Дослідження математичних моделей просторово-часових систем із запізненням

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 517.929

ДОСЛІДЖЕННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ

ПРОСТОРОВО-ЧАСОВИХ СИСТЕМ

ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ

01.05.02. - математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

КОВАРЖ Ірина Вячеславівна

Київ - 2007



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі моделювання складних систем Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Хусаінов Денис Яхьєвич, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри моделювання складних систем.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, Новицький Віктор Володимирович, Інститут математики НАН України, завідуючий відділом аналітичної механіки; кандидат фізико-математичних наук, доцент, Чуйко Сергій Михайлович, Слав'янський державний педагогічний університет, проректор із наукової роботи.

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України, відділ оптимізації керованих процесів.

Захист відбудеться “10” квітня 2007р. о 14⁰⁰ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.35 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (01033, Київ, проспект Глушкова, 2, корпус 6, факультет кібернетики, ауд.40).

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “6“ березня 2007 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Зінько П.М.



АНОТАЦІЯ

Коварж І.В. Дослідження математичних моделей просторово-часових систем із запізненням. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006. експоненціал просторовий рівняння

Робота присвячена побудові та дослідженню розв'язків рівнянь, що описують просторово-часові системи із запізненням. Із врахуванням просторової компоненти та запізнення по часу такі моделі досить адекватно описують динаміку складних реальних процесів.

Розглядаються крайові задачі для рівняння параболічного та гіперболічного типів із запізнюючим аргументом. Для побудови аналітичних розв'язків таких задач вводяться спеціальні функції, названі запізнюючим експоненціалом, запізнюючим косинусом і запізнюючим синусом. Доведено теореми про умови існування та єдиності розв'язків розглядуваних задач.

Розроблено методику дослідження стійкості розв'язку диференціальних рівнянь з розподіленими параметрами із запізненням. Для деяких класів просторово-часових систем із запізненням визначені конструктивні умови стійкості розв'язку.

Розроблено алгоритми побудови фінітного керування для деяких видів розглядуваних задач.

Результати проведених чисельних експериментів на моделях ядерного реактора, що описують дифузію нейтронів, підтверджують теоретичні результати дисертації відносно впливу запізнення на стійкість процесу.

Ключові слова: крайова задача, рівняння гіперболічного типу, рівняння параболічного типу, збіжність рядів, квазіполіном, асимптотична стійкість, міра, математична модель.



АННОТАЦИЯ

Коварж И.В. Исследование математических моделей пространственно-временных систем из запаздыванием. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и численные методы. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.

Работа посвящена построению и исследованию решений уравнений, описывающих пространственно-временных систем с запаздыванием. Такие уравнения используются в моделях динамики популяций, миграции трудового населения, диффузии ядерных или химических реакторов, упруго-пластической среды с запаздыванием текучести. С учетом пространственной компоненты и запаздывания по времени такие модели достаточно адекватно описывают динамику сложных реальных процессов.

Рассматриваются краевые задачи для уравнений параболического и гиперболического типа с запаздывающим аргументом. Для построения аналитических решений таких задач вводятся специальные функции, названные запаздывающим экспоненциалом, запаздывающим косинусом и запаздывающим синусом. Рассматриваются свойства введенных функций. Решения представляются в виде рядов по собственным функциям. Доказаны теоремы об условиях существования и единственности решений рассматриваемых задач.

Разработано методику исследования устойчивости решения дифференциальных уравнений с распределенными параметрами с запаздывающим аргументом. Для некоторых классов пространственно-временных систем с запаздыванием определены конструктивные условия устойчивости решений. Исследования устойчивости решений уравнений в частных производных с запаздыванием проводится с помощью оценки собственных чисел.

Разработаны алгоритмы построения финитного управления для некоторых видов рассматриваемых задач.

Результаты проведенных числовых экспериментов на моделях ядерного реактора, описывающих диффузию нейтронов, подтверждают полученные теоретические результаты диссертации относительно влияния запаздывания на устойчивость процесса.

Ключевые слова: запаздывающий аргумент, краевая задача, уравнения гиперболического типа, уравнения параболического типа, сходимость рядов, квазиполином, асимптотическая устойчивость, мера, математическая модель.



SUMMARY

I.V. Kovarzh. The mathematical models investigation of space-time systems with delay. - Manuscript.

The Thesis for the Degree of Candidate of Sciences in Physics and Mathematics in speciality 01.05.02 - mathematical modeling and numerical methods. - Kyiv National University named after Taras Shevchenko, 2006.

The Thesis is dedicated to obtaining solutions and investigation stability of equation, which describe space-time systems with delay. These models describe adequately the dynamics of complex real processes, if a space multiplier and time delay are taken into account.

The boundary problems for parabolic and hyperbolic equations with retarded argument are considered. The special functions such as “delayed exponent”, “delayed sine” and “delayed cosine” are introduced to obtain analytical solutions. The theorems on existence and uniqueness of solutions are proved for considered examples.

The investigation method of solution stability of differential equation with distributed constants has been developed. The constructive conditions of solution stability have been defined for some classes of space-time systems with delay.

Algorithms of control construction for some classes of examined problems have been proposed too.

The results, obtained during numerical experiments on nuclear reactor models, which describe neutron diffusion, confirm the theoretical study of delay effect on sustainability process.

Key words: boundary problem, hyperbolic partial differential equation, parabolic partial differential equation, delay, convergent series, quasi polynomial, asymptotic stability, measure, model.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При моделюванні реальних процесів у техніці, біології, медицині, економіці, фізиці й інших галузях науки та техніки широкого розповсюдження отримали диференціальні рівняння із післядією. Розробка методів аналізу та синтезу систем такого типу є досі актуальною задачею.

Існують моделі, які мають просторову протяжність, і їх стан неможливо характеризувати зміною координат об'єкту лише по часу. Рух таких систем описується диференціальними рівняннями або системами диференціальних рівнянь в частинних похідних, інтегральними рівняннями, інтегро-диференціальними рівняннями і т.д. Також, як правило, врахування у процесах керування соціальними явищами ефектів інформаційного запізнення, приводить до математичних моделей систем із післядією. Вони враховують не лише поточний стан системи, але й передісторію. Із врахуванням запізнення та просторової компоненти такі моделі досить адекватно описують динаміку процесів, так, наприклад, в демографії вивчається залежність динаміки росту популяції від неоднорідності середовища, у якому вона проживає, та від періоду статевого дозрівання, що характеризується запізненням. Це й ряд процесів, пов'язаних із розподілом тепла, які широко застосовуються у таких галузях промисловості, як: металургійна, хімічна, машинобудівна. Також диференціальними рівняннями в частинних похідних із запізненням можуть описуватися процеси в замкнених регульованих системах із розподіленими параметрами. Врахування запізнення по часу обґрунтовується скінченою швидкістю розповсюдження сигналів у каналах обернених зв'язків і пов'язана з інерційністю регуляторів. Аналіз об'єктів такого роду потребує суттєвого узагальнення методів і засобів дослідження об'єктів із зосередженими параметрами, які описуються скінченим набором функцій однієї незалежної змінної.

Динамічним системам, які описуються звичайними диференціальними рівняннями із запізненням присвячено досить багато робіт. Диференціально-різницеві рівняння в частинних похідних вивчені менше. Доцільно виділити роботи, в яких вивчаються лінійні рівняння у частинних похідних із сталими коефіцієнтами та сталими запізненнями. Це перш за все роботи А.Д. Мишкіса, З.І. Рехлицького, Л.Е. Ельсгольца, І.М. Гуля.

В роботах Ю.О. Митропольського, А.М. Самойленка, Б.П. Ткача, В.О. Пєтухова, Д.Г. Коренівського, К.Л. Манделблата, А.Ш. Гаджиєва, Р.С. Хапко з'ясовуються питання існування та єдиності розв'язків рівнянь в частинних похідних із запізненням. При розв'язанні або отриманні оцінки розв'язку багатьох крайових задач математичної фізики із запізненням аргументу допускається застосування методу розділення змінних і представлення розв'язку у вигляді рядів за власними функціями, це роботи - Л.Е. Ельсгольц, В.П. Кушнір, Д.Г. Кащенко, С.Ф. Фещенко, Б.П. Ткач та ін.

Поряд із різними формами представлення розв'язків першочергове значення набувають наближені методи інтегрування рівнянь із розподіленими параметрами із запізненням. Вперше на ефективність використання асимптотичних методів нелінійної механіки для розгляду коливних явищ у системі з урахуванням розподіленої маси звернули увагу М.М. Крилов і М.М. Боголюбов. Роботи С.А. Василишина, О.В. Шевчук присвячені побудові асимптотичних розв'язків диференціальних рівнянь в частинних похідних із аргументом, що запізнюється, для одночастотних режимів коливань. Ю.О. Митропольським розглянуто застосування асимптотичних методів нелінійної механіки для дослідження одночастотних і багаточастотних режимів коливань у системах із розподіленими параметрами та запізненням по часу. Для розв'язку таких задач розвинуто метод, запропонований А.М. Самойленком для відшукання періодичних розв'язків звичайних диференціальних рівнянь і перенесених ним і Д.І. Мартинюком на диференціальні рівняння із запізненням.

В задачах моделювання та розробки систем керування одним із основних методів аналізу результатів, отриманих при дослідженні математичних моделей, є якісна теорія динамічних систем, за допомогою якої можна робити висновки про стійкість та нестійкість окремих розв'язків систем. Основою для розвитку цієї теорії є роботи А. Пуанкаре і О.М. Ляпунова. Працями цих вчених було математично строго сформульовано визначення стійкості та нестійкості розв'язків диференціальних рівнянь. Основні ідеї другого методу Ляпунова, одержані для звичайних диференціальних рівнянь, були поширені на дослідження динамічних систем інших видів, а саме: систем із розподіленими параметрами (Б.М. Бублик, Т.К. Сиразетдінов); систем функціонально-диференціальних рівнянь (М.М. Красовський, В.Б. Колмановський, Д.Я. Хусаінов, В.Ю. Слюсарчук, О.В. Анашкін); стохастичних систем (Є.Ф. Царков, В.К. Ясинський); систем великої розмірності (В.М. Матросов, А.А. Мартинюк, Є.В. Івохін). У роботах М.Ф. Кириченка, Ф.Г. Гаращенка, І.І. Харченка досліджувались задачі практичної стійкості.

Проблеми, що виникають при дослідженні систем із зосередженими параметрами із запізненням почали вивчатися у роботах Дж. Хейла, В.Б. Колмановського, В.Г. Носова. Систематичне дослідження цього напрямку почалось із виходу роботи А.Д. Мишкіса (“Лінійні диференціальні рівняння із аргументом, що запізнюється”, 1951р.). Розвиток досліджень проводився у напрямках використання другого методу Ляпунова (Б.С. Разуміхін, М.М. Красовський, В.Б. Колмановський), керуванні процесами (Р. Габасов, Л.Є. Забелло, В.В. Крахотко, В.В. Марченко, А.Г. Бутковський, Б.М. Бублик, О.Г. Наконечний, О.І. Єгоров, В.О. Капустян). У цілому ж, питання одержання конструктивних умов стійкості для розв'язків окремих класів систем та розв'язання задач керування залишається актуальним. Для систем, що описуються рівняннями в частинних похідних із запізненням, існують суттєві труднощі, які ускладнюють їх дослідження.

Зв'язок роботи із науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності до плану наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в рамках науково-дослідних тем №01БФО015-05 “Розробка структурованих математичних та програмних технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем” - державний номер реєстрації 0101U000968 та №06БФО015-03 “Розвиток теорії та розробка технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем” - державний номер реєстрації 0106U005858.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є отримання конструктивних умов стійкості станів моделей, які описуються диференціальними рівняннями у частинних похідних параболічного та гіперболічного типів із запізненням. Окремою метою є побудова розв'язків, обґрунтування їх існування та єдиності.

Об'єктом дослідження є лінійні рівняння із розподіленими параметрами параболічного та гіперболічного типів із сталим запізненням, що використовуються при розробці математичних моделей просторово-часових систем.

Предметом дослідження є побудова розв'язків та отримання умов стійкості розв'язків рівнянь із розподіленими параметрами параболічного та гіперболічного типів із запізненням

Загальні методи дослідження. Для побудови розв'язків застосовуються метод кроків, метод розділення змінних, методи операційного числення. Дослідження стійкості розв'язків динамічних систем, що описуються рівняннями в частинних похідних із запізненням, проводиться за допомогою оцінки власних чисел відповідних задач.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що в дисертації отримано такі нові результати:

- вперше за допомогою спеціальної функції запізнюючого експоненціалу побудовано аналітичні розв'язки рівнянь параболічного типу із запізненням;

- вперше за допомогою введення спеціальних функцій запізнюючого косинусу та запізнюючого синусу побудовано аналітичні розв'язки рівнянь гіперболічного типу із запізненням;

- одержано конструктивні умови стійкості просторово-часових систем із запізненням;

- побудовано керування для систем, що описуються рівняннями гіперболічного типу із запізненням окремого виду.

Практичне значення одержаних результатів полягає у тому, що в рамках дисертаційної роботи розроблені алгоритми, які можуть бути використані для розв'язання крайових задач просторово-часових моделей із запізнюючим аргументом, при дослідженні стійкості таких систем і керування ними. До моделей, що описуються рівняннями в частинних похідних із запізненням, приводять численні задачі дослідження динаміки популяцій, міграції трудового населення, а також: дифузії нейтронів ядерного реактора, пружності маловуглецевої сталі з урахуванням ефекту запізнення текучості та ін. Це обумовлює практичне значення результатів.

Апробація результатів роботи. Матеріали дисертаційної роботи доповідались на наукових міжнародних конференціях: “Обчислювальна та прикладна математика” (Київ, Україна, весна, 2004); Х Міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука (Київ, Україна, 13-15 травня 2004р.); Dynamical system modeling and stability investigation (Kyiv, Ukraine, May 23-25, 2005); Диференціальні рівняння та їх застосування (Київ, Україна, 6-9 червня 2005); International conference modern problems and new trends in probability theory (Chernivtsi, Ukraine, June 19-26, 2005); “Интегральные уравнения и их применения” (Одеса, Україна, 29 червня - 4 липня, 2005р.); 9-th International Conference “Stability, control and rigid bodies dynamics” (Donetsk, Ukraine, September 1-6, 2005); International Conference on Differential and Difference Equations and Applications 2006 (Rajeckй Teplice, Slovak Republic, June 26-30, 2006); VIII Кримська міжнародна математична школа “Метод функций Ляпунова и его приложения” (Алушта, Крим, Україна, 10-17 вересня 2006р.); на семінарах кафедр методів обчислювального експерименту, обчислювальної математики та моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка та семінарі відділу оптимізації керованих процесів Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України.

Вірогідність отриманих результатів підтверджується коректністю постановок задач, строгим доведенням теорем, узгодженістю отриманих числових результатів із аналітичними.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 14-и друкованих працях, з них - 4 надруковано у фахових виданнях, затверджених ВАК України, а також 1 у працях конференції і 9 тез міжнародних конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновку, списку використаної літератури та трьох додатків. Робота містить 168 сторінок, з них - 125 основного тексту. У роботі є 7 ілюстрацій. Список використаної літератури налічує 140 назв.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі до роботи обґрунтовано актуальність проблематики дисертації, сформульовано мету роботи, розглянуто її зміст за розділами із висвітленням найважливіших результатів.

Перший розділ має оглядовий характер. Він складається із трьох параграфів, у яких дається детальний аналіз публікацій із проблем аналізу досліджень рівнянь з розподіленими параметрами із післядією, наводяться приклади математичних моделей, які описуються такими рівняннями. Розглянуто сучасний стан вибраного напрямку досліджень, виділені основні досягнення та проблеми.

У другому розділі розглянуті питання побудови розв'язків рівнянь із розподіленими параметрами параболічного типу із запізненням та дослідження їх стійкості. Використовуючи метод розділення змінних, рівняння із розподіленими параметрами зводиться до зліченої системи диференціальних рівнянь із запізненням. Основний результат полягає у одержанні розв'язку рівнянь із запізненням у явному вигляді, завдяки введенню спеціальної функції, яка названа запізнюючим експоненціалом. Проведено аналіз стійкості процесів, що описуються рівняннями із розподіленими параметрами параболічного типу із запізненням.

В першому параграфі другого розділу побудовано класичні розв'язки рівняння теплопровідності із сталим чистим запізненням.

Вводиться спеціальна функція, яка названа запізнюючим експоненціалом.

За допомогою неї отримано розв'язок рівняння (1) у вигляді ряду по власним функціям.

Теорема 1. Нехай для функцій на проміжку.

Функція , що представляється рядом (6), має неперервну похідну по , неперервну похідну другого порядку по , і буде розв'язком рівняння (1), що задовольняє умови (2), (3). При цьому можливе почленне диференціювання ряду по (два рази) і по (один раз), отримані ряди збігаються абсолютно та рівномірно

Розв'язок задачі (1)-(3') можна представити по іншому.

Теорема 2. Нехай функції, , та такі, що на інтервалі , для їх коефіцієнтів Фур'є

Окремо розглянуто випадок нульових крайових умов.

У другому параграфі будуються класичні розв'язки першої крайової задачі для одновимірного рівняння теплопровідності виду визначеного при . Початкова умова має вигляд

Одержано деякі допоміжні результати, що стосуються розв'язку лінійних рівнянь із сталим запізненням виду.

Лема 1. Функція де - запізнюючий експоненціал, є розв'язком рівняння (13), що задовольняє початкову умову .

Теорема 3. Розв'язок рівняння (13), що задовольняє початкову умову.ауваження 1. Залежність (15) можна переписати у вигляді

Використовуючи результати теорем 3, 4, отримано наступне.

Теорема 5. Нехай для функцій на проміжку , справджуєтьсяю Тоді функція має неперервну похідну по та неперервну похідну другого порядку по , є розв'язком рівняння (9), що задовольняє початкову (10) і крайові (11) умови. При цьому можливе почленне диференціювання ряду по (два рази) і по (один раз), отримані ряди збігаються абсолютно та рівномірно при , .

Можливе інше представлення розв'язку задачі (9)-(11).

Теорема 6. Нехай функції, і. такі, що для їх коефіцієнтів Фур'є справджуються рівності

Тоді при розв'язок крайової задачі (9)-(11) має вигляд де , , визначені наступним чином

У третьому параграфі досліджується стійкість розв'язків таких рівнянь.

Означення 1. Незбурений процес, називається стійким по мірам і , якщо для будь-якого наперед заданого додатного числа і довільного можна вказати таке додатне число , що для всіх довільних початкових функцій, які задовольняють умову, , , при має місце нерівність , .

Означення 2. Незбурений процес , називається асимптотично стійким по мірам і , якщо він стійкий по цим мірам, й існує таке , що для будь-якого допустимого початкового розподілу з усі процеси задовольняють умові при .

Теорема 7. Нехай коефіцієнти рівняння задовольняють умовам і .

Тоді незбурений процес , що є розв'язком рівняння (21), є, при довільному , стійким по мірам

І існують сталі такі, що для будь-якої неперервної на функції, яка визначає початкову функцію для рівняння (21), має місце оцінка .

В третьому розділі розглянуто рівняння гіперболічного типу із запізненням. Як і в попередньому розділі, за допомогою методу розділення змінних та розв'язку відповідної задачі Штурма-Ліувіля розв'язок рівняння з розподіленими параметрами зведено до розв'язку зліченої системи рівнянь із запізненням. Введено дві спеціальні функції, які названі запізнюючим синусом і запізнюючим косинусом. За допомогою цих функцій одержано аналітичний вигляд розв'язку лінійних неоднорідних рівнянь в частинних похідних гіперболічного типу із сталим запізненням. Проведено дослідження й одержано умови стійкості розв'язків розглядуваних рівнянь.

У першому параграфі будуються класичні розв'язки для рівняння типу коливання струни із сталим чистим запізненням визначеного при . Початкова умова має вигляд крайові умови

Передбачається узгодження початкових і крайових умов, при цьому крайові умови є функціоналами від функцій, які представляють початкові умови.

Означення 3. Запізнюючим косинусом назвемо функцію, що має вигляд полінома степені на проміжках , склеєного у вузлах .

Означення 4. Запізнюючим синусом назвемо функцію, що має вигляд полінома степені на проміжках , склеєного у вузлах .

Функції запізнюючий синус та запізнюючий косинус мають наступні властивості.

Лема 2. При довільному на проміжку, справедливим буде наступне правило диференціювання

Тобто запізнюючий косинус є розв'язком лінійного диференціального рівняння другого порядку із чистим запізненням, що задовольняє одиничну початкову умову , .

Лема 3. При довільному на проміжку , справедливим буде наступне правило диференціювання

Тобто запізнюючий синус є розв'язком лінійного диференціального рівняння другого порядку із чистим запізненням, який задовольняє початкову умову .

Теорема 8. Розв'язок рівняння який задовольняє початкову умову е - довільна двічі неперервно диференційовна функція, має вигляд

Теорема 9. Розв'язок неоднорідного рівняння що задовольняє нульову початкову умову.

При цьому можливе двократне почленне диференціювання ряду по і по , отримані ряди збігаються абсолютно та рівномірно при , .

Окремо розглядається випадок нульових крайових умов.

Теорема 12. Нехай функції на проміжку такі, що обмежені. Тоді на проміжку крайова задача (22)-(24) має розв'язок, що представляється у вигляді ряду.

Розглядається також рівняння струни із сталим чистим запізненням виду визначене при ,

Передбачається узгодження крайових і початкових умов, крайові умови зв'язані із початковими залежностями, що визначаються методом кроків.

Теорема 13. Нехай функції , , і такі, що для коефіцієнтів, на проміжку, виконуються умови.

Тоді розв'язок крайової задачі (36)-(38) має вигляд

При цьому можливе двократне почленне диференціювання ряду по і по , й отримані ряди збігаються абсолютно та рівномірно при .

Якщо рівняння із запізненням не є рівнянням із чистим запізненням, то знаходити розв'язки лінійних диференціально-різницевих рівнянь зі сталими коефіцієнтами можна за допомогою методів операційного числення.

У другому параграфі будується розв'язок задачі для гіперболічного рівняння із сталими коефіцієнтами і сталим запізненням

При цьому можливе двократне почленне диференціювання ряду по і по , отримані ряди збігаються абсолютно та рівномірно при , .

У третьому параграфі проводяться аналіз стійкості розв'язків розглядуваних рівнянь в частинних похідних гіперболічного типу із запізненням.

Для дослідження моделей просторово-часових процесів розглянута модель, яка описує дифузію нейтронів у ядерному реакторі. Вивчається функція розподілу часу перебування середовища, яке реагує, у таких апаратах, як: реактори, печі та інші установки. Ця дифузійна модель, достатньо повно описує структуру гідродинамічних потоків всередині реакторів. Використана теорія рециркуляції середовища базується на рівняннях із аргументом, що відхиляється.

Модель реактора із рециркуляцією. Модель описує процеси зміни концентрації речовини на виході із апарату перемішування при наявності процесу перетворення речовини із використанням рециркуляції: з нульовими крайовими , і ненульовою початковою, умовами, де - концентрація речовини в об'ємі робочого середовища всередині апарату та на виході з останнього, - концентрація речовини у потоці робочої речовини на виході із тракту рециркуляції перед впливом рециркуляційного потоку в основний вхідний потік, що потрапляє на вхід апарату, - час запізнення (або затримки) у зміні концентрації на виході із рециркуляційного тракту в порівнянні з зміною концентрації в основному потоці, який виходить із апарату на зовні.

Частина цього потоку подається на вхід у рециркуляційний тракт, інша частина потрапляє у виробництво. Порція потоку середовища, яка потрапляє на вхід апарату із тракту рециркуляції в момент часу відбирається із вихідного потоку на вхід у цей тракт у момент часу і тому має концентрацію . За час затримки у тракті рециркуляції можуть відбутись додаткові перетворення речовини, що мають збурення по концентрації на вході, які можуть мати місце і без перетворень речовини в рециркуляційному тракті.

Проведено чисельне моделювання процесу при різних значеннях параметрів та величин запізнень. Порівняння проводиться при різних співвідношеннях параметрів - коефіцієнтів і величини запізнення .



ВИСНОВКИ

В дисертації отримано нові науково обґрунтовані результати в галузі теорії диференціальних рівнянь із розподіленими параметрами із запізненням, які стосуються питань стійкості та нестійкості розв'язків, а також наведено методи побудови розв'язків таких рівнянь. Результати дисертації можуть бути використані при досліджені динаміки просторово-часових систем (у фізиці, біології, економіці, демографії та при керуванні технологічними процесами), які описуються рівняннями в частинних похідних із запізненням.

В роботі отримано такі нові результати:

- вперше за допомогою введення спеціальної функції запізнюючого експоненціалу побудовано аналітичні розв'язки рівнянь параболічного типу із запізненням;

- вперше за допомогою введення спеціальних функцій запізнюючого косинусу та запізнюючого синусу побудовано аналітичні розв'язки рівнянь гіперболічного типу із запізненням;

- доведено теореми про умови існування таких розв'язків;

- одержано конструктивні умови стійкості окремих просторово-часових систем із запізненням;

- побудовано керування для систем, що описуються рівняннями з розподіленими параметрами із запізненням окремих видів.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. Хусаінов Д.Я., Коварж І.В. Розв'язок одновимірного рівняння теплопровідності із запізненням. // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2004. - №2. - С.362-368.

2. Кирило С. Колесніков, Ірина В. Коварж, Ірина В. Грицай Дослідження розподілу характеристичних показників коливального рівняння з запізненням. // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2004. - №3. -С.362-368.

3. Коварж И.В. Про розв'язок рівняння теплопровідності із запізненням за часом. // Вісник Київського національного університету ім. Тараса Шевченка. - 2005. - №6. - С.30-35.

4. Хусаинов Д.Я., Іванов А.Ф., Коварж И.В. Про представлення розв'язку першої крайової задачі для рівняння теплопровідності із запізненням. // Вісник Київського національного університету ім. Тараса Шевченка. - 2006. - №7. - С.50-59.

5. Хусаїнов Д., Коварж І. Про одне рівняння теплопровідності з післядією. // 9-th international modeling school of AMSE-UAPL. (Alushta, Crimea, Ukraine. September, 12-17, 2004.). - C.39-44.

6. Коварж И.В., Хусаинов Д.Я. Одномерное волновое уравнение с запаздыванием. // Тези конференції “Обчислювальна та прикладна математика”. (Весна, 2004). // Журнал обчислювальної та прикладної математики. 2004. - В.91, №2. - С.99.

7. Коварж І.В. Одновимірне рівняння теплопровідності із запізненням. // Матеріали Х-ї міжнародної наукової конференції імені академіка М.Кравчука. Київ. (13-15 травня 2004р.) - С.132.

8. Коварж И.В. Решение уравнения гармонического осциллятора с запаздывающим аргументом. // Thesis of conference reports. Dynamical system modeling and stability investigation. (Kyiv. May 23-25, 2005.). - C.292.

9. Коварж И. Решение параболического уравнения с запаздывающим аргументом. // Матеріали міжнародної наукової конференції. “Диференціальні рівняння та їх застосування.” (Київ. 6-9 червня 2005р.). - С.42.

10. Denys Ya. Khusainov, Irina V.Kovarzh The Getting Solution of wave equation with delay. // International conference modern problems and new trends in probability theory. (Chernivtsi, Ukraine. June 19-26, 2005.). - C.125.

11. Коварж И.В. Уравнение колебания струны с запаздыванием. // Тезисы докладов. Международная конференция “Интегральные уравнения и их применения”. (Одеса. 29 июня - 4 июля, 2005г.). - С.65.

12. Коварж И. Устойчивость и стабилизация колебательных процессов с запаздыванием. // Book of Abstracts. 9-th International Conference “Stability, control and rigid bodies dynamics”. (Donetsk, Ukraine. September 1-6, 2005.). - С.27-28.

Размещено на Allbest.ru

...