для решения задач управления, отличающихся от базовой постановки.

Проанализированы постановки и методы решения экономико-математических задач с целью выявления наличия и роли гибридных моделей при описании экономических процессов, а также наличия соответствующих методов управления.

Разработанные модификации метода конечного состояния, методики их применения, а также программное обеспечение тестировано на четырех экономических задачах: динамической задаче управления запасами при нестационарном спросе, задаче об инвестициях, задаче о максимизации потребления, задаче о взаимном влиянии теневой и легальной экономик. Показано, что в тех случаях, где известны оптимальные решения, соответствующие решения на основе базового и модифицированных вариантов метода конечного состояния близки к оптимальным решениям.

Ключевые слова: динамическая система, многомерная система, нелинейная система, дискретная система, гибридная система, непрерывно-дискретная система, оптимальное управление, терминальное управление, модель конечного состояния, переменная конечного состояния, метод конечного состояния.



Abstract

Podolskaya O.G. Nonlinear hybrid system control by the method of terminal state. - Manuscript.

Thesis for candidate of technical science degree on speciality 05.13.03 - systems and processes of control. Sebastopol national technical university, Sebastopol, 2008.

Thesis is devoted to development of methods of control hybrid systems with models in the shape of systems of finite-difference equations and differential equation systems with solving breakups in given moments of the time for the base of method of terminal states.

The generalizations of a method of terminal state on discrete and continuously-discrete events and their computer realizations on language m-files Matlab have been received.

Strategies of using of a method of terminal state for solving the tasks of control, distinguishing from base production have been systematized and have further development

Modifications of method of terminal states, techniques of their using, as well as software tested on four economic tasks has been developed.

Keywords: dynamic system, multivariate system, nonlinear system, discrete system, hybrid system, time continuous-discrete system, optimum control, terminal control, model of terminal state, variable of terminal state, method of terminal state.

Размещено на Allbest.ru

...