Математичнi моделi коаксiальних гiротронiв iз гофрованими вставками для чисельного аналiзу власних мод

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАЇНИ IНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ iм. А.М. ПIДГОРНОГО

УДК 517.968.519.6

МАТЕМАТИЧНI МОДЕЛI КОАКСIАЛЬНИХ ГIРОТРОНIВ IЗ ГОФРОВАНИМИ ВСТАВКАМИ ДЛЯ ЧИСЕЛЬНОГО АНАЛIЗУ ВЛАСНИХ МОД

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук

КОНОНЕНКО Олексiй Сергiйович

Харкiв - 2007



Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Харкiвському нацiональному унiверситетi iм. В.Н. Каразiна Мiнiстерства освiти i науки України.

Науковий керівник: доктор фiзико-математичних наук, професор ГАНДЕЛЬ Юрiй Володимирович Харкiвський нацiональний унiверситет iм. В.Н. Каразiна, професор кафедри математичної фiзики та обчислювальної математики

Офiцiйнi опоненти: доктор технiчних наук, професор ШЕЙКО Тетяна Iванiвна Iнститут проблем машинобудування iм. А.М. Пiдгорного НАН України, завiдувач вiддiлу прикладної математики та обчислювальних методiв;

доктор фiзико-математичних наук, професор НОСИЧ Олександр Йосипович Iнститут радiофiзики та електронiки iм. А.Я. Усiкова НАН України, провiдний науковий спiвробiтник вiддiлу обчислювальної електродинамiки

Захист вiдбудеться " 27 " березня 2008 р. о 14-00 на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 64.180.01 в Iнститутi проблем машинобудування iм. А.М. Пiдгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харкiв, вул. Дм. Пожарського,2/10.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Iнституту проблем машинобудування iм. А.М. Пiдгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харкiв, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розiсланий " 26 " лютого 2008 р.

Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради

доктор технiчних наук О.О. Стрельнiкова



АНОТАЦIЯ

Кононенко О.С. Математичнi моделi коаксiальних гiротронiв iз гофрованими вставками для чисельного аналiзу власних мод.- Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальнi методи. - Iнститут проблем машинобудування iм. А.М. Пiдгорного НАН України, Харкiв, 2007.

В дисертацiйнiй роботi вперше розроблено математичну модель гофрованого резонатора коаксiального гiротрона для власних ТМ хвиль. Побудовано математичну модель такого резонатора для стоячих ТЕ та ТМ хвиль у випадку довiльних дiелектрикiв у робочiй зонi та гофрах. Дослiдження було проведено шляхом зведення вихiдних крайових задач для рiвняння Гельмгольця до сингулярного (у випадку ТЕ хвиль) або гiперсингулярного (у випадку ТМ хвиль) iнтегрального рiвняння.

Побудовано та обґрунтовано дискретну математичну модель гiперсингулярного iнтегрального рiвняння загального вигляду, що було отримано пiд час дослiдження власних ТМ мод. Ця дискретна математична модель може бути використана у цiлiй низцi задач електродинамiки.

Виконано велику кiлькiсть чисельних експериментiв з обчислення важливих параметрiв гофрованих резонаторiв. Проведено валiдацiю та порiвняння отриманих результатiв, що додатково пiдтвердило їх вiрогiднiсть.

Побудованi в дисертацiї математичнi моделi дозволяють вивчати, оптимiзувати та проектувати резонаторнi системи гiротронiв, що є необхiдним для сучасних дослiджень у галузi термоядерного синтезу.

Ключовi слова: математичне моделювання, метод дискретних особливостей, сингулярнi та гiперсингулярнi iнтегральнi рiвняння, коаксiальнi гiротрони, власнi електромагнiтнi коливання.



АННОТАЦИЯ

Кононенко А.С. Математические модели коаксиальных гиротронов с гофрированными вставками для численного анализа собственных мод.- Рукопись. резонатор дiелектрик гофр інтегральний

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы.- Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украина, Харьков, 2007.

В диссертационной работе впервые разработана математическая модель гофрированного резонатора коаксиального гиротрона для собственных ТМ волн. Данная модель позволила сформировать новый подход для исследования произвольных собственных волн таких резонаторов на основе теории интегральных уравнений.

Предложен метод изучения азимутальных стоячих волн в гофрированных резонаторах гиротронов, а также построена математическая модель такого резонатора для продольных стоячих ТЕ и ТМ волн в случае произвольных диэлектриков в рабочей зоне и гофрах. Исследования проведены путем сведения исходных краевых задач для уравнения Гельмгольца к сингулярному (в случае ТЕ волн) или гиперсингулярному (в случае ТМ волн) интегральному уравнению.

Построена и обоснована дискретная математическая модель гиперсингулярного интегрального уравнения первого рода общего вида, которое было выведено при исследовании собственных ТМ волн. Она позволяет проводить эффективный численный анализ такого уравнения. Эта дискретная математическая модель также может быть использована в широком круге задач электродинамики, например, в теории проволочных антенн.

Разработано программное обеспечение, позволяющее в реальном времени проводить численные исследования собственных мод коаксиального гофрированного резонатора на базе построенных в диссертации математических моделей и соответствующих дискретных математических моделей.

Выполнено большое количество численных экспериментов по расчету важных параметров гофрированных резонаторов. В частности, были рассчитаны поперечные волновые числа, собственные частоты, электромагнитные поля для большого количество собственных мод гиротронов.

Была проведена валидация и сравнение полученных результатов с результатами, которые были получены другими методами (в случае, когда такие расчеты существовали), что дополнительно подтвердило их достоверность. Зависимости, полученные при вычислении омических потерь в гиротроне, позволили сделать предложения по оптимизации геометрии резонаторов гиротронов.

Построенные в диссертации математические модели позволяют изучать, оптимизировать и проектировать резонаторные системы гиротронов, что является необходимым для современных исследований в области термоядерного синтеза.

Ключевые слова: математическое моделирование, метод дискретных особенностей, сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения, коаксиальные гиротроны, собственные электромагнитные колебания.



SUMMARY

Kononenko O.S. Mathematical models of the coaxial corrugated gyrotrons for the numerical analysis of the eigen modes.- Manuscript.

Thesis for the scienti?c degree of the candidate of the physical and mathematical sciences on the speciality 01.05.02 - mathematical modelling and computational methods.- A.M. Pidgorny institute for Mechanical Engineering Problems NAS of Ukraine, Kharkiv, 2007.

For the ?rst time mathematical model of the corrugated gyrotron resonator is developed for the eigen traveling TM modes. New mathematical model of such a resonator has been built for the standing TE and TM waves for the arbitrary dielectrics in the working area and corrugations. Investigation is performed using rigorous analytical methods. Initial boundary problems for the Helmholtz equation are reduced to the singular (for TE waves) or hypersingular (for TM waves) integral equation.

New discrete mathematical model of the hypersingular integral equation of the ?rst kind which was derived for the eigen TM waves is developed and substantiated. This discrete model can be applied in the wide range of the electrodynamical problems.

Numerical experiments for the calculation of the corrugated resonators important parameters are carried out. Validation and comparison of the obtained results is performed. This additionally con?rmed their correctness.

Mathematical models which are developed in the thesis allow to study, optimize and project gyrotron resonator systems which are necessary for the current investigation in the ?eld of the thermonuclear fusion.

Key words: mathematical modelling, method of the discrete singularities, singular and hypersingular integral equations, coaxial gyrotrons, eigen electromagnetical oscillations.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Розробка математичних моделей для розрахунку широкого кола хвилеведучих пристроїв є важливою частиною сучасних дослiджень у галузi високочастотної електронiки. Поширення електромагнiтних хвиль у таких системах, розв'язання спектральних задач, обчислення власних електромагнiтних коливань резонаторiв, розрахунок омiчних втрат становлять найбiльший iнтерес у реальних задачах. Вiдзначимо, що резонаторнi системи хвилеведучих пристроїв мають складну геометрiю. При цьому поряд iз вакуумними хвилеводами використовуються хвилеводи з дiелектричними вставками.

Одним з таких пристроїв є коаксiальний гiротрон iз гофрованою внутрiшньою вставкою. Гiротрони розробляються та використовуються як високопотужнi генератори мiлiметрових хвиль. Зокрема вони застосовуються при нагрiваннi плазми в термоядерних реакторах, таких, як ITER.

Розробленi на сьогоднi методи для розрахунку гiротронiв мають низку недолiкiв, наприклад, неможливiсть їх застосування для довiльних параметрiв геометрiї резонатора, довiльних типов хвиль та номерiв робочих мод. Таким чином, актуальною є розробка математичних моделей та чисельних алгоритмiв для розв'язання широкого класу задач у таких електродинамiчних системах.

Математичнi моделi, побудованi в дисертацiї, базуються на результатах, якi були отриманi багатьма вченими, зокрема такими, як Ю.В. Гандель, I.К. Лiфанов, С.М. Бєлоцерковський, Б.Г. Габдулхаєв, Л.Н. Полтавський, Г.I. Загiнайлов, О. Думбрайс, М. Тумм.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя була виконана на кафедрi математичної фiзики та обчислювальної математики механiко-математичного факультету Харкiвського нацiонального унiверситету iм. В.Н. Каразiна. Обрана тема дослiджень є частиною наукової роботи, що проводиться на кафедрi в межах держбюджетних тем Мiнiстерства освiти i науки України: "Багатомодовий аналiз коаксiального резонатора гiротрона для дослiдження керованого термоядерного синтезу" № ДР 0103U004230 (2003-2005р.), "Спектральний багатомодовий аналiз хвилеводiв та вiдкритих резонаторiв - теорiя та чисельне моделювання" № ДР 0106U001534 (20062008р.).

Мета й задачi дослiджень. Метою дослiджень є розробка математичних моделей гофрованих резонаторiв для аналiзу власних електромагнiтних коливань, а також побудова дискретних математичних моделей для проведення чисельних експериментiв з розрахунку електродинамiчних параметрiв структур, що розглядаються. Для досягнення цiєї мети в дисертацiї поставлено та розв'язано низку таких задач:

- розробка математичної моделi коаксiального гiротрона iз гофрованою внутрiшньою вставкою для чисельного аналiзу власних мод електричного типу (ТМ мод);

- побудова математичної моделi резонатора гiротрона для дослiдження стоячих хвиль у випадку довiльних дiелектрикiв в робочiй зонi та гофрах;

- розробка дискретної математичної моделi гiперсингулярного iнтегрального рiвняння першого роду загального вигляду, яке виведено при дослiдженнi власних ТМ мод;

- розробка дискретної математичної моделi омiчних втрат на гофрованiй вставцi гiротрона;

- проведення чисельного аналiзу електродинамiчних характеристик гофрованих резонаторiв гiротронiв на базi розроблених математичних моделей.

Об'єкт дослiдження - власнi моди гофрованих резонаторiв гiротронiв.

Предмет дослiдження - математичнi моделi коаксiальних гiротронiв iз гофрованими вставками для розрахунку поперечних хвильових чисел, електромагнiтних полiв, омiчних втрат власних мод.

Методи дослiдження. У дисертацiйнiй роботi використовуються методи математичної фiзики, теорiї iнтегральних та диференцiальних рiвнянь, лiнiйної алгебри, обчислювальнi методи, зокрема метод дискретних особливостей, та методи об'єктно-орiєнтованого програмування.

Наукова новизна одержаних результатiв:

1. Вперше розроблено математичну модель гофрованого резонатора гiротрона для аналiзу власних ТМ хвиль. Це дозволило сформувати новий метод аналiзу власних електромагнiтних коливань сучасних коаксiальних гiротронiв на базi iнтегральних рiвнянь, а також забезпечує можливiсть вивчати власнi моди релятивiстських гiротронiв.

2. Розроблено нову дискретну математичну модель гiперсингулярного iнтегрального рiвняння першого роду загального виду, яке було виведено при вивченнi ТМ мод гiротрона. Ця модель дає можливiсть провести чисельний аналiз власних ТМ мод гофрованого резонатора.

3. Вперше побудовано математичну модель коаксiального гiротрона iз гофрованою вставкою для подовжнiх стоячих хвиль та довiльних дiелектрикiв у робочiй зонi та гофрах вставки. Запропоновано метод дослiдження азимутальних стоячих хвиль у такому резонаторi. Це дозволяє провести чисельний аналiз стоячих хвиль у гiротронах, що розглядаються, та є важливим з точки зору пiдвищення ефективностi роботи таких пристроїв.

Практичне значення одержаних результатiв. Розробленi математичнi моделi дозволяють iз контрольованою точнiстю проводити електродинамiчний аналiз резонаторiв коаксiальних гiротронiв iз гофрованою внутрiшньою вставкою як для мод, що розповсюджуються, так i для довiльних стоячих мод. Важливе практичне значення має також той факт, що побудованi моделi можуть бути застосованi для довiльних геометричних параметрiв резонаторiв та довiльних азимутальних та радiальних номерiв мод.

Побудована дискретна математична модель гiперсингулярного iнтегрального рiвняння першого роду є найбiльш загальною, що дозволяє застосовувати її в широкому класi електродинамiчних задач, наприклад, у теорiї дротових антен.

На базi математичної моделi гiротрона для хвиль магнiтного типу (ТЕ хвиль) розроблено дискретну математичну модель омiчних втрат на гофрованiй вставцi. Це дало можливiсть провести розрахунок втрат для власних ТЕ мод бiльш точно, нiж у випадку iмпедансного наближення.

На базi нових математичних моделей та вiдповiдних дискретних математичних моделей розроблено програмне забезпечення для чисельного аналiзу власних електромагнiтних коливань хвилеведучих систем, що вивчаються. Воно використовувалося для розрахунку в реальному часi поперечних хвильових чисел мод, що розповсюджуються, власних частот стоячих мод, аналiзу та вiзуалiзацiї власних полiв, обчислення омiчних втрат.

Отриманi чисельнi результати можуть бути застосованi для побудови та оптимiзацiї ефективних резонаторних систем гiротронiв. Ведеться плiдна спiвпраця iз пiдроздiлом високочастотної електронiки Дослiдницького центру м. Карлсруе, Нiмеччина.

Особистий внесок здобувача. Результати, що викладенi в дисертацiйнiй роботi, отриманi автором самостiйно та опублiкованi в роботах [1-16]. У публiкацiях, написаних у спiвавторствi iз науковим керiвником Ю.В. Ганделем [2,3,5,6,10-16], здобувачем побудованi математичнi моделi коаксiальних гiротронiв iз гофрованими вставками для аналiзу власних електромагнiтних коливань, вiдповiднi ефективнi дискретнi математичнi моделi, а також проведенi чисельнi дослiдження електродинамiчних характеристик резонаторiв, що розглядаються. У роботi [7] дисертантом побудовано дискретну математичну модель омiчних втрат на стiнках резонатора для власних ТЕ мод та проведено коло чисельних експериментiв щодо їх розрахунку.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати, викладенi в текстi дисертацiї, доповiдались на семiнарах в таких наукових установах: Харкiвський нацiональний унiверситет iм. В.Н. Каразiна, м. Харкiв, семiнар "Математичне моделювання в математичнiй фiзицi методами дискретних особливостей", кер. - проф. Ю.В. Гандель, 2002-2007 р.; Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова НАНУ , м. Київ, кер. - член-кор. НАНУ A. О. Чикрiй, 2005 р.; математичний iнститут унiверситету Людвiга Максимiлiана, м. Мюнхен, Нiмеччина, кер. - проф. Х. Зидентоп, 2003 р.; факультет високочастотної технiки технiчного унiверситету Гамбурга-Харбурга, м. Гамбург, Нiмеччина, кер. - проф. К. Шунеман, 2004 р.; факультет високочастотної технiки технiчного унiверситету Брауншвайга, м. Брауншвайг, Нiмеччина, кер. - проф. A. Якоб, 2004 р.; коледж науки й технiки унiверситету Нiхон, м. Токiо, Японiя, кер. - проф. Т. Ямасакi, 2006 р.; факультет математичного моделювання унiверситету Чуо, м. Токiо, Японiя, кер. - проф. К. Кобаяши, 2006 р.; факультет електронiки та обчислювальної технiки унiверситету Гiфу, м. Гiфу, Японiя, кер. - проф. К. Танака, 2006 р.; факультет комп'ютерних наук та технiки зв'язку университету Кюшу, м. Фукуока, Японiя, кер. - проф. К. Ясумото, 2006 р.; факультет комп'ютерних наук та технiки зв'язку унiверситету Кумамото, м. Кумамото, Японiя, кер. - Й. Окуно та проф. А. Мацушима, 2006 р.

Результати дослiджень було також апробовано на таких мiжнародних конференцiях та симпозiумах: мiжнародний симпозiум "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики"(м. Херсон-Лазурне, Україна, 2003, 2005, 2007); 10th Triennial ITG-Conference on Displays and Vacuum Electronics (м. Гармiш-Паттенкiрхен, Нiмеччина, 2004); десята мiжнародна наукова конференцiя iм. академiка М. Кравчука (м. Київ, Україна, 2004); First Karazin Scienti?c Readings (м. Харкiв, Україна, 2004); International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (м. Днiпропетровськ, Україна, 2004 та м. Харкiв, Україна, 2006); International Conference on Dynamical System Modelling and Stability Investigation (м. Київ, Україна, 2005); International Conference on Accelerators and Large Experimental Control Systems (м. Женева, Швейцарiя, 2005); 36th European Microwave Conference (м. Манчестер, Великобританiя, 2006); Asia Paci?c Microwave Conference (м. Йокохама, Японiя, 2006); 6-th International Symposium on Physics and Engineering of Microwaves, Millimeter and Submillimeter Waves(м. Харкiв, Україна, 2007).

Публiкацiї. Основнi результати, викладенi в дисертацiйнiй роботi, опублiкованi в 16 роботах, з них 6 статей у наукових журналах та 10 - у збiрниках праць наукових конференцiй.

Структура та обсяг дисертацiйної роботи. Дисертацiя складається зi вступу, шести роздiлiв, висновкiв та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи складає 129 сторiнок тексту, мiстить 22 рисунки, 2 таблицi, список використаних джерел складається з 84 найменувань на 10 сторiнках.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми дисертацiї, зазначено її зв'язок iз науковими темами Харкiвського нацiонального унiверситету iм. В.Н. Каразiна, де виконувалась робота. Сформульовано мету i задачi дослiдження. Вказуються об'єкт, предмет та методи дослiдження, розкривається наукова новизна та практичне значення отриманих результатiв. Наведена iнформацiя про публiкацiї та апробацiю викладеного в роботi матерiалу, а також вiдзначено особистий внесок здобувача.

У першому роздiлi проведено огляд лiтератури за темою дисертацiї. Розглянуто фiзичнi аспекти задачi та iснуючi математичнi моделi для розрахунку власних мод гофрованих резонаторiв. Розглянуто новi математичнi моделi власних ТЕ коливань гiротронiв, якi розробленi на базi сингулярних iнтегральних рiвнянь, та наведено огляд вiдповiдного математичного апарату. За результатами проведеного аналiзу лiтератури вiдзначаються недолiки iснуючих методiв.

Дається аналiз обчислювальних методiв, що можуть бути застосованi для дослiдження електромагнiтних коливань в гiротронах. Зокрема розглядається метод дискретних особливостей, який може бути використаний для чисельного аналiзу iнтегральних рiвнянь задачi.

Наведено обґрунтування необхiдностi розробки широкого кола математичних моделей коаксiальних гiротронiв для чисельного аналiзу як власних мод, що розповсюджуються, так i стоячих мод.

У другому роздiлi побудовано математичну модель для аналiзу власних ТМ коливань гофрованого резонатора коаксiального гiротрона.

Дослiджуються ТМ хвилi в коаксiальному гiротронi iз подовжнiми гофрами. Електромагнiтне поле в цьому випадку має такий вигляд:

,

де щ - частота, Г - стала розповсюдження, та записуються як

.

Для компоненти E_z, через яку обчислюються iншi невiдомi компоненти поля, виконується рiвняння Гельмгольця у поперечному перетинi резонатора гiротрона:

ДE_z + ч²E_z =0, (1)

де - власне хвильове число, е, µ - електрична та магнiтна проникностi.

На межах поперечного перетину виконується умова Дирихле.

У цилiндричнiй системi координат функцiї , тобто E_z в , представляються у виглядi суми мод:



(2)

для яких виконується умова квазiперiодичностi:

. (3)

При цьому кожна фiксована мода задовольняє вiдповiднiй крайовiй задачi для рiвняння Гельмгольця. Введемо нову невiдому функцiю:

. (4)

Використовуючи технiку параметричних представлень, вiдповiдну двовимiрну крайову задачу для рiвняння Гельмгольця зведено до одновимiрного гiперсингулярного iнтегрального рiвняння такого виду:

де a, b - коефiцiєнти, а K - гладка функцiя, що залежать вiд ч.

Перший iнтеграл у рiвняннi (5) розглядається як iнтеграл за Адамаром, другий - як iнтеграл за Коши. Це рiвняння виведено на кривiй У,а невiдома функцiя F(t) визначає E_z(r, ц) з точнiстю до мультипликативної константи. Результати чисельного розв'язку (5) на базi розробленої в 5-му роздiлi дискретної математичної моделi наведенi в роздiлi 6.

У третьому роздiлi розроблено математичну модель для подовжнiх стоячих ТЕ хвиль, а також довiльних фiксованих дiелектричних проникностей е_± в робочiй зонi та гофрах резонатора коаксiального гiротрона. У цьому випадку електромагнiтне поле може бути обчислено за допомогою компоненти H_z магнитного поля. При цьому H_z розкладається, у свою чергу, на суму мод:

(6)

Розглядається випадок фiксованого m, тобто фiксована мода. Використовуючи параметричнi представлення для iнтегрального оператора з логарифмiчним ядром, крайову задачу Неймана для рiвняння Гельмгольця, якiй задовольняє функцiя u_m, зведено до сингулярного iнтегрального рівняння

(7)

та додаткової умови

, (8)

де K(t, t₀) - функцiя, що має особливiсть типа Коши, L(t) - гладка функцiя, а невiдома функцiя F_m(t) дозволяє розрахувати моду u_m(r, ц).

Зауважимо, що K(t, t₀) та L(t) залежать вiд власної частоти щ_m моди u_m.

За допомогою квадратурних формул iнтерполяцiйного типу для сингулярного iнтегрального оператора та iнтегрального оператора з гладким ядром рiвняння (7) та (8) зводяться до системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь, матриця якої A залежить вiд щ_m. Для того щоб знайти власнi частоти, необхiдно обчислити значення щ_m, для яких det(A)=0.

У четвертому роздiлi побудовано математичну модель для подовжнiх стоячих TM хвиль, а також довiльних фiксованих дiелектричних проникностей у робочiй зонi та гофрах резонатора коаксiального гiротрона. У цьому випадку електромагнiтне поле може бути розраховано за допомогою подовжньої компоненти E_z електричного поля, яка задовольняє крайовiй задачi Дирихле для рiвняння Гельмгольця. При цьому E_z розкладається на суму мод:

(9)

Використовуючи параметричнi представлення для iнтегрального оператора з гiперсингулярним, сингулярним та логарифмiчним ядрами, крайову задачу Дирихле для рiвняння Гельмгольця, якiй задовольняє функцiя u_m, зведено до гiперсингулярного iнтегрального рiвняння виду (5), де коефiцiєнти a, b та гладка функцiя K залежать вiд власної частоти щ_m моди u_m. Чисельний аналiз цього iнтегрального рiвняння проводиться на базi розробленої в 5-му роздiлi дискретної математичної моделi.

У п'ятому роздiлi побудовано нову дискретну математичну модель гiперсингулярного iнтегрального рiвняння першого роду загального вигляду:

. (10)

Ця модель, зокрема, дозволяє провести чисельний розв'язок рiвняння (5). Iнтегральнi оператори, що введенi у рiвняннi (10), розглядаються на просторах полiномiв та мають такий вигляд:

(11)

(12)

У просторах полiномiв Р^I та Р^II введено два скалярнi добутки:

Поповнюючи простори полiномiв за нормами ||.||^I и ||.||^II , що породженi скалярними добутками (13) та (14), отримуємо пару Гильбертових просторiв, якi позначимо L^I та L^II . Для операторiв A, B та Г^-1, якi розширенi на L^I та L^II , використовуються тi ж самi символи. Проведено регуляризацiю операторiв Г^-1 та B, для того щоб регуляризованi оператори Г^-1_n-2 та B_n-2 переводили полiноми ступеня n - 2 в полiноми того ж ступеня. Побудовано квадратурнi формули iнтерполяцiйного типу для регуляризованих операторiв.

Поряд iз рiвнянням (10) розглянуто рiвняння для наближеного розв'язку u_n-2 = u_n-2(t) - полiнома ступеня n-2:

Au_n-2 + aГ^-1_n-2u_n-2 + bB _n-2u _n-2 + K _n-2u _n-2 = f _n-2, (13)

де f_n-2 та K_n-2 - iнтерполяцiйнi полiноми ступеня n-2 вiдповiдних функцiй, якi побудовано по вузлах - нулях полiномiв Чебишева другого роду.

Таким чином, лiва та права частина рiвняння (13) для u_n-2 = u _n-2(t) - полiноми ступеня n-2, тому їх рiвнiсть в n-1 точках необхiдна та достатня для тотожної рiвностi.

На базi квадратурних формул, що розробленi в дисертацiї для iнтегральних операторiв iз (13), лiву частину цього рiвняння представлено у виглядi лiнiйної комбiнацiї значень невiдомої функцiї u _n-2 у вузлових точках.

Використовуючи оцiнки для рiзниць норм iнтегральних операторiв та їх регуляризацiй, доведена наступна теорема 1.

Теорема 1. При достатньо великих n iснує розв'язок u _n-2 рiвняння (13) та справедлива оцiнка апроксимацiї розв'язка u рiвняння (10) розв'язком (13):

|| u_n-2-u || ? c/n,

де c - константа.

У шостому роздiлi побудовано системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь, що є дискретними аналогами математичних моделей розроблених у роздiлах 2-4. Запропоновано метод обчислення матриць цих систем та алгоритм обчислення власних чисел та власних частот на основi сингулярного розкладання матрицi. Побудовано дискретну математичну модель омiчних втрат власних ТЕ мод на гофрованiй вставцi резонатора.

Проводиться чисельний експеримент з розрахунку електродинамiчних характеристик широкого кола коаксiальних гофрованих резонаторiв. Зокрема, розглядаються гiротрони, якi розробленi у Дослiдному центрi м. Карлсруе (Нiмеччина).

Проведено чисельнi експерименти щодо обчислення поперечного хвильового числа ч_m широкого кола TM мод. На рис. 3 наведена залежнiсть ч_m та е (похибки обчислення хвильового числа) вiд кiлькостi точок дискретизацiї для моди TM_34,19 у гiротронi №2.

Обчислення поперечного хвильового числа проведено для великої кiлькостi конфiгурацiй резонаторiв гiротронiв. Зокрема, проведено чисельний експеримент з розрахунку власних хвильових чисел для TE та TM мод резонатора гiротрона №2 при фiксованому азимутальному номерi робочої моди m = 34.

Зауважимо, що спiввiдношення мiж хвильовими числами ТЕ та ТМ мод при фiксованому m дало змогу провести додаткову валiдацiю побудованих у дисертацiї математичних моделей.

З точки зору теорiї конкуренцiї мод, важливою є залежнiсть ч_m(z). На основi математичних моделей, розроблених в дисертацiї, розраховано ч_m для дискретного набору поперечних перетинiв, передбачаючи, що у фiксованому перетинi розглядається безмежний цилiндричний хвилевiд.

На базi отриманих результатiв для власних значень проведено розрахунок вiдповiдних електромагнiтних полiв. Проаналiзована поведiнка поля бiля стiнок резонатора та пiдтверджено виконання граничних умов.

Для гiротрона №2 та його робочої моди TE_34,19 розраховувалась щiльнiсть омiчних втрат на перiодi гофрування для широкого кола параметрiв резонатора на базi дискретної математичної моделi, що представлена в дисертацiї.

Зокрема, були обчисленi втрати для розкриву гофра L = 0,31мм, L = 0,35мм та L = 0,39мм. При цьому глубина гофра (h) варiювалися вiд 0 до 2мм.

Проведено валiдацiю отриманих в роздiлi чисельних результатiв, а також порiвняння iз результатами отриманими на базi iнших методiв, коли такi результати iснували.



ВИСНОВКИ

Складнi електродинамiчнi системи, що використовуються в науцi й технiцi, потребують математичних моделей та ефективних чисельних алгоритмiв для їх розрахунку. Iснуючi на сьогоднiшнiй день iнженернi методи для аналiзу коаксiальних гiротронiв iз гофрованою внутрiшньою вставкою, наприклад, iмпедансний метод, не дають бажаної точностi при вивченнi спектрiв власних мод таких резонаторiв.

Новi математичнi моделi на основi iнтегральних рiвнянь, що розробленi в дисертацiї, побудованi iз використанням аналiтичних методiв та чисельно аналiзуються за допомогою методiв дискретних особливостей, якi забезпечують збiжнiсть при порiвняно невеликих витратах комп'ютерного часу. Такий пiдхiд дозволяє проводити аналiз електродинамiчних характеристик гофрованих резонаторiв iз необхiдною точнiстю.

Основнi науковi i практичнi результати, одержанi автором, полягають у наступному:

1. У дисертацiйнiй роботi вперше побудовано математичну модель коаксiального резонатора гiротрона для власних ТМ хвиль. Вiдповiдну двовимiрну крайову задачу для рiвняння Гельмгольця зведено до одновимiрного гiперсингулярного iнтегрального рiвняння першого роду загального виду. Чисельний аналiз цього iнтегрального рiвняння здiйснено на базi нової ефективної дискретної математичної моделi, яка розроблена в дисертацiї на основi методiв дискретних особливостей.

2. Побудовано нову математичну модель коаксiального резонатора iз гофрами для подовжнiх стоячих ТЕ хвиль. Розглянуто випадок рiзних фiксованих дiелектричних проникностей у робочiй зонi гiротрона та гофрах резонатора. Двовимiрна крайова задача для рiвняння Гельмгольця в цьому випадку зведена до еквiвалентного одновимiрного сингулярного iнтегрального рiвняння iз додатковою умовою. Розроблено дискретну математичну модель отриманого iнтегрального рiвняння на базi методiв дискретних особливостей.

3. Вперше розроблено математичну модель гiротрона iз гофрованою внутрiшньою вставкою для стоячих подовжнiх ТМ хвиль. Двовимiрну задачу Дирихле для рiвняння Гельмгольця зведено до одновимiрного гiперсингулярного iнтегрального рiвняння першого роду. Ця модель може буди використана для довiльних фiксованих дiелектричних проникностей у робочiй зонi та гофрах резонатора. Проведено чисельний експеримент на основi нової дискретної математичної моделi, представленої в дисертацiйнiй роботi.

Вiдзначимо, що вищезазначенi новi математичнi моделi побудовано для довiльних параметрiв гофрування резонатора, азимутальних та радiальних iндексiв мод. Це дозволяє їх використовувати в широкому колi прикладних задач з аналiзу резонаторних систем сучасних гiротронiв.

4. Розроблено нову дискретну математичну модель гiперсингулярного iнтегрального рiвняння першого роду загального виду, яке мiстить iнтегральнi оператори з гiперсингулярним, сингулярним, логарифмiчним та гладкими ядрами. Побудовано вiдповiдну систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь iз використанням квадратурних формул iнтерполяцiйного типу. Отриманi оцiнки швидкостi збiгу наближеного розв'язку до точного розв'язку гiперсингулярного iнтегрального рiвняння.

Така дискретна математична модель дозволила провести чисельний аналiз гiперсингулярних iнтегральних рiвнянь, якi були виведенi для ТМ мод, що розповсюджуються, та стоячих ТМ мод. Бiльше того, вона може бути використана у низцi електродинамiчних задач, якi зводяться до гiперсингулярного iнтегрального рiвняння першого роду, зокрема, при вивченнi дротових антен.

5.На базi математичної моделi на основi сингулярного iнтегрального рiвняння для аналiзу ТЕ хвиль у гiротронi з гофрами побудовано дискретну математичну модель для розрахунку омiчних втрат на стiнках резонатора коаксiала.

6.Розроблено програмне забезпечення, яке дозволило провести чисельний аналiз математичних моделей, побудованих у дисертацiйнiй роботi. Зокрема, проведено чисельний аналiз електродинамiчних характеристик гофрованих резонаторiв коаксiальних гiротронiв.

7. Наведено результати розрахунку поперечних хвильових чисел для мод, що розповсюджуються, та власних частот стоячих мод електродинамiчних полiв. Проведено чисельний експеримент з розрахунку омiчних втрат у широкому колi можливих параметрiв гофрування резонатора. Отриманi залежностi дозволили зробити припущення стосовно оптимiзацiї геометрiї гофрованої вставки резонатора.

8. Проведено валiдацiю розрахованих електродинамiчних параметрiв, а також порiвняння iз результатами, що були отриманi на базi iнших методiв в тих випадках, коли такi розрахунки iснували.



СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ

1. Кононенко А. С. Квадратурная формула для гиперсингулярного интеграла с весом (1 - x²)^2/3 на базе системы ортонормированных полиномов Якоби // Вестник Харьковского национального университета, серия "Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления". -- 2003. -- № 590. -- С. 145-149.

2. Гандель Ю. В., Кононенко А. С. Гиперсингулярное интегральное уравнение математической модели гиротрона для случая ТМ волн // Вестник Харьковского национального университета, серия "Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления". -- 2005. -- № 661. -- С. 83-88.

3. Гандель Ю. В., Кононенко А. С. Математическая модель гиротрона с различными диэлектрическими проницаемостями сред в рабочей зоне и гофрах резонатора // Доповiдi Нацiональної академiї наук України.-- 2005. -- № 10. -- С. 70-74.

4. Кононенко А. С. Математическая модель для численного исследования собственных ТМ волн коаксиального гиротрона с гофрированной вставкой //

Вестник Харьковского национального университета, серия физическая "Ядра, частицы, поля". -- 2005. -- № 710. -- С. 118-122.

5. Гандель Ю.В., Кононенко А. С. Обоснование численного решения одного гиперсингулярного интегрального уравнения // Дифференциальные уравнения. -- 2006. -- Т. 42, № 9. -- С. 1256-1262.

6. Kononenko O., Gandel Yu. Singular and hypersingular integral equations techniques for gyrotron coaxial resonators with a corrugated insert // International Journal of Infrared and Millimeter Waves. -- 2007. -- Vol. 28, no. 4. -- Pp. 267-274.

7. O. Dumbrajs, Yu.V. Gandel, K. Schuenemann, G.I. Zaginaylov, A.S. Kononenko. Full wave analysis of coaxial cavity gyrotrons // Proceedings of the 10th Triennial ITG-Conference on Displays and Vacuum Electronics. -- Garmisch-Partenkirchen, Germany, 2004. -- Pp. 75-80.

8. Kononenko A. Mathematical model of losses in coaxial cavity gyrotron // Book of Abstracts, First Karazin Scienti?c Readings. -- Kharkiv, 2004. -- P. 35.

9. Кононенко А.С. Гиперсингулярные интегральные уравнения математической модели коаксиального гиротрона // Материалы конференции, десятая международная научная конференция им. академика М. Кравчука. -- Киев, 2004. -- С. 75-80.

10. Gandel Yu. V., Kononenko A.S. Mathematical model of a cavity gyrotrons on the basis of hypersingular integral equations. // Conference Proceedings, 10th International conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. -- Dniepropetrovsk, 2004. -- Pp. 559-561.

11. Гандель Ю.В., Кононенко А.С. Математическая модель для полного волнового анализа коаксиального гиротрона на базе граничных интегральных уравнений // Thesis of Conference Reports, Dynamical System Modelling and Stability Investigation. -- Киев, 2005. -- С. 265.

12. Kononenko A., Gandel Yu. Rigorous Mathematical Model and Simulation for TM waves in Coaxial Cavity Gyrotrons // Conference Proceedings, 11th International conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. -- Kharkiv, 2006. -- Pp. 535-537.

13. Kononenko A., Gandel Y. Theoretical and numerical investigations of te and tm modes in a coaxial cavity gyrotron // Proceedings of the 36th European Microwave Conference. -- Manchester, UK, 2006. -- Pp. 1115-1118.

14. Kononenko A., Gandel Y. Standing waves in a coaxial cavity gyrotron with a corrugated insert // Proceedings of the Asia Paci?c Microwave Conference. -- Yokohama, Japan, 2006. -- Pp. 1300-1303.

15. Гандель Ю.В., Кононенко А.С. Гиперсингулярное интегральное уравнение первого рода общего вида и его дискретная математическая модель // Труды ХIII Международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". -- Харьков-Херсон, 2007. -- С. 91-94.

16. Kononenko A., Gandel Y. Mathematical model of ohmic losses in a coaxial cavity gyrotron with a corrugated insert // Proceedings of the 6-th International Symposium on Physics and Engineering of Microwaves, Millimeter and Submillimeter Waves. -- Kharkiv, 2007. -- Pp. 292-294.

Размещено на Allbest.ru

...