Моделирование систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделирование систем

Содержание

1. Классификация систем и моделей систем

2. Непрерывно-детерминированные модели систем (D - системы)

3. Дискретно-детерминированные модели систем (F - системы)

4. Дискретно-стохастические модели систем (P - системы)

5. Непрерывно-стохастические модели систем (Q - системы)

дискретный стохастический автомат

1. Классификация систем и моделей систем

Объектом исследования в теории моделирования является система.

Система -- это совокупность взаимосвязанных элементов, объединенных в одно целое для достижения некоторой цели, которая определяется назначением системы.

Прежде чем классифицировать системы необходимо определить соответствующие классификационные признаки. Таковыми являются:

характер изменения значений переменных системы;

характер протекающих в системе процессов;

характер функционирования системы во времени;

режим функционирования.

• По первому признаку, т.е. в зависимости от того, как изменяются значения переменных, описывающих состояния системы, все системы делятся на два класса:
• а) с непрерывными состояниями, для которых характерен плавный переход из состояния в состояние, обусловленный тем, что переменные, описывающие состояния, могут принимать любые значения из некоторого интервала, т.е. переменные являются непрерывными величинами;
• б) с дискретными состояниями (дискретные системы), для которых характерен скачкообразный переход из состояния в состояние, обусловленный тем, что переменные, описывающие состояния системы, изменяются скачкообразно и принимают значения, которые могут быть пронумерованы, т.е. переменные являются дискретными величинами.

По второму признаку, т.е. в зависимости от характера протекающих в системах процессов, все системы делятся на:

а) детерминированные системы, в которых отсутствуют всякие случайные воздействия (факторы), а значит, поведение таких систем может быть предсказано заранее;

б) стохастические системы, в которых процессы функционирования развиваются под влиянием случайных факторов (внешних или внутренних), т.е. процессы являются случайными.

По третьему признаку, т.е. в зависимости от характера функционирования системы во времени, все системы делятся на:

а) системы, функционирующие в непрерывном времени, когда переходы между состояниями системы возможны в любые (а, значит, в случайные) моменты времени;

б) системы, функционирующие в дискретном времени, когда переходы между состояниями возможны только в определенные (дискретные), заранее известные моменты времени.

По четвертому признаку, т.е. в зависимости от режима функционирования, все системы подразделяются на:

а) системы с установившимся (стационарным) режимом;

б) системы с неустановившимся (нестационарным) режимом; этот режим характерен для переходного этапа или для систем, функционирующих в условиях перегрузки.

Стохастические системы с дискретными состояниями, функционирующие в непрерывном времени, называют системами массового обслуживания (СМО) или системами с очередями или Q-системами (Queue - очередь).

Стохастические системы с дискретными состояниями, функционирующие в дискретном времени, называют вероятностными автоматами или P-системами (Probability - вероятность).

Детерминированные системы с непрерывными состояниями, функционирующие в непрерывном времени, называют динамическими системами или D-системами (Dynamic - динамический).

Детерминированные системы с дискретными состояниями, функционирующие в дискретном времени называют конечными автоматами или F-системами (Finite - конечный).

Модель -- это физический или абстрактный объект, отражающий в той или иной степени процессы в исследуемой системе.

Многообразие систем предопределяет использование для их изучения множества различных моделей. В качестве основных признаков, необходимых для классификации моделей, можно рассмотреть:

1) степень адекватности модели;

2) характер исследуемых на модели процессов;

3) способ реализации модели.

1) По первому признаку, т.е. в зависимости от степени адекватности, модели подразделяются на:

а) полные (подробные) модели, когда модель в полной мере адекватна изучаемой системе, что характерно для тривиальных систем;

б) приближенные модели, когда модель не отражает некоторые аспекты функционирования моделируемой системы, что характерно для большинства моделей.

2) По второму признаку, т.е. в зависимости от характера процессов функционирования системы, все модели могут быть подразделены на:

а) непрерывные и дискретные модели -- для моделирования процессов с дискретными и непрерывными состояниями;

б) детерминированные и стохастические (вероятностные) модели -- для моделирования соответствующих процессов функционирования систем;

в) статические (структурные) и динамические (функциональные) модели; при этом статические модели используются для изучения поведения системы в отдельные моменты времени, а динамические отображают поведение системы во времени;

г) модели с непрерывным и с дискретным временем -- в зависимости от характера изменения во времени процессов функционирования системы (такое разделение характерно только для динамических моделей);

д) стационарные и нестационарные модели -- для моделирования стационарных и нестационарных процессов в соответствующих режимах функционирования системы.

Классификация моделей по второму признаку во многом аналогична классификации самих систем, приведенной ранее.

3) По третьему признаку, т.е. в зависимости от способа реализации модели или от способа представления системы, модели подразделяются на:

а) физические;

б) математические.

Физические модели -- это "материальные" модели, эквивалентные или подобные в той или иной степени оригиналу. В общем случае физические модели -- это модели, процесс функционирования которых такой же, как у оригинала, имеет ту же или подобную физическую природу.

Математические модели -- это "абстрактные" модели, представляющие собой формализованное описание изучаемой системы с помощью абстрактного языка, в частности, с помощью математических соотношений, отображающих процесс функционирования системы.

2. Непрерывно-детерминированные модели систем (D - системы)

Детерминированные системы с непрерывными состояниями, функционирующие в непрерывном времени, называют динамическими системами или D-системами (Dynamic - динамический).

Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений.

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные -- функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Основные соотношения. Обычно в таких математических моделях в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t. Тогда математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде будет

где y'=dy/dt, y={y1, у2, ..., уп) и f=(f1,f2,…,fn) - n-мерные векторы; f(y, t) -- вектор-функция, которая определена на некотором (п+ 1)-мерном (у, t) множестве и является непрерывной.

Так как математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они называются D-схемами (англ. dynamic).

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид y'=f(y, t).

Наиболее важно для системотехники приложение D-схем в качестве математического аппарата в теории автоматического управления.

Для иллюстрации особенностей построения и применения D-схем рассмотрим простейший пример формализации процесса функционирования двух элементарных систем различной физической природы: механической SМ (колебания маятника) и электрической SK (колебательный контур).

Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

где тм, 1М -- масса и длина подвеса маятника; g -- ускорение свободного падения; и(t)

-- угол отклонения маятника в момент времени t.

Из этого уравнения свободного u1082 колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период колебания маятника TM=2рvlM/g

Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются

где L_K, С_K -- индуктивность и емкость конденсатора; q(t) -- заряд конденсатора в момент времени t.

Из этого уравнения можно получить различные оценки характеристик процесса в колебательном контуре. Например, период характеристических колебаний T_K=2рvL_KC_K

Очевидно, что, введя обозначения

получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этой замкнутой системы:

где h0, ht, h2 -- параметры системы; z{t) -- состояние системы в момент времени t.

Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели. Кроме того, необходимо отметить, что поведение одной из систем может быть проанализировано с помощью другой. Например, поведение маятника (системы S_М) может быть изучено с помощью электрического колебательного контура (системы S_К).

Если изучаемая система S, т. е. маятник или контур, взаимодействует с внешней средой Е, то появляется входное воздействие x(t) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура) и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид

С точки зрения общей схемы математической модели х(t) является входным (управляющим) воздействием, а состояние системы S в данном случае можно рассматривать как выходную характеристику, т. е. полагать, что выходная переменная совпадает с состоянием системы в данный момент времени y = z.

3. Дискретно-детерминированные модели систем (F - системы)

Детерминированные системы с дискретными состояниями, функционирующие в дискретном времени называют конечными автоматами или F-системами (Finite - конечный).

Особенности дискретно-детерминированного подхода на этапе формализации процесса функционирования систем рассмотрим на примере использования в качестве математического аппарата теории автоматов. Теория автоматов -- это раздел теоретической кибернетики, в котором изучаются математические модели -- автоматы. На основе этой теории система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Понятие «автомат» варьируется в зависимости от характера конкретно изучаемых систем, от принятого уровня абстракции и целесообразной степени общности.

Основные соотношения. Автомат можно представить как некоторое устройство (черный ящик), на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а следовательно, и множество выходных сигналов) являются конечными множествами.

Абстрактно конечный автомат (англ. finite automata) можно представить как математическую схему (F-схему), характеризующуюся шестью элементами:

- конечным множеством X входных сигналов (входным алфавитом);

- конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом);

- конечным множеством Z внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний);

- начальным состоянием z₀, z_oZ;

- функцией переходов ц(z, х);

- функцией выходов ш(z, x).

Автомат, задаваемый F-схемой: F=(Z, X, Y, ц, ш, zo),- функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т. е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния. Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие t-му такту при t=0, 1, 2, ..., через z(t), x(t), y(t). При этом по условию, z(0)=zo, a z(i) Z, x(t) X, y(t) Y.

Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент t = 0, 1, 2, ... дискретного времени F-автомат находится в определенном состоянии z(t) из множества Z состояний автомата, причем в начальный момент времени t=0 он всегда находится в начальном состоянии z(0)=zo. В момент t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять на входном канале сигнал x{t) X и выдать на выходном канале сигнал y(t) =ш[z (t), x (t)], переходя в состояние z (t +1) = ц[z (t), x (t)], z (t) Z, у (t) Y. Абстрактный конечный автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита X на множество слов выходного алфавита Y.

Другими словами, если на вход конечного автомата, установленного в начальное состояние z0, подавать в некоторой последовательности буквы входного алфавита х(0), х(1), х(2), ..., т. е. входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита у(0), у(1), у(2), ..., образуя выходное слово.

Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом t-м такте на вход автомата, находящегося в состоянии z(t), подается некоторый сигнал x(t), на который он реагирует переходом в (t+1)-м такте в новое состояние z(t+1) и выдачей некоторого выходного сигнала. Сказанное выше можно описать следующими уравнениями: для F-автомата первого рода, называемого также автоматом Мили,

z(t+1) = ц[z(t),x(t)], t = 0,1,2,… (3.1)

y(t+1) = ш[z(t),x(t)], t = 0,1,2,… (3.2)

для F-автомата второго рода

z(t+1) = ц[z(t), x(t)], t = 0, 1,2,... (3.3)

y(t) = ш[z(t), x(t-1)], t=1, 2, 3, .. (3.4)

Автомат второго рода, для которого

y(t)=ш[z(t)], t=0,1,2,..., (3.5)

т. е. функция выходов не зависит от входной переменной x(t), называется автоматом Мура.

По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом, согласно (3.2), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определенный выходной сигнал y(t), т. е. реализует логическую функцию вида

y(t) = ш[x(t)], t= 0, 1,2, ... .

Эта функция называется булевой, если алфавиты X и У, которым принадлежат значения сигналов х и у, состоят из двух букв.

По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные.

В синхронных F-aemoматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. После очередного синхронизирующего сигнала с учетом «считанного» и в соответствии с уравнениями (3.1) -- (3.4) происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами.

Асинхронный F-автомат считывает входной сигнал непрерывно, и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины х, он может, как следует из (3.1) - (3.4), несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом.

4. Дискретно-стохастические модели систем (P - системы)

Стохастические системы с дискретными состояниями, функционирующие в дискретном времени, называют вероятностными автоматами или P-системами (Probability - вероятность).

Рассмотрим особенности построения математических схем при дискретно-стохастическом подходе к формализации процесса функционирования исследуемой системы S.

Так как сущность дискретизации времени при этом подходе остается аналогичной рассмотренным ранее конечным автоматам, то влияние фактора стохастичности проследим также на разновидности таких автоматов, а именно на вероятностных (стохастическиих) автоматах.

Основные соотношения. В общем виде вероятностный автомат (англ. Probabilistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически.

Применение схем вероятностных автоматов (Р-схем) имеет важное значение для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение, для выяснения алгоритмических возможностей таких систем в обоснования границ целесообразности их использования, а также для решения задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным ограничениям.

Введем математическое понятие Р-автомата, используя понятия, введенные для F-автомата. Рассмотрим множество G, элементами которого являются всевозможные пары (х_i z_s), где х_i и z_s -- элементы входного подмножества X и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции ц и ш, то с их помощью осуществляются отображения G>Z и G>Y, то говорят, что F= <Z, X, Y, ц, ш} определяет автомат детерминированного типа.

Введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф -- множество всевозможных пар вида (z_k, у_j), где у_j -- элемент выходного подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

где bk_j -- вероятности перехода автомата в состояние zk и появления на выходе сигнала уj если он был в состоянии zs, и на его вход в этот момент времени поступил сигнал xi. Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов P=(Z, X, Y, В} называется вероятностным автоматом (Р-автоматом).

Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Y и Z, что можно представить соответственно в виде:

где z_k и q_k -- вероятности перехода Р-автомата в состояние z_k и появления выходного сигнала у_к при условии, что Р-автомат находился в состоянии z_s и на его вход поступил входной сигнал x_i.

5. Непрерывно-стохастические модели систем (Q - системы)

• Стохастические системы с дискретными состояниями, функционирующие в непрерывном времени, называют системами массового обслуживания (СМО) или системами с очередями или Q-системами (Queue - очередь).
• Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на примере использования в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания, которые будем называть Q-схемами.
• Системы массового обслуживания представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.
• Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.
• Основные соотношения. В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т. е. стохастический характер процесса их функционирования.
• Остановимся на основных понятиях массового обслуживания, необходимых для использования Q-схем.
• В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки.
• Это можно изобразить в виде некоторого i-го прибора обслуживания Пi (рис. 1), состоящего из накопителя заявок Hi в котором может одновременно находиться заявок, где емкость i-го накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) Ki. На каждый элемент прибора обслуживания Пi поступают потоки событий: в накопитель Hi -- поток заявок wi, на канал Ki --- поток обслуживаний ui.
• Рис. 1. Прибор обслуживания заявок
• Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью
• где tn -- момент наступления n-го события -- неотрицательное вещественное число. Потоком неоднородных событий называется последовательность (tn, fn), где tn - вызывающие моменты; fn -- набор признаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднородного потока заявок могут быть заданы принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т. п.
• Рассмотрим поток, в котором события разделены интервалами времени ф1, ф2,..., которые вообще являются случайными величинами. Пусть интервалы ф1, ф2,... независимы между собой. Тогда поток событий называется потоком с ограниченным последействием.
• Пример потока событий приведен на рис. 2, где обозначено Tj -- интервал между событиями (случайная величина); TH -- время наблюдения, Tс -- момент совершения события.
• Рис. 2. Схема потока событий
• Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле
• где N -- число событий, произошедших за время наблюдения TH.
• Если Tj=const или определено какой-либо формулой Tj=f(Tj-1), то поток называется детерминированным. Иначе поток называется случайным.
• Случайные потоки бывают:
• - ординарными, когда вероятность одновременного появления 2-х и более событий равна нулю;
• - стационарными, когда частота появления событий постоянная;
• - без последействия, когда вероятность не зависит от момента совершения предыдущих событий.
• Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени ?t, примыкающий к моменту времени t, попадает больше одного события Р_>1 (t, ?t), пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал времени ?t попадает ровно одно событие Р₁ (t, ?t), т. е. Р₁ (t, ?t) >> Р_>1(t, ?t).
• Стационарным потоком событий называется поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени ф зависит лишь от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени 0t взят этот участок.
• Среднее число событий, наступающих на участке времени ?t в единицу времени, составит
• Рассмотрим предел этого выражения при ?t>0. Если этот предел существует, то он называется интенсивностью (плотностью) ординарного потока событий.
• Размещено на Allbest.ru