Проверка гипотезы о наличии нелинейной связи переменных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Теоретические положения проверки гипотезы о нелинейной связи переменных

2. Проверка гипотезы о наличии нелинейной связи переменных

Заключение

Список использованных источников

Приложения

Введение

Гипотеза - это научное предположение, вытекающее из теории, которое еще не подтверждено и не опровергнуто.

В методологии науки различают теоретические гипотезы и гипотезы как эмпирические предположения, которые подлежат экспериментальной проверке. Первые входят в структуры теорий в качестве основных частей. Теоретические гипотезы выдвигаются для устранения внутренних противоречий в теории либо для преодоления рассогласований теории и экспериментальных результатов и являются инструментом совершенствования теоретического знания. О таких гипотезах и ведет речь Фейерабенд. Научная гипотеза должна удовлетворять принципам фальсифицируемости (если в ходе эксперимента она опровергается) и верифицируемости (если в ходе эксперимента она подтверждается).

Проверка статистических гипотез - это один из основных методов математической статистики, который используется в эконометрике.

С помощью методов математической статистики можно проверить предположения о законе распределения некоторой случайной величины (генеральной совокупности), о значениях параметров этого закона (например, математического ожидания или дисперсии), о наличии корреляционной зависимости между случайными величинами, определенными на множестве объектов одной и той же генеральной совокупности.

Контрольная работа ставит своей целью сформировать навыки использования математических методов при экспериментальном анализе и проверки гипотезы о нелинейной связи переменных.

гипотеза статистический математический эконометрика

1. Теоретические положения проверки гипотезы о нелинейной связи переменных

Готтсданкер выделяет следующие варианты экспериментальных гипотез:

- контргипотеза - экспериментальная гипотеза, альтернативная к основному предположению; возникает автоматически;

- третья конкурирующая экспериментальная гипотеза - экспериментальная гипотеза об отсутствии влияния независимой переменной на зависимую; проверяется только в лабораторном эксперименте;

- точная экспериментальная гипотеза - предположение об отношении между единичной независимой переменной и зависимой в лабораторном эксперименте; проверка требует выделения независимой переменной и “очищения” ее условий;

- экспериментальная гипотеза о максимальной (или минимальной) величине - предположение о том, при каком уровне независимой переменной зависимая принимает максимальное (или минимальное) значение. “Негативный” процесс, основанный на представлении о двух базисных процессах, оказывающих противоположное действие на зависимую переменную, при достижении определенного (высокого) уровня независимой переменной становится сильнее “позитивного”; проверяется только в многоуровневом эксперименте;

- экспериментальная гипотеза об абсолютных и пропорциональных отношениях - точное предположение о характере постепенного (количественного) изменения зависимой переменной с постепенным (количественным) изменением независимой; проверяется в многоуровневом эксперименте;

- экспериментальная гипотеза с одним отношением - предположение об отношении между одной независимой и одной зависимой переменными. Для проверки экспериментальной гипотезы с одним отношением может быть использован и факторный эксперимент, но вторая независимая переменная является при этом контрольной;

- комбинированная экспериментальная гипотеза - предположение об отношении между определенным сочетанием (комбинацией) двух (или нескольких) независимых переменных, с одной стороны, и зависимой переменной - с другой; проверяется только в факторном эксперименте [9, с.218].

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известных распределений [5, с.318].

Параметрической гипотезой называется гипотеза о значениях параметров распределения или о сравнительной величине параметров двух распределений. Примером параметрической статистической гипотезы является гипотеза о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокупностей.

Непараметрическими гипотезами называются гипотезы о виде распределения случайной величины.

Проверка статистической гипотезы означает проверку соответствия выборочных данных выдвинутой гипотезе.

Параллельно с выдвигаемой основной гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу, которая называется конкурирующей или альтернативной. Противоречащая гипотеза считается справедливой, если основная выдвинутая гипотеза отвергается.

Нулевой, основной или проверяемой гипотезой называется первоначально выдвинутая гипотеза, которая обозначается Н0.

Конкурирующей или альтернативной гипотезой называется гипотеза, которая противоречит основной гипотезе Н0 и обозначается Н1.

Простой гипотезой называется гипотеза, которая содержит только одно предположение. Например, гипотеза о том, что параметр распределения Пуассона л равен значению л0, является простой. Основная гипотеза о том, что математическое ожидание нормального распределения равно 5 (при известной дисперсии), т.е. Н0: а=5, также является простой.

Сложной гипотезой называется гипотеза, которая состоит из нескольких простых гипотез. Например, сложная гипотеза вида: Н0: л>4, состоит из множества простых гипотез вида:

Н0: л>m,

где m - это любое число, большее четырёх.

На нелинейные модели регрессии, которые являются внутренне линейными, т. е. сводимыми к линейному виду, распространяются все методы проверки гипотез, используемые для классических линейных моделей регрессии.

Таким образом, если внутренне линейную модель регрессии можно свести к линейной модели парной регрессии, то на эту модель будут распространяться все методы проверки гипотез, используемые для парной линейной зависимости.

Проверка гипотезы о значимости нелинейной модели множественной регрессии состоит в проверке гипотезы значимости индекса детерминации R2.

Рассмотрим процесс проверки гипотезы о значимости индекса детерминации.

Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости индекса детерминации, т. е. Н0:R2=0.

Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в предположении о значимости индекса детерминации, т. е. Н1:R2?0.

Данные гипотезы проверяются с помощью F-критерия Фишера-Снедекора.

Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора, и называется критическим.

При проверке значимости индекса детерминации критическое значение F-критерия определяется как Fкрит(a;k1;k2), где а - уровень значимости, k1=l-1 и k2=n-l - число степеней свободы, n - объём выборочной совокупности, l - число оцениваемых по выборке параметров.

При проверке основной гипотезы вида Н0:R2=0 наблюдаемое значение F-критерия Фишера-Снедекора рассчитывается по формуле:

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл›Fкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости индекса детерминации отвергается, и он признаётся значимым. Следовательно, полученная модель регрессии также признаётся значимой.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл=Fкрит, то основная гипотеза о незначимости индекса детерминации принимается, и он признаётся незначимым. Полученная модель регрессии является незначимой и нуждается в дальнейшей доработке.

Если в начале эконометрического моделирования перед исследователем стоит выбор между моделью регрессии, внутренне нелинейной и линейной моделью регрессии (или сводящейся к линейному виду), то предпочтение отдаётся линейным формам моделей.

Проверка предположения о возможной нелинейной зависимости между исследуемыми переменными осуществляется с помощью коэффициента детерминации r2 и индекса детерминации R2.

Выдвигается основная гипотеза Н0о наличии линейной зависимости между переменными. Альтернативной является гипотеза Н1 о нелинейной зависимости между переменными.

Данные гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.

При проверке гипотезы о линейной зависимости между переменными критическое значение t-критерия определяется как tкрит(а;n-l-1), где а - уровень значимости, n - объём выборочной совокупности, l - число оцениваемых по выборке параметров, (n-l-1) - число степеней свободы, которое определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента.

При проверке основной гипотезы Н0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

где нR-r - величина ошибки разности (R2-r2), которая определяется по формуле:

при проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл›tкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о линейной зависимости между переменными отвергается. В этом случае построение нелинейной модели регрессии считается целесообразным.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл?tкрит, то основная гипотеза о линейной зависимости между переменными принимается. Следовательно, взаимосвязь между данными переменными можно аппроксимировать простой линейной формой зависимости.

2. Проверка гипотезы о наличии нелинейной связи переменных

В качестве числовой характеристике вероятностной нелинейной связи переменных используем коэффициенты корреляции.

Значения коэффициентов корреляции изменяются в диапазоне от -1 до +1. после проведения расчетов исследователь, как правило, отбирает только наиболее сильные корреляции, которые в дальнейшем интерпретируются.

Необходимо сказать, что в настоящее время разработано множество различных коэффициентов корреляции. Наиболее применяемыми являются r-Пирсона, r-Спирмена и ф-Кендалла [2, с.251].

Рисунок 1 - Примеры диаграмм рассеивания и соответствующих коэффициентов корреляции

Современные компьютерные статистические программы в меню «Корреляции» предлагают именно эти три коэффициента, а для решения других исследовательских задач предлагаются методы сравнения групп.

Выбор метода вычисления коэффициента корреляции зависит от типа шкалы, к которой относятся переменные - Таблица 1.

Таблица 1 - Типы шкал и коэффициентов корреляции

По сути метод корреляций показывает, каким образом одно явление влияет на другое или связано с ним в своей динамике. Подобного рода зависимости существуют, к примеру, между величинами, находящимися в причинно-следственных связях друг с другом. Если выясняется, что два явления статистически достоверно коррелируют друг с другом и если при этом есть уверенность в том, что одно из них может выступать в качестве причины другого явления, то отсюда определенно следует вывод о наличии между ними причинно-следственной зависимости.

Имеется несколько разновидностей данного метода: линейный, ранговый, парный и множественный.

Линейный корреляционный анализ позволяет устанавливать прямые связи между переменными величинами по их абсолютным значениям. Эти связи графически выражаются прямой линией, отсюда название «линейный» [2, с.254].

Ранговая корреляция определяет зависимость не между абсолютными значениями переменных, а между порядковыми местами, или рангами, занимаемыми ими в упорядоченном по величине ряду.

Парный корреляционный анализ включает изучение корреляционных зависимостей только между парами переменных, а множественный, или многомерный, - между многими переменными одновременно [2, с.255].

Коэффициент линейной корреляции определяется при помощи следующей формулы:

где rxy -- коэффициент линейной корреляции;

х, у - средние выборочные значения сравниваемых величин;

хi,уi -- частные выборочные значения сравниваемых величин;

п -- общее число величин в сравниваемых рядах показателей;

-- дисперсии, отклонения сравниваемых величин от средних значений.

Пример. Определим коэффициент линейной корреляции между следующими двумя рядами показателей.

Ряд 1: 2, 4, 4, 5, 3, б, 8.

Ряд II: 2, 5, 4, 6, 2, 5, 7.

Средние значения этих двух рядов соответственно равны 4,6 и 4,4.

Их дисперсии составляют следующие величины: 3,4 и 3,1. Подставив эти данные в приведенную выше формулу коэффициента линейной корреляции, получим следующий результат: 0,92. Следовательно, между рядами данных существует значимая связь, причем довольно явно выраженная, так как коэффициент корреляции близок к единице. Действительно, взглянув на эти ряды цифр, мы обнаруживаем, что большей цифре в одном ряду соответствует большая цифра в другом ряду и, наоборот, меньшей цифре в одном ряду соответствует примерно такая же малая цифра в другом ряду.

К коэффициенту ранговой корреляции в психолого-педагогических исследованиях обращаются в том случае, когда признаки, между которыми устанавливается зависимость, являются качественно различными и не могут быть достаточно точно оценены при помощи так называемой интервальной измерительной шкалы.

Для переменных с интервальной и с номинальной шкалой используется коэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений). Если, по меньшей мере, одна из двух переменных имеет порядковую шкалу или не является нормально распределенной, используется ранговая корреляция по Спирмену - Приложение А.

Для изучения взаимосвязи двух метрических переменных измеренных на одной и той же выборке применяется коэффициент корреляции r-Пирсона. Сам коэффициент характеризует наличие только линейной связи между признаками, обозначаемыми, как правило, символами X и Y. Коэффициент линейной корреляции является параметрическим методом и его корректное применение возможно только в том случае, если результаты измерений представлены в шкале интервалов, а само распределение значений в анализируемых переменных отличается от нормального в незначительной степени. Существует множество ситуаций, в которых его применение целесообразно. Например: влияет ли интеллект школьника на его успеваемость; влияет ли настроение на успешность выхода из проблемной ситуации; зависит ли уровень дохода от темперамента и т. п.

Коэффициент Пирсона находит широкое применение в психологии и педагогике. В работах Каплуновича И.Я. и Рабиновича П. Д, Нуждиной М. П. для подтверждения выдвинутых гипотез был использован расчет коэффициента линейной корреляции Пирсона.

При обработке данных «вручную» необходимо вычислить коэффициент корреляции, а затем определить p-уровень значимости (в целях упрощения проверки данных пользуются таблицами критических значений rxy, которые составлены с помощью этого критерия). Величина коэффициента линейной корреляции Пирсона не может превышать +1 и быть меньше чем -1. Эти два числа +1 и -1 являются границами для коэффициента корреляции. Когда при расчете получается величина, большая +1 или меньшая -1, это свидетельствует, что произошла ошибка в вычислениях. [4, с.278]

Если связь не обнаружена, но есть основания полагать, что связь на самом деле есть, следует проверить возможные причины недостоверности связи.

Нелинейность связи - для этого проанализировать график двумерного рассеивания. Если связь нелинейная, но монотонная, перейти к ранговым корреляциям. Если связь не монотонная, то делить выборку на части, в которых связь монотонная, и вычислить корреляции отдельно для каждой части выборки, или делить выборку на контрастные группы и далее сравнивать их по уровню выраженности признака.

Наличие выбросов и выраженная асимметрия распределения одного или обоих признаков. Для этого необходимо посмотреть гистограммы распределения частот обоих признаков. При наличии выбросов или асимметрии исключить выбросы или перейти к ранговым корреляциям.

Неоднородность выборки (проанализировать график двумерного рассеивания). Попытаться разделить выборку на части, в которых связь может иметь разные направления.

Если к количественным данным неприемлем коэффициент корреляции r-Пирсона, то для проверки гипотезы о связи двух переменных после предварительного ранжирования могут быть применены корреляции r-Спирмена или ф-Кендалла.

Заключение

В основе теоретического исследования лежат некоторые теоретические обобщения, на основе которых формулируются новые теоретические выводы.

Эмпирические исследования не имеют теоретической базы, позволяют лишь накопить первоначальные научные факты. Как правило, большинство исследований носит теоретико-эмпирический характер.

С помощью вторичных методов статистической обработки экспериментальных данных непосредственно проверяются, доказываются или опровергаются гипотезы, связанные с экспериментом.

В связи с этим, можно сказать, что математические методы позволяют обоснованно прогнозировать будущие события, вместо того, чтобы гадать на кофейной гуще или как-либо иначе. В общем, польза от применения математики велика, но и труда на ее освоение требуется много.

Статистические методы применяются для того, чтобы извлечь из тех количественных данных, которые получены в экспериментах, при опросе и наблюдениях, возможно больше полезной информации. Одним самых из распространенных методов статистики является корреляционный анализ.

Список использованных источников

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, 5-е изд. перераб. и доп. - М: Высшая школа. - 2008

2. Елисеева И.И. Общая теория статистики: учебник для вузов / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев; под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика. - 2009

3. Ефимова М.Р. Практикум по общей теории статистики: учебное пособие для вузов / М.Р. Ефимова и др. - М.: Финансы и статистика, 2007

4. Зайцев И.А. Высшая математика. - М: Высшая школа. - 2004

5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М: ЮНИТИ.- 2006

6. Статистика: учебник / И.И. Елисеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Высшее образование, 2008

7. Статистика: учебное пособие / А.В. Багат и др.; под ред. В.М. Симчеры. - М.: Финансы и статистика, 2007

8. Теория статистики: учебник для вузов / Р.А. Шмойлова и др.; под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2007

9. Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели. - М: ЮНИТИ-ДАМА. - 2005

10. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели. М.: Дело. - 2006

Приложение А

Таблица 1 - Критические значения t-критерия Стъюдента для заданного числа степеней свободы и вероятностей допустимых ошибок, равных 0,05; 0,01 и 0,001

Приложение Б

Таблица 1 - Критические значения коэффициентов корреляции для различных степеней свободы (n - 2) и разных вероятностей допустимых ошибок

(В данном случае степенью свободы будет число, равное п -- 2, где п -- количество данных в коррелируемых рядах.) Заметим, что значимость коэффициента корреляции зависит и от заданного уровня значимости или принятой вероятности допустимой ошибки в расчетах. Если, к примеру, коррелируется друг с другом два ряда цифр по 10 единиц в каждом и получен коэффициент корреляции между ними, равный 0,65, то он будет значимым на уровне 0,95 (он больше критического табличного значения, составляющего 0,6319 для вероятности допустимой ошибки 0,05, и меньше критического значения 0,7646 для вероятности допустимой ошибки 0,01).

Размещено на Allbest.ru