Стійкість логіко-динамічних систем з часовим перемиканням

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Одним з найбільш використовуваних математичних апаратів для опису та дослідження динамічних процесів є логіко-динамічні та неперервно-дискретні системи. Для моделювання складних дискретних, дискретно-неперервних та неперервних динамічних систем найчастіше використовують системи звичайних диференціальних рівнянь, системи рівнянь у частинних похідних, різницеві рівняння, функціонально-диференціальні та інтегральні рівняння.

На сьогоднішній день існують різні математичні моделі, які розроблені для дослідження поведінки логіко-динамічних систем. Серед них - агрегативні системи Бусленка М.П., неперервно-дискретна модель Глушкова В.М., кусково-зшиті системи, що описані Андроновим О.О., імпульсні системи, які вивчаються Самойленком А.М., системи зі змінною структурою Ємельянова С.В., а також гібридні системи Пнуелі, які є одним із перспективних методів моделювання логіко-динамічних систем, що сполучають інженерію, теоретичні комп'ютерні науки і теорію керування.

Дисертаційна робота присвячена важливим проблемам прикладної математики, а саме - розробці методів дослідження динаміки процесів, що моделюються сукупністю диференціальних та різницевих рівнянь, які поєднані логічними законами перемикання. Основна увага зосереджена на одній із найголовніших задач аналізу динаміки таких систем. Це - дослідження стійкості, як ключової якісної властивості, що важлива для проектування систем керування. Особливої уваги заслуговують роботи в цьому напрямку Красовського М.М., Зубова В.І., Кирилової Ф.М., Бублика Б.М., Кириченка М.Ф., Гаращенка Ф.Г., Чикрія А.О., Капустяна В.О. Результати роботи автора в другому розділі дисертації базуються на достатньо глибоко вивчених Ляпуновим О.М., Белманом Р., Демидовичем Б.П., Барбашиним Є.О., Онищенком С.М., Валєєвим К.Г., Хусаіновим Д.Я. та ін. методах якісного аналізу лінійних систем. При побудові моделей багатьох реальних систем часто стає очевидним, що модель повинна включати попередні стани системи, що призводить до вивчення теорії функціонально-диференціальних рівнянь. Одержання результатів третього розділу дисертації стало можливим завдяки розвинутій базі досліджень в цій області, яка широко розвинулась завдяки Хейлу Дж., Белману Р., Азбелеву М.В., Колмановському В.Б., Ясинському В.К., Джалладовій І.А.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є отримання конструктивних оцінок стійкості логіко-динамічних систем, які складаються з різнорідних підсистем, а саме з підсистем, що описуються лінійними диференціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами, а також з підсистем, які описуються лінійними функціонально-диференціальними рівняннями. Крім того, ставиться задача побудови математичної моделі динаміки руху вільного тіла з трьома степенями свободи під дією безконтактних сил, дослідження стійкості траєкторії та отримання оцінок розв'язку системи прискорення.

Об'єктом дослідження є логіко-динамічні системи з часовим перемиканням, що описуються лінійними диференціальними та різницевими рівняннями, а також функціонально-диференціальними рівняннями.

Предметом дослідження є аналіз стійкості та одержання оцінок розв'язків логіко-динамічних систем з часовим перемиканням.

Методи дослідження. Основним методом для одержання оцінок стійкості логіко-динамічних систем з часовим перемиканням є другий метод Ляпунова. Моделювання системи прискорення вільного тіла проводилося із застосуванням методу Лагранжа.

1. Динаміка системи з часовим перемиканням, яка складається з підсистем, що описуються лінійними диференціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами, а також лінійними дискретними рівняннями

За допомогою другого методу Ляпунова отримано оцінки стійкості розв'язків.

Одержано оцінку розв'язків логіко-динамічної системи, яка представлена набором підсистем, що є лінійними диференціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами.

Кожна з підсистем описує динаміку збурення на заданому скінченому проміжку часу , , . Для системи виконується умова неперервності фазових координат в моменти перемикань.

Припускається, що початкове збурення знаходиться в -околі стану рівноваги системи, тобто . Отримана оцінка величини відхилення розв'язку системи від стану рівноваги в момент .

Одним з методів отримання оцінки розв'язків, які розглянуті в дисертації, є метод квадратичної функції Ляпунова, яка побудована у вигляді квадрату інтегралу

Теорема 1. Нехай початковий стан системи задовольняє умові . Тоді при виконуватиметься нерівність

Іншим способом отримання оцінки є так званий метод “зшивання” функцій Ляпунова підсистем. В цьому випадку в моменти перемикань поверхні рівня сусідніх функцій Ляпунова співпадають.

Теорема 2. Нехай початковий стан логіко-динамічної системи задовольняє умові . Тоді при виконується нерівність.

Крім того, оцінка збурення розв'язку системи одержана з використанням автономної функції Ляпунова . При цьому накладається умова асимптотичної стійкості кожної з підсистем. Додатно визначені матриці є розв'язками матричних рівнянь Ляпунова при довільних додатно визначених матрицях , .

Теорема 3. Нехай кожна з підсистем логіко-динамічної системи асимптотично стійка.

Досліджено поведінку логіко-динамічної системи, яка описується системами лінійних різницевих рівнянь зі сталими коефіцієнтами які діють на проміжках . Виконується умова неперервності.

З використанням функції Ляпунова у вигляді квадрату інтегралу має місце наступний результат.

Використовується чисельно-аналітичний метод, заснований на апроксимації на невеликих проміжках часу неавтономної системи автономними. Для дослідження використовувались: метод побудови функцій Ляпунова вигляду , що заснований на використанні інтегралів стаціонарних підсистем, метод застосування матричних рівнянь Ляпунова та метод функцій Ляпунова вигляду .

2. Оцінки розв'язку логіко-динамічної системи, яка складається з підсистем, що описуються системами лінійних диференціальних рівнянь із запізненням та нейтрального типу, а також дискретних підсистем із запізненням

Використовуються наступні векторні та матричні норми:

Одержано оцінки збіжності розв'язків логіко-динамічних систем, складених із систем лінійних рівнянь із запізненням.

Кожна з підсистем описує динаміку на заданому скінченому проміжку часу. Передбачається, що початкове збурення знаходиться в -околі стану рівноваги. Оцінюється величина відхилення розв'язку системи від стану рівноваги в кінцевий момент часу . Виконується умова неперервності.

Для отримання оцінок збіжності розв'язків на окремих інтервалах використовуються функціонали Ляпунова-Красовського квадратичного вигляду.

Попередньо одержано оцінки розв'язків стійких та нестійких підсистем із запізненням із використанням функціоналу.

Справедливе наступне твердження.

Нехай існують додатно визначені матриці і , при яких матриця також додатно визначена. Тоді система асимптотично стійка і для її розв'язків справедливі такі верхні експоненціальні оцінки збіжності

Величина задовольняє умові .

Розглянуто випадок, коли не знайдені матриці і , при яких матриця є додатно визначена.

За рахунок вибору параметра матриця може бути додатно визначеною.

Нехай матриці , додатно визначені.

Тоді матриця також буде додатно визначеною.

З використанням доведеної леми, отримано наступне твердження.

Нехай не існують (або не знайдені) додатно визначені матриці ,, при яких матриця також додатно визначена. Якщо величина вибрана згідно нерівності, то для розв'язків системи справедливі верхні експоненціальні оцінки збіжності, причому

Окремо одержані результати для випадків скалярних нестійких та стійких підсистем з запізненням.

За врахуванням умови неперервності в моменти перемикань отримано мажорантні оцінки розв'язків системи. Має місце наступний результат.

Якщо існують додатно визначені матриці , , , такі, що матриці.

Величини , задовольняють умові .

Оцінка розв'язків системи лінійних диференціально-різницевих рівнянь зі сталими коефіцієнтами нейтрального типу.

Для отримання оцінки розв'язків використовується функціонал Ляпунова-Красовського квадратичного вигляду з додатно визначеними матрицями , і сталими , .

3. Модель прискорення вільної маси точкових розмірів системами зарядів силового поля, сили якого обернено пропорційні квадрату відстані між зарядом вільної маси та нерухомими джерелами силового поля, розміщеними в напрямку прискорення маси

Проблема динамічної поведінки вільних об'єктів, особливо стійкості його траєкторії, виникає в ряді задач, зокрема для систем прискорення заряджених частинок, а також прискорення або гальмування магніто-левітуючого транспорту. Метою дослідження є побудова математичної моделі динаміки тіла з трьома степенями свободи під дією безконтактних сил та дослідження стійкості траєкторії на основі методу функцій Ляпунова.

Досліджувана система складається з окремих підсистем, які описані системами диференціальних рівнянь з нелінійною правою частиною. Дані підсистеми моделюють рух заряду на окремих часових проміжках до досягнення моменту перемикання. Прискорююча система складається із послідовно розміщених притягуючих пристроїв (пар зарядів). Для рухомої частинки сили, які діють в напрямках, що перпендикулярні бажаній лінійній траєкторії можуть розвинути нестійкість, що призведе до суттєвої зміни динамічної поведінки. Задача полягає у знаходженні таких умов, при яких дана система при послідовній нейтралізації найближчої притягуючої пари зарядів по мірі наближення рухомого заряду буде являтися прискорюючою системою та проведенні оцінки розв'язку такої системи.

На основі рівнянь Лагранжа у припущені консервативності динамічної системи для системи рівновіддалених нерухомих зарядів одержана математична модель динаміки руху прискореної (гальмуючої) частинки, що має вигляд системи диференціальних рівнянь.

В постановці задачі про стійкість відносно частини змінних досліджується стійкість відносно малих відхилень від прямолінійної траєкторії прискорення координат та їх швидкостей, а збурення координати (напрям прискорення) та її швидкості вважаються довільними за величиною. Спочатку доведено, що прямолінійна траєкторія задовольняє рівнянням руху. Після цього одержується розв'язок рівняння та інтеграл повної енергії збуреного руху, для якого знаходяться умови додатності. Встановлено, що траєкторія прискорення має обмеження на відстань прискорюваної маси до нерухомих зарядів. Зокрема, для процесу прискорення однією парою нерухомих зарядів, стійкість траєкторії обмежена зверху відстанню, що не повинна бути меншою, ніж . Це означає, що для стійкості траєкторії прискорююча система повинна бути нейтралізована на певній відстані від нерухомих зарядів, яка залежить від кількості нерухомих зарядів.

Використовуючи знайдені моменти часу перемикань, виконано аналітичну оцінку розв'язку системи прискорення в кінцевий момент функціонування методом функцій Ляпунова вигляду . Чисельне моделювання динаміки системи проводилося в середовищі MatLab R12. Знайдені при цьому оцінки розв'язку узгоджуються з отриманими теоретично.

Висновки

прискорювальний математичний безконтактний траєкторія

В дисертаційній роботі з використанням другого методу Ляпунова отримано оцінки стійкості лінійних логіко-динамічних систем та лінійних неавтономних систем, а також логіко-динамічних систем, складених із систем лінійних рівнянь з запізненням, скалярних стійких та нестійких підсистем з запізненням, дискретних логіко-динамічних систем з запізненням та скалярного рівняння нейтрального типу. Розроблена і досліджена модель прискорення та гальмування вільної частинки точкових розмірів системами зарядів силового поля, сили якого обернено пропорційні квадрату відстані між зарядом вільної маси та нерухомими джерелами силового поля, розміщеними в напрямку прискорення (гальмування) маси. Основними результатами дисертації є:

Отримано верхні та нижні оцінки стійкості лінійних логіко-динамічних систем, що описуються лінійними диференціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами з використанням методу функцій Ляпунова, побудованих на інтегралах підсистем, а також методу “зшивання” функцій Ляпунова, що дало можливість знайти найбільш точні оцінки розв'язків. Застосування автономної функції Ляпунова дозволило знайти оцінки розв'язків логіко-динамічних систем з асимптотично стійкими підсистемами. Одержано оцінки стійкості лінійних логіко-динамічних систем, які описуються різницевими рівняннями.

Проведена оцінка розв'язків лінійних неавтономних систем. Запропоновано чисельно-аналітичний метод, заснований на апроксимації на невеликих проміжках часу нестаціонарних систем стаціонарними.

Одержано оцінки збіжності розв'язків логіко-динамічних систем, складених із систем лінійних рівнянь із запізненням. Розглянуто випадки стійких та нестійких підсистем. Окремо одержано оцінки скалярних стійких та нестійких підсистем з запізненням.

Отримано оцінки збурень логіко-динамічних систем із запізненням, що описуються дискретними підсистемами, а також дискретними рівняннями.

Одержано оцінки розв'язків стійких систем та скалярного рівняння нейтрального типу.

Побудовано математичну модель динаміки руху тіла з трьома степенями свободи під дією кулонівських сил, досліджено стійкість траєкторії вільного тіла та здійснено оцінку розв'язку цієї системи на основі методу функцій Ляпунова. Знайдені умови, при яких дана система при послідовній нейтралізації найближчої притягуючої пари зарядів по мірі наближення рухомого заряду є прискорюючою системою. Досліджено особливості руху вільного тіла в середовищі MatLab R12.

Література

1. Хусаінов Д.Я., Кузьмич О.І. Оцінки стійкості логіко-динамічних систем з часовим перемиканням // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2005. - №1. - С. 230-237.

2. Кузьмич О.І. Оцінки стійкості динаміки гібридних систем з кінечним числом перемикань // Вісник Київського національного університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2005. - №2. - С.260-267.

3. Кузьмич О.І., Хусаінов Д.Я. Оцінка динаміки гібридних систем, що описуються дискретними рівняннями // Вісник Київського національного університету. Кібернетика. - 2005. №6. - С.45-48.

4. Кузьмич О.І. Оцінки збурень розв'язків неавтономних систем // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Кібернетика. - 2006. №7. - С.37-42.

5. Хусаинов Д.Я., Диблик Й., Кузьмич Е.И. Оценки сходимости решений линейного уравнения нейтрального типа // Динамические системы. - 2006. - в.21., - С.43-53.

6. Kuzmich O. The decisions stability estimates of linear hybrid systems // Modern problems and new trends in probability theory. International conference. Chernivtsi, Ukraine, June 19-26, 2005. - P.132.

7. Кузьмич Е.И. Исследование одной гибридной системы специального вида // Диференціальні рівняння та їх застосування. Київ, 6-9 червня, 2005 р. - С. 51.

8. Кузьмич Е.И., Хусаинов Д.Я. Оценки возмущений систем с запаздыванием с переключениями // Диференціальні рівняння та їх застосування. Чернівці, 11-14 жовтня, 2006 р. - С. 76.

Размещено на Allbest.ru