Размещено на http://www.allbest.ru/

ІНСТИТУТ КІБЕРНЕТИКИ НАН УКРАЇНИ

ІМЕНІ В.М.ГЛУШКОВА

УДК 519.21

СТІЙКІСТЬ І ОЦІНЮВАННЯ РОЗВ'ЯЗКІВ СТОХАСТИЧНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПУ З ПУАССОНОВИМИ

ЗБУРЮВАННЯМИ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Береза Віталій Юрійович

КИЇВ - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичної і прикладної статистики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор ЯСИНСЬКИЙ Володимир Кирилович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича завідувач кафедри математичної і прикладної статистики.

Офiцiйнi опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор КОРОЛЮК Володимир Семенович, академік НАН України Радник при дирекції Інституту математики НАН України;

кандидат фізико-математичних наук ДЕРІЄВА Олена Миколаївна, старший науковий співробітник відділу математичних методів дослідження операцій Інституту кібернетики НАН України.

Провідна установа: Київський національний університет ім.Т.Шевченка, факультет кібернетики, кафедра моделювання складних систем

Захист відбудеться "23" лютого 2007 р. о 12⁰⁰ на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 в Інституті кібернетики НАН України за адресою: Київ, просп. Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися у науково-технічному архіві Інституту кібернетики НАН України за адресою: Київ, просп. Академіка Глушкова, 40.

Автореферат розісланий " 20 " лютого 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Синявський В.Ф.



АНОТАЦІЯ

Береза В.Ю. Стійкість і оцінювання розв'язків стохастичних динамічних систем нейтрального типу з пуассоновими збурюваннями. - Рукопис. стохастичний пуассоновий збурювання функціонал

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювільні методи. - Інститут кібернетики НАН України. - Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена аналізу стійкості та оцінюванню в розв'язків НСДФР з ПЗ шляхом застосування функціоналів Ляпунова-Красовського. У роботі одержана теорема існування і єдиності розв'язків таких рівнянь, із використанням другого методу Ляпунова виводяться достатні умови асимптотичної стійкості в розв'язків НСДФР з ПЗ, а також доводяться достатні умови асимптотичної стійкості в розв'язків лінійних НСДФР з декількома сталими відхилами аргументу. Для лінійних НСДФР з ПЗ встановлено умови стійкості і оцінки розв'язків, а також оцінки експоненційної стійкості в лінійних НСДФР із ПЗ, рівномірних по відхилу аргументу, а також з малими відхилами аргументу. Одержані оцінки мають алгебраїчний характер і є зручними для використані у дослідженнях фізичних, радіотехнічних, біологічних, соціологічних, економічних процесів, які описуються НСДФР.

Як практичне застосування дисертації створений програмний продукт, що дозволяє ефективно використовувати одержані результати для дослідження конкретних систем, що описуються НСДФР.

Ключові слова: стохастичне диференціальне рівняння, рівняння нейтрального типу, рівняння з пуассоновими збурюваннями, асимптотична стійкість, стійкість у середньому квадратичному.



АННОТАЦИЯ

Береза В.Ю. Устойчивость и оценивание решений стохастических динамических систем нейтрального типа с пуассоновыми возмущениями. - Рукопись

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и численные методы. - Институт кибернетики НАН Украины. - Киев, 2007.

Диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости и оцениванию в среднем квадратическом () решений стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновыми возмущениями (НСДФУ с ПВ) с помощью аппарата функционалов Ляпунова-Красовского.

Несмотря на бурное развитие в середине прошлого века теории уравнений с отклоняющимся аргументом, а последние пятьдесят лет и стохастических дифференциально-функциональных уравнений с отклоняющимся аргументом, в данный момент времени в основном исследованы или детерминированные уравнения нейтрального типа, или НСДФУ с винеровскими возмущениям, а НСДФУ с ПВ почти не исследованы. Именно эти обстоятельства и то, что диссертация выполена в рамках двух научно-исследовательских тем, определяют актуальность работы.

В данной работе прежде всего получена теорема существования и единственности решений таких уравнений, далее путем использования второго метода Ляпунова представлены достаточные условия асимптотической устойчивости решений НСДФУ с ПВ. Полученная теорема описывает внешний вид и ограничения на структуру функционала Ляпунова-Красовского, который может быть еффективно применен для исследования асимптотической устойчивости в решений НСДФУ с ПВ с помощью второго метода Ляпунова.

Исходя из полученных условий строится функционал Ляпунова-Красовского, который позволяет вывести достаточные условия асимптотической устойчивости в решений линейных НСДФУ с несколькими постоянными отклонениями аргумента. Далее исследуется проблема асимптотической равномерной устойчивости таких уравнений.

Для линейных НСДФУ с ПВ приводятся условия устойчивости и оценивание решений, а также оценивание экспоненциальной устойчивости в линейных НСДФУ с ПВ, равномерных по отклонению аргумента. Найден внешний вид таких ограничений на начальную функцию и коэффициенты НСДФУ, которые гарантируют устойчивость в

Подобный результат получен для случая с малыми отклонениями аргумента, но в определенной степени для произвольных значений матричных коэффициентов рассматриваемого уравнения. Полученные результаты также сформулированы в виде достаточных условий устойчивости. Они представляют собой такие ограничения на отклонения аргумента и начальную функцию, которые гарантируют устойчивость в и экспоненциальную устойчивость в

Полученные условия имеют алгебраический характер и удобны для использования в исследованиях физических, радиотехнических, биологических, социологических, экономических процессов, которые описываются НСДФУ.

Приводятся примеры применения этих результатов к стохастической модели шунтированных линий передач.

Как практическое применение диссертации разработан программный продукт, позволяющий эффективно использовать полученные результаты для исследования конкретных систем.

Ключевые слова: стохастическое дифференциальное уравнение, уравнение нейтрального типа, уравнение з пуассоновыми возмущениями, асимптотическая устойчивость, устойчивость в среднем квадратичном.



ANNOTATION

Bereza V.Yu. Stability and estimations of solutions of stochastic dynamic systems of neutral type with Poisson changeovers.- Manuscript.

Thesis on competition of a scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a specialty 01.05.02 - Mathematical Modelling and Calculation Methods. - The Institutes of Cybernetics of National Academy of Sciences. - Kyiv, 2007.

The thesis is dedicated to study of stability and estimations on the average quadratic of solutions of Stochastic Differential Equations of Neutral Type with Poisson Changeovers (NSDE with PC). In the dissertation the theorem of the existence and uniqueness of the solutions of NSDE with PC is obtained. Through the second Lyapunov method the sufficient conditions of asymptotic stability on the average quadratic of such equations solutions are derived. Through the obtained results the sufficient stability conditions for linear NSDE with PC and few time deviations are employed. For solutions of linear NSDE with PC the conditions and estimations on the average quadratic stability and exponential stability on the average quadratic are established. The example about applications above results to stochastic model of electrical networks containing lossless transmission lines is given. The results have an algebraic structure and may be employed in study of physical, biological, sociologic, economic process, which describes ground of NSDE.

Key Words: stochastic differential equations, neutral type equations, equations with Poisson changeovers, asymptotical stability, stability on the average quadratic.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вивчення різноманітних явищ навколишнього світу приводить до висновку, що стан багатьох радіотехнічних, біологічних, соціологічних, медичних, економічних процесів у теперішній момент часу значним чином залежить від їхньої передісторії. Математичний опис указаних процесів може бути здійснений за допомогою диференціальних рівнянь із запізнюючими аргументами. Дослідження стійкості розв'язків таких рівнянь одержало особливо бурхливий розвиток у другій половині 20 століття. З іншого боку, існує велика кількість застосувань, де запізнюючий аргумент входить не тільки в змінну стану, але й в її похідну. Це так звані диференціально-різницеві рівняння нейтрального типу.

Багато відомих досліджень теорії динамічних систем показують, що більшість моделей є недостатньо точними без урахування постійно діючих на систему випадкових збурювань. Крім того, за останні десятиріччя посилилися вимоги до точності різного роду технічних пристроїв. У зв'язку із цим з'явилася необхідність враховувати в математичних моделях об'єктів, що вивчаються, не тільки адитивні перешкоди, які спотворюють корисний сигнал, але й шуми, які спотворюють розрахункові параметри системи. Щоб визначити якість функціонування технічного пристрою, у багатьох випадках доводиться досліджувати поведінку розв'язку систем диференціальних рівнянь із запізненнями при наявності постійно діючих випадкових збурювань.

Саме ці обставини і те, що стохастичні диференціально-функціональні рівняння нейтрального типу (НСДФР) на даний час досліджені досить слабко, визначають актуальність роботи. Дана робота присвячена дослідженню проблем існування і єдиності, асимптотичної стійкості в середньому квадратичному (l.i.m.) розв'язків НСДФР з пуассоновими збурюваннями (ПЗ), а також стійкості та оцінювання в l.i.m. розв'язків лінійних НСДФР з ПЗ.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках:

1. Науково-дослідної теми “Дослідження детермінованих і стохастичних математичних моделей, які описуються диференціальними та диференціально-функціональними рівняннями” (номер державного реєстру 0199U001915).

2. Науково-дослідної теми “Дослідження властивостей стохастичних моделей, які описуються функціонально-диференціальними рівняннями з випадковими збурюваннями” (номер державного реєстру 0102U006591).

Мета і завдання дослідження - розглянути проблему стійкості в розв'язків НСДФР з ПЗ шляхом узагальнення відомих результатів для НСДФР з вінеровими збурюваннями із використанням другого методу Ляпунова; одержати теорему існування і єдиності НСДФР із ПЗ; вивести загальні теореми про стійкість в тому чи іншому розумінні розв'язків НСДФР із ПЗ; застосувати одержані загальні теореми про стійкість до систем лінійних НСФДР, а також до стохастичної моделі шунтованих ліній передач.

Об'єкт досліджень: НСДФР з ПЗ.

Предмет досліджень: задача Коші для НСДФР з ПЗ.

Методи досліджень: стохастичний аналіз, метод стохастичних функціоналів Ляпунова - Красовського.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати роботи є новими чи істотно розвивають і узагальнюють відомі результати інших дослідників для НСДФР із вінеровими збурюваннями. Зокрема:

1. Доведено нову теорему існування і єдиності сильного розв'язку НСДФР з ПЗ.

2. Доведено нову теорему про асимптотичну стійкість в розв'язків НСДФР з ПЗ.

3. Із використанням другого методу Ляпунова одержано нові достатні умови асимптотичної стійкості в розв'язків лінійних НСДФР з ПЗ із декількома відхилами аргументу.

4. Із використанням другого методу Ляпунова одержано нові умови стійкості і оцінки розв'язків, а також оцінки експоненційної стійкості в лінійних НСДФР із ПЗ, рівномірних по відхилу аргументу, а також з малими відхилами аргументу.

5. Розв'язано нову задачу дослідження на стійкість процесу передачі струму шунтованих ліній передач.

6. Створений програмний продукт, що дозволяє ефективно застосувати одержані результати для дослідження конкретних фізичних, радіотехнічних, біологічних, соціологічних процесів тощо

Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати доповнюють відповідні дослідження стійкості розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь нейтрального типу. Практична цінність результатів дисертації визначається можливістю їх використання для дослідження фізичних, радіотехнічних, біологічних, соціологічних, економічних процесів, які описуються НСДФР, у вигляді конкретних програмних продуктів на ПК або для проведення обчислень у таких пакетах, як MathCAD, MathLab, Mathematica тощо.

Особистий внесок здобувача. Доведення всіх результатів дисертації, що виносяться на захист, проведені автором самостійно. Науковому керівникові проф. Ясинському В.К. належить постановка задач, визначення загальної схеми досліджень та обговорення аналізу одержаних результатів. У роботах [2], [4-11] дисертанту належить доведення і обґрунтування всіх результатів, а проф. Ясинському В.К. - постановка задачі, визначення загальної схеми досліджень та обговорення аналізу одержаних результатів. У спільних роботах [1], [3] із доц. Юрченко І.В. останньому належить постановка задачі, проф. Ясинському В.К. - обговорення аналізу одержаних результатів, а дисертанту належить доведення й обґрунтування всіх результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на семінарах математичного факультету Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (3.06.2003 р.) і кафедри теорії ймовірностей і математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (28.10.2003 р., керівник д.ф.-м.н., проф. Козаченко Ю.В.); на семінарі "Стійкість, стабілізація та оптимізація в стохастичних динамічних системах" кафедри математичної і прикладної статистики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (6.05.2003 р., 17.02.2004 р., 5.04.2005 р., 24.01.2006 р., 7.02.2006 р., 21.02.2006 р., керівник д.ф.-м.н., проф. Ясинський В.К.); на семінарі відділу випадкових процесів Інституту математики НАН України (19.05.2004 р., 16.03.2005 р., 1.06.2005 р., керівник член.-кор. НАНУ, д.ф.-м.н., проф. Портенко М.І.); на семінарах “Числення Маллявена та його застосування” (14.02.2006 р., 28.02.2006 р., 11.04.2006 р., керівник д.ф.-м.н. Дороговцев А.А.), а також на конференціях:

· Міжнародній конференції “Сучасні проблеми математики” (Чернівецький державний університет імені Юрія Федьковича, травень 1998 р.);

· П'ятій Кримській Міжнародній математичній школі “Метод функцій Ляпунова та його застосування” (Крим, Алушта, Тавричний національний університет, 5 - 13 вересня 2000 р.);

· Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (Київський національний університет імені Т.Шевченка, 25-28 січня 2001 р.);

· Міжнародній конференції “Моделювання динамічних систем і дослідження стійкості” (Київський національний університет ім. Т.Шевченка, 22-25 травня 2001 р.);

· Міжнародній конференції, присвяченій 70 - річчю А.В. Скорохода “Стохастичний аналіз та його застосування” (Львівський національний університет імені Івана Франка, 10 - 17 червня 2001 р.);

· Міжнародній конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, 27 - 29 серпня 2001 р.);

· Міжнародній конференції з функціонального аналізу та його застосувань, присвяченій 110-й річниці Стефана Банаха (Львівський національний університет імені Івана Франка, 28-31 травня 2002 р.);

· Шостій Кримській Міжнародній Математичній Школі “Метод функцій Ляпунова та його застосування” (Тавричний національний університет, Крим, Алушта, 8-15 вересня 2002 р.);

· Другій міжнародній конференції APLIMAT'2003 (Словаччина, Братислава, Словацький технологічний університет, 5-7 лютого 2003 р.);

· Міжнародній конференції “Прогнозування та прийняття рішень в умовах невизначеності” (Тернопіль, 25-30 травня 2004 р.);

· Міжнародній конференції, присвяченій пам'яті А.Я.Дороговцева “Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі та статистиці” (Київ, 1-5 жовтня 2004 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 11 роботах, з яких 6 статей у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, списку використаних джерел і додатку, що містить програмний продукт, та викладена на 190 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 114 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, вказується мета і задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація одержаних результатів.

Перший розділ містить історичний огляд результатів відомих математиків, що пов'язані з теорією стійкості розв'язків детермінованих і стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу, подається огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи. Крім того наводиться створення стохастичної математичної моделі шунтованих ліній передач, а також короткий огляд результатів дисертації.

В першому розділі показано, шо стохастична математична модель шунтованих ліній передач може бути описана у вигляді стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу, де осцилююча зміна напруги описується у вигляді вінерового процесу, а її стрибкоподібні зміни - у вигляді пуассонової міри.

Основні результати дисертації викладені в розділах 2-4.

У другому розділі розглядається теорема існування і єдиності розв'язку НСДФР з ПЗ, із використанням другого методу Ляпунова виводяться достатні умови асимптотичної стійкості в розв'язків НСДФР з ПЗ, а також доводяться достатні умови асимптотичної стійкості в розв'язків лінійних НСДФР з декількома сталими відхилами аргументу.

У підрозділі 2.1 виводиться теорема існування і єдиності для розв'язків НСДФР з ПЗ на деякому заданому стохастичному базисі з фільтрацією .

Розглянемо випадковий процес , заданий на як сильний розв'язок НСДФР з ПЗ

(1)

з початковою умовою

Застосування цієї теореми проілюстровано на прикладі лінійних СДФР Іто - Скорохода нейтрального типу:



(3)

з початковою умовою

де - детермінована функція.

У підрозділі 2.2 розглядається застосування другого методу Ляпунова до дослідження стійкості тривіального розв'язку НСДФР (1), (2). Як результат наводиться теорема про достатні умови асимптотичної стійкості в тривіального розв'язку розглядуваної задачі.

Як результат, в теоремі 2.3.1 знаходиться загальний вигляд такого залежного від коефіцієнтів рівняння (6) оператору , що якщо існує додатно визначена симетрична матриця , для якої виконуються матричні нерівності

і ,

то тривіальний розв'язок системи (6) з початковими умовами (7) асимптотично стійкий в для довільних сталих відхилів аргументу .

Доведення цього факту проводиться шляхом використання загальної формули Іто для функціоналу (8) на розв'язках задачі (6), (7), а також, як уже згадувалося вище, теореми 2.2.1.

Таким чином, одною з умов стійкості є існування розв'язку узагальненого матричного рівняння Сильвестра



для вибраної довільним чином симетричної додатно визначеної матриці .

В розділі 3 знайдено загальний вигляд обмежень на початкову функцію і матричні коефіцієнти задачі (3), (4), які гарантують стійкість в тривіального розв'язку цієї задачі..

В підрозділі 3.1 знайдено загальний вигляд обмежень на початкову функцію і матричні коефіцієнти задачі (3), (4), які гарантують стійкість в тривіального розв'язку цієї задачі в розумінні означення 3.1.

За допомогою функціонала Ляпунова-Красовського виведений загальний вигляд таких операторів і , які виражаються через матричні коефіцієнти рівняння (3), що для має місце

Теорема 3.1.1. Нехай існує симетрична додатно визначена матриця така, що:

1) існує додатно визначена матриця як розв'язок узагальненого матричного рівняння Сильвестра

2) справджується

3) для деякого для початкової функції (4) мають місце обмеження

тоді для довільного відхилу аргументу і виконується нерівність . Іншими словами, тривіальний розв'язок задачі (3), (4) стійкий в для довільного відхилу аргументу .

Застосування цього факту проілюстровано на прикладі дослідження стійкості процесу передачі струму шунтованими лініями передач з випадковими збурюваннями.

Наслідок 3.1.1. Нехай виконуються умови:

1) матриця - гурвіцева;

2) існує стала , що

де - кронекеровий добуток матриць та .

Тоді тривіальний розв'язок задачі (3), (4) стійкий у середньому квадратичному для довільного сталого відхилу аргументу .

В підрозділі 3.2 за допомогою функціонала Ляпунова-Красовського знаходиться загальний вигляд таких операторів і , що має місце

Теорема 3.2.1. Нехай існує симетрична додатно визначена матриця така, що:

1) існує симетрична додатно визначена матриця H, що є розв'язком матричного рівняння Сильвестра (9), для якої ;

2) , ;

3)

Тоді виконується нерівність

Іншими словами, тривіальний розв'язок задачі (3), (4) експоненційно стійкий в для довільного відхилу аргументу .

В розділі 4 із використанням другого методу Ляпунова одержані умови стійкості, а також оцінки експоненційної стійкості в лінійних НСДФР (3), (4). Одержані результати являють собою такі обмеження на відхил аргументу і початкову функцію даного рівняння, які гарантують стійкість в і експоненційну стійкість в розв'язку для досить довільних матричних коефіцієнтів рівняння (3).

Для знайдено загальний вигляд таких операторів , , , , , , які виражаються через матричні коефіцієнти рівняння (3), що має місце

Теорема 4.1.1. Нехай існує симетрична додатно визначена матриця така, що:

1) існує додатно визначена матриця як розв'язок узагальненого матричного рівняння Сильвестра (9);

2) виконується умова , де

;

3) для деякого для початкової функції (4) справджується

тоді

Іншими словами, тривіальний розв'язок задачі (3), (4) стійкий в

Наслідок 4.1.1. Нехай виконуються умови:

1) виконуються перші дві умови наслідку 3.1.1;

2) виконуються умови 2) і 3) теореми 4.1.1.

Тоді тривіальний розв'язок задачі (3), (4) стійкий у середньому квадратичному.

І, нарешті, подібний результат для експоненційної стійкості.

Теорема 4.2.1. Нехай існує симетрична додатно визначена матриця така, що:

1) існує додатно визначена матриця як розв'язок узагальненого матричного рівняння Сильвестра;

2)

3)

4) , де

5) справджується умова , де

Тоді існують такі і , що при справджується співвідношення

Іншими словами, тривіальний розв'язок задачі (3), (4) експоненційно стійкий в

Величини , , , , , , являють собою вирази, що записуються через матричні коефіцієнти рівняння (3).



ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

У дисертації наведене теоретичне узагальнення і нове вирішення наукового завдання, що полягає в аналізі стійкості та оцінюванні у середньому квадратичному () розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь з пуассоновими збурюваннями шляхом застосування функціоналів Ляпунова-Красовського.

Усі результати роботи є новими чи істотно розвивають і узагальнюють відомі результати інших дослідників для НСДФР з вінеровими збурюваннями.

У другому розділі розглядається теорема існування і єдиності розв'язку НСДФР з ПЗ, із використанням другого методу Ляпунова виводяться достатні умови асимптотичної стійкості в розв'язків НСДФР з ПЗ, а також доводяться достатні умови асимптотичної стійкості в розв'язків лінійних НСДФР з декількома сталими відхилами аргументу.

В третьому розділі із використанням другого методу Ляпунова одержано стійкість і оцінки в , а також оцінки експоненційної стійкості в розв'язків лінійних НСДФР Іто - Скорохода нейтрального типу, рівномірних по відхилу аргументу. Одержані твердження сформульовані у вигляді достатніх умов стійкості. Вони являють собою такі обмеження на матричні коефіцієнти і початкову функцію даного рівняння, які для довільних додатних значень відхилу аргументу гарантують стійкість в і експоненційну стійкість в розв'язку. Застосування виведених фактів проілюстровано на прикладі дослідження стійкості процесу передачі струму шунтованими лініями передач з випадковими збурюваннями.

В четвертому розділі із використанням другого методу Ляпунова одержано стійкість і оцінки розв'язків, а також оцінки експоненційної стійкості в лінійних НСДФР Іто - Скорохода нейтрального типу з малими відхилами аргументу, але для досить довільних значень матричних коефіцієнтів рівняння. Одержані результати сформульовані у вигляді достатніх умов стійкості. Вони являють собою обмеження на відхил аргументу і початкову функцію даного рівняння, які гарантують стійкість в і експоненційну стійкість в розв'язку.

Достовірність отриманих результатів випливає з їх строгого математичного обґрунтування. Більшість результатів роботи можуть бути успішно використані для дослідження фізичних, радіотехнічних, біологічних, соціологічних процесів у вигляді конкретних програмних продуктів на ПК або для проведення обчислень у таких пакетах, як MathCAD, MathLab, Mathematica тощо.

Як практичне застосування дисертації створений програмний продукт, що дозволяє ефективно використовувати одержані результати для дослідження конкретних систем.



РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Юрченко І.В. Береза В.Ю. Дослідження стійкості розв'язків стохастичних систем диференціально-різницевих рівнянь Іто-Скорохода нейтрального типу // Дослідження мат. моделей. - К: І-т математики НАН України, 1997. - С. 232-244.

2. Ясинський В.К., Береза В.Ю. Оцінки експоненціального затухання розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь Іто-Скорохода нейтрального типу при малому відхиленні аргументу // Комп'ютерна математика. Оптимізація обчислень: Зб. наук. праць. - К.: Ін-т кібернетики ім. В.М.Глушкова, 2001. - Т.1. - С. 423-429.

3. Юрченко І.В., Береза В.Ю., Ясинський В.К. Стійкість і обмеженість у середньому квадратичному розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь нейтрального типу з декількома сталими відхиленнями аргументу // Проблеми управління та інформатики. - 2000. - V. 1. - С. 28-43.

4. Yasinsky V., Bereza V. The asymptotic uniform stability of solutions of neutral stochastic differential functional equations with Puasson switching // Theory of Stochastic Process. - 2003. - Vol.29(25), №3-4. - P.211-217.

5. Ясинський В.К., Береза В.Ю. Оцінки другого моменту стохастичних диференціальних рівнянь Іто-Скорохода з післядією // Доповіді НАН України. - 2004. - № 8.- С. 32-37.

6. Ясинський В.К., Береза В.Ю. Стійкість у середньому квадратичному та оцінки розв`язків стохастичних диференціальних рівнянь Іто-Скорохода нейтрального типу // Системний аналіз, управління та інформаційні технології: Вісник Харківського державного політех.нічного університету. Збірка наукових праць. - Х.: ХДПУ, 2000. - Вип. 121. - С. 26-29.

7. Береза В.Ю., Ясинський В.К. Про існування розв'язків стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу з пуассонівськими перемиканнями // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. - 2002. - Вип. 5. - С. 19-26.

8. Ясинський В.К., Береза В.Ю. Оцінки та стійкість в середньому квадратичному розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь Іто-Скорохода нейтрального типу з малими відхиленнями аргументу // Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наук. праць. Математика. - 2002. - Вип. 134. - С. 112-119.

9. Береза В.Ю. Експоненціальна стійкість у середньому квадратичному розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь нейтрального типу з пуассонівськими збуреннями // Тези V кримської Міжнародної математичної школи “Метод функцій Ляпунова та його застосування” (Крим, Алушта, 5-13 вересня 2000 р.). - Сімферополь: Таврійський національний університет, 2000. - С. 31.

10. Ясинський В.К., Береза В.Ю. Стійкість та оцінки другого моменту розв'язку систем стохастичних диференціальних рівнянь нейтрального типу з пуассонівськими збуреннями // Abstracts of Communications of the International Conference “Stochastic Analysis and its Applications” (10-17 June 2001, Lviv, Ukraine). - Lviv: LNU, 2001. - P. 83.

11. Yasisnky V.K., Bereza V.Y. The Lyapunov-Krasovsky method of investigation of stability in mean square of differential-functional equations with Poisson switching // Шестая Крымская Международная Математическая Школа “Метод функций Ляпунова и его приложения”: Тезисы докладов (МФЛ-2002, 8-15 сентября 2002 г., Алушта, Украина). - К.: КНУ, 2002. - С. 181.

Размещено на Allbest.ru

...