Имитационное моделирование сложных систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Первый Профессиональный Университет

Направление Бизнес-информатика (бакалавриат)

Реферат по дисциплине

Имитационное моделирование

Имитационное моделирование сложных систем: теория

Москва, 2014



ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

1.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.2 ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.3 ДОСТОИНСТВА И НЕДОСТАТКИ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ ЛИТЕРАТУРЫ



ВВЕДЕНИЕ

имитационный моделирование сложный

Имитационное моделирование -- эффективный инструмент изучения многих сложных, в том числе экономических объектов и способ принятия решений по их поведению в реальных жизненных условиях. Математический инструментарий, применяемый в данных исследованиях, весьма разнообразен и достаточно сложен. Он находится в стадии постоянного развития и совершенствования, для его применения требуется специальная подготовка. Вместе с тем потребность в имитации экономико-математических реальных объектов все время возрастает, а разрыв между спецификой математических методов и необходимой глубиной познания реальных объектов при их моделировании увеличивается. К примеру, прогнозирование поведения курса акций на рынке ценных бумаг приводит к изучению большого числа факторов, влияющих на этот процесс, а отбор и анализ факторов, знание мотивационных, политических условий, предвидение тех или иных событий -- необходимые условия эффективной курсовой политики. Специалисты, соблюдающие эти условия, конечно, не в состоянии в совершенстве знать математическую статистику, регрессионный анализ, теорию игр, алгебру конфликта, спектральный анализ циклических колебаний и другие математические инструменты, необходимые для исследований рыночной конъюнктуры. Точно также эксперт-математик не в состоянии в достаточной степени владеть рыночной конъюнктурой. Поэтому важно найти способ преодолеть разрыв между знаниями специалиста-математика и специалиста-экономиста по проблемам конкретного объекта исследования. В этой связи рассмотрение метода имитационного моделирования представляется весьма актуальным.

Так же следует обратить внимание, что каждый экономико-математический метод или подход акцентирует внимание, в основном на определенной методике формализации конкретной задачи, определенных постулатах или аксиомах, принятых для данного метода.

Например, метод линейного программирования с использованием системы алгебраических уравнений, неравенств и целевой функции позволяет находить оптимальные решения при заданных ограничениях. В этот математический аппарат трудно ввести понятия случайности, или вероятности, надежности или самоорганизации объекта. Точно также не представляется возможным ввести в эконометрические модели понятия цели управления, стратегии из теории игр и т.п.

Таким образом, каждый математический аппарат предназначен для достижения определенных целей. Использовать совместно возможности каждого аппарата в рамках общей математической теории пока не удается, т.к. на данный момент не существует человека, который бы знал в совершенстве все математические методы и разработал аксиоматику общей математической теории, сопрягающей без противоречий известные математические методы.

Однако совместное использование различных математических методов возможно. Более того, существуют способы, позволяющие сопрягать возможности указанных математических методов с практическим и теоретическим опытом специалистов-экономистов по конкретному объекту моделирования. Одним из них и является имитационное моделирование.

Таким образом, в связи с тем, что постоянно растет потребность в имитации реальных объектов, а в свою очередь существует разрыв между знаниями специалистов-математиков и специалистов-экономистов по поводу исследования сложных экономических объектов, рассмотрение теоретических основ имитационного моделирования, как основного способа изучения сложных экономических объектов представляется весьма актуальным.



1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

1.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Имитационное моделирование (от англ. simulation) - это распространенная разновидность аналогового моделирования, реализуемого с помощью набора математических инструментальных средств, специальных имитирующих компьютерных программ и технологий программирования, позволяющих посредством процессов-аналогов провести целенаправленное исследование структуры и функций реального сложного процесса в памяти компьютера в режиме «имитации», выполнить оптимизацию некоторых его параметров.

Имитационной моделью называется специальный программный комплекс, который позволяет имитировать деятельность какого-либо сложного объекта. Он запускает в компьютере параллельные взаимодействующие вычислительные процессы, которые являются по своим временным параметрам (с точностью до масштабов времени и пространства) аналогами исследуемых процессов.

Следует отметить, что любое моделирование имеет в своей методологической основе элементы имитации реальности с помощью какой-либо символики (математики) или аналогов. Поэтому иногда в российских вузах имитационным моделированием стали называть целенаправленные серии многовариантных расчетов, выполняемых на компьютере с применением экономико-математических моделей и методов. Однако с точки зрения компьютерных технологий такое моделирование - это обычные вычисления, выполняемые с помощью расчетных программ или табличного процессора Excel.

Математические расчеты можно производить и без ЭВМ: используя калькулятор, логарифмическую линейку, правила арифметических действий и вспомогательные таблицы. Но имитационное моделирование - это чисто компьютерная работа, которую невозможно выполнить подручными средствами.

Поэтому часто для этого вида моделирования используется синоним компьютерное моделирование.

Имитационную модель нужно создавать. Для этого необходимо специальное программное обеспечение - система моделирования (simulation system). Специфика такой системы определяется технологией работы, набором языковых средств, сервисных программ и приемов моделирования.

Имитационная модель должна отражать большое число параметров, логику и закономерности поведения моделируемого объекта во времени (временная динамика) и в пространстве (пространственная динамика). Моделирование объектов экономики связано с понятием финансовой динамики объекта.

С точки зрения специалиста (информатика-экономиста, математика-программиста или экономиста-математика), имитационное моделирование контролируемого процесса или управляемого объекта - это высокоуровневая информационная технология, которая обеспечивает два вида действий, выполняемых с помощью компьютера:

1) работы по созданию или модификации имитационной модели;

2) эксплуатацию имитационной модели и интерпретацию результатов.

Имитационное (компьютерное) моделирование сложных экономических процессов обычно применяется в двух случаях:

* для управления сложным бизнес-процессом, когда имитационная модель управляемого экономического объекта используется в качестве инструментального средства в контуре адаптивной системы управления, создаваемой на основе информационных (компьютерных) технологий;

* при проведении экспериментов с дискретно-непрерывными моделями сложных экономических объектов для получения и отслеживания их динамики в экстренных ситуациях, связанных с рисками, моделирование которых нежелательно или невозможно.

Можно выделить следующие типовые задачи, решаемые средствами имитационного моделирования при управлении экономическими объектами:

* моделирование процессов логистики для определения временных и стоимостных параметров;

* управление процессом реализации инвестиционного проекта на различных этапах его жизненного цикла с учетом возможных рисков и тактики выделения денежных сумм;

* анализ клиринговых процессов в работе сети кредитных организаций;

* прогнозирование финансовых результатов деятельности предприятия на конкретный период времени;

* бизнес-реинжиниринг несостоятельного предприятия (изменение структуры и ресурсов предприятия-банкрота, после чего с помощью имитационной модели можно сделать прогноз основных финансовых результатов и дать рекомендации.);

* анализ адаптивных свойств и живучести компьютерной региональной банковской информационной системы (например, частично вышедшая из строя в результате природной катастрофы система электронных расчетов и платежей после катастрофического землетрясения 1995 г. на центральных островах Японии продемонстрировала высокую живучесть: операции возобновились через несколько дней);

* оценка параметров надежности и задержек в централизованной экономической информационной системе с коллективным доступом (на примере системы продажи авиабилетов с учетом несовершенства баз данных и отказов оборудования);

* анализ эксплуатационных параметров распределенной многоуровневой ведомственной информационной управляющей системы с учетом неоднородной структуры, пропускной способности каналов связи и несовершенства распределенной базы данных в региональных центрах;

* моделирование действий курьерской вертолетной группы в регионе, пострадавшем в результате природной катастрофы или крупной промышленной аварии;

* анализ работы автотранспортного предприятия, занимающегося коммерческими перевозками грузов, с учетом специфики товарных и денежных потоков в регионе;

* расчет параметров надежности и задержек обработки информации в банковской информационной системе.

Приведенный перечень является неполным и охватывает те примеры использования имитационных моделей, которые описаны в литературе. Действительная область применения аппарата имитационного моделирования не имеет видимых ограничений. Например, спасение американских астронавтов при возникновении аварийной ситуации на корабле APOLLO стало возможным только благодаря «проигрыванию» различных вариантов спасения на моделях космического комплекса.

Система имитационного моделирования, обеспечивающая создание моделей для решения перечисленных задач, должна обладать следующими свойствами:

* возможностью применения имитационных программ совместно со специальными экономико-математическими моделями и методами, основанными на теории управления;

* инструментальными методами проведения структурного анализа сложного экономического процесса;

* способностью моделирования материальных, денежных и информационных процессов и потоков в рамках единой модели, в общем модельном времени;

* возможностью введения режима постоянного уточнения при получении выходных данных (основных финансовых показателей, временных и пространственных характеристик, параметров рисков и др.) и проведении экстремального эксперимента.

Имитационное моделирование реализуется посредством набора математических инструментальных средств, специальных компьютерных программ и приемов, позволяющих с помощью компьютера провести целенаправленное моделирование в режиме «имитации» структуры и функций сложного процесса и оптимизацию некоторых его параметров. Набор программных средств и приемов моделирования определяет специфику системы моделирования - специального программного обеспечения.

В отличие от других видов и способов математического моделирования с применением ЭВМ имитационное моделирование имеет свою специфику: запуск в компьютере взаимодействующих вычислительных процессов, которые являются по своим временным параметрам - с точностью до масштабов времени и пространства - аналогами исследуемых процессов.

Имитационное моделирование как особая информационная технология состоит из следующих основных этапов.

I. Структурный анализ процессов. Проводится формализация структуры сложного реального процесса путем разложения его на подпроцессы, выполняющие определенные функции и имеющие взаимные функциональные связи согласно легенде, разработанной рабочей экспертной группой. Выявленные подпроцессы, в свою очередь, могут разделяться на другие функциональные подпроцессы. Структура общего моделируемого процесса может быть представлена в виде графа, имеющего иерархическую многослойную структуру. В результате появляется формализованное изображение имитационной модели в графическом виде.

Структурный анализ особенно эффективен при моделировании экономических процессов, где многие составляющие подпроцессы не имеют физической основы и протекают виртуально, т.к. оперируют с информацией, деньгами и логикой их обработки.

2. Формализованное описание модели. Графическое изображение имитационной модели, функции, выполняемые каждым подпроцессом, условия взаимодействия всех подпроцессов и особенности поведения моделируемого процесса (временная, пространственная и финансовая динамика) должны быть описаны на специальном языке для последующей трансляции. Для этого существуют различные способы:

* описание вручную на языке типа GPSS, Pilgrim и даже на Visual Basic. Последний очень прост, на нем можно запрограммировать элементарные модели, но он не подходит для разработки реальных моделей сложных экономических процессов, так как описание модели средствами Pilgrim компактнее аналогичной алгоритмической модели на Visual Basic в десятки-сотни раз;

* автоматизированное описание с помощью компьютерного графического конструктора во время проведения структурного анализа, т.е. с очень незначительными затратами на программирование.

3. Построение модели (build). Обычно это трансляция и редактирование связей, верификация (калибровка) параметров.

Трансляция осуществляется в различных режимах:

* в режиме интерпретации, характерном для систем GPSS, SLAM-II;

* в режиме компиляции (характерен для системы Pilgrim). Каждый режим имеет свои особенности.

Режим интерпретации проще в реализации. Специальная универсальная программа-интерпретатор на основании формализованного описания модели запускает все имитирующие подпрограммы. Данный режим не приводит к получению отдельной моделирующей программы, которую можно передать или продать заказчику.

Режим компиляции сложнее реализуется при создании моделирующей системы. Но это не усложняет процесс разработки модели. В результате получают отдельную моделирующую программу, которая работает независимо от системы.

Верификация параметров модели выполняется в соответствии с легендой, на основании которой построена модель, с помощью специально выбранных тестовых примеров.

4. Проведение экстремального эксперимента для оптимизации определенных параметров реального процесса.

Подробнее этапы имитационного моделирования рассмотрим в следующей главе.

1.2 ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Н. Н. Лычкина в учебном пособии «Имитационное моделирование экономических процессов» считает, что вне зависимости от типа моделей процесс создания и использования имитационных моделей является сложным итеративным процессом и выделяет в нем ряд следующих основных этапов (рис. 1):



* формулировка проблемы и определение целей исследования;

* разработка концептуального описания;

* формализация имитационной модели;

* программирование имитационной модели;

* испытание и исследование модели, проверка модели;

* планирование и проведение имитационного эксперимента;

* анализ результатов моделирования.

Рассмотрим кратко суть каждого этапа.

На первом этапе формулируется проблема, стоящая перед исследователем, и принимается решение о целесообразности применения метода имитационного моделирования. Затем определяются цели, которые должны быть достигнуты в результате имитации. От формулировки целей в значительной мере зависит выбор типа имитационной модели и характер исследования.

Общая технология или последовательность действий на этом этапе следующая: сбор данных об объекте моделирования и составление содержательного описания объекта моделирования; далее изучение проблемной ситуации -- определение диагноза и постановка задачи; уточнение целей моделирования; обоснование необходимости моделирования и осуществление выбора метода моделирования. На этом этапе четко, конкретно формулируются цели моделирования, которые определяют общий замысел модели и пронизывают содержание всех последующих этапов имитационного моделирования. Далее осуществляется формирование концептуальной модели исследуемого объекта.

Концептуальная модель есть логико-математическое описание моделируемой системы в соответствии с формулировкой проблемы. Основное содержание этого этапа -- формулировка общего замысла модели, переход от реальной системы к логической схеме ее функционирования. Здесь приводится описание объекта в терминах математических понятий и алгоритмизация функционирования ее компонентов. Концептуальное описание представляет собой упрощенное алгоритмическое отображение реальной системы.

При разработке концептуальной модели осуществляется установление основной структуры модели, которое включает статическое и динамическое описание системы. Определяются границы системы, приводится описание внешней среды, выделяются существенные элементы и дается их описание, формируются переменные, параметры, функциональные зависимости как для отдельных элементов и процессов, так и для всей системы. Результат работы на этом этапе -- документированное концептуальное описание плюс выбранный способ формализации моделируемой системы. При создании небольших моделей этот этап совмещается с составлением содержательного плана. В этот же момент уточняется методика всего имитационного эксперимента.

На третьем этапе имитационного исследования осуществляется формализация объекта моделирования. Процесс формализации сложной системы включает выбор способа формализации и составление формального описания системы.

В построении модели выделяют три уровня ее представления: неформализованный (этап 2) -- концептуальная модель; формализованный (этап 3) -- формальная модель; программный (этап 4) -- имитационная модель.

Каждый уровень отличается от предыдущего степенью детализации моделируемой системы и способами описания ее структуры и процесса функционирования. При этом уровень абстрагирования возрастает. На основании неформализованного описания осуществляется разработка более строгого и подробного формализованного описания. Далее формализованное описание также в соответствии с некоторой методикой преобразуется в программу-имитатор. Основная задача этапа формализации -- дать формальное описание сложной системы, свободное от второстепенной информации, имеющейся в концептуальном описании. Формальное представление логико-математической модели позволяет отразить алгоритмы поведения компонентов сложной системы и вопросы

Далее концептуальное или формальное описание модели сложной системы преобразуется в программу-имитатор в соответствии с некоторой методикой и техникой программирования, с применением языков и систем моделирования. Так происходит программирование имитационной модели. Важным моментом здесь является корректный выбор инструментального средства для реализации имитационной модели.

После того как имитационная модель реализована на ЭВМ, необходимо провести испытание и проверку достоверности модели. Это является чрезвычайно важным и ответственным моментом в имитационном моделировании. Проверка, выполненная нетщательно, может привести к неизвестным последствиям. На этапе испытания и исследования разработанной имитационной модели организуется комплексное тестирование модели (testing) -- планируемый итеративный процесс, направленный главным образом на поддержку процедур верификации и валидацин имитационных моделей и данных. Если в результате проведенных процедур модель окажется недостаточно достоверной, может быть выполнена калибровка имитационной модели с целью обеспечения адекватности модели. На заключительных этапах имитационного моделирования необходимо проводить стратегическое и тактическое планирование имитационного эксперимента.

В более сложных случаях возможны многочисленные итерации на ранние этапы, чтобы получить дополнительную информацию о моделируемом объекте и доработать имитационную модель. Наличие ошибок во взаимодействии компонентов модели возвращает исследователя к этапу создания имитационной модели.

Очевидно, что данный метод исследования несовершенен и имеет свои плюсы и минусы, которые рассмотрим в следующей главе.



1.3 ДОСТОИНСТВА И НЕДОСТАТКИ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Все имитационные модели представляют собой модели типа так называемого черного ящика. Это означает, что они обеспечивают выдачу выходного сигнала системы, если на ее взаимодействующие подсисстемы поступает входной сигнал. Поэтому для получения необходимой информации или результатов необходимо осуществлять «прогон» имитационных моделей, а не «решать» их. Имитационные модели не способны формировать свое собственное решение в том виде, в каком это имеет место в аналитических моделях, а могут лишь служить в качестве средства для анализа поведения системы в условиях, которые определяются экспериментатором. Следовательно, имитационное моделирование -- не теория, а методология решения проблем. Более того, имитационное моделирование является только одним из нескольких имеющихся в распоряжении системного аналитика важнейших методов решения проблем. Поскольку необходимо и желательно приспосабливать средство или метод к решению задачи, а не наоборот, то возникает естественный вопрос: в каких случаях стоит прибегнуть к имитационному моделированию?

Р. Шеннон определяет имитационное моделирование как экспериментирование с моделью реальной системы. Необходимость решения задачи путем экспериментирования становится очевидной, когда возникает потребность получить о системе специфическую информацию, которую нельзя найти в известных источниках. Непосредственное экспериментирование на реальной системе устраняет много затруднений, если необходимо обеспечить соответствие между моделью и реальными условиями; однако недостатки такого экспериментирования иногда весьма значительны, поскольку:

1. Оно может нарушить установленный порядок работы фирмы.

2. Если составной частью системы являются люди, то на результаты экспериментов может повлиять эффект, проявляющийся в том, что люди, чувствуя, что за ними наблюдают, могут изменить свое поведение.

3. Может оказаться сложным поддержание одних и тех же рабочих условий при каждом повторении эксперимента или в течение всего времени проведения серии экспериментов.

4. Для получения одной и той же величины выборки могут потребоваться чрезмерные затраты времени и средств.

5. При экспериментировании с реальными системами может оказаться невозможным исследование множества других вариантов.

По этим причинам исследователь должен рассмотреть целесообразность применения имитационного моделирования при наличии любого из следующих условий:

1. Не существует законченной математической постановки данной задачи, либо еще не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели. К этой категории относятся модели массового обслуживания, связанные с рассмотрением очередей.

2. Аналитические методы имеются, но математические процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи.

3. Аналитические решения существуют, но их реализация невозможна вследствие недостаточной математической подготовки имеющегося персонала. В этом случае следует сопоставить затраты на проектирование, испытания и работу на имитационной модели с затратами, связанными с приглашением специалистов со стороны.

4. Кроме оценки определенных параметров, желательно осуществить на имитационной модели наблюдение за ходом процесса в течение определенного периода.

5. Имитационное моделирование может оказаться единственной возможностью вследствие трудностей постановки экспериментов и наблюдения явлений в реальных условиях - соответствующим примером может служить изучение поведения космических кораблей в условиях межпланетных полетов.

6. Для долговременного действия систем или процессов может понадобиться сжатие временной шкалы. Имитационное моделирование дает возможность полностью контролировать время изучаемого процесса, поскольку явление может быть замедлено или ускоренно по желанию. К этой категории относятся исследования проблем упадка городов.

Дополнительным преимуществом имитационного моделирования можно считать широчайшие возможности его применения в сфере образования и профессиональной подготовки. Разработка и использование имитационной модели позволяют экспериментатору видеть и «разыгрывать» на модели реальные процессы и ситуации. Это в свою очередь должно в значительной мере помочь ему понять и прочувствовать проблему, что стимулирует процесс поиска нововведений.

Идея имитационного моделирования интуитивно привлекательна и для руководителей, и для исследователей систем благодаря своей простоте. Поэтому метод имитационного моделирования стремятся применять для решения каждой задачи, с которой приходится сталкиваться. И хотя людям с высокой математической подготовкой имитационный подход представляется грубым силовым приемом или последним средством, к которому следует прибегать, факт заключается в том, что этот метод является самым распространенным инструментом в руках ученого, погруженного в проблемы управления и исследования операций. В табл. 1.2 представлены результаты проведенного Шенноном и Байлесом обследования научной деятельности группы действительных членов Американского общества исследования операций'.

Для лиц, занимающихся повседневными исследованиями, более высокую по сравнению с имитационным моделированием оценку полезности имеют, как видно из этой таблицы, только теория вероятностей и экономический анализ. Эти результаты подтверждаются и другими исследователями.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поэтому, несмотря на недостаточное математическое изящество, имитационное моделирование является одним из наиболее широко распространенных количественных методов, используемых при решении проблем управления. Большинство администраторов и исследователей заинтересованы главным образом в решении своих неотложных задач, руководствуясь девизом «цель оправдывает средства!». Но именно забота о приложимости конечных результатов побуждает нас задаться вопросом: можно ли вообще, опираясь на имитационное моделирование, получить результаты также и наиболее эффективным способом? Ответ нередко будет отрицательным и по следующим причинам:

1. Разработка хорошей имитационной модели часто обходится дорого и требует много времени, а также наличия высокоодаренных специалистов, которых в данной фирме может и не оказаться.

2. Может показаться, что имитационная модель отражает реальное положение вещей, хотя в действительности это не так. Если этого не учитывать, то некоторые свойственные имитации особенности могут привести к неверному решению.

3. Имитационная модель в принципе не точна, и мы не в состоянии измерить степень этой неточности. Это затруднение может быть преодолено лишь частично путем анализа чувствительности модели к изменению определенных параметров.

4. Результаты, которые дает имитационная модель, обычно являются численными, а их точность определяется количеством знаков после запятой, выбираемым экспериментатором. В связи с этим возникает опасность «обожествления чисел», т. е. приписывания им большей значимости, чем они на самом деле имеют.

Приведенные соображения показывают, что, хотя имитационное моделирование является чрезвычайно ценным и полезным метолом решения сложных задач, этот метод, конечно, не панацея для решения всех проблем управления. Разработка и применение имитационных моделей все еще в большей степени искусство, нежели наука. Следовательно, как и в других видах искусства, успех или неудача определяется не столько методом, сколько тем, как он применяется. И хотя имитационное моделирование -- это искусство, им могут легко овладеть те, кто наделен изобретательностью, интуицией и находчивостью.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате рассмотрения теоретических основ имитационного моделирования можно сделать следующие выводы:

Имитационное моделирование -- является эффективным способом изучения многих сложных экономических объектов.

Благодаря данному виду исследования можно легко найти верное решение по поведению сложных объектов в реальных жизненных условиях.

Область применения, а также инструментарий данных исследований постоянно развивается и совершенствуется.

Несмотря на сложность и наличие недостатков этого метода потребность в нем постоянно возрастает, к нему наряду с другими методами очень часто прибегают многие специалисты, как математики, так и экономисты.



СПИСОК ИСТОЧНИКОВ ЛИТЕРАТУРЫ

Лычкина Н.Н. Имитационное моделирование экономических процессов. Учебное пособие.- М.: ИНФРА-М 2012;

Кобелев Н.Б. Основы имитационного моделирования сложных экономических систем. Учебное пособие.- М.: Дело 2003;

Карпов Ю. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с AnyLogic5. - СПб: БХВ- Петербург, 2005.

Емельянов А.А. Имитационное моделирование экономических процессов: Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2002.

Shannon R. "Systems simulation. The art and science"
1978.

Размещено на Allbest.ru

...