Розробка та дослідження математичних моделей динамічних систем з післядією

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

РОЗРОБКА ТА ДОСЛІДЖЕННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ З ПІСЛЯДІЄЮ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

ХУСАЇНОВ Тимур Ділюсович

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка на кафедрі теоретичної кібернетики.

Науковий керівник: Доктор фізико-математичних наук, професор

Белов Юрій Анатолійович,

завідувач кафедри теоретичної кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Офіційні опоненти: Член-кор. НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Мартинюк Анатолій Андрійович, завідувач відділу стійкості процесів Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України.

Кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Федоренко Володимир Васильович, старший науковий співробітник відділу динамічних систем Інституту математики НАН України.

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, м. Київ, відділ оптимізації керованих процесів.

Захист відбудеться “22” грудня 2005р. о 14:00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (03127, Київ, проспект Глушкова, 2, корпус 6, факультет кібернетики, ауд 40).

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “17“ листопада 2005 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 Зінько П.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Розвиток економічних відносин в національній економіці, перехід від адміністративно-командної, планової економіки до ринкових відносин українського суспільства привів до необхідності проводити дослідження різноманітних макроекономічних та мікроекономічних процесів, що відбуваються в різних секторах економіки. Постають проблеми прогнозування та керування динамікою економічних систем.

Окремо в цьому ряду актуальних питань визначають якісний аналіз ринків ефективної конкуренції. Провідні фахівці з економіки погоджуються в тому, що майбутній розвиток ринкових відносин, інтернаціоналізація та глобалізація економічної діяльності приводять до появи та розвитку ринків такого типу в різних секторах економіки. Тому останнім часом математичне моделювання процесів ціноутворення та іншої динаміки на конкурентних ринках набуло широкого поширення. Хоча дослідження таких процесів проводиться вже давно, надзвичайно актуальними є будь які нові підходи, які дозволять краще зрозуміти показники, що впливають на асимптотичну стійкість цін, вплив запізнення та інших факторів на динаміку цін. Вони дозволять розробити набагато якісніший макроекономічний інструментарій для ринкового регулювання процесів ціноутворення.

Існують також і інші актуальні проблеми економічного аналізу, що призводять до задач математичного моделювання. Сучасна комерційна компанія це не тільки виробниче підприємство а, в першу чергу, маркетингова фірма. Однією з ключових концепцій, що використовується в сучасному маркетингу, є принцип життєвого циклу товару. Оптимізація розподілу внутрішньофірмових ресурсів, підтримка режиму постійного росту та співвідношення цих процесів із згаданим вище принципом вимагають відповідного моделювання та математичного аналізу.

Не менш актуальною проблемою є аналіз банківської діяльності, математична підтримка при прогнозуванні та керуванні активами та пасивами банківської установи, підтримка задовільного рівня ліквідності. Всі ці непрості процеси вимагають подальшого математичного дослідження.

Одним з видів динамічних систем, що знайшли широке застосування при моделюванні процесів є рівняння з післядією. Вони враховують не тільки поточний стан системи, але й попередній і є особливо ефективними при моделюванні процесів в екології, медицині, соціальних явищах. Використовуються системи з післядією і при моделюванні динаміки процесів в комп'ютерних мережах, банківській сфері. Суттєвою особливістю цих систем є нескінченновимірність.

Однією з проблем, що виникає при моделюванні та дослідженні одержаної математичної залежності, є стійкість процесів в одержаних моделях. Як правило, процеси в нормально функціонуючій економіці повинні бути стійкими.

Проблемами дослідження стійкості динамічних систем почали займатися давно. Перші роботи пов'язані зі стійкістю руху планет та літальних апаратів. Як теорія, стійкість руху почала формулюватися після робіт Пуанкаре А. та Ляпунова О.М. Бурхливого сплеску теорія стійкості руху набула в середині минулого сторіччя. Основні результати, що одержані в теорії стійкості руху, пов'язані з іменами Четаєва М.Г., Малкіна І.Г., Персидського К.П., Демидовича Б.П. Подальший розвиток теорії стійкості руху пов'язаний з іменами Зубова В.І., Валєєва К.Г., Кириченка М.Ф., Мартинюка А.А., Гаращенка Ф.Г. Розвиток теорії стійкості руху йшов в декількох напрямках. Продовження розвитку теорії стійкості розв'язків звичайних диференціальних рівнянь проводилось в роботах Барбашина Є.О., Белмана Р., Валєєва К.Г., Мартинюка А.А. Великого поширення набуло дослідження дискретних систем. Це пов'язано із задачами автоматики, електронно-обчислювальної техніки, біології, фінансової справи. При дослідженні дискретних систем використовувались як класичні результати теорії диференціальних рівнянь, так і методи, що притаманні різницевим рівнянням. Математичні моделі динаміки, що почали останнім часом інтенсивно досліджуватись в неперервній та дискретній постановках, є системи з дробово-раціональними та квадратичними правими частинами. Як підкреслюють деякі дослідники, математичні моделі, які більш адекватно описують процеси в реальних системах, будуються за допомогою диференціально-різницевих рівняннь. Досить поширеним класом таких рівнянь є диференціальні рівняння із запізненням. В останнє десятиріччя починають вивчати дискретні рівняння із запізненням.

Одним з ефективних методів дослідження стійкості процесів є другий метод Ляпунова. Суттєвий внесок в його розвиток внесли такі вчені, як Барбашин Є.О., Валєєв К.Г., Гаращенко Ф.Г., Зубов В.І., Кириченко М.Ф., Коренівський Д.Г., Мартинюк А.А. Одержати конструктивні умови стійкості конкретних нелінійних систем важко. У зв'язку з цим аналіз систем, що описуються диференціальними та різницевими рівняннями з післядією, дослідження стійкості та керованості є надзвичайно важливою та актуальною задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з планами наукових досліджень кафедри теоретичної кібернетики факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка № 01БФ015-07 (державна реєстрація № 0101U002163) “Логіко-математичні та програмні засоби інформаційних технологій” в рамках підрозділу “Розробка принципів, методів та засобів ефективної обробки комп'ютерних знань”.

Мета і задачі досліджень. Метою дисертаційної роботи є розробка нових методів математичного моделювання та дослідження динамічних систем, що описуються диференціальними та дискретними рівняннями з післядією, створення моделей ціноутворення на ринку вільної торгівлі та проведення аналізу стійкості процесу ціноутворення, розробка математичної моделі динаміки ціноутворення з післядією та її аналіз. В мету роботу входить дослідження математичного апарату лінійних дискретних систем із післядією. Окремим напрямком є дослідження динаміки розвитку популяції, моделювання та керування платіжним календарем банку, моделювання життєвого циклу товару на ринку.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційний роботі вперше проведено класифікацію лінійних дискретних систем із післядією. Введено поняття слабкого запізнення для дискретних рівнянь і одержані необхідні та достатні умови слабкого запізнення для лінійних дискретних стаціонарних систем. Одержано явний вигляд розв'язку двовимірних систем із слабким запізненням. Одержано явний вигляд розв'язку лінійних систем з чистим запізненням та систем з умовою перестановочності. Розв'язана задача керування для систем з чистим запізненням.

Розроблена та досліджена математична модель динаміки ціноутворення із запізненням. Проведено якісне дослідження моделі, одержані умови стійкості усталеної ціни, обчислено гарантовану область стійкості. Розглянуто різницеву модель типу Леслі, проведено дослідження стійкості розв'язків.

В роботі отримано такі нові результати.

Побудовано загальний розв'язок лінійної неоднорідної дискретної системи зі слабким запізненням.

Побудовано загальний розв'язок лінійної неоднорідної дискретної системи з чистим запізненням. Визначено критерій керованості та побудовано керування системами з чистим запізненням.

Розроблена математична модель динаміки ціноутворення на ринку вільної конкуренції. Проведено дослідження моделі динаміки ціноутворення на ринку вільної конкуренції. Визначена область стійкості розв'язків математичної моделі, оцінено вплив запізнення на поведінку системи.

Проведено дослідження моделі Леслі. Запропоновано нелінійну модель Леслі, що враховує вплив щільності на інтенсивність народжуваності. За допомогою моделі Леслі описано динаміку розвитку фірми в рамках життєвого циклу товару.

Побудована математична модель динаміки платіжного календаря банку.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи можуть бути використані при розробці конкретних математичних моделей в економіці та фінансах. Одержані результати з представлення розв'язку дискретних систем з післядією допоможуть при розробці методів та алгоритмів керування процесами в економічних, біологічних та фінансових процесах. Результати з дослідження динаміки ціноутворення на ринку вільної конкуренції допоможуть розробити конструктивну регуляторну політику на зовнішніх та внутрішніх ринках. Модель Леслі, адаптована до підтримки політики росту фірми, дозволить аналітично та кількісно визначати та оптимізувати маркетингову та фінансову політику фірм інноваційного типу з частим оновленням продукту. Модель платіжного календаря банку можна використовувати при короткостроковому плануванні діяльності комерційних банків. математичний рівняння ціноутворення ринок

Деякі результати будуть використані в лекціях по спеціальним розділам динаміки систем з післядією на старших курсах факультету кібернетики.

Особистий внесок здобувача. У спільно виконаних роботах науковому керівникові Белову Ю.А. належить постановка задач та їх обговорення. Доценту Калітіну Б.С. належить розробка методології та формалізація моделі ринку вільної конкуренції. Доведення всіх результатів дисертації, які виносяться на захист, проведено автором самостійно.

Апробація результатів роботи. Результати роботи доповідались на Міжнародній конференції “Dynamical System Modeling and Stability Investigation” (Київ, 22-29 травня 1999 р.), П'ятій Кримській Міжнародній Математичній школі “Метод функций Ляпунова и его приложения” (Крим, Алушта, 5-13 вересня 2000 р.), Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем”, (МОСС-2001) (Київ, 25-28 січня 2001 р.), Міжнародній конференції “Dynamical System Modeling and Stability Investigation” (Київ, 22-25 травня 2001 р.), Міжнародній математичній конференції (Словакія, Жиліно, 30 червня - 4 липня 2003 р.), Міжнародній науковій конференції “Шості Боголюбовські читання” (Київ, 26-30 серпня 2003 р.), Міжнародній конференції “Dynamical System Modeling and Stability Investigation” (Київ, 27-30 травня 2003 р.) та конференції імені М. Кравчука (Київ, 2004 р.), семінарах кафедр моделювання складних систем, системної оптимізації та теорії прийняття рішень, теоретичної кібернетики Київського національного університету.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 14 друкованих праць. Список наведений в кінці автореферату.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновку та списку використаної літератури із 135 назв, одного додатку і містить 150 сторінок.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі до роботи обґрунтовано актуальність проблематики дисертації, сформульовано мету роботи, розглянуто її зміст за розділами з висвітленням найважливіших результатів.

У першому розділі приведений детальний огляд робіт, які використовуються в дисертації, розглянуто математичні методи аналізу стійкості та керованості систем, що описуються диференціальними та різницевими рівняннями. Описано особливості методів аналізу динамічних систем з післядією. Особливу увагу звернуто увагу на труднощі, що виникають при аналізі керованості систем з післядією.

В цьому розділі стисло описані основні принципи процесу моделювання та побудови математичних моделей. Наведено види математичних моделей, методологію конструювання моделей.

Другий розділ присвячено аналізу стійкості та керуванню лінійними різницевими системами із запізненням.

В першому параграфі розглянуті системи дискретних рівнянь із слабким запізненням, тобто такі системи, для яких виконується співвідношення.

Для двовимірного випадку досліджені умови слабкості та одержано розв'язок задачі Коші. Доведено наступні твердження.

Теорема 1. Для того, щоб система із запізненням (1) була системою зі слабким запізненням, необхідно і достатньо, щоб виконувались умови.

Теорема 2. Нехай параметри системи (1) задовольняють умовам (3). Тоді виконуються наступні твердження.

1. Якщо матриця має комплексно-спряжені власні числа, то система зі слабким запізненням вироджується в систему без запізнення.

2. В інших випадках розв'язок має вигляд

В цій формулі - неособлива матриця, що приводить до жорданової форми ,

В другому параграфі досліджено розв'язки неоднорідних дискретних рівнянь з чистим запізненням вигляду

, . (4)

Для аналізу використовується матрична функція спеціального виду.

Визначення 1. Дискретним експоненціалом із запізненням будемо називати дискретну матричну функцію, яка має вигляд ”складеного” матричного полінома, який “зшитий” у вузлах ,

Доведено ряд тверджень.

Теорема 3. Розв'язок системи з чистим запізненням (4), який задовольняє початкові умови .

Розглядається неоднорідна система з чистим запізненням.

Теорема 4. Розв'язок неоднорідної системи (7), що задовольняє нульовим початковим умовам , .

На підставі цих теорем одержано наступний результат.

Теорема 5. Розв'язок неоднорідної системи (7), що задовольняє початкові умови , .

Розглянуто задачу керування системою дискретних рівнянь з чистим запізненням виду

(10)

Визначені критерії керованості такими системами та запропоновано метод синтезу функції керування.

Визначення 2. Назвемо областю досяжності множину точок розв'язків системи (10) в момент , що відповідають фіксованій початковій умові , та фіксованому керуванню .

Теорема 6. Система (10) відносно керована тоді і тільки тоді, коли виконуються умови

Теорема 7. Нехай та виконується умова керованості (11). Тоді функцію керування можна брати у вигляді

В третьому розділі досліджується модель динаміки ціноутворення на ринку вільної конкуренції. Розроблена модель має вигляд системи диференціальних рівнянь з дробово-раціональною та квадратичною правою частиною, та визначає вплив на ціну чотирьох груп сил: сил продавців, сил покупців, конкурентних сил та вплив держави. Ця модель записана в унiфiкованому вигляді, де матриці , , , , , складаються з відповідних коефіцієнтів системи (12), - квадратна матриця, у якої на діагоналі стоїть вектор , а інші елементи нульові.

Приведено умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи (12) та визначено гарантовану область стійкості. Тут нульовий розв'язок відповідає усталеним цінам ринку.

Теорема 8. Розв'язок системи (13) асимптотично стійкий тоді i тільки тоді, коли виконуються нерівності

де -- головні мінори матриці

Одержана оцінка області стійкості нульового розв'язку нелінійної системи (13).

Дослідження стійкості проводиться методом функцій Ляпунова квадратичного вигляду , де симетрична, додатно визначена матриця є розв'язком матричного рівняння Ляпунова

Теорема 9. Нехай матриця лінійного наближення асимптотично стійка. Тоді нульовий розв'язок системи (13) асимптотично стійкий. Область стiйкостi містить кулю радіуса, де , - екстремальні власні числа відповідних симетричних додатно визначених матриць.

В другому параграфі модель динаміки ціноутворення ринку вільної конкуренції модифіковано з урахуванням впливу запізнення. Для цього в систему диференціальних рівнянь введено запізнення.

З використанням векторно-матричних позначень її можна записати наступним чином.

Одним з фундаментальних методів дослідження стійкості нелінійних динамічних систем є другий метод Ляпунова. При дослідженні стійкості нульових розв'язків систем з післядією другий метод Ляпунова припускає дві модифікації. По-перше, це метод скінченовимірних функцій Ляпунова з додатковою умовою Разуміхіна. По-друге, це метод функціоналів Ляпунова-Красовського. Дослідження проведено за допомогою обох методів.

Для системи із запізненням (16) визначено гарантовану область стійкості системи та одержано оцінку швидкості збіжності розв'язків. За допомогою методу квадратичних функцій з умовою Разуміхіна одержані наступні результати.

Теорема 10. Нехай існує додатно визначена матриця , при якій виконується нерівність

, (17)



Тоді розв'язок системи (16) асимптотично стійкий для довільного запізнення . Область стiйкостi містить в собі кулю радіуса

Результати оцінки збіжності розв'язків мають наступний вигляд.

Теорема 11. Нехай існує додатно визначена матриця , при якій . Тоді для розв'язку з початковими умовами , , справедлива нерiвнiсть.

Одержані результати дають оцінки області стійкості та збіжності розв'язків, рівномірних по запізненню . Далі для системи одержана оцінка впливу величини запізнення на область стійкості.

Теорема 12. Нехай матриця лінійного наближення асимптотично стійка. Тоді при , де розв'язок системи із запізненням (16) асимптотично стійкий. Область стійкості містить кулю радіуса.

Дослідження стійкості нульового розв'язку системи (16) проводяться також за допомогою методу функціоналів Ляпунова-Красовського.

Припустимо, що матриця асимптотично стійка. Тоді для довільної додатно визначеної матриці , для якої матриця також додатно визначена, матричне рівняння Ляпунова

завжди має єдиний розв'язок -- додатно визначену матрицю . Має місце наступний результат.

Теорема 13. Нехай існують додатно визначені матриці , i сталі , , при яких матриця додатно визначена. Тоді нульовий розв'язок системи (16) асимптотично стійкий i гарантованою областю асимптотичної стiйкостi є куля радіуса

Якщо скористатися функціоналом з експоненціальним членом

то можна одержати експоненціальну оцінку збіжності розв'язків системи (16). Позначимо

Одержимо наступний результат.

Теорема 14. Нехай існують додатно визначені матриці , i сталі , , , при яких матриця буде також додатно визначеною. Тоді для розв'язків системи (16) з початковими умовами з справедливі наступні оцінки збіжності

Четвертий розділ присвячений дослідженню деяких спеціальних математичних моделей. В першому параграфі описана методологія побудови лінійної стаціонарної моделі Леслі та досліджені умови її стійкості. Модель Леслі в канонічному вигляді записується як система різницевих рівнянь

, (27)

Теорема 15. Нехай . Тоді особлива напівпряма (30) є асимптотично стійкою множиною.

Теорема 16. Нехай . Тоді єдиним станом рівноваги є , Щоб він був асимптотично стійким необхідно та достатньо, щоб виконувалась умова .

У другому параграфі побудовано нелінійну модифікацію моделі, що враховує вплив щільності популяції на динаміку її росту.

Знайдено стаціонарні розв'язки нелінійної системи (31) та досліджено їх стійкість.

Лема 1. Нехай функція визначена і неперервно диференційована при , монотонно спадає та задовольняє умови

1) Якщо параметри системи (31) такі, то єдиним станом рівноваги є,

2) Якщо параметри системи такі, то система також має єдиний стан рівноваги

3) Якщо параметри системи такі, то існують два стани рівноваги

,

Проведено аналіз стійкості стаціонарних розв'язків.

Лема 2. Нехай параметри системи (31) такі, що виконується умова (33). Тоді стан рівноваги , асимптотично стійкий.

Лема 3. Нехай параметри системи (31) такі, що виконується (35). Тоді нульовий стан рівноваги , є нестійким, а стан рівноваги є асимптотично стійким, тобто умова (34) визначає біфуркацію системи (31).

В третьому параграфі запропоновано модифікацію моделі Леслі для опису економічних процесів. Модель Леслі застосовується для опису розвитку фірми в рамках життєвого циклу товару. Запропоновано підходи для визначення оптимальних показників інвестування в розробку нових товарів та режиму підтримки стабільного розвитку підприємства. Нелінійна модель також використовується при дослідженні динаміки ринкової конкуренції для сегментів ринку з інноваційними товарами, які часто модифікуються.

В останньому параграфі запропоновано модель динаміки платіжного календаря банку. Модель описує динаміку роботи банківської установи при залученні та вкладенні коштів. Модель дозволяє аналізувати структуру грошових потоків, визначити режими оптимізації прибутку та контролювати ліквідність банку.



ВИСНОВКИ

В роботі отримано такі нові результати:

Побудовано загальний розв'язок лінійної неоднорідної дискретної системи зі слабким запізненням.

Побудовано загальний розв'язок лінійної неоднорідної дискретної системи з чистим запізненням. Визначено критерій керованості та побудовано керування системами з чистим запізненням.

Розроблена математична модель динаміки ціноутворення на ринку вільної конкуренції. Проведено дослідження моделі динаміки ціноутворення на ринку вільної конкуренції. Визначена область стійкості розв'язків математичної моделі, оцінено вплив запізнення на поведінку системи.

Проведено дослідження моделі Леслі. Запропоновано нелінійну модель Леслі, що враховує вплив щільності на інтенсивність народжуваності. За допомогою моделі Леслі описано динаміку розвитку фірми в рамках життєвого циклу товару.

Побудована математична модель динаміки платіжного календаря банку.

Результати дисертаційної роботи можуть використовуватись при досліджені процесів в економіці та біології. Введення поняття “дискретних систем із запізненням” допоможе будувати більш адекватні математичні моделі, які мають розв'язок у аналітичному вигляді. Результати дослідження моделі динаміки ціноутворення на ринку вільної конкуренції допоможуть оптимізувати державну регуляторну політику на розвинених конкурентних ринках. Моделі типу Леслі дозволять аналітично та якісно аналізувати та оптимізувати маркетингову політику фірм інноваційного типу з частим оновленням продуктів. Модель платіжного календаря можна використовувати при короткостроковому плануванні діяльності комерційних банків.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. Хусаинов Т.Д. Исследование устойчивости одной дробно-рациональной системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения, Т.37, №8, 2001. - С. 1128_1131.

2. Хусаїнов Т.Д. Модель динаміки ціноутворення й обсягу продажів // Вісник Київського університету. Серія: Кібернетика, №2, 2001. - С. 76_80.

3. Khusainov T.D., Kalitin B. On Dynamical Pricing Model // Nonlinear Analysis: Real World Applications, n.3, 2002. - p. 131_137.

4. Хусаїнов Т.Д. Модель динаміки ціноутворення із запізненням // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки, №2, 1999. - С. 319_327.

5. Хусаїнов Т.Д. Побудова загального розв'язку неоднорідних дискретних систем з чистим запізннням. - Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки, №2, 2004. - С.136-143.

6. Khusainov T.D. Equilibrium Stability of a Time-Delay Fractional Right-Hand Side Systems // Studies of the University of Zilina. Mathematical Series, Vol. 17, 2003. - pp.93-100.

7. Хусаинов Т.Д. Об устойчивости одной нелинейной системы с запаздыванием. - International Conference “Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation”, May 22-29, 1999, Kyiv, Thesis of conference reports. - p. 61.

8. Хусаинов Т.Д. Об устойчивости нулевого решения одной экономической модели. - Пятая Крымская Международная Математическая школа “Метод функций Ляпунова и его приложения”, Крым, Алушта, 5-13 сентября 2000 г., Тезисы докладов, Симферополь, 2000. - С. 157.

9. Хусаїнов Т.Д. Оцінка впливу запізнення на ціноутворення у моделі динаміки ринкових відносин. - Міжнародна конференція “Моделювання та оптимізація складних систем”, (МОСС-2001), Київ, 25-28 січня 2001 р., Київ, Вид.-тво “Київський університет”, 2001. - С. 167_167.

10. Khusainov T.D. Modelling market economic processes. - International Conference “Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation”, May 22-25, 2001, Kyiv, Thesis of conference reports. - p. 352.

11. Khusainov T.D. Stability of zero solution of a system with dealy with rational right-hand size. International Mathematical Conferences, Zilina, Slovakia, June 30 - July 04, 2003. - p. 18.

12. Хусаинов Т.Д. Исследование устойчивости установившейся цены одной модели динамики ценообразования. - Міжнародна наукова конференція „Шості Боголюбовські читання”, 26-30 серпня, Тези доповідей, Київ, 2003. - С. 233.

13. Хусаинов Т.Д. Модель динамики календаря коммерческого банка. - International Conference “Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation”, May 27-30, 2003, Kyiv, Thesis of conference reports. - С. 251.

14. Хусаинов Т.Д., Белов Ю.А. Решение задачи Коши для линейных дискретных систем с чистым запаздыванием. - Тези конференції М.Кравчука, Київ, 2004.- С.210.

15. Персональний внесок здобувача до робіт, опублікованих разом з співавторами слід зазначити таким чином. В роботі [3] Калітіну Б.С. належить розробка методології побудови моделі та її формалізація. Хусаїнову Т.Д. належить дослідження стійкості системи та визначення радіусу гарантованої стійкості моделі.

16. В роботі [14] Белову Ю.А. належить постановка задачі. Здобувачеві належить доведення теорем про розв'язок задачі Коші для лінійних дискретних систем з чистим запізненням.



АНОТАЦІЯ

Хусаїнов Т.Д. Розробка та дослідження математичних моделей динамічних систем з післядією. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

В дисертаційній роботі досліджено системи лінійних дискретних рівнянь з післядією, проведено класифікацію систем. Для однорідних систем системи зі слабким запізненням на площині одержано розв'язок задачі Коші. Одержано розв'язки задач Коші для однорідної та неоднорідної систем з чистим запізненням, розв'язана задача відносного керування. Одержано розв'язок задач Коші для систем із запізненням за умови комутації матриць.

Розроблена математична модель ринку вільної конкуренції з післядією, що має вигляд системи нелінійних диференціально-різнецевих рівнянь зі сталим запізненням з дробово-раціональною та квадратичною правою частиною. Проведено дослідження стійкості сталого розв'язку, одержана оцінка області стійкості та визначена оцінка згасання розв'язків. Дослідження проведено за допомогою методу скінченовимірних функцій Ляпунова з умовою Разуміхіна і методу функціоналів Ляпунова-Красовського.

Досліджено модель Леслі. Для нелінійної системи визначені особливі точки, обчислено біфуркаційне значення параметрів, одержано умови стійкості стаціонарних розв'язків. Проведено аналогію з моделлю розвитку фірми в рамках життєвого циклу товару. Розроблено модель платіжного календаря банку.

Ключові слова: математична модель, ціноутворення, модель Леслі, платіжний календар, функція Ляпунова, динамічна система із післядією, стійкість.



АННОТАЦИЯ

Хусаинов Т.Д. Разработка и исследование математических моделей динамических систем с последействием. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и численные методы. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Диссертационная работа посвящена проблемам разработки математических моделей динамических систем с последействием и разработке методов их исследования. В качестве математического аппарата выбраны системы дифференциально-разностных и дискретных уравнений с постоянным запаздыванием. Проведен обзор методов и разработана общая структура последовательности моделирования динамических систем.

Вторая глава посвящена проблемам разработки математических методов исследования дискретных систем с последействием. В качестве математического аппарата выбраны линейные стационарные дискретные системы с постоянным запаздыванием. Разработана классификация систем, предполагающая разбиение на классы в зависимости от влияния запаздывания. Предлагаются для рассмотрения системы со слабым запаздыванием, с чистым запаздыванием, системы с перестановочными матрицами и системы, в которых влияние матриц текущих координат и последействия равноценно.

Изучены дискретные системы на плоскости со слабым запаздыванием, т.е. системы, характеристическое уравнение которых совпадает с характеристическим уравнением при текущей координате. Получено решение задач Коши для систем такого вида. Рассмотрены линейные дискретные системы с чистым запаздыванием. Получено решение задачи Коши для линейных неоднородных систем, решена задача относительной управляемости систем такого вида. Исследованы линейные дискретные системы с запаздыванием, у которых выполняется условие перестановочности матриц, стоящих при текущих и запаздывающих координатах. Записано решение задачи Коши для систем, удовлетворяющих условиям перестановочности.

Значительное место в диссертационной работе занимает третья глава, в которой разработана математическая модель динамики ценообразования на рынке свободной конкуренции и проведено исследование равновесной цены. Модель ценообразования рынка свободной конкуренции построена по принципу влияния силы продавцов, силы покупателей, силы конкурентов, и силы государства на рыночную цену. Модель записывается в форме системы нелинейных дифференциальных уравнений с квадратичной и дробно-рациональной правой частью. Получены условия асимптотической устойчивости равновесной цены. Для нелинейной модели получены оценки области устойчивости. Исследование проведено с использованием метода функций Ляпунова квадратичного вида. Построена модификация модели, которая включает в себя эффект запаздывания влияния сил, определено влияние запаздывания на область асимптотической устойчивости. Получены условия асимптотической устойчивости нелинейной системы с запаздыванием, вычислена оценка области устойчивости и степень сходимости решений. Исследование проведено с использованием метода функций Ляпунова с условием Разумихина и функционалов Ляпунова-Красовского.

В четвертой главе диссертации исследованы условия устойчивости линейной модели динамики популяции Лесли. Построена нелинейная модификация модели, которая включает влияние плотности популяции на динамику ее роста. Проанализировано влияние плотности на динамику популяции. Для нелинейной модели определены особые точки, вычислены бифуркационные значения параметров, получены условия устойчивости стационарных решений. Нелинейная модель Лесли использована для описания динамики развития фирмы в рамках жизненного цикла товара и динамики рыночной конкуренции в сегментах рынка с часто заменяемыми инновационными товарами. Разработана модель платежного календаря банка, которая описывает динамику баланса банка при привлечении и вложении средств. Модель описывает динамику работы банковского учреждения в процессе привлечения и вложения денежных средств на краткосрочном периоде прогнозирования. Для описания модели используется аппарат дифференциальных уравнений. Модель включает в себя движение средств по счетам депозитным, кредитным и текущим счетам клиентов, учитывает начисление и выплату процентов на активных и пассивных счетах и позволяет анализировать структуру денежных потоков, определить режимы оптимизации прибыли и контролировать ликвидность банка.

Ключевые слова: математическая модель, ценообразование, модель Лесли, платежный календарь, функция Ляпунова, динамическая система с последействием, устойчивость.



THE SUMMARY

Khusainov T.D. Design and investigation of mathematical models of dynamical systems with after-effect. - Manuscript.

Thesis for the Degree of Candidate of Sciences in Physics and Mathematics in speciality 01.05.02 - mathematical modeling and numerical methods. - Taras Shevchenko Kyiv National University, Kyiv, 2005.

This dissertation considers linear systems with after-effect, systems of this type are classified. Koshi problem solution for two-dimension homogeneous systems with weak delay is obtained. Koshi problem solution for homogeneous and heterogeneous with pure delay are obtained, problem of relative control is solved. Koshi problem solutions for systems with delay and commutation matrices are obtained.

Effective market mathematical pricing model with delay is developed. It has a form of nonlinear differential-difference system with constant delay and rational quadratic right-hand side. Stability of equilibrium is investigated, stability area is estimated, and solution convergence is estimated. Finit-dimensional Lyapunov function with Razumikhin condition method and Lyapunov-Krasovskiy functional method is used.

Lesley model is investigated. Singular points for nonlinear systems are found, parameters bifurcation values are calculated, autonomous solution stability condition are obtained. The model is formulated in terms of product life-cycle and company finance dynamics. Banking payment model is constructed.

Key words: mathematical model, pricing, Lesley model, banking payment model Lyapunov function, dynamical system with after-effect, stability.

Размещено на Allbest.ru

...