Математичне моделювання власних коливань резонаторів з тонкою опуклою п’єзоелектричною пластиною

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

01.05.02 -- математичне моделювання та обчислювальні методи

Математичне моделювання власних коливань резонаторів з тонкою опуклою п'єзоелектричною пластиною

Шмалій Олександр Юрійович

Харків - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Українській інженерно-педагогічній академії, Міністерство освіти і науки України, м. Харків.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Недорезов Станіслав Сергійович, Харківський національний автомобільно-дорожній університет, професор кафедри вищої математики

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Сухаревський Олег Ілліч, Харківський університет Повітряних Сил імені І. Кожедуба, провідний науковий співробітник наукового центру повітряних сил

доктор фізико-математичних наук, професор Хомченко Анатолій Никифорович, Херсонський національний технічний університет, завідувач кафедри прикладної математики і математичного моделювання

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради С.І. Шматков

Анотація

частотний п.'єзоприлад коливання

Шмалій О.Ю. Математичне моделювання власних коливань резонаторів з тонкою опуклою п'єзоелектричною пластиною. -- Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 -- математичне моделювання та обчислювальні методи. -- Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна. Харків, 2008.

Дисертація присвячена вдосконаленню відомих та створенню нових математичних моделей коливань тонких одностороннє-опуклих анізотропних п'єзоелектричних пластин коливань зсуву за товщиною, що призначені для дослідження та розробки п'єзоприладів з необхідними амплітудними та частотними спектрами коливань.

Проведено дослідження стану актуальної проблеми побудови математичних моделей власних коливань анізотропних п'єзоелектричних пластин. Наведено основні етапи розвитку п'єзоелектричних приладів від виявлення п'єзоефекту до створення п'єзоелектричних резонаторів. Обґрунтовано необхідність розробки нових методів та підходів, які поєднують у собі методи, що базуються на теорії коливань Тірстена, та підходи, що дозволяють враховувати додаткові параметри резонатора. Розроблено методи для знаходження частотного спектра опуклої п'єзоелектричної пластини з одностороннє-розташованими електродами. Розроблено математичну модель коливань опуклої п'єзоелектричної пластини довільної форми та розроблено методи для знаходження її частотного спектра та власних коливань. Запропоновані методи відрізняються від вже відомих тим, що в них врахована просторова анізотропія п'єзоелектричної пластини.

Залежність власних коливань та частот від геометричних параметрів пластини дозволяє отримувати на основі розроблених методів такі параметри пластин, за яких відбувається посилення одних та послаблення інших частот, а також обчислювати власні коливання та частоти пластин, що мають несиметричну форму за рахунок похибки при виготовленні.

Запропоновані моделі дозволяють пояснювати результати вимірювань, що суперечать симетричній моделі коливань опуклої п'єзоелектричної пластини.

Використання розроблених моделей та методів дозволяє виробляти вимоги до точності виготовлення п'єзоелектричних приладів на основі п'єзопластин.

Ключові слова: власні коливання, частотний спектр, п'єзоелектричні пластини, анізотропія, кварцові резонатори.

Аннотация

Шмалий А.Ю. Математическое моделирование собственных колебаний резонатора с тонкой выпуклой пьезоелектрической пластиной. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 -- математическое моделирование и вычислительные методы. -- Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина. Харьков, 2008.

Диссертация посвящена усовершенствованию известных и созданию новых математических моделей колебаний тонких односторонне-выпуклых анизотропных пьезоэлектрических пластин колебаний сдвига по толщине, необходимых для исследования и разработки пьезоустройств с требуемым амплитудным и частотным спектрами колебаний.

Проведено исследование состояния области математического моделирования колебаний пьезоэлектрических пластин. Выполнен анализ имеющихся математических моделей и методов исследования этой проблемы. Обоснована необходимость разработки новых методов и подходов, сочетающих в себе классические методы, базирующиеся на теории колебаний Миндлина и Тирстена, и современные подходы, позволяющие применять компьютерное моделирование.

Разработан метод для нахождения частотного спектра выпуклой пьезоэлектрической пластины с односторонне-расположенными электродами в случае большого скачка потенциала на границе электрода для толщинно-сдвиговых колебаний. Установлено, что частотный спектр определяется локальными характеристиками электрода вблизи его края, а именно: минимальным расстоянием между граничной точкой С и центром пьезопластины, а также радиусом кривизны электрода в этой точке.

Разработан метод для нахождения частотного спектра выпуклой пьезоэлектрической пластины с односторонне-расположенными электродами в случае малого скачка потенциала на границе электрода для толщинно-сдвиговых колебаний; установлено, что предложенная математическая модель частотного спектра достаточно точно описывает частоты собственных колебаний выпуклой кварцевой пластины.

Разработана математическая модель колебаний выпуклой пьезоэлектрической пластины эллипсоидального типа, в которой анизотропия предполагается как в направлении нормали, так и в плоскости пластины, а фокусы эллипса не лежат на осях. Разработан метод для нахождения частотного спектра и собственных колебаний. Предложенный метод позволяет учитывать угол поворота в плоскости пластины. Получены формулы и проведено численное исследование для случаев кварцевых пластин различных срезов. Показано значительное влияние угла и отношения радиусов пластины как на частотный спектр, так и на характер, области локализации и величины амплитуд колебаний. Данное влияние объясняет разницу между численным экспериментом и результатами измерений, неоднократно встречаемую в литературе. Оно также может быть использовано для создания пластин с оптимальными характеристиками путем вариации угла и отношения радиусов пластины для возбуждения колебаний пьезоэлектрических пластин различных срезов.

Разработана математическая модель колебаний резонатора с выпуклой пьезоэлектрической пластиной произвольной формы. Разработан метод для нахождения ее частотного спектра и собственных колебаний. Этот метод отличается от известных методов тем, что в нем учитывается пространственная анизотропия пьезоэлектрической пластины. Предложенный метод может быть, в частности, использован для резонаторов с выпуклой пьезоэлектрической пластиной эллипсоидального типа. Оси главной кривизны поверхности в рассматриваемой модели ориентированы произвольно по отношению к собственным осям пьезоэлектрической пластины. Установлено, что модель позволяет учитывать дополнительные параметры пластины, такие как угол и отношение радиусов кривизны . Изменение этих параметров позволяет рассматривать пьезопластины разнообразной формы в рамках одной математической модели.

Зависимость собственных колебаний и частот от геометрических параметров пластины и электродов на основе разработанных методов позволяет получать такие параметры пластины, при которых происходит усиление одних и ослабление других частот, а также вычислять собственные колебания и частоты пластин, которые имеют несимметричную форму за счет погрешностей при изготовлении.

Предложенные модели позволяют объяснять результаты измерений, которые противоречат симметричной модели колебаний выпуклой пьезоэлектрической пластины.

Использование разработанных моделей и методов позволяет вырабатывать требования к точности изготовления пьезоэлектрических устройств на основе пьезопластин.

Ключевые слова: собственные колебания, частотный спектр, пьезоэлектрические пластины, анизотропия, кварцевые резонаторы.

Abstract

Shmaliy O. Yu. Mathematical modeling of self-vibrations of resonators with thin convex piezoelectric plates. -- Manuscript. The thesis on completion the scientific degree of candidate of the technical sciences, specialty 01.05.02 -- mathematical modeling and computational approach. -- V.N. Karazin Kharkiv National University. Kharkiv. 2008.

The thesis is dedicated to the development of existing and creating of new mathematical models of thickness-shear vibrations of the convex piezoelectric plates, meant for research and creation of piezoelectric devices with given amplitude and frequency spectrum.

The investigation of the current state of the actual problem of the developing of the mathematical model of the anisotropic piezoelectric plates vibrations is provided. The main stages of the piezoelectric devices development are shown, from the discovery of piezoelectric effect till the creation of piezoelectric resonators. The necessity of the development of new methods and approaches, which combine methods based on Tiersten theory, and approaches, which let us take into account extra parameters of the piezoelectric resonator, is proved. New calculation methods for frequency spectrum of the convex piezoelectric plate with one-side placed electrodes are developed. The mathematical model of vibrations of the convex piezoelectric arbitrarily-shaped plate and methods for calculating the frequency spectrum are developed. The proposed methods differ from already known by taking into account the spatial anisotropy of the piezoelectric plate.

The dependency of self-vibrations and frequencies on the geometric parameters of the plate allows to obtain, on the basis of the methods developed, the plates with parameters, amplifying some frequencies and weakening the others. It also makes it possible to calculate the self-vibrations and frequencies of the plates that have asymmetrical shape due to the manufacturing inaccuracy.

The models provided allow to explain the measurement results, which contradict the symmetrical convex piezoelectric plate model of vibrations.

The usage of the developed models and methods allows to work out the manufacturing accuracy requirements for the devices on the basis of piezoelectric plates.

Key words: eigenvibrations, frequency spectrum, piezoelectric plates, anisotropy, quartz resonators.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Інтенсивне вивчення математичних моделей кварцових п'єзоелектричних пластин та резонаторів почалося після фундаментальних основоположних робіт Р. Міндліна, Г. Тірстена та інших авторів. Високоякісні кварцові резонатори коливань зсуву за товщиною реалізують принцип захоплення енергії, що забезпечує високу стабільність частоти механічних коливань. Використання резонаторів із захопленням енергії призводить до зменшення розсіяння енергії та скорочує вплив на основне коливання небажаних ангармонічних коливань, у тому числі і таких, що відбиваються від електродів та границь пластини. Коливання захоплення енергії виникають після надання поверхні пластини відповідної форми, що визначається вимогами до захоплення енергії при обраній кристалічній орієнтації для бажаного типу гармонічного товщинно-зсувового коливання. Основними областями застосування п'єзоелектричних пластин є високостабільні джерела частоти та часу, а також п'єзоелектричні та п'єзорезонансні датчики. Останні знаходять широке застосування у машинобудуванні. Традиційно у приладах та системах такого роду використовують п'єзоелектричні пластини високої та дуже високої якості з високою чистотою спектра механічних коливань та ефективним придушенням небажаних гармонічних та ангармонічних коливань. Оптимізація таких пластин багато у чому можлива на основі точних математичних моделей коливань, що обґрунтовує актуальність теми дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі вищої математики Української інженерно-педагогічної академії у період з 2001 по 2006 рр. Напрямок досліджень передбачено тематичним планом наукової роботи УІПА за темою «Частотний спектр кварцових резонаторів», державними програмами «Лелека» та «Ластівка» Науково-виробничого центру «Сіхрон». Проводилися ініціативні спільні дослідження з Інститутом телекомунікацій та радіотехніки, Польща. Постановки задач досліджень, моделі та результати обговорювались в Ecole Nationale Supйrieure de Mйcanique et des Microtechniques, Франція.

Мета та основні задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є вдосконалення відомих та розробка нових математичних моделей коливань тонких одностороннє-опуклих анізотропних п'єзоелектричних пластин з коливаннями зсуву за товщиною, що застосовуються у п'єзоприладах з необхідними амплітудними та частотними спектрами коливань. Такі п'єзоприлади використовуються для створення широкого класу вимірювачів на основі п'єзоефекта, які застосовуються у машинобудуванні. Вплив на власні коливання відбувається за рахунок зміни кривини поверхні пластини та форми електродів, что виключає співпадання частот коливань сусідніх мод у робочому діапазоні температур та інших факторів, що може призвести до помилок та відмови у роботі п'єзоприладів.

Для досягнення мети у роботі розв'язуються наступні основні задачи:

1. Розробка метода розрахунку частотного спектра коливань одностороннє-опуклої п'єзоелектричної пластини з одностороннє-розташованими електродами у випадку великого та малого стрибка потенціалу на межі електрода.

2. Розробка моделі та дослідження одностороннє-опуклої п'єзоелектричної пластини з опуклістю еліпсоїдальної форми; дослідження частотного спектра та власних коливань таких п'єзоелектричних пластин.

3. Розробка моделі одностороннє-опуклої п'єзоелектричної пластини з асиметричною опуклістю довільної форми; вивчення частотного спектра та власних коливань таких пластин.

4. Розробка системи прикладних комп'ютерних програм, що дозволяють проводити чисельний аналіз отриманих рівнянь для пластин різних зрізів з метою визначення впливу геометричних параметрів пластини на її частотні та амплітудні властивості.

Об'єктом дослідження є власні коливання одностороннє-опуклих п'єзоелектричних анізотропних пластин коливань зсуву за товщиною зі сферичною, еліпсоїдальною та довільною асиметричною опуклістю.

Предметом дослідження є математична модель власних коливань тонких дискових одностороннє-опуклих п'єзоелектричних анізотропних пластин механічних коливань зсуву за товщиною зі сферичною, еліпсоїдальною та довільною асиметричною опуклістю.

Методи дослідження. Дослідження проведене із застосуванням методів теорії диференційних рівнянь, теоретичної фізики, теорії збурень, математичної фізики, диференційної геометрії та теорії спеціальних функцій математичної фізики.

Наукова новизна отриманих результатів. На основі виконаних теоретичних досліджень та проведених експериментів отримано нове рішення важної науково-прикладної задачі -- розвиток математичного моделювання одностороннє-опуклих п'єзоелектричних пластин із просторовою анізотропією із сферичною, еліпсоїдальною та довільною опуклістю та з одностороннє-розташованими електродами.

У межах поставленої задачі одержано наступні наукові результати:

1) вперше запропонована нова математична модель одностороннє-опуклої п'єзоелектричної пластини з великим стрибком потенціалу на межі одностороннє-розташованих електродів, що дозволило більш точно описати частотний спектр пластини за рахунок врахування нового виду частот;

2) вперше розроблено метод розрахунку частотного спектра коливань одностороннє-опуклої п'єзоелектричної пластини з малим стрибком потенціалу на межі одностороннє-розташованих електродів, що дозволило більш точно описати частотний спектр пластини за рахунок додаткового члену, що визначається формою електрода;

3) отримав подальший розвиток метод моделювання одностороннє-опуклої п'єзоелектричної пластини шляхом введення додаткових параметрів в модель, при цьому верхня поверхня має довільні кривину та напрям головної кривини, що дозволило описати частотний спектр та власні коливання, як для п'єзоелектричних пластин традиційного виду, так і для пластин більш складної форми.

Практичне значення отриманих результатів. Запропоновані моделі й методи дозволяють науково обґрунтовано підходити до створення прикладних комп'ютерних програм, що дозволяють проводити чисельний аналіз власних коливань для пластин різних зрізів з метою визначення впливу параметрів пластини на її властивості.

Розроблені моделі й методи являють собою науково-методичну основу для створення розрахункових модулей систем автоматизації проектування п'єзоелектричних датчиків. Методи доведено до рівня використання проектувальниками програмного забезпечення.

Запропоновані моделі й методи можна використовувати при розробці п'єзоелектричних датчиків та резонаторів з розрахованою кривиною поверхні для заданого спектра власних коливань, а також для вивчення впливу асиметрії поверхневої опуклості, що виникає при виготовленні, на характеристики датчика та резонатора.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані особисто автором. У працях, опублікованих у співавторстві, особистий внесок здобувача полягає в участі у формулюванні задач та здійсненні математичних викладок [12, 13, 15, 17], розробці, програмній реалізації чисельних алгоритмів та аналізі отриманих результатів [3, 7, 8, 10, 14, 16].

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на European Frequency and Time Forum (м. Санкт-Петербург, Росія, березень 2002), International Frequency Control Symposium (м. Новий Орлеан, США, червень 2002), International Frequency Control Symposium (м. Тампа, США, травень 2003), International Conference on Precision and Oscillation in Electronics and Optics (м. Алушта, вересень 2003), Міжнародній конференції по математичному моделюванню (м. Херсон, вересень 2003), European Frequency and Time Forum (м. Гілфорд, Великобританія, травень 2004), International Frequency Control Symposium (м. Монреаль, Канада, серпень 2004), International Conference on Precision and Oscillation in Electronics and Optics (м. Ялта, вересень 2005), International Conference on Precision and Oscillation in Electronics and Optics (м. Гуанахуато, Мексика, листопад 2006) , International Frequency Control Symposium (м. Женева, Швейцарія, травень 2007).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 18 друкованих праць, у тому числі 5 -- у збірниках наукових праць, що входять до переліку наукових спеціальних видань, затверджених ВАК України (4 з яких -- без співавторів), у міжнародних наукових журналах -- 1, у матеріалах доповідей міжнародних конференцій -- 12.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, 5-ти розділів, висновків, списку використаних джерел та літератури. Повний обсяг дисертації складає 169 сторінок, у тому числі 143 сторінки основного тексту, 41 малюнок, 27 таблиць, список використаних джерел з 97 найменувань на 12 сторінках.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтована актуальність досліджуваної проблеми, сформульована мета, визначені наукова новизна і практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі розглянуто стислу історію побудови математичних моделей власних коливань анізотропних п'єзоелектричних пластин. Наведено основні етапи розвитку п'єзоелектричних приладів від виявлення п'єзоефекту до створення п'єзоелектричних резонаторів. Значний внесок у формування сучасної теорії коливань анізотропних п'єзоелектричних пластин внесли Тимошенко С., Шубніков А., Мезон У., Бехман Р., Смагін А., Ярославський М., Міндлін Р., Тірстен Г. та ін.

Наведено вивід рівняння власних коливань п'єзоелектричних пластин на основі існуючих методів. Проаналізовано недоліки існуючих методів і сформульовані мета і задачі дослідження.

Метою роботи є вдосконалення відомих та створення нових математичних моделей коливань тонких дискових одностороннє-опуклих анізотропних п'єзоелектричних пластин коливань зсуву за товщиною, що призначені для дослідження та розробки п'єзоприладів з необхідними амплітудними та частотними спектрами коливань, що дозволяє підвищити ефективність розробки широкого класу вимірювачів на основі п'єзоефекта, які застосовують у машинобудуванні.

У другому розділі описано математичну модель одностороннє-опуклої п'єзоелектричної пластини з одностороннє-розташованими електродами збуджуючого коливання зсуву за товщиною. Пластини такого виду на даний момент не вивчено. При цьому той факт, що одна з поверхонь пластини не вкрита електродами, є дуже привабливим для практичного застосування та масового виробництва резонаторів на основі таких пластин. У резонаторах такого виду виникає новий тип коливань, що локалізовані біля межі електрода. Різні припущення щодо характеру потенціалу на межі електрода дозволяють розглядати дві математичні моделі резонатора. У моделі, що розглянуто в цьому розділі, стрибок потенціалу на межі електрода вважається значним, і у цьому випадку частотний спектр має специфічну структуру, яка виражена нелінійним відношенням:



де індекси k та l традиційно означають ангармонічну моду коливань, а і є константами, отриманими при розв'язанні рівняння коливань.

Частотний спектр коливань пластини без урахування впливу одностороннє-розташованих електродів може бути знайдений при розв'язанні ефективного диференційного рівняння

, (1)

де та -- власні значення тензора , що визначає п'єзоелектричні властивості кристалу.

Недорезов вказав, що стрибок потенціалу на краю електрода суттєво впливає на крайові умови для знаходження розв'язку рівняння (1). Також було виявлено, що за умови великого стрибка потенціалу у смузі частот

,

де та фундаментальні частоти зовні та всередині електрода, а визначено стрибком потенціалу на краю електрода, при розв'язанні рівняння (1) можна використовувати нульову крайову умову [3]

,

що відповідає першому порядку точності по відношенню до малого параметра .

У випадку кварцової пластини рівняння для знаходження частотного спектра має вигляд [1]

,

та виражаються громіздкими формулами через фізичні константи. Для наведемо вираз [6]:

,

, ,

-- власне значення зміщення ; та означають товщину та густину електрода, -- п'єзоелектрична константа, -- діелектрична константа.

Покладемо , , в рівнянні (1), тоді розв'язок матиме вигляд

, , (2)

тут

, ,

, ,

,

,

,

,

, .

Чисельний аналіз показав, що за рахунок зміни форми та розташування електродів частоти можуть змінюватись на величини до 100 кГц. Оскільки залежність спектра п'єзопластини від впливу темепратури рідко перевищує 1 кГц в робочому діапазоні температур, то такий вплив може бути використаний для запобігання співпадання частот коливань сусідніх мод.

Отримано наступні результати:

Розроблено метод для знаходження частотного спектра опуклої п'єзоелектричної пластини з одностороннє-розташованими електродами у випадку значного стрибка потенціалу на межі електрода для товщинно-зсувових коливань [3, 7, 14, 16].

Встановлено, що частотний спектр визначають локальними характеристиками електрода поблизу його краю, а саме: мінімальною відстанню між граничною точкою С та центром п'єзопластини , а також радіусом кривини електрода у цій точці.

Зроблено висновок, що оскільки нелінійне рівняння для частотного спектра отримано в основному наближенні за малим параметром , то в деяких випадках треба враховувати поправки більш високих порядків.

Виявлено суттєвий вплив розмірів та розташування електродів на частотний спектр п'єзопластини, який може бути використано для запобігання співпадання частот коливань сусідніх мод.

У третьому розділі описано математичну модель одностороннє-опуклої п'єзоелектричної пластини з одностороннє-розташованими електродами збуджуючого коливання зсуву за товщиною. Різні припущення щодо характеру потенціалу на межі електрода дозволяють розглядати дві математичні моделі резонатора. У моделі, що розглянуто в цьому розділі, стрибок потенціалу на межі електрода вважається малим. Урахування межі електрода за методом збурень має вплив на частотний спектр у вигляді додаткового члена, що визначається формою електрода.

Частотний спектр коливань пластини з урахуванням впливу одностороннє-розташованих електродів може бути знайдено при розв'язанні ефективного диференціального рівняння [2]

. (3)

Функція не дорівнює нулю в області всередині електрода ,

, . (4)

Якщо , то розв'язком (3) є

,

де власна функція квантового осциллятора

,

-- поліном Ерміта, також відзначимо що

и .

Підставляючи (4) в (3) та знаходячи розв'язок рівняння за теорією збурень, отримуємо наступним вигляд частотного спектра кристалічної пластини:

, (5)

де поправка

, (6)

визначається стрибком потенціалу на краю електрода.

Формула (6) описує поправку до частотного спектра, що визначається впливом електрода та може бути використана для електрода довільної форми.

Відповідні власні функції мають вигляд

,

-- поправка, отримана у рамках теорії збурень [8, 15].

Отримано наступні результати:

Розроблено метод для знаходження частотного спектра опуклої п'єзоелектричної пластини з одностороннє-розташованими електродами в випадку малого стрибка потенціалу на межі електрода для товщинно-зсувових коливань [2, 8, 14, 15]. Встановлено, що запропонована математична модель частотного спектра достатньо точно описує частоти власних коливань опуклої кварцової пластини. Модель добре погоджується з експериментальними даними для кварцової пластини SBTC-зрізу бокового збудження. Показано, що межа електрода суттєво впливає на частотний спектр пластини. Залежність від форми та розташування електродів може бути використана для отримання пластин з необхідними властивостями та запобігання співпадання частот коливань сусідніх мод.

У четвертому розділі описано математичну модель одностороннє-опуклої п'єзоелектричної пластини еліпсоїдального типу, в якій анізотропія припускається як в напрямку нормалі, так і в площині пластини, а фокуси еліпса розташовані довільно по відношенню до її осей. До сих пір в літературі було розглянуто лише випадок спів падіння осей еліпсоїда з власними осями п'єзоелектричної пластини. Диференціальне рівняння для знаходження головного зміщення n-ой гармонічної моди поперечних коливань двічі повернутої п'єзоелектричної пластини запишемо у вигляді [1]:

,(7)

де [2]

, ,

.

Введемо безрозмірні змінні

та ,

що визначають анізотропні властивості матеріалу та кривину поверхні відповідно. Тоді частотний спектр п'єзоелектричної пластини може бути записаний у вигляді

, (8)

де допоміжні функції

та

,

 -- кут між осями тензора та головною віссю еліпсоїдальної поверхні пластини.

Для кута запишемо вираз

(9)

Власні коливання у вихідній системі координат мають вигляд:

, (10)

,

, .

Таким чином, формули (8) та (10) визначають частотний спектр та власні коливання пластини.

У якості об'єкта дослідження було взято кварцову двічі повернуту пластину SBTC-зрізу з орієнтацією . Нас цікавив вплив на частотний спектр та власні коливання відношення радіусів та розташування головної вісі еліпсоїда відносно кристалографічних осей пластини.

Із аналізу результатів випливає, що при зміні кута частотний спектр кварцової пластини змінюється, причому характер змін залежить від вибору моди коливань при збереженні загальних тенденцій, а саме: 1) абсолютне відхилення спектра при незначному відхиленні геометрії пластини від сферичної досягає максимуму при повороті на , спочатку повільно зростаючи, а потім спадаючи до нуля при ; 2) абсолютне відхилення спектра збільшується при зменшенні відношення , тобто при збільшенні анізотропії геометрії пластини; 3) існують частоти, що збільшуються та що зменшуються, наприклад для моди А частоти з індексами та збільшуються, всі інші ангармонічні частоти 3-ї гармоніки зменшуються; 4) абсолютне відхилення частоти найбільше для частот моди А і найменше для частот моди С.

Представлено розподіл нормалізованих коливань пластини з параметрами мм, мм для різних кутів . Із рисунка видно, що відхилення осей поверхні пластини від кристалографічних осей пластини у деяких випадках тягне за собою не тільки зсув частот, але також і зміщення області збудження коливань. Це пояснює різницю подібного характеру між чисельним експериментом і результатами вимірів, що неодноразово зустрічається в літературі.

Щоб зрозуміти, яке саме зміщення області коливань відбудеться у тому чи іншому випадку, варто звернутися до формули, що описує перетворення вихідної системи координат у процесі знаходження рішення. Видно, що за поворот системи координат відповідає кут , що визначається формулою (9). Він залежить як від зрізу пластини (коефіцієнти ), так і від геометрії пластини (кут , відношення радіусів ). Показано зміну кута для коливань моди А, зумовлену поворотом пластини на кут для декількох відношень радіусів . Жирною лінією позначено графік кута , що відповідає коливанням, зображеним на рис. 4, тобто коли . При та кут приймає значення , відповідно, саме на стільки повернуто область коливань пластини.

Отримано наступні результати:

Розроблено математичну модель коливань опуклої п'єзоелектричної пластини еліпсоїдального типу, в якій анізотропія припускається як в напрямку нормалі, так і в площині пластини, а фокуси еліпса не лежать на осях. Розроблено метод для знаходження частотного спектра та власних коливань. Запропонований метод дозволяє враховувати кут повороту в площині пластини [1, 4, 9, 17, 18].

Отримано формули та проведено чисельне дослідження для випадку кварцової пластини різних зрізів.

Показано значний вплив кута та співвідношення радіусів пластини як на частотний спектр, так і на характер, області локалізації та величини амплітуди коливань. Даний вплив пояснює різницю між чисельним експериментом та результатами вимірювань, що неодноразово зустрічається в літературі. Він також може бути використаний для створення пластин з оптимальними характеристиками шляхом варіації кута та співвідношення радіусів пластини для збудження коливань трьох мод коливань п'єзоелектричних пластин різних зрізів.

Виявлено суттєвий вплив розмірів та розташування електродів на частотний спектр п'єзопластини, який може бути використано для запобігання співпаданню частот коливань сусідніх мод. При цьому уточнення області локалізації коливань дозволяє збуджувати необхідні та подавляти небажані коливання за рахунок правильного розміщення електродів на поверхні пластини. У противному випадку, неправильне розміщення електродів може призвести до збудження небажаних коливань, наслідком чого можуть бути помилки та відмова у роботі п'єзоприладу.

У п'ятому розділі описано узагальнену математичну модель одностороннє-опуклої п'єзоелектричної пластини довільної форми, в якій анізотропія припускається як в напрямку нормалі, так і у площині пластини, при цьому головні напрямки кривини пластини орієнтовано довільно по відношенню до власних осей п'єзоелектричної пластини. Така модель дозволяє розв'язувати задачі знаходження частотного спектра як для п'єзоелектричних пластин традиційного вигляду, так і для пластин більш складної форми. Також розглянуто важливий окремий випадок пластини еліпсоїдальної форми, довільно розташованої у просторі.

Розглянемо опуклу п'єзоелектричну пластину довільної форми

. (11)

Ми припускаємо, що поверхня є опуклою у точці и , де -- максимальна товщина пластини. Головні радіуси кривини поверхні у точці позначимо через и . Також введемо г -- кут між напрямком головної кривини поверхні та власною віссю п'єзоелектричної пластини.

Перші члени розкладу (11) в ряд Тейлора по відношенню до малого параметра , де R -- кривина пластини, дають основний внесок у частотний спектр, отже далі ми припускаємо [6, 9, 10]

(12)

Варто відзначити, що окремі похідні функції у формулі (12) зручно виражати через радіуси кривини та

Диференціальне рівняння для знаходження головного зміщення -ой гармоничної моди поперечних коливань двічі повернутої кварцової пластини запишемо у вигляді [5]:

. (13)

Квадрати частот визначаються відношенням

, (14)

де

, ,

,

,

, , .

Власні коливання мають вигляд:

, (15)

де та -- поліноми Ерміта,

,

, .

Отримано наступні результати:

Розглянуто математичну модель коливань опуклої п'єзоелектричної пластини довільної форми. Розроблено метод для знаходження частотного спектра та власних коливань [5, 6, 10-13, 15, 16]. Запропонований метод відрізняється від вже відомих методів тим, що у ньому врахована просторова анізотропія п'єзоелектричної пластини. Запропонований метод може бути зокрема використаний для опуклої п'єзоелектричної пластини еліпсоїдального типу. Вісі головної кривини орієнтовано довільно по відношенню до власних осей п'єзоелектричної пластини.

Встановлено, що така модель дозволяє враховувати додаткові параметри пластини, такі як кут та відношення радіусів кривини . Зміна цих параметрів дозволяє розглядати п'єзопластини різноманітних форм у рамках однієї математичної моделі.

Виявлено суттєвий вплив розмірів та розташування електродів на частотний спектр п'єзопластини, який може бути використано для запобігання співпаданню частот коливань сусідніх мод.

Висновки

У дисертації отримано нові науково обгрунтовані результати в області математичного моделювання та обчислювальних методів, що в сукупності вирішують важливу науково-прикладну задачу -- вдосконалення відомих та створення нових математичних моделей коливань тонких одностороннє-опуклих анізотропних п'єзоелектричних пластин коливань зсуву за товщиною, що призначені для дослідження та розробки п'єзоприладів з необхідними амплітудними та частотними спектрами коливань.

У процесі виконання роботи отримано наукові і практичні результати, які полягають у наступному.

1. Проведено дослідження стану актуальної проблеми побудови математичних моделей власних коливань анізотропних п'єзоелектричних пластин. Наведено основні етапи розвитку п'єзоелектричних приладів від виявлення п'єзоефекту до створення п'єзоелектричних резонаторів. Обґрунтовано необхідність розробки нових методів та підходів, які поєднують у собі методи, що базуються на теорії коливань Тірстена, та підходи, що дозволяють застосовувати комп'ютерне моделювання.

2. Розроблено метод для знаходження частотного спектра опуклої п'єзоелектричної пластини з одностороннє-розташованими електродами у випадку значного стрибка потенціалу на межі електрода для товщинно-зсувових коливань. Встановлено, що частотний спектр визначається локальними характеристиками електрода біля його краю, а саме: мінімальною відстанню між крайовою точкою С та центром пластини, а також радіусом кривини електрода у цій точці.

3. Розроблено метод для знаходження частотного спектра опуклої п'єзоелектричної пластини з одностороннє-розташованими електродами у випадку малого стрибка потенціалу на межі електрода для товщинно-зсувових коливань. Встановлено, що запропонована математична модель частотного спектра достатньо точно описує частоти власних коливань опуклої кварцової пластини. Модель добре погоджується з експериментальними даними для кварцової пластини SC-зрізу бокового збудження. Показано, що межа електрода суттєво впливає на частотний спектр пластини. Залежність частот від форми та розташування електродів може бути використана для отримання резонаторів із належними властивостями.

4. Розроблено математичну модель коливань опуклої п'єзоелектричної пластини еліпсоїдального типу, в якій анізотропія припускається як у напрямку нормалі, так і в площині пластини, а фокуси еліпса не лежать на осях. Розроблено метод для знаходження частотного спектра та власних коливань. Запропонований метод дозволяє враховувати кут повороту в площині пластини. Отримано формули та проведено чисельне дослідження для випадку кварцових пластин різних зрізів. Показано значний вплив кута та відношення радіусів кривини як на частотний спектр, так і на характер, області локалізації та величини амплітуд коливань. Наведений вплив пояснює різницю між чисельним експериментом та результатами вимірювань, що зустрічається в літературі. Він також може бути використаний для створення пластин з оптимальними характеристиками шляхом варіації кута та відношення радіусів пластини для збудження коливань п'єзоелектричних пластин різних зрізів.

5. Розроблено метод для знаходження частотного спектра та власних коливань на основі математичної моделі коливань опуклої п'єзоелектричної пластини довільної форми. Запропонований метод відрізняється від вже відомих методів тим, що у ньому врахована просторова анізотропія п'єзоелектричної пластини. Запропонований метод може бути зокрема використаний для опуклої п'єзоелектричної пластини еліпсоїдального типу. Вісі головної кривини орієнтовано довільно по відношенню до власних осей п'єзоелектричної пластини. Встановлено, що модель дозволяє враховувати додаткові параметри пластини, такі як кут та відношення радіусів кривини . Варіація цих параметрів дозволяє розглядати пластини різної форми у межах однієї математичної моделі.

6. Виявлено суттєвий вплив геометричних параметрів пластини та електродів на власні коливання п'єзопластини. Отримані відхилення частоти в десятки та сотні кГц значно перевищують допустимі відхилення в декілька сотен Гц. Врахування параметрів може бути використано для запобігання співпаданню частот коливань сусідніх мод, що призводить до помилок та відмови в роботі п'єзоприлада. При цьому уточнення області локалізації коливань дозволяє збуджувати необхідні та подавляти небажані коливання за рахунок правильного розміщення електродів на поверхні пластини.

7. Залежність власних коливань та частот від геометричних параметрів пластини на основі розроблених методів дозволяє отримувати такі параметри пластин, за яких відбувається посилення одних та послаблення інших частот, а також обчислювати власні коливання та частоти пластин, що мають несиметричну форму за рахунок похибки при виготовленні. Це дозволяє розробляти п'єзоприлади з необхідними амплітудними та частотними спектрами коливань.

8. Запропоновані моделі дозволяють пояснювати результати вимірювань реальних п'єзоприладів, що суперечать симетричній моделі коливань опуклої п'єзоелектричної пластини.

9. Використання розроблених моделей та методів дозволяє виробляти вимоги до точності виготовлення п'єзоелектричних приладів на основі п'єзопластин.

Таким чином, була досягнута мета дослідження, яка полягає у вдосконаленні відомих та створенні нових математичних моделей коливань тонких одностороннє-опуклих анізотропних п'єзоелектричних пластин коливань зсуву за товщиною, що призначені для дослідження та розробки п'єзоприладів з необхідними амплітудними та частотними спектрами коливань, що використовуються для створення широкого класу вимірювачів на основі п'єзоефекту, які застосовуютсья у машинобудуванні.

Наукові праці, опубліковані за темою дисертації

1. Шмалий А.Ю., Математическая модель пьезоэлектрического резонатора с односторонне-выпуклой пластиной эллипсоидального типа // Вісник Харківського національного університету, серія „Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління”. -- 2003. -- № 605. -- С. 159-168.

2. Шмалий А.Ю., Анализ частотного спектра выпуклого пьезоэлектрического резонатора толщинно-сдвиговых колебаний // Вестник Херсонского Государственного технического университета. -- 2003. -- С. 462-466.

3. Недорезов С.С., Шмалій О.Ю., Крайові коливальні стани в п'єзоелектричних резонаторах // Доповіді НАН України. -- 2004. -- № 5. -- С. 89-93.

4. Шмалий А.Ю., Влияние формы границы поверхности пьезоэлектрического резонатора на его собственные колебания // Вісник Харківського національного університету, серія „Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління”. -- 2004. -- № 629. -- С. 39-47.

5. Шмалий А.Ю., Построение математической модели колебаний дисковой кристаллической пластины с произвольно ориентированной односторонней эллиптической кривизной // Пробл. машиностроения. -- 2006. -- т. 9, № 629. -- С. 78-84.

6. Shmaliy O., Eigenvibrations in trapped-energy contoured piezoelectric resonators with a one-sided arbitrary oriented elliptical convexity, Int. Journal of Solids and Structures. -- 2006. -- 43. -- P. 7869-7879.

7. Nedorezov S. S., Shmaliy O. Yu., Shmaliy Yu. S., Frequency spectrum of the lateral field excited convex piezoelectric resonator of thickness-shear vibrations // Proceedings of 16th European Frequency and Time Forum, St. Petersburg, Russia. -- 2002. -- P. 90-93.

8. Nedorezov S., Shmaliy O., Shmaliy Yu., Weiss K., Tarasuk O., An analysis of frequency spectrum of the convex piezoelectric resonator of thickness-shear vibrations // Proceedings Of IEEE 2002 Int. Frequency Control Symposium, New Orleans, USA. -- 2002. -- P. 141-144.

9. Nedorezov S. S., Shmaliy O. Yu., Shmaliy Yu. S., Dulmet B., An influence on eigenvibrations in resonators of anisotropy of boundary surface of piezoelectric plate with variable convexity // Proceedings of IEEE 2003 International Frequency Control Symposium, Tampa, USA. -- 2003. -- P. 730-733.

10. Nedorezov S.S., Shmaliy O.Yu., Eigenfrequencies spectrum of piezoelectric plate of an arbitrary shape // Proceedings of the Conference on Advanced Optoelectronics And Lasers, Alushta, Crimea, Ukraine. -- 2003. -- P. 219-222.

11. Shmaliy O.Yu., Eigenvibrations of a convex piezoelectric plate with ellipsoid surface // Proceedings of the Conference On Advanced Optoelectronics And Lasers 2003, Sept. 16-20, Alushta, Crimea, Ukraine. -- 2003. -- P. 223-226.

12. Nedorezov S.S., Shmaliy O.Yu., Influence of a surface shape of a piezoelectric plate upon its eigenfrequencies // Proceedings of SPIE, vol. 5582. -- 2004. -- P. 261-268.

13. Nedorezov S.S., Shmaliy O.Yu., Dulmet B., An analysis of quartz crystal resonators made from a convex piezoelectric plate of arbitrary shape // Proceedings of 16th European Frequency and Time Forum, Guildford, UK. -- 2004. -- P. 80-84.

14. Nedorezov S., Shmaliy O., Shmaliy Y., On influence of an electrode edge potential upon frequencies of LFE piezoelectric resonators employing thickness-shear vibrations // Proceedings of the 2004 IEEE International Frequency Control Symposium and Exposition. -- 2004. -- P. 585-590.

15. Nedorezov S., Shmaliy O., Frequency shifts in lfe piezoelectric resonators employing thickness-shear vibrations caused by changes in the electrode edge potential // Proceedings of the Conference on Advanced Optoelectronics And Lasers. -- 2005. -- P. 219-221.

16. Nedorezov S., Emelianova T. V., Shmaliy O. Non-equidistant structure of a frequency spectrum of a piezoelectric resonator with an arbitrary convex surface // Proceedings of the Conference on Advanced Optoelectronics And Lasers. -- 2005. -- P. 309-311.

17. Shmaliy O., Shmaliy Y., Influence of a convex surface shape on eigenvibrations of a piezoelectric plate of SBTC-cut // Proceedings of the 1st Multiconference on Electronics and Photonics. -- 2006. -- P. 94-97.

18. Shmaliy O., An analysis of eigenvibrations of piezoelectric plate of AK-cut // Proceedings of the 1st Multiconference on Electronics and Photonics. -- 2006. -- P. 98-101.

Размещено на Allbest.ru

...