Побудова областей стійкості цифрових систем керування

Размещено на http://www.allbest.ru

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 681.5

Побудова областей стійкості цифрових систем керування

05.13.03 - Системи і процеси керування

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Мовчан Сергій Леонідович

Київ 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя Міністерства освіти і науки України

Захист відбудеться "29" вересня 2004 р. о 1530 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.062.03 у Національному авіаційному університеті Міністерства освіти і науки України (03058, м.Київ, пр. Космонавта Комарова, 1)

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Національного авіаційного університету

Автореферат розісланий "21" серпня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради кандидат технічних наук, доцент Павлова С.В.

дискретний лінійний автоматичний рівняння

АНОТАЦІЯ

Мовчан С.Л. Побудова областей стійкості цифрових систем керування. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.13.03 - Системи та процеси керування. Національний авіаційний університет, Київ, 2004.

Дисертація присвячена розробці ефективних і економічних підходів побудови областей стійкості лінійних дискретних систем керування в просторі параметрів, які нелінійно входять в характеристичне рівняння системи, а також розробці методів побудови границь областей стійкості нелінійних дискретних систем.

Задача побудови областей стійкості і якості лінійних дискретних систем керування в просторі параметрів, один із яких лінійно, а другий нелінійно входить в коефіцієнти характеристичного рівняння, вирішена шляхом розв'язання задачі дискретного D-розбиття по одному параметру, що лінійно входить в коефіцієнти, без побудови кривих D-розбиття, а з використанням отриманих аналітичних виразів. Розроблено чисельний метод побудови областей стійкості і якості лінійних дискретних систем керування в просторі параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння, що зводиться до перебору тільки одного нелінійного параметру, при фіксованих інших, і без визначення умови стійкості в кожній точці перебору.

Для нелінійних дискретних систем автоматичного керування розроблено більш ефективний з точки зору затрат машинного часу чисельний метод розширення області притягання, попередньо визначеної з допомогою другого методу Ляпунова. Запропоновано аналітичну форму геометричного критерію Ципкіна для визначення абсолютної стійкості нелінійної дискретної системи з стійкою лінійною імпульсною частиною.

Ключові слова: цифрова система, область стійкості, границя області стійкості, область притягання, перехідний процес, ступінь стійкості, ступінь коливності, коливність.

АННОТАЦИЯ

Мовчан С.Л. Построение областей устойчивости цифрових систем управления. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.13.03 - Системы и процессы управления. Национальный авиационный университет, Киев, 2004.

Диссертация посвящена разработке эффективных и экономичных подходов для определения областей устойчивости линейных дискретных систем управления в пространстве параметров, которые нелинейно входят в характеристическое уравнение системы, и также разработке методов построения областей притяжения нелинейных дискретных систем.

Целью диссертационной работы является разработка эффективных и экономичных подходов построения областей устойчивости линейных дискретных систем управления в пространстве параметров, которые нелинейно входят в коэффициенты характеристического уравнения системы, а также разработка методов построения областей устойчивости нелинейных дискретных систем.

Реализация поставленной цели требует решения следующих задач: получение в общем виде уравнения границы области устойчивости дискретных систем в плоскости двух параметров, один из которых линейно, а другой - нелинейно входят в коэффициенты характеристического уравнения; разработка числового метода построения границы области устойчивости в плоскости двух параметров, которые нелинейно входят в коэффициенты характеристического уравнения линейной дискретной системы автоматического управления; определение влияния нулей передаточной функции линейной дискретной системы на основные показатели качества переходных процессов; построение границ областей устойчивости дискретных систем с заданными показателями качества в пространстве параметров, которые нелинейно входят в коэффициенты характеристического уравнения; разработка экономичного метода расширения области устойчивости нелинейных дискретных систем, определенной з помощью функции Ляпунова; разработка аналитического подхода для определения достаточных условий абсолютной устойчивости нелинейных дискретных систем с устойчивой линейной частью; построение областей устойчивости и качества реальной дискретной системы управления в плоскости и пространстве параметров, нелинейно входящих в коэффициенты характеристического уравнения.

Диссертация состоит из введения, шести разделов, выводов и списка использованной литературы.

В первом разделе рассмотрены методы определения областей устойчивости и качества в пространстве параметров, что нелинейно входят в коэффициенты характеристического уравнения линейных систем. На основании проведенного анализа сделаны выводы про необходимость разработки более эффективных методов. Проведен сравнительный анализ методов определения областей устойчивости нелинейных систем автоматического управления в пространстве состояний и рассмотрены известные частотные критерии абсолютной устойчивости непрерывных и дискретных систем.

Подчеркнуто тенденцию перехода к аналитической форме определения условий абсолютной устойчивости.

Во втором разделе получены в общем виде, с помощью D-разбиения, уравнения границ областей устойчивости в плоскости двух параметров, на основании которых разработан аналитический подход построения границ областей устойчивости в плоскости параметров, один из которых линейно, а второй - нелинейно входят в коэффициенты характеристического уравнения. Предложен числовой метод построения границы области устойчивости в плоскости параметров, нелинейно входящих в коэффициенты характеристического уравнения, который базируется на переборе только одного параметра, при предварительно заданных значениях другого, и не требует проверки условий устойчивости на каждом шаге перебора.

В третьем разделе проведен анализ влияния корней передаточной функции линейной системы управления на показатели качества переходных процессов, на основании чего обусловлено использование непрямых корневых методов оценки вышеупомянутых показателей качества. Записаны характеристические уравнения для анализа устойчивости системы при заданных степенях устойчивости и колебательности.

В четвертом разделе рассмотрен и улучшен метод определения с заданной точностью, практически полной реальной области асимптотической устойчивости нелинейных дискретных систем, для которых предварительно получена функция Ляпунова, описывающая область притяжения системы. Предложена аналитическая форма геометрического критерия Ципкина для определения абсолютной устойчивости нелинейной дискретной системы с устойчивой линейной частью.

В пятом и шестом разделах, подходы и методы, полученные во втором и третьем разделах работы, применены для исследования реальной линейной дискретно-аналоговой системы.

Полученные области устойчивости и качества системы в плоскости и пространстве параметров, нелинейно входящих в коэффициенты характеристического уравнения, и анализ переходных процессов в контрольных точках пространства параметров, подтвердили возможность использования предложенных методик и показали их преимущества перед существующими подходами к решению задач исследования областей устойчивости в пространстве параметров линейных дискретных систем.

Ключевые слова: цифровая система, область устойчивости, граница области устойчивости, область притяжения, переходной процесс, степень устойчивости, степень колебетельности, колебательность.

ANNOTATION

Movchan S.L. The construction of the digital systems stability region

The dissertation is submitted for Ph D, in speciality 05.13.03 - the systems and management processes, National Aviation University, Kyiv, 2004.

The dissertation is deals with the development of a new method of construction stability regions of digital linear systems in space of parameters and to receiving of the digital nonlinear systems stability regions.

The problems of construction of the digital linear systems stability regions in space of parameters which nonlinearly go into coefficients of a secular equation are considered. Due to the usage of discrete analog of a method of a D-partition and designed algorithm, the stability region of a real discrete system is obtained.

The problems of construction of the discrete systems stability regions with the given parameters of quality in space of parameters which nonlinearly go into coefficients of a secular equation are considered. The real discrete system stability region with the particularly given parameters of a degree of stability and oscillation is obtained.

The offered approach gives the best indexes of an exactitude of definition of a stability region and is more officient from a point of view of machine implementation than available universal numerical methods.

The algorithm of the extension of the nonlinear discrete systems asymptotic stability area, which is obtained with the help of the Lyapunov function, is considered. The algorithm is costeffective, from a point of view of machine implementation. The example of usage of the given algorithm is reduced, the significant diminution of number of pitches of machine accounts is reached at definition, with a given accuracy, real boundary of area of attraction of a nonlinear discrete system.

The analytic form of geometric criterion for determination the asymptotic stability of nonlinear digital systems is proposed.

Key words: digital system, stability region, attraction region, transient process, degree of stability, oscillation.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасні системи керування літальними апаратами (ЛА) - це складні багатоконтурні динамічні системи з бортовими обчислювальними машинами, які забезпечують нормальну роботу всіх підсистем. Застосування в системах керування польотом бортових цифрових обчислювальних машин, дозволяє віднести їх до класу дискретних систем керування. Класична задача визначення стійкості лінійних стаціонарних дискретних систем керування є недостатньою для аналізу реальних систем. В реальних задачах параметри об'єкта керування можуть мінятись в процесі роботи, крім того, параметри регулятора важко підібрати у відповідності з параметрами об'єкта керування. Тому важливою проблемою при дослідженні дискретних систем є побудова їх областей стійкості в просторі параметрів, вплив яких на стійкість системи цікавить. Ця задача практично розв'язана у випадку лінійної залежності коефіцієнтів характеристичного рівняння від параметрів, але в цифрових системах керування майже всі коефіцієнти характеристичного рівняння залежать від параметрів системи нелінійно.

У випадку, коли параметри системи нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння, використовують розроблені універсальні чисельні методи перебору, широко висвітлені в роботах Дідука Г.А., Топчєєва Ю.І., Гостева В.Н., Стєклова В.К. та інших. Основними недоліками в застосуванні цих методів є велика тривалість машинних розрахунків, при відсутності гарантованого результату.

Для нелінійних дискретних систем автоматичного керування велике практичне значення має задача побудови області асимптотичної стійкості (ОАС) системи (області притягання). Основним недоліком універсального чисельного методу визначення ОАС є тривалість розрахунків. Застосування прямого методу Ляпунова, що є робочим математичним апаратом для оцінки області стійкості в фазовому просторі, розглянуто в роботах Кунцевича В.М., Чехового Ю.Н., Зубова В.Н., Валєєва К.Г. та інших. Але отримати оптимальну функцію Ляпунова, яка б описувала всю реальну область притягання, практично неможливо.

Таким чином, актуальним є: розробка нових і вдосконалення існуючих підходів побудови областей стійкості і якості цифрових систем автоматичного керування, які б гарантували достовірність результату і зменшення часу розрахунків; визначення границі області асимптотичної стійкості нелінійних цифрових систем найбільш наближеної до реальної.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Матеріали дисертаційної роботи використані на кафедрі автоматизації технологічних процесів і виробництв Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя при виконанні держбюджетної науково-дослідної роботи № ВК9-02.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка ефективних і економічних підходів побудови областей стійкості лінійних дискретних систем керування в просторі параметрів, які нелінійно входять в характеристичне рівняння системи, а також розробка методів побудови границь областей стійкості нелінійних дискретних систем.

Для досягнення поставленої мети автором визначені та розв'язані такі задачі.

1. Розробка ефективних методів визначення границь області стійкості лінійних дискретних систем в просторі параметрів, які нелінійно входять в характеристичне рівняння системи.

2. Отримання в загальному вигляді рівняння границі області стійкості лінійних дискретних систем в просторі двох параметрів, один із яких лінійно а другий нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння.

3. Розробка чисельного методу побудови границі області стійкості в просторі параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння лінійної дискретної системи автоматичного керування.

4. Визначення впливу нулів передаточної функції лінійної дискретної системи стабілізації на основні показники якості перехідних процесів.

5. Побудова границь областей стійкості дискретних систем з заданими показниками якості в просторі параметрів, які нелінійно входять в характеристичне рівняння.

6. Розробка економічного методу розширення області стійкості нелінійних дискретних систем, яка визначена за допомогою функції Ляпунова.

7. Розробка аналітичного підходу для визначення достатніх умов абсолютної стійкості нелінійних дискретних систем з стійкою лінійною частиною.

8. Отримання областей стійкості і якості реальної дискретної системи керування в площині і просторі параметрів, що нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння.

Об'єктом дослідження є дискретні системи автоматичного керування.

Предметом дослідження є область стійкості лінійних дискретних систем в просторі параметрів, область стійкості нелінійних дискретних систем, область стійкості із заданими показниками якості перехідних процесів, абсолютна стійкість нелінійних дискретних систем.

Методи дослідження включали в себе методи теорії автоматичного керування, методи математичного аналізу, методи теорії функції комплексної змінної, дискретне перетворення Лапласа (D-перетворення), методи z-перетворення.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Запропоновано ефективний аналітичний підхід побудови границі області стійкості і якості лінійних дискретних систем в просторі двох параметрів, один із яких лінійно, а другий - нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння дискретної системи, що дозволяє перевести задачу побудови області стійкості в площині двох параметрів в задачу дискретного D-розбиття по одному параметру.

2. Отримано в загальному вигляді рівняння для визначення границі області стійкості і якості лінійних дискретних систем в просторі параметрів, один із яких лінійно, а другий нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння.

3. Запропоновано економічний за часом виконання і точністю метод побудови границі області стійкості лінійних дискретних систем в просторі двох параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння.

4. Встановлено вплив коренів чисельника передаточної функції на коливність і тривалість складових перехідного процесу як лінійних дискретних і так і неперервних систем.

5. Розроблено ефективний і економічний алгоритм розширення області стійкості нелінійних дискретних систем, визначеної з допомогою функції Ляпунова.

6. Розроблено аналітичний підхід для визначення з допомогою геометричного критерію Ципкіна умов абсолютної стійкості дискретних систем із стійкою імпульсною лінійною частиною і нелінійною характеристикою.

Практичне значення отриманих результатів.

розроблені методи дозволяють визначити області стійкості і якості реальних лінійних дискретних систем автоматичного керування, параметри яких входять нелінійно в коефіцієнти характеристичного рівняння; ці підходи є більш ефективними і економічними з точки зору машинної реалізації і точності визначення границі області стійкості, в порівнянні з чисто числовими методами.

запропонований метод розширення дозволяє отримати суттєво більшу область асимптотичної стійкості реальних нелінійних дискретних систем, ніж область, одержана з допомогою функції Ляпунова, і є більш економічним з точки зору машинної реалізації, ніж відомі чисельні методи.

Розроблені підходи в частині побудови областей стійкості дискретних лінійних систем в просторі параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння були впроваджені на державному науково-технічному підприємстві "Техас-К" і використані для визначення області стійкості в просторі параметрів системи керування антеною ТНА-57.

Особистий внесок здобувача. У наукових працях, опублікованих із співавторами, автору дисертації належить: у [1] - розроблено алгоритм оцінки області асимптотичної стійкості нелінійних систем та складено програму побудови границі області асимптотичної стійкості; у [5] - запропоновано шлях визначення коливності і тривалості складових перехідного процесу лінійної системи стабілізації, при наявності коренів чисельника передаточної функції; у [7] - отримано аналітичні вирази для визначення точок границі області стійкості лінійних неперервних систем в площині параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати досліджень по темі дисертації доповідались і обговорювались на:

- семінарах кафедри автоматизації технологічних процесів і виробництв Тернопільського державного технічного університету ім. І. Пулюя;

- на об'єднаному семінарі кафедр "Автоматизації технологічних процесів та виробництв", "Комп'ютерно-інтегрованих технологій", "Інформатики і математичного моделювання", "Світлотехніки", "Електротехніки", "Комп'ютерних технологій в машинобудуванні" Тернопільського державного технічного університету ім. І. Пулюя 14 травня 2004 року;

- на 5-8-й наукових конференціях ТДТУ ім. І.Пулюя, секція "Приладобудування" (м. Тернопіль, 2001-2004 р.р.).

Публікації. Основні результати дисертації викладені в 12 друкованих працях, 7 з них опубліковані у виданнях, що входять в перелік ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, шести розділів з 45 малюнками, висновку, списку використаних джерел з 88 найменувань. Обсяг роботи складає 154 сторінки.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертації обґрунтована актуальність вибраної теми, поставлено мету та основні задачі дисертаційної роботи, сформульовані наукова новизна і практична значимість отриманих результатів, дано загальну характеристику дисертаційної роботи.

В першому розділі "Методи і алгоритми визначення та оцінки областей стійкості лінійних і нелінійних дискретних систем автоматичного керування" проведено огляд і порівняльний аналіз існуючих методів і алгоритмів визначення та оцінки областей стійкості лінійних і нелінійних дискретних систем автоматичного керування. Розглянуто методи визначення областей стійкості і якості в просторі параметрів, які лінійно і нелінійно входять в коефіцієнти характеристичних рівнянь лінійних систем автоматичного керування. Зазначено, що найбільш загальним методом побудови границь областей стійкості дискретних лінійних систем є метод D-розбиття, запропонований Ю.І. Неймарком, в подальшому вдосконалений і орієнтований на використання ЕОМ. Підкреслено, що вищезгадані методи реально придатні до дослідження систем, параметри яких лінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння. У випадку коли параметри, в просторі яких визначаються границі області стійкості, входять нелінійно в коефіцієнти характеристичного рівняння, найчастіше застосовують чисто чисельні методи перебору параметрів з використанням ЕОМ, які вимагають значного часу розрахунків і не гарантують коректності результату. На основі проведеного аналізу, обґрунтовано необхідність розробки більш ефективних методів визначення границь областей стійкості систем в просторі параметрів лінійних систем автоматичного керування.

Проведено порівняльний аналіз методів визначення областей стійкості нелінійних систем автоматичного керування в просторі станів системи. Виділено два підходи до визначення області притягання нелінійних систем автоматичного керування, перший з яких зводиться до безпосереднього розгляду траєкторії збуреного руху, а другий пов'язаний з прямим методом Ляпунова, який в теперішній час є робочим математичним апаратом для оцінки області стійкості в фазовому просторі динамічних неперервних і дискретних систем. Але чисельне визначення траєкторії збуреного руху вимагає досить тривалих розрахунків, а отримати оптимальну функцію Ляпунова, яка б описувала всю реальну область притягання, практично неможливо.

Розглянуто відомі частотні критерії абсолютної стійкості неперервних і дискретних систем, які спираються на побудову в комплексній площині частотних годографів передаточної функції і геометричну інтерпретацію нерівностей. Показано тенденцію переходу до аналітичної форми визначення умов абсолютної стійкості.

В другому розділі "Побудова області стійкості дискретних лінійних систем в просторі параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння" розглянуто аналітичний підхід побудови границі області стійкості (ГОС) дискретних лінійних систем в просторі двох параметрів, один із яких лінійно, а другий нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння, і в просторі параметрів, обидва з яких нелінійно входять в коефіцієнти.

Розглядаються стаціонарні лінійні дискретні системи, які в загальному випадку описуються різницевими рівняннями

Для побудови області стійкості в площині двох параметрів, один із яких нелінійно, а другий лінійно входять в коефіцієнти рівняння (1), будемо використовуємо рівняння границі D-розбиття по одному параметру

Так як параметр є дійсною, фізично реальною величиною, то задачу визначення границі області D-розбиття зведено до задачі визначення відрізка стійкості (відрізка дійсної осі), що лежить в області стійкості площини і визначається із виразу, при ,

Значення відносної частоти , які відповідають граничним значенням , визначаються з виразу, отриманого з умови

Граничні значення параметра , що відповідають точкам переходу кривої D-розбиття через вість абсцис, визначаються без побудови кривих D-розбиття по формулі, отриманої з умови

Таким чином, рівняння (3) і (4) дозволяють одержати сукупність граничних точок відрізків стійкості параметра , які в площині і , спільно з відповідними значеннями , визначають точну (з похибкою обчислень) границю області стійкості. Тобто, задача побудови ГОС в площині двох параметрів переводиться в задачу дискретного D-розбиття по одному параметру, яка розв'язується шляхом аналітичного визначення множини значень параметра , для відповідної множини попередньо заданих значень деякого параметра (змінюється в межах із кроком ), який нелінійно входить в коефіцієнти рівняння системи.

Зазначено, що використовуючи аналітичні вирази (3) і (4), можна отримати область стійкості в площині параметра і будь-якого іншого параметра , який нелінійно входить в коефіцієнти характеристичного рівняння. По отриманих областях можна визначити область в просторі трьох параметрів , і , для яких всі корені характеристичного рівняння мають модуль менше одиниці.

Задача побудови границі області стійкості в площині параметрів і , які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння, розв'язується, як обернена до задачі побудови ГОС в площині параметрів і . Для конкретного значення параметра границі ОС, який змінюється з кроком в межах , визначається таке значення , при якому значення , визначене для даних і з формул (3) і (4) задовольняло б умові , де - наперед задане значення точності побудови ОС. Значення параметра визначається шляхом чисельного перебору із змінним кроком в напрямку, що визначається характером зміни параметра . В результаті проведення таких обчислень, сукупність отриманих значень сумісно із відповідними їм значеннями відповідають значенням точок границі ОС в площині параметрів [,] при фіксованих інших параметрах системи. Отже, в розділі отримано чисельний метод визначення ГОС в площині двох параметрів, що нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння, шляхом перебору тільки одного із параметрів, при фіксованому другому, і без визначення умови стійкості в кожній точці перебору.

По отриманих областях можна визначити область в просторі трьох параметрів , і , для яких всі корені характеристичного рівняння мають модуль менше одиниці.

Для випадку, коли жоден із параметрів системи не входить в коефіцієнти характеристичного рівняння лінійно або для пониження порядку рівняння, з якого визначається значення відносної частоти , в коефіцієнти при найменших степенях вводиться фіктивний параметр, наприклад :

Після певних перетворень одержано рівняння, аналогічне (4), яке використовується для побудови області стійкості в площині двох параметрів, що нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння, без побудови кривих D-розбиття:

Значення відносної частоти , які відповідають граничним значенням , визначається з виразу або:

Далі, застосовуючи викладений вище алгоритм отримуються області стійкості системи в площині параметрів, що нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння.

В розділі також запропоновано метод побудови області стійкості лінійних неперервних систем (або дискретних систем, характеристичні рівняння яких було змінено шляхом білінійного перетворення) в площині параметрів, що нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння, аналогічний до розглянутого методу для дискретних систем. Отримано в загальному вигляді з допомогою D-розбиття систему рівнянь для визначення границі області стійкості в просторі двох параметрів:

В третьому розділі "Побудова області стійкості дискретних систем стабілізації із заданими показниками якості в просторі параметрів, які нелінійно входять в характеристичне рівняння" розглянуто можливість використання непрямих кореневих методів оцінки тривалості і коливності перехідних процесів систем стабілізації, які мають нулі в передаточній функції, і застосування запропонованої методики для побудови областей стійкості цих систем із заданими показниками якості в просторі параметрів, які нелінійно входять в характеристичне рівняння. Проведено аналіз впливу коренів чисельника (нулів) передаточної функції лінійної системи автоматичного керування (як дискретної так і неперервної) на показники якості перехідного процесу. Отримані вирази для ступеня стійкості і ступеня коливності показали, що коливність і тривалість перехідного процесу при наявності коренів чисельника передаточної функції системи не гірші ніж при їх відсутності, і залежать від коренів характеристичного рівняння. Тому, при дослідженні тривалості і коливності перехідного процесу автоматичної системи можливо використовувати відомі непрямі кореневі методи оцінки вищезгаданих показників якості перехідних процесів.

Для оцінки запасу стійкості , в характеристичне рівняння системи вводиться змінна і отримується зміщене характеристичне рівняння

Якщо дискретна система, якій відповідає зміщене характеристичне рівняння, стійка, то ступінь стійкості вихідної дискретної системи більше , а якщо нестійка, то ступінь стійкості менше , нарешті, якщо система є на границі стійкості, то ступінь стійкості точно рівний .

Для оцінки коливності попередньо відображається середина одиничного кола z-площини на ліву півплощину змінної з допомогою білінійного перетворення . В отримане характеристичне рівнянні вводиться змінна , в результаті отримано фіктивне характеристичне рівняння

Для одночасної оцінки запасу стійкості і коливності, заміною змінної отримано зміщене фіктивне характеристичне рівняння

Отримавши вище приведені характеристичні рівняння, пропонується для кожного випадку використати методику побудови областей стійкості в просторі параметрів, що нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння, викладену в другому розділі роботи, але вже із заданими показниками якості.

В четвертому розділі "Визначення границь області стійкості нелінійних дискретних систем автоматичного керування" розглянуто питання визначення границь області стійкості нелінійних дискретних систем.

Для системи нелінійних різницевих рівнянь з асимптотично стійким нульовим розв'язком запропоновано чисельний метод розширення області притягання, одержаної з допомогою визначеної певним чином функції Ляпунова . Цей метод є дещо зміненим аналогом відомого чисельного методу. Особливістю пропонованого методу є (рис. 1): по-перше вибір початкових умов R10, що визначаються значенням функції Ляпунова. По-друге, для кожного наступного променя, починаючи з другого, вздовж якого шукається точка точної границі області асимптотичної стійкості, початкове значення радіуса Rk0 приймається рівним значенню Rk-1,m, яке відповідає граничній точці притягання для попереднього променя, що одразу суттєво зменшує кількість кроків перерахунку для визначення реальної точки границі. На конкретному прикладі показано, що область стійкості, визначена запропонованим методом, суттєво більша за область притягання, яка визначена за допомогою функції Ляпунова.

В розділі також пропонується аналітичний підхід до геометричного критерію абсолютної стійкості дискретних систем із стійкою лінійною частиною (критерію Ципкіна). Цей підхід зводиться до аналітичного визначення критичного коефіцієнта, який визначає сектор, всередині якого повинна знаходитись нелінійна характеристика, без побудови частотних характеристик шляхом визначення екстремальних значень дійсної частотної функції. Показано застосування такого підходу до реальної задачі, в результаті чого отримано більш точне значення критичного коефіцієнта, що визначає межу стійкості системи.

В п'ятому розділі "Побудова і аналіз області стійкості дискретних лінійних систем в просторі параметрів" для ілюстрації можливостей практичного використання запропонованих в попередніх розділах підходів, розглянуто побудову границі області стійкості реальної дискретно-аналогової системи і проведено порівняльний аналіз одержаної області з ОС, яка отримана з використанням відомого чисельного методу.

Розглянуто систему стабілізації по куту тангажа літака при заданих характеристиках точності і якості процесу стабілізації для конкретного режиму польоту. Дискретно-аналогова структурна схема системи зображена на рис.2.

Розглянуто вплив на стійкість системи наступних параметрів, що входять в коефіцієнти характеристичного рівняння: параметр коректуючої ланки, що лінійно входить в коефіцієнти характеристичного рівняння; період дискретності Т і відносний коефіцієнт затухання , що нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння. Здійснюючи Д-розбиття по параметру , отримано на основі рівнянь (1) і (2) вирази для аналітичного визначення значень параметра :

Сукупність граничних значень параметра для різних значень іншого параметра, що нелінійно входить в коефіцієнти характеристичного рівняння системи, сумісно з цими значеннями, визначають в площині параметрів границю точної області стійкості. Для оцінки точності і ефективності підходу в площинах параметрів , і було побудовано границі області стійкості пропонованим способом і відомим методом перебору. Аналіз коренів характеристичного рівняння на границі області стійкості в площині параметрів, один із яких лінійно, а другий нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння (рис.3), показав, що точки ГОС, отриманої методом перебору можуть знаходитись як всередині дійсної області стійкості (точка : 0.9995), так і за межею цієї області (точка 1.0046). При цьому незначні відхилення максимальних значень коренів від граничних 1 призводять до значної зміни параметрів, тобто спотворенню ОС. Так в точці відхилення на 0.47% призвело до відхилення на 5.34%. Час знаходження точок ГОС пропонованим підходом склав 10 с, а чисельним методом - 50 секунд.

Аналіз коренів характеристичного рівняння на границі області стійкості в площині параметрів, обидва з яких нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння (рис.4), показав, що точки ГОС, отриманої методом перебору мають більше відхилення від точок реальної границі ОС, ніж точки границі, отримані запропонованим методом.

При цьому незначні відхилення максимальних значень коренів від граничних 1 призводять до значної зміни параметрів, тобто спотворенню ОС. Так в точці відхилення на 0.96% призвело до відхилення на 9.18%. При побудові ГОС запропонованим методом було 1883 рази обчислено значення параметра і знайдено 240 точок границі ОС, на що затрачено 12 с. При визначенні точок ГОС методом перебору, розраховано корені характеристичного рівняння 3104 рази, визначено 250 точок границі ОС, на що затрачено 564 с.

Використовуючи результати обчислень при побудові областей стійкості досліджуваної дискретної системи в площинах параметрів [k1, T], [k1, ?П], отримано область стійкості системи в просторі параметрів [k1, T, ?П] (рис. 5).

В шостому розділі "Побудова і аналіз області стійкості із заданими показниками якості дискретних лінійних систем в просторі параметрів", для зміщеного і фіктивного характеристичних рівнянь, отриманих в третьому розділі, з допомогою запропонованого в другому розділі підходу, отримано області стійкості із заданими показниками якості в площині і в просторі параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння досліджуваної системи. Для перевірки забезпечення необхідного запасу стійкості і необхідної коливності, побудовано перехідні характеристики в контрольних точках площини. Для побудови області стійкості в площині двох параметрів, що нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння, при одночасно заданих ступенях стійкості і коливності, необхідна область отримана шляхом суміщення окремо визначених областей стійкості для заданого ступеня стійкості і заданої коливності (рис. 5, 6).

Для різних точок із отриманих областей стійкості із заданими показниками якості та поза їх межами побудовано перехідні характеристики, аналіз яких підтверджує можливість використання запропонованих підходів для визначення областей стійкості із заданими показниками якості.

ВИСНОВКИ

1. Проведено системний аналіз методів і алгоритмів визначення областей стійкості лінійних дискретних систем керування в просторі параметрів, що нелінійно входять в коефіцієнти характеристичних рівнянь. Зроблено висновок, що основними недоліками чисто числових методів є велика тривалість машинних розрахунків і відсутність гарантованого результату. З іншого боку, безпосередній розв'язок системи рівнянь, що визначають ГОС, ускладнений тим, що вихідні рівняння є трансцендентними. Проведено аналіз робіт, в яких показано, що отримати оптимальну функцію Ляпунова, яка б описувала всю реальну область притягання, практично неможливо. Розглянуто відомі частотні критерії абсолютної стійкості неперервних і дискретних систем, які спираються на побудову в комплексній площині частотних годографів передаточної функції і геометричну інтерпретацію нерівностей. Показано тенденцію переходу до аналітичної форми визначення умов абсолютної стійкості. Робота націлена на розробку нових і вдосконалення існуючих підходів побудови областей стійкості і якості цифрових систем автоматичного керування, які б гарантували достовірність результату і зменшили час розрахунків і на визначення найбільш наближеної до реальної границі асимптотичної стійкості нелінійних цифрових систем. Для цього вирішені проблеми, що перелічені далі.

2. Отримано в загальному вигляді з допомогою D-розбиття рівняння границь області стійкості в просторі параметрів лінійних дискретних систем автоматичного керування.

3. Розроблено аналітичний підхід, який базується на використанні рівнянь границі області стійкості і дозволяє з високою точністю і мінімальними затратами часу визначити ГОС в площині двох параметрів, один із яких входить лінійно, а другий - нелінійно в коефіцієнти характеристичного рівняння при різних значеннях, які приймає інший або інші параметри, що також входять нелінійно в коефіцієнти характеристичного рівняння.

4. Запропоновано метод побудови границі області стійкості в площині двох параметрів, що входять нелінійно в коефіцієнти характеристичного рівняння. Метод базується на використанні рівнянь, які визначають точки границі ОС, переборі значень тільки одного параметра, при наперед заданих значеннях другого параметру, які також є значеннями точок ГОС. Точність визначення границі ОС визначається відхиленням одного з параметрів системи, що лінійно входить в коефіцієнти характеристичного рівняння, від точної границі. Проведено порівняльний аналіз побудови ГОС з допомогою розробленого підходу і відомим числовим методом і на підставі отриманих результатів показано достовірність запропонованого методу, при суттєво менших затратах часу на машинні розрахунки.

5. Запропоновано метод побудови області стійкості лінійних неперервних систем в площині параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння.

6. Доведено, на основі проведеного аналізу впливу коренів чисельника (нулів) передаточної функції лінійної системи автоматичного керування на показники якості перехідного процесу, що тривалість перехідного процесу всієї системи не більше тривалості перехідного процесу складової, яка затухає найдовше серед всіх складових загального розв'язку рівняння системи, а коливніть системи не більша значення складової з найбільшою коливністю.

7. Запропоновано аналітичні форми для побудови області стійкості дискретних систем при заданих значеннях ступеня стійкості і заданій коливності в просторі параметрів, що нелінійно входять в характеристичне рівняння.

8. Розглянуто і вдосконалено метод визначення, із заданою точністю, практично дійсної області асимптотичної стійкості нелінійної дискретної системи. На конкретному прикладі показано, що одержана запропонованим методом область суттєво більша за область притягання, яка визначена за допомогою функції Ляпунова.

9. Запропоновано аналітичну форму геометричного критерію Ципкіна для визначення абсолютної стійкості нелінійної дискретної системи з стійкою лінійною імпульсною частиною. Показано, що в результаті застосування запропонованого підходу, отримається більш точне значення критичного коефіцієнта, що визначає межу стійкості системи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ ВИКЛАДЕНО В ТАКИХ ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Мовчан Л. Т., Мовчан С.Л. Числовий метод визначення області асимптотичної стійкості нелінійних дискретних систем автоматичного керування // Вісник ТДТУ. - Тернопіль, 1998. - т.3, №3 - с.87-91.

2. Мовчан С.Л. Область стійкості в просторі параметрів дискретних систем із заданими показниками якості // Вісник НАУ, №3(14). - Київ, 2002. - с.231-241.

3. Мовчан С.Л. Вплив коренів чисельника передавальної функції на показники якості перехідного процесу дискретних систем стабілізації // Вісник НАУ, №4(15). - Київ, 2002. - с.115-119.

4. Мовчан С.Л. Економічний алгоритм розширення області асимптотичної стійкості нелінійних дискретних систем автоматичного керування // Вісник ТДТУ. - Тернопіль, 2002. - т.7, №4 - с.97-102.

5. Мовчан Л. Т., Мовчан С.Л. Вплив коренів чисельника передаточної функції на показники якості перехідного процесу систем стабілізації // Вісник ТДТУ. - Тернопіль, 2003. - т.8, №2 - с.89-93.

6. Мовчан С.Л. Построение области устойчивости линейных цифровых систем в пространстве параметров, которые нелинейно входят в коэффициенты характеристического уравнения // Проблемы управления и информатики. - 2004. - Вып. 1. - с.37-47

7. Проць Я.І., Мовчан С.Л. Побудова області стійкості лінійних неперервних систем в площині параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння // Вісник ТДТУ. - Тернопіль, 2004. - т.9, №2 - с.103-108.

8. Мовчан С.Л. Побудова області стійкості цифрових систем в площині двох параметрів, які нелінійно входять в характеристичне рівняння // Матеріали 5-ї наукової конференції ТДТУ ім.. І.Пулюя. - Тернопіль, 2001. - с.97.

9. Мовчан С.Л. Розробка економічного алгоритму розширення області асимптотичної стійкості нелінійних дискретних систем керування // Матеріали 6-ї наукової конференції ТДТУ ім.. І.Пулюя. - Тернопіль, 2002. - с.80.

10. Мовчан Л. Т., Мовчан С.Л. Визначення достатніх умов абсолютної стійкості стану рівноваги нелінійних дискретних систем в аналітичній формі // Матеріали 7-ї наукової конференції ТДТУ ім.. І.Пулюя. - Тернопіль, 2003. - с.102.

11. Мовчан Л.Т., Мовчан С.Л. Визначення області стійкості лінійних дискретних систем у площині двох параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння // Матеріали 8-ї наукової конференції ТДТУ ім. І.Пулюя. - Тернопіль, 2004. - с.79.

12. Проць Я.І., Мовчан С.Л. Побудова області стійкості лінійних неперервних систем із заданими показниками якості в площині параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння // Матеріали 8-ї наукової конференції ТДТУ ім. І.Пулюя. - Тернопіль, 2004. - с.78.

Размещено на Allbest.ru

...