Основной анализ подержанных автомобилей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Задача №1

Задача №2

Задача №2

Задача №1

В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.

Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X1 и мощности двигателя X2 из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.

Таблица 1

Номер автомобиля i	Цена (тыс.у.е. yi	Возраст (лет) xi1	Мощность двигателя (л.с.) xi2
1	7,7	4	130
2	8,6	3	129
3	6,2	6	134
4	5,3	7	158
5	10,1	3	204
6	10	4	205
7	4,8	5	71
8	5,5	6	109
9	4,3	7	154
10	11,1	3	201
11	7,4	4	112
12	5,6	5	75
13	3,8	6	61
14	2,7	7	63
15	9	3	135
16	4,2	6	102

1. Парные зависимости

1) Построить поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X1, а также для цены Y и мощности двигателя X2. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X1 и Y от X2 и записать их математически.

2) Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии: , .

3) С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9.

4) Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9.

5) Построить доверительные полосы надежности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.

6) На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

2. Множественная зависимость

1) По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

. (1)

2) Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9.

3) Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.

3. Экономическая интерпретация

На основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.

Решение:

1. Парные зависимости

1) Построим поля рассеяния для зависимости y(x1) и y(x2):

На основе анализа полей рассеяния выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены автомобиля от возраста и от мощности двигателя описывается линейной регрессионной моделью и соответственно.

2) Найдем точечные оценки параметров модели. Для этого составим таблицу для промежуточных расчетов:

i	Yi	Xi1		Xi1Yi		i	Yi	Xi2		Xi2Yi
1	7,7	4	16	30,8		1	7,7	130	16900	1001
2	8,6	3	9	25,8		2	8,6	129	16641	1109,4
3	6,2	6	36	37,2		3	6,2	134	17956	830,8
4	5,3	7	49	37,1		4	5,3	158	24964	837,4
5	10,1	3	9	30,3		5	10,1	204	41616	2060,4
6	10	4	16	40		6	10	205	42025	2050
7	4,8	5	25	24		7	4,8	71	5041	340,8
8	5,5	6	36	33		8	5,5	109	11881	599,5
9	4,3	7	49	30,1		9	4,3	154	23716	662,2
10	11,1	3	9	33,3		10	11,1	201	40401	2231,1
11	7,4	4	16	29,6		11	7,4	112	12544	828,8
12	5,6	5	25	28		12	5,6	75	5625	420
13	3,8	6	36	22,8		13	3,8	61	3721	231,8
14	2,7	7	49	18,9		14	2,7	63	3969	170,1
15	9	3	9	27		15	9	135	18225	1215
16	4,2	6	36	25,2		16	4,2	102	10404	428,4
Итого	106,3	79	425	473,1		Итого	106,3	2043	295629	15016,7

Для нахождения параметров уравнения регрессии составляется система линейных уравнений

, (2)

Коэффициенты этой системы находятся по формулам:

, , , ? (3)

, ,

, =6,644+1,4814,938=13,958

, =6,644-0,042127,688=1,342

3) Определим коэффициенты парной корреляции между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Коэффициенты парной корреляции вычисляются по формуле:

, (4)

Проверим значимость парных коэффициентов корреляции. Для этого рассчитаем значения выражения для каждого значения коэффициента корреляции.

Т.к. условие > t0,95;14=1,761 выполняется, то коэффициенты парной корреляции статистически значимы, т.е. они существенно отличны от нуля.

4) Рассчитаем коэффициенты детерминации для каждого из уравнений:

для зависимости y от x1:

,

т.е. вариация цены на 79,03% объясняется возрастом автомобиля;

для зависимости y от x2:

т.е. вариация цены на 61,78% объясняется вариацией мощности двигателя.

Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:

, (5)

для зависимости y от x1;

для зависимости y от x2.

При уровне значимости =0,1 и количестве степеней свободы df1=1, df2=16-2=14 определяем, что табличное значение F-статистики Фишера будет равно Fт(0,1;1;14)=3,1. Для обеих зависимостей выполняется неравенство Fт<Fф, поэтому гипотеза H0 отклоняется и признается статистическая значимость обоих уравнений.

Проверим статистическую значимость коэффициентов уравнений. Для парной регрессии существует связь между статистиками Стьюдента и Фишера:

, , (6)

Для зависимости y от x1 получаем: . Это значение больше =1,761, поэтому гипотезу о равенстве нулю коэффициента a1 отвергаем.

Для зависимости y от x2 получаем: . Полученное значение также больше 1,761, поэтому гипотезу о равенстве нулю коэффициента b1 также отвергаем.

5) Доверительные интервалы находятся по формуле

, (7)

yв, yн - верхняя и нижняя граница доверительного интервала

- значение независимой переменной x, для которой определяется доверительный интервал

- квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1- и числом степеней свободы n-2. При =0,05 t0,975;14=2,145.

Значение Sy определяется по формуле:

, (8)

, (9)

Проведение расчетов удобно провести в таблице:

i	Yi	X1i					Корень
1	7,7	4	8,033	-0,333	0,111	0,879	0,296	0,766	7,267	8,799
2	8,6	3	9,514	-0,914	0,835	3,754	0,412	1,067	8,447	10,581
3	6,2	6	5,070	1,130	1,277	1,129	0,308	0,797	4,273	5,866
4	5,3	7	3,588	1,712	2,930	4,254	0,429	1,111	2,478	4,699
5	10,1	3	9,514	0,586	0,343	3,754	0,412	1,067	8,447	10,581
6	10	4	8,033	1,967	3,871	0,879	0,296	0,766	7,267	8,799
7	4,8	5	6,551	-1,751	3,067	0,004	0,250	0,647	5,904	7,199
8	5,5	6	5,070	0,430	0,185	1,129	0,308	0,797	4,273	5,866
9	4,3	7	3,588	0,712	0,506	4,254	0,429	1,111	2,478	4,699
10	11,1	3	9,514	1,586	2,516	3,754	0,412	1,067	8,447	10,581
11	7,4	4	8,033	-0,633	0,400	0,879	0,296	0,766	7,267	8,799
12	5,6	5	6,551	-0,951	0,905	0,004	0,250	0,647	5,904	7,199
13	3,8	6	5,070	-1,270	1,612	1,129	0,308	0,797	4,273	5,866
14	2,7	7	3,588	-0,888	0,789	4,254	0,429	1,111	2,478	4,699
15	9	3	9,514	-0,514	0,264	3,754	0,412	1,067	8,447	10,581
16	4,2	6	5,070	-0,870	0,756	1,129	0,308	0,797	4,273	5,866
Сумма	106,3	79		0,000	20,368	34,938
Среднее	6,644	4,938		0,000	1,455

Построим доверительную полосу на графике:

Выполним те же действия для зависимости y от x2.

i	Yi	X2i					Корень
1	7,7	130	6,740	0,960	0,922	5,348	0,250	0,874	5,866	7,614
2	8,6	129	6,698	1,902	3,617	1,723	0,250	0,873	5,825	7,572
3	6,2	134	6,906	-0,706	0,498	39,848	0,252	0,881	6,025	7,787
4	5,3	158	7,902	-2,602	6,773	918,848	0,298	1,041	6,861	8,944
5	10,1	204	9,813	0,287	0,083	5823,598	0,480	1,675	8,138	11,487
6	10	205	9,854	0,146	0,021	5977,223	0,484	1,691	8,163	11,545
7	4,8	71	4,290	0,510	0,260	3213,473	0,394	1,374	2,915	5,664
8	5,5	109	5,868	-0,368	0,135	349,223	0,269	0,940	4,927	6,808
9	4,3	154	7,736	-3,436	11,809	692,348	0,287	1,002	6,734	8,739
10	11,1	201	9,688	1,412	1,994	5374,723	0,466	1,627	8,061	11,315
11	7,4	112	5,992	1,408	1,982	246,098	0,264	0,921	5,071	6,913
12	5,6	75	4,456	1,144	1,309	2775,973	0,377	1,317	3,139	5,773
13	3,8	61	3,875	-0,075	0,006	4447,223	0,436	1,524	2,351	5,398
14	2,7	63	3,958	-1,258	1,582	4184,473	0,428	1,493	2,464	5,451
15	9	135	6,947	2,053	4,213	53,473	0,253	0,884	6,064	7,831
16	4,2	102	5,577	-1,377	1,896	659,848	0,285	0,997	4,580	6,574
Сумма	106,3	2043		0,000	37,099	34763,438
Среднее	6,644	127,688		0,000	2,650

Построим доверительную полосу на графике:



6) Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

=3 года,

=165 л.с.

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз по первой парной регрессионной модели:

=13,958-1,4813=9,514 тыс. у.е.

,

=9,5142,1450,497=9,5141,067

=8,447, =10,581

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз по второй парной регрессионной модели:

=1,342+0,042165=8,193 тыс. у.е.

,

=8,1932,1450,521=8,1931,118

=7,075, =9,311

1) Найдем по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов линейной регрессионной модели

, (10)

Для этого выполним следующие расчеты:

2) Проверим статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9.

Определим коэффициент множественной корреляции по формуле:

, (11)

Заполним вспомогательную таблицу для расчета R:

i	Y	X1	X2
1	7,7	4	130	7,749	0,002	1,116
2	8,6	3	129	8,841	0,058	3,827
3	6,2	6	134	5,618	0,339	0,197
4	5,3	7	158	5,111	0,036	1,806
5	10,1	3	204	10,747	0,419	11,946
6	10	4	205	9,656	0,118	11,264
7	4,8	5	71	5,133	0,111	3,399
8	5,5	6	109	4,982	0,268	1,308
9	4,3	7	154	5,010	0,504	5,493
10	11,1	3	201	10,671	0,184	19,858
11	7,4	4	112	7,292	0,012	0,572
12	5,6	5	75	5,235	0,134	1,089
13	3,8	6	61	3,762	0,001	8,087
14	2,7	7	63	2,696	0,000	15,553
15	9	3	135	8,993	0,000	5,552
16	4,2	6	102	4,804	0,365	5,972
Сумма					2,551	97,039

Тогда коэффициент множественной корреляции R будет равен

Коэффициент множественной детерминации равен

R2=0,98682=0,9737, регрессия y на x1 и x2 объясняет 97,37% колебаний значений y.

Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:

При уровне значимости =0,1 и количестве степеней свободы df1=1, df2=16-3=13 определяем, что табличное значение F-статистики Фишера будет равно Fт(0,1;1;13)=3,136. Неравенство Fт<Fф выполняется, поэтому гипотеза H0 отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии. линейный регрессионный точечный матрица

Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии по формуле:

, (12)

j=0,1,…,m,

где zjj - диагональные элементы обратной матрицы (XTX)-1, которые равны соответственно 2,19, 0,0361, 3,6310-5.

,

,

,

По таблице критических точек определяем фактическое значение t-критерия Стьюдента:

t0,9;13=1,771.

Т.к. неравенство tФ > t0,9;13 выполняется для всех коэффициентов, то коэффициенты уравнения регрессии статистически значимы, т.е. они существенно отличны от нуля.

3) Выполним точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей.

=3 года, =165 л.с.

=8,911-1,1173+0,025165=9,756 тыс. у.е.

,

=0,173, (13)

, (14)

=9,7562,160,184=9,7560,398

=9,358, =10,154

3. Экономическая интерпретация

Так как ryx1=-0,889, и проверка значимости этого коэффициента показала его существенное отличие от нуля, то есть основание утверждать, что между переменными Y и X1 существует достаточно тесная отрицательная линейная зависимость, которая может быть отражена с помощью найденного уравнения регрессии .

Коэффициент a0=13,958 в данном случае имеет экономический смысл. Он формально определяет цену при xj=0, т.е. цену нового автомобиля. Коэффициент a1=-1,481 имеет вполне определенный экономический смысл, поскольку характеризует размер прироста цены, обусловленного приростом возраста автомобиля на единицу, т.е. при увеличении возраста на 1 год следует ожидать уменьшения цены на 1,481 тыс. у.е.

Необходимо особо подчеркнуть, что слова «следует ожидать прироста цены» в предыдущем предложении нельзя заменить словами «прирост цены составит», т.к. уравнение регрессии Y от X1 представляет собой лишь некоторую оценку стохастической зависимости между Y и X1. Это уравнение характеризует так называемое среднее значение цены автомобиля в зависимости от возраста автомобиля. Слово «среднее» выражает здесь тот факт, что реальное значение цены Yi, соответствующее некоторому реальному возрасту Xij, будет находиться в некоторой окрестности значения .

Значение ryx2=0,786 свидетельствует о том, что между Y и X2 существует достаточно тесная положительная линейная зависимость. Экономический смысл коэффициента b1=0,042 в уравнении аналогичен смыслу коэффициента a1=-1,481 в уравнении , т.е. коэффициент b1=0,042 показывает, какого прироста цены следует ожидать при увеличении мощности двигателя на единицу.

В результате исследования зависимости цены от двух факторов - возраста и мощности двигателя, получено уравнение множественной регрессии

Содержательный смысл найденных коэффициентов состоит в следующем. Величина a1= _ 1,117 показывает, что при увеличении возраста автомобиля на 1 год и фиксированной (неизменной) мощности двигателя следует ожидать снижения цены автомобиля на 1,117 тыс. у.е. Коэффициент a2=0,025 показывает, что при увеличении мощности двигателя на 1 л.с. и неизменном возрасте следует ожидать увеличения цены на 0,025 тыс. у.е.

Задача №2

Таблица 2

Месяц, t	Объем продаж (тыс.у.е.) zt
1	421
2	541
3	577
4	717
5	719
6	694
7	875
8	810
9	999
10	916
11	1137
12	1034

В базе данных магазина также содержится информация об объеме ежемесячных продажах автомобилей за прошлый год, представленная в таблице 2.

1. Представить графически ежемесячные объемы продаж автомагазина. На основе визуального анализа построенного графика выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости объема продаж от времени и записать её математически.

2. Методом наименьших квадратов найти оценку уравнения линейного тренда

. (15)

3. Для линии тренда построить доверительную полосу надежности 0,975. Нарисовать ее на графике вместе с линией тренда и исходным временным рядом.

4. С помощью уравнения тренда найти точечный и интервальный прогноз (надежности 0,975) среднего объема продаж для t =15.

Решение:

1. Построим ломаную кривую изменения объема продаж по месяцам

На основании наблюдения ломаной кривой выдвигаем гипотезу о линейном тренде. Следовательно, трендовая модель запишется в виде:

. (16)

2. Найдем оценку уравнения линейного тренда методом наименьших квадратов. Коэффициенты этого уравнения находятся из системы нормальных уравнений:

, (16)

Составим расчетную таблицу:

t	zt	ztt	t2
1	421	421	1
2	541	1082	4
3	577	1731	9
4	717	2868	16
5	719	3595	25
6	694	4164	36
7	875	6125	49
8	810	6480	64
9	999	8991	81
10	916	9160	100
11	1137	12507	121
12	1034	12408	144
Сумма=78	9440	69532	650

Выразив из системы коэффициенты a0 и a1, получим:

, (17)

, (18)

Следовательно, уравнение регрессии будет иметь вид: .

3. Построим доверительную полосу с надежностью 0,975.

Доверительные интервалы находятся по формуле

, (19)

yв, yн - верхняя и нижняя граница доверительного интервала

- квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1- и числом степеней свободы n-2. При =0,05 t0,975;10=2,634.

Значение Sy определяется по формуле:

, , (20)

Проведение расчетов удобно провести в таблице:

t	zt					Корень
1	421	472,359	-51,359	2637,744	30,25	0,543	93,908	378,451	566,267
2	541	529,506	11,494	132,116	20,25	0,474	82,021	447,485	611,526
3	577	586,653	-9,653	93,174	12,25	0,411	71,093	515,560	657,746
4	717	643,800	73,200	5358,308	6,25	0,356	61,639	582,160	705,439
5	719	700,946	18,054	325,933	2,25	0,315	54,432	646,515	755,378
6	694	758,093	-64,093	4107,943	0,25	0,292	50,444	707,650	808,537
7	875	815,240	59,760	3571,246	0,25	0,292	50,444	764,797	865,684
8	810	872,387	-62,387	3892,131	2,25	0,315	54,432	817,955	926,819
9	999	929,534	69,466	4825,553	6,25	0,356	61,639	867,895	991,173
10	916	986,681	-70,681	4995,755	12,25	0,411	71,093	915,587	1057,774
11	1137	1043,828	93,172	8681,114	20,25	0,474	82,021	961,807	1125,848
12	1034	1100,974	-66,974	4485,565	30,25	0,543	93,908	1007,066	1194,883
Сумма	9440	9440		43106,583	143

Построим доверительную полосу на графике:

4. С помощью уравнения тренда рассчитаем точечный и интервальный прогноз для среднего объема продаж на конец первого квартала текущего года с доверительной вероятностью 0,975.

Точечный прогноз находим по уравнению тренда при t=15:

=415,2121+57,146915=1272,415 тыс. у.е.

,

=1272,4152,63450,37=1272,415132,675

=1139,74, =1405,09

Задача №3

1. Для регрессионных моделей:

, (21)

, (22)

с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости 0,05.

2. Для регрессионной модели

, (23)

проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:

а) парный коэффициент корреляции;

б) критерий «хи-квадрат» ч2 на уровне значимости 0,05.

Решение:

1. Проверим наличие или отсутствие автокорреляции с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

Составим расчетную таблицу:

i	Уравнение 3	Уравнение 4
	ei	(ei-ei-1)2	et	(et-et-1)2
1	-0,049		-51,359
2	-0,241	0,037	11,494	3950,518
3	0,582	0,677	-9,653	447,189
4	0,189	0,155	73,200	6864,644
5	-0,647	0,699	18,054	3041,175
6	0,344	0,982	-64,093	6748,105
7	-0,333	0,458	59,760	15339,602
8	0,518	0,724	-62,387	14919,854
9	-0,710	1,506	69,466	17385,252
10	0,429	1,297	-70,681	19641,140
11	0,108	0,103	93,172	26847,854
12	0,365	0,066	-66,974	25647,015
13	0,038	0,107
14	0,004	0,001
15	0,007	0,000
16	-0,604	0,374
Итого		7,185		140832,349

, (24)

n=16, m=2, =0,05, d1=0,982, du=1,539

Т.к. 4-du<d<4-d1, то на основании теста Дарбина-Уотсона вывод о наличии или отсутствии автокорреляции определить нельзя.

, (25)

n=12, m=1, =0,05, d1=1,106, du=1,371

Т.к. 4-d1<d<4, то наблюдается отрицательная автокорреляция.

2. Проверим наличие или отсутствие мультиколлинеарности для множественной регрессионной модели.

а) Если составить матрицу парных коэффициентов между объясняющими переменными, то получится следующая матрица:

Так как , то коэффициент корреляции между объясняющими переменными значимо отличается от 0. Таким образом, можно предположить, что в данном случае имеет место мультиколлинеарность.

б) Рассчитаем определитель матрицы r:

Рассчитываем фактическое значение статистики 2:

Табличное значение статистики 2 при df=1 и =0,01 равно: . Неравенство выполняется, поэтому окончательно делаем вывод об отсутствии мультиколлинеарности.

Размещено на Allbest.ru

...