Модели управления запасами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

управление запас экономика оборотный капитал

Введение

Глава 1. Экономико-математические модели управления запасами

1.1 Основные понятия

1.2 Однономенклатурные модели

1.2.1 Модель с конечной интенсивностью поступления заказа

1.2.2 Модель с учетом неудовлетворенных требований

1.2.3 Модель с определением точки заказа

1.3 Многономенклатурные модели

1.3.1 Раздельная оптимизация

1.3.2 Полное совмещение заказов

1.4 Страховой запас

Глава 2. Методы управления запасами

2.1 Применение однопродуктовой модели

2.2 АВС-анализ

2.3 Управление запасами в условиях ограниченного оборотного капитала

2.4 Определение величины страхового запаса

Заключение

Список литературы

Введение

Теория управления запасами объединяет в себе различные методы анализа задачи одного класса проблем, которые в целом можно сформулировать следующим образом: какие запасы некоторого продукта необходимо иметь при неопределенном спросе на этот продукт? В задачах такого рода необходимо найти рациональное количество запаса, учитывая то, что потери возникают как из-за неудовлетворительного спроса, так и из-за того, что продукт лежит на складе. Часто считают, что спрос является случайной величиной с заданным распределением. Тогда модель системы хранения запаса можно сформулировать в виде модели со случайным фактором. Реже предполагают, что спрос является неопределенным фактором, т.е. заданы лишь его границы.

Проблема управления запасами возникает при рассмотрении разнообразных экономических объектов. Широко распространены задачи управления запасами при анализе розничной торговли: рассматриваются запасы некоторого товара в магазине. Спрос на этот товар считается случайной величиной с заданным распределением. Запас пополняется за счет доставки товара с базы по заявке магазина, причем время доставки может быть как фиксированной, так и случайной величиной. Перед директором магазина встает вопрос: когда подавать заявку на пополнение запаса и какое количество товара требовать в заявке? На подобные вопросы должна ответить теория управления запасами.

Управлять запасами приходится и на производственных объектах, при планировании работы любой производственной единицы, когда необходимо определять рациональный уровень запасов сырья, инструмента и т.д. Чрезмерно большой запас в этом случае приводит к нерациональному использованию оборотных средств, лишает необходимого сырья или оборудования другие производственные единицы, требует значительных затрат на хранение и уход за ним. С другой стороны, нехватка сырья или инструмента вызывает перебои в производстве. Поэтому установление рационального количества запаса является средством, позволяющим, с одной стороны, ликвидировать ненужные запасы, а с другой - обеспечить равномерность производства.

Отметим общую характерную черту всех систем хранения запасов - рациональная величина запасов зависит от информации о спросе и возможностях пополнения запасов. Чем точнее известен спрос и чем надежнее поставщики запасаемого продукта, тем меньше может быть величина запаса, необходимого для бесперебойной работы системы.

Против использования результатов теории управления запасами иногда выдвигаются следующие доводы: человек, постоянно наблюдающий спрос на некоторый продукт и хорошо знакомый с поведением поставщиков, значительно лучше сможет выбрать рациональный уровень запаса, чем вычислительная машина на основе метода теории управления запасами и математической модели рассматриваемой ситуации, поскольку в модели ситуация описывается в упрощенном виде. Такое утверждение основано на неправильном понимании проблемы: даже если опытный снабженец действительно сможет лучше ЭВМ выбрать уровень хранения одного продукта, число товаров в достаточно большом магазине или видов сырья, полуфабрикатов, инструментов и продукции на современном предприятии настолько велико, что для внимательного наблюдения за уровнем запасов, изменениями в характеристиках спроса и снабжения (характеристики эти, кстати, довольно часто меняются) не хватит ни памяти, ни времени отдела снабжения. Именно по этой причине автоматизация систем хранения запасов начала осуществляться на первых же шагах внедрения человеко-машинных систем управления производством. При этом проблема управления запасами, как уже следует из ее названия, связана с управлением системой, т.е. с задачей о принятии решения, которое будет реализовано сейчас же, а не в течение более или менее продолжительного промежутка времени.

Глава 1. Экономико-математические модели управления запасами

1.1 Основные понятия

Одним из важнейших этапов планирования работы любой производственной единицы - цеха, предприятия или объединения предприятий - является определение рационального уровня запасов сырья, полуфабрикатов, инструментов. Основными причинами создания производственных запасов служат необходимость обеспечения бесперебойного снабжения производственного процесса, периодичность производства различных видов продукции поставщиками, осуществление транспортировки большинства видов продукции от поставщика к потребителю партиями, а также несовпадение ритма производства с ритмом потребления.

В состав производственных запасов входят: сырье, основные и вспомогательные материалы, покупные комплектующие изделия и полуфабрикаты, топливо, тара и тарные материалы, запасные части для ремонта основных фондов, малоценные и быстроизнашивающиеся предметы.

Предметом теории управления запасами является отыскание такой организации поставок или производства, при которых суммарные затраты на функционирование системы были бы минимальными. Под организацией производства понимается определение объемов поставок и периодичность заказов, а при планировании производства нескольких видов продукции на одном и том же оборудовании - определение размера партии и периодичности запуска продукции в производство. Существует четыре основных вида затрат, которые могут оказать влияние на выбор решения по управлению запасами:

затраты на приобретение запасов,

затраты на организацию заказа,

издержки хранения запасов,

потери от дефицита.

Затраты, которые не зависят от принимаемых решений, не учитываются при анализе. Так, затраты на приобретение продукции целесообразно учитывать только, если цена единицы продукции зависит от величины партии, что обычно выражается в виде оптовых скидок.

К затратам на организацию заказа, учитываемым в анализе функционирования систем управления запасами, относят постоянные расходы по размещению заказов: расходы на разъезды и командировки, почтово-телеграфные расходы, транспортные расходы, не зависящие от размера партии.

В общем случае в стоимость поставки, кроме постоянных, входят затраты, пропорциональные объему партии и количеству заказываемых номенклатур. Однако принимаемые решения никак не влияют на величину затрат, пропорциональных размеру партии. Затраты, пропорциональные количеству номенклатур в заказе, учитываются только в многономенклатурных (многопродуктовых) моделях. Эти затраты представляют собой стоимостное выражение трудозатрат, связанных с поиском и обработкой информации по отдельным продуктам, упаковкой у поставщика, а также приемом и размещением на складе потребителя.

Если складскую систему снабжает предприятие-поставщик, то при условии серийного выпуска продукции стоимость переналадки оборудования перед выпуском очередной партии тоже попадает в эту категорию затрат. Иногда сюда относят также издержки вследствие более низкой производительности труда и более высокого процента брака в начале производственного периода. В литературе затраты, связанные с началом выпуска очередной партии, называют затратами на подготовительно-заключительные операции.

К издержкам хранения запасов, учитываемым в моделях управления запасами относятся лишь издержки, зависящие от величины запасов. К ним относятся издержки физического присутствия материальных ценностей на складе (естественная убыль, плата за производственные фонды) и потери от иммобилизации средств в запасах. Если рассматривать средства, вложенные в запасы как банковскую ссуду, то издержки задаются процентной ставкой.

Потери от дефицита на промышленных предприятиях исчисляются как суммарные потери прибыли в расчете на одну денежную единицу стоимости дефицитных материалов. Прибыль предприятия при дефиците может снизиться за счет простоя производственных мощностей и рабочих, переналадки производственного процесса, замены дефицитных материалов другими, более дорогими, выпуск продукции в сверхурочное время после ликвидации причины простоя, штраф за нарушение сроков поставки.

Производственные запасы подразделяются на текущие, страховые, транспортные и технологические запасы.

Текущий запас необходим для обеспечения бесперебойного хода производства на предприятии в период между очередными поставками. Норма текущего запаса принимается, как правило, равной половине среднего интервала между двумя очередными поставками. Она зависит от частоты и равномерности поставок, расстояния между поставщиками и потребителями, характера и объема потребления материалов.

При прочих равных условиях частота поставок оказывает решающее влияние на формирование норм текущего запаса. Чем меньше интервалы между двумя поставками, тем меньше должно быть на складе материалов, и, следовательно, тем меньше потребуется оборотных средств на их покрытие.

Было бы неправильно устанавливать нормы запасов товарно-материальных ценностей в размерах, соответствующих полной длительности интервалов между двумя поставками, так как в день получения определенного вида сырья и материалов запас его является максимальным (100%), в то время как запасы других видов материалов могут быть минимальными, так как в значительной степени израсходованы.

На практике ежедневно расходуются товарно-материальные ценности и одновременно поступают новые партии сырья и материалов. В результате общее состояние запасов на каждый день таково, что по одним материалам они составляют максимальную величину, по другим - среднюю, а по третьим -- минимальную. В целом размер запаса составляет величину близкую к половине общего запаса материалов, потребляемых на предприятии. Поэтому при расчете норм запаса материалов принимается не весь интервал поставок, а только половина.

Страховой или гарантированный запас создается на случай нарушений плановых сроков или партий поставок, а также нарушений в плановых условиях потребления материалов. На практике страховой запас создают в размере 30% -50% нормы текущего запаса, либо равной максимальному времени отклонений от интервала поставок.

Транспортный запас создается на предприятии на период нахождения материалов в пути после их оплаты.

Технологический или предпроизводственный запас создается в тех случаях, когда поступающие на предприятие сырье и материалы не могут быть использованы в производственном процессе сразу, а требуют соответствующей дополнительной подготовки (сушка, сортировка, раскрой, комплектация и т.п.).

Норма подготовительного запаса определяется с учетом конкретных условий производства и включает в себя время на прием, разгрузку, оформление документов и подготовку к дальнейшему использованию сырья, материалов и комплектующих.

Выделяют также запас готовой продукции, норма которого определяется исходя из времени, необходимого на приемку изделий из цехов, комплектацию транспортной партии, упаковку и отгрузку продукции, оформление документации.

Многообразие реальных ситуаций вызвало необходимость разработки разнообразных моделей управления запасами. Основным фактором, влияющим на тип модели, является характер спроса или потребности в материальных ресурсах. Спрос может быть детерминированным или вероятностным. В свою очередь детерминированный спрос может быть статическим, неизменным во времени, или динамическим, изменяющимся во времени. Вероятностный спрос может быть стационарным, с неизменной во времени плотностью вероятности, и нестационарным с изменяющейся во времени плотностью вероятности.

Другим важным фактором, учитывающимся при построении модели, является срок выполнения заказа, т. е. интервал времени между моментом размещения заказа и его поставкой. Если этот фактор учитывается, то модель называется моделью с запаздыванием поставок.

В модели может быть учтена интенсивность поставок. При пополнении запасов из внешнего источника обычно доставляется вся партия одновременно. Пополнение запаса с некоторой интенсивностью чаще осуществляется самим предприятием, когда продукция одного цеха используется другим.

Число видов продукции учитывается в модели при условии наличия взаимосвязи между ними. Связь может возникать до поставки и после нее. Взаимодействие до поставки проявляется в снабжении из одного источника (заказ на несколько партий различных видов продукции подается одновременно), в требовании комплектности, в ограниченной мощности оборудования. Взаимодействие после поставки имеет место, когда несколько видов продукции хранится в одном складском помещении или ограничена величина оборотных средств, вложенных в запасы.

В работе системы может допускаться дефицит или наоборот выдвигаться требование бездефицитной работы.

1.2 Однономенклатурные модели

Простейшая модель оптимальной партии поставки строится при следующих предположениях: спрос v в единицу времени является постоянным; заказанная партия доставляется одновременно; дефицит недопустим; затраты К на организацию поставки постоянны и не зависят от величины q партии; издержки содержания единицы продукции в течение единицы времени составляют s. На рис. 1.1 показана динамика изменения уровня I запасов.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1

Уровень запаса снижается равномерно от q до 0, после чего подается заказ на доставку новой партии величиной q. Заказ выполняется мгновенно, и уровень запаса восстанавливается до величины q. Интервал времени длиной ф между поставками называют циклом. Издержки в течение цикла L_ц состоят из стоимости заказа К и затрат на содержание запаса, которые пропорциональны средней величине запаса и длине цикла ,

.

Разделив это выражение на длину цикла, получим издержки в единицу времени

. (1)

Оптимальный размер партии определяется из уравнения

(необходимый признак экстремума). Отсюда находится оптимальный размер партии:

. (2)

Так как (достаточный признак экстремума), то для всех q > 0 выражение (2) является минимумом функции затрат (1). Уравнение (2) известно под многими названиями. Его называют формулой наиболее экономной величины заказа, формулой Уилсона, формулой квадратного корня. Чтобы найти оптимальные параметры работы системы, подставляем значение q* в соответствующие выражения. Получаем, что оптимальная стратегия предусматривает заказ q* через каждые

единиц времени. Наименьшие суммарные затраты работы системы в единицу времени

.

1.2.1 Модель с конечной интенсивностью поступления заказа

Пусть заказанная партия поступает с интенсивностью л единиц в единицу времени. Очевидно, система может работать без дефицита, если интенсивность поставок л превосходит интенсивность потребления v. Таким образом рассматривается система типа заводского склада, куда продукция, произведенная одним цехом, поступает с определенной интенсивностью и используется и производстве другого цеха. Изменение уровня запаса для рассматриваемого случая изображено на рис. 2. В течение времени запас одновременно и поступает и расходуется, это время накопления запаса. В течение запас только расходуется. Длина цикла .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2

Учитывая, что максимальный наличный запас издержки системы в единицу времени составят

.

Оптимальные параметры работы системы определяются обычным образом. Величина оптимальной партии

, (3)

оптимальный период возобновления заказа

, (4)

и его составляющие

, . (5)

минимальные издержки в единицу времени

.

В случае, когда интенсивность поставки значительно больше интенсивности потребления , а (3), (4) и (5) становятся параметрами обычной системы Уилсона.

1.2.2 Модель с учетом неудовлетворенных требований

В некоторых случаях, когда потери из-за дефицита сравнимы с издержками хранения, дефицит допускается. Пусть требования, поступающие в момент отсутствия запаса, берутся на учет. Обозначим через у максимальную величину задолженного спроса (рис. 3). Максимальная величина наличного запаса расходуется за время (время существования наличного запаса), а затем поступающие требования ставятся на учет в течение времени (время дефицита). При поступлении очередной партии в первую очередь удовлетворяется задолженый спрос, а затем пополняется запас. Убытки, связанные с дефицитом единицы запаса в единицу времени, составляют d. Затраты на хранение продукции пропорциональны средней величине запаса и времени его существования , аналогично убытки, связанные с дефицитом, пропорциональны его средней величине и времени его существования . Средние издержки работы системы в течение цикла, включающие затраты на размещение заказа, содержание заказа и потери от дефицита

.

Разделим издержки цикла на его величину и получим издержки работы системы в единицу времени

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3

Откуда обычным способом находим

,

,

.

Подставив значения и в соответствующие выражения, найдем другие оптимальные параметры системы

,

,

,

.

Полезно иметь в виду, что

.

1.2.3 Модель с определением точки заказа

В реальных ситуациях следует учитывать время выполнения заказа и. Для обеспечения бесперебойного снабжения заказ должен подаваться в момент, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребности на время выполнения заказа. Этот уровень называется точкой возобновления заказа и обозначается r. Для систем, в которых дефицит не допускается, заказ должен размещаться в момент, когда величина наличного запаса равна

.

Для обеспечения бездефицитной работы необходим минимальный начальный запас I₀ , величина которого I_о = иv. Пусть I - фактический начальный запас. Для непрерывной работы необходимо, чтобы I иv. Время потребления начального запаса равно . Чтобы заказанная партия была доставлена не позже полного расхода начального запаса, ее нужно разместить в момент . В общем случае заказы нужно размещать в моменты

, k = 0, 1, 2, … .

В системе с конечной интенсивностью поступления заказа при определении оптимальной точки заказа рассматриваются два случая:

если , то ;

если , то .

Для системы с учетом неудовлетворенных требований точка заказа определяется по формуле

,

и может быть отрицательной величиной. Это означает, что заявки на пополнение запаса должны посылаться, когда величина дефицита составляет |r|.

1.3 Многономенклатурные модели

Складские системы промышленных предприятий содержат от нескольких десятков до нескольких тысяч номенклатур. Следовательно, возникает необходимость рассмотрения задач управления многономенклатурными запасами. Многие специалисты придерживаются мнения, что оптимизация должна проводиться лишь по 5-10% номенклатур, суммарная потребность в которых в стоимостном выражении составляет 60-70%.

1.3.1 Раздельная оптимизация

При отсутствии взаимодействия между запасами различных видов продукции затраты L в единицу времени для системы, включающей N видов хранимой продукции, вычисляются по формуле

. (6)

Откуда, используя необходимый признак экстремума, находим

, .

Минимальные издержки в единицу времени составляют

.

Пусть общая складская площадь ограничена величиной f. Ограничение на складские площади имеет вид:

, (7)

где - площадь, необходимая для хранения единицы i-го вида продукции, - величина партии i-го вида продукции.

В выражении (7) обычно вводится нормировочный множитель h для учета того фактора, что запасы отдельных номенклатур могут поступать независимо друг от друга. Если запасы всех номенклатур пополняются одновременно, то в это время запас и занятая им площадь оказываются максимальными и h = 1. Полагая h = 1/2, допускаем, что запасы всех видов продукции пополняются в разное время, а уровень запасов и занятая ими площадь являются средними. Маловероятно, что занятая площадь окажется много меньше половины имеющейся, поэтому 1/2 1. С учетом сказанного ограничение (7) запишется так:

. (8)

Для определения экстремума функции (6) при наличии ограничения (8) применим метод множителей Лагранжа. Составим дополнительную функцию Лагранжа, которая состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое - это функция экстремальное (максимальное или минимальное) значение которой необходимо определить. В нашей задаче - это суммарные издержки в единицу времени, которые надо минимизировать. Второе слагаемое - это разность между левой и правой частью ограничивающего условия, умноженная на неопределенный множитель , которому можно придать любое произвольное значение. Если ограничение является несущественным, то отрицательная величина, а = 0. Возможны два случая

, > 0,

, = 0.

Это обеспечивает возможность составления функции Лагранжа. Поскольку выражение в любом случае равно нулю, то функция суммарных затрат в единицу времени будет иметь вид

.

Продифференцируем эту функцию по неизвестным параметрам и , и приравняем частные производные к нулю

, .

Откуда выводим систему из N + 1 уравнения с N + 1 неизвестной

(9)

Оптимальные партии поставок из (9) можно найти методом дихотомии, золотого сечения, Фибоначчи.

Неопределенный множитель Лагранжа в данном случае имеет конкретный экономический смысл. Он показывает, насколько можно сократить минимальные издержки функционирования системы в единицу времени, увеличив складские площади на единицу.

Аналогично решается задача, если ограничения накладываются на величину оборотных средств А, вложенных в запасы. Пусть - стоимость единицы материала i-го вида, тогда ограничение имеет вид:

.

Пропуская математические выкладки, запишем систему для решения задачи

.

Неопределенный множитель Лагранжа в этой модели показывает, на сколько денежных единиц уменьшатся затраты в системе, если оборотные средства увеличатся на одну денежную единицу.

1.3.2 Полное совмещение заказов

При пополнении запасов из одного источника часто несколько заказов объединяются. Суммарные издержки размещения N заказов считают равными , где К_о - фиксированные издержки, не зависящие от числа номенклатур, а г () - доля издержек заказывания, связанная с размещением заказа на каждой номенклатуре. Период размещения заказа по всем номенклатурам будет общим. Обозначим его через ф. Издержки размещения заказов и содержание запасов в единицу времени

.

Отсюда

,

, ,

.

Часто необходимо бывает минимизировать суммарные издержки при различных ограничениях. Пусть, например, площадь склада равна f, а единица i-го вида продукции требует для хранения f_i квадратных метров. С учетом того, что , ограничение по складским площадям имеет вид

. (11)

Ограничение по оборотным средствам

. (12)

В случае одного ограничения задача решается по следующей схеме. Определяется по формуле (10). Если удовлетворяет ограничению, то . Если не удовлетворяет ограничению, то должно превратить ограничение (11) или (12) в строгое равенство, тогда оптимальный период возобновления поставок для ограничения по площади

,

для ограничения по оборотным средствам

.

Оптимальный поставочный комплект

, .

1.4 Страховой запас

На системы управления запасами оказывает влияние множество факторов, и это вызывает колебания величины параметров, становящихся таким образом случайными величинами. Случайной величиной может быть потребление и поступление материалов или время выполнения заказа. Поскольку определяющим фактором в моделях управления запасами является спрос, то проведем анализ случайных величин на примере этого фактора.

Пусть спрос на продукцию предприятия или расход материальных ресурсов - стационарная случайная величина с математическим ожиданием и конечной дисперсией.

Чтобы избежать дефицита в системе при случайных колебаниях спроса, предприятию необходимо иметь некоторый страховой запас r₀. Для бесперебойной работы системы вероятность того, что спрос за время цикла не превысит величины , должна быть достаточно велика. Эту вероятность называют коэффициентом надежности и обозначают его через б. Обычно требуется, чтобы коэффициент надежности равнялся 0,9; 0,95 или 0,99. Иногда удобнее использовать коэффициент риска р = 1 - б. Таким образом, если v - спрос между двумя последовательными моментами размещения заказа, то

,

где f(v) - плотность распределения случайной величины спроса. Исследования показывают, что распределение объемов потребления и поступления материалов на промышленных предприятиях подчиняются нормальному закону. Функция плотности для нормального закона распределения имеет вид

.

Обозначим

где - среднеквадратическое отклонение случайной величины спроса (f_i - частота, с которой наблюдается величина спроса v_i, N -- количество наблюдений);

- средняя величина спроса.

Тогда плотность распределения имеет вид

.

Задача нахождения оптимального страхового запаса при нормальном распределении плотности вероятности величины спроса формулируется следующим образом: по заданному значению коэффициента риска р найти такое значение величины и_p для которого выполняется равенство

.

Таблица 1

ир	Р	ир	Р	ир	Р	ир	Р
1	2	3	4	5	6	7	8
0.1	0,82034	1.1	0.26133	2.1	0,03573	3.1	0,00194
0,2	0.81148	1,2	0,23014	2.2	0,02781	3,2	0,00137
0,3	0.76418	1.3	0,19360	2.3	0,02145	3,3	0,00097
0,4	0,68916	1,4	0.16151	2,4	0,01640	3,4	0,00067
0.5	0,61708	1.5	0.13361	2.5	0,01242	3,5	0,00047
0.6	0.54851	1.6	0,10960	2,6	0,009,42	3,6	0,00032
0,7	0.48393	1.7	0,08913	2,7	0.00693	3,7	0,00022
0,8	0,42371	1,8	0,07186	2,8	0,00511	3,8	0,00014
0.9	0,36812	1.9	0,05743	2,9	0,00373	3,9	0,00010
1,0	0.31731	2.0	0,04550	3.0	0.00270	4,0	0.00007

Решение этого уравнения относительно и_р по заданному коэффициенту риска находится из таблиц нормального распределения, фрагмент которых приведен в табл. 1. Поскольку риск будет существовать, то , учитывая что , страховой запас должен быть по меньшей мере , таким образом

. (13)

При наличии страхового запаса издержки работы системы в единицу времени

.

Эти издержки достигают минимума при , т.е., если , тогда .

Функция плотности вероятности и величина страхового запаса для распределения Пуассона имеет вид:

,

а величина страхового запаса находится по формуле

, (14)

где и_р определяется из табл. 2.

Для экспоненциального (показательного) распределения с функцией плотности вероятности

,

страховой запас

. (15)

Таблица 2

i	1-р	ир	r0(Т)	i	1-р	ир	r0(Т)
1	0,383	0,5	1,224	5	0,988	2.5	6,122
9	0,683	1,0	2,449	6	0,997	3,0	7,347
3	0,866	1,5	3,667	7	0,9995	3.5	8,571
4	0,955	2,0	4,898

Порядок определения страхового запаса:

Выдвигается гипотеза о законе распределения случайной величины спроса. Для этого данные группируют и строится гистограмма. По оси абсцисс откладывается величина спроса, по оси ординат - частота. Плавной непрерывной линией соединяются верхние основания прямоугольников, образующих гистограмму. Если получена куполообразная линия, симметричная относительно (рис. 4), то делается предположение о нормальном распределении. Если куполообразная линия не симметрична (рис. 5) и , то может быть сделано предположение о пуассоновском законе распределения. Если , выдвигается предположение об экспоненциальном законе распределения (рис. 6).

Выдвинутую гипотезу нужно либо подтвердить, либо опровергнуть. Для этого можно воспользоваться критерием Пирсона

,

где f_i - эмпирические частоты, а f_i `- теоретические частоты.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Для нормального распределения

,

где h - длина шага между соседними значениями спроса.

Для распределения Пуассона теоретические частоты вычисляются по формуле

,

для экспоненциального распределения

.

По таблице критических точек распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k определяется критическое значение критерия Пирсона . Количество степеней свободы для нормального распределения k = n - 3 (n - число групп), для пуассоновского и экспоненциального k = n - 2. Если , то выдвинутая гипотеза принимается, в противном случае - отвергается.

3) После выявления закона распределения остается найти величину страхового запаса, т.е. воспользоваться формулами (13), (14) или (15).

Точка размещения заказа при наличии резервного запаса .

Глава 2. Методы управления запасами

2.1 Применение однопродуктовой модели

Часто большая часть доходов предприятия тратится на содержание запасов. Не управляя процессом их образования, можно прийти к тому, что производство товаров сократится, возникнут трудности в сбыте, в отдельных случаях это может стать даже причиной банкротства предприятия. Таким обратом, необходима разработка специальной стратегии управления запасами.

В основу классификации систем управления запасами может быть принят характер системы снабжения, интенсивность потребления, возможности пополнения запасов, издержки функционирования системы.

По характеру системы снабжения выделяют однопродуктовые и многопродуктовые модели.

По интенсивности потребления - модели с постоянным и стохастическим спросом.

По характеру пополнения запасов различают модели с задержками (фиксированными или случайными) и с мгновенными поставками.

По функциям затрат модели могут быть линейными и нелинейными.

Любая математическая модель, которая применяется для изучения управления запасами, должна учитывать только те издержки, которые зависят от выбора стратегии.

Цель разработки математической модели складской системы состоит в выборе с ее помощью приемлемой стратегии функционирования. Необходимо определить такую стратегию функционирования, которая обеспечит наибольшую возможную прибыль или минимизирует издержки. Другими словами, критерием выбора является максимум прибыли или минимум издержек.

Уравнение издержек, связанных с запасами, сделанными в течение одного цикла (период времени между повторениями заказов) может быть записано следующим образом:

где L₁ - организационные издержки, руб.;

L₂ - стоимость товаров, руб.;

L₃ - общие издержки содержания запасов, руб.;

L₄ - потери из-за отсутствия продукции (дефицита), руб.

Если задача управления запасами удовлетворяет всем приведенным предположениям, заказанная партия доставляется мгновенно и дефицит не допускается.

Пусть спрос на продукцию некоторого инструментального цеха составляет v = 10000 ед. в год. Стоимость хранения составляет s = 10 ден. ед. за единицу в год. Затраты подготовительно-заключительных операций, не зависящие от величины поставляемой партии, связанные с каждым заказом, равны K = 200 ден. ед. Найти оптимальный размер партии поставки, оптимальный интервал между поставками, число поставок и годовые затраты, связанные с работой складской системы.

Рассматриваемые в модели величины, их обозначения, принятые относительно этих величин предположения, сведены в следующую таблицу:

Величина	Обозначение	Ед. измерения	Предположения
Интенсивность спроса	V	единицы товара в единицу времени	спрос постоянен и непрерывен, весь спрос удовлетворяется
Организационные издержки	К	Рублей за одну партию	организационные издержки постоянны, не зависят от размера партии
Стоимость товара	с	Рублей за единицу товара	постоянная величина
Издержки содержания запасов	s	Рублей за единицу товара в год	постоянная величина
Размер партии	p	единицы товара в одной партии	постоянная величина

Оптимальный размер партии найдем по формуле

,

получаем .

Тогда оптимальный интервал между поставками, учитывая, что задан годовой спрос, равен

,

или приблизительно 23 дня. Соответственно, число поставок в год будет равно .

Для нахождения годовых затрат найдем вначале затраты за один цикл поставки по формуле

,

откуда

,

умножив эти затраты на количество циклов в году, получим годовые издержки, связанные с работой складской системы:

 ден. ед.

Таким образом, получили, что в течение года цех должен отгрузить 16 партий изделий по 630 изделий в партии, при этом минимальные затраты на функционирование складской системы составят 6400 ден. ед.

Модифицируем эту модель, допуская возможность существования периодов дефицита товаров, который покрывается при последующих поставках. Такая ситуация возможна, когда потери из-за дефицита сравнимы с издержками хранения. Обозначим через y максимальную величину задолженного спроса (см. рис. 3).

Задача управления в этом случае состоит в том, чтобы выбрать такое значение у, которое ведет к минимизации всех затрат. Будем считать, что неудовлетворенные требования берутся на учет, а удельные издержки дефицита составляют d = 2000 ден. ед. за нехватку единицы продукции в течение года. Вычислим теперь оптимальные параметры функционирования системы при условии наличия дефицита.

Вначале определим максимальную величину задолженного спроса:

,

.

Оптимальный размер партии в этом случае

,

.

Далее найдем интервал поставки по следующим формулам:

,

,

и тогда

,

или дня.

Годовые издержки в этом случае

,

ден. ед.

Мы видим, что при допустимости наличия дефицита годовые издержки могут быть, пусть незначительно, сокращены.

2.2 АВС-анализ

Ассортимент предприятия включает обычно большое число товаров, имеющих различную стоимость и различную долю в структуре товарооборота. Вместе с тем предприятие часто имеет ограниченные возможности уделять значительное внимание каждому товару, который оно реализует. В связи с этим возникает необходимость в дифференцировании всего товарного ассортимента по значимости входящих в него товаров для предприятия. К товарам, реализация которых имеет наибольшее значение для предприятия, следует относиться с особым вниманием. Что же касается товаров с меньшим значением, то осуществление их поставок и управление их запасами может быть более или менее рутинным процессом, требующим лишь периодического, выборочного контроля. Как существенная помощь в сфере дифференцирования товарного ассортимента получил распространение анализ типа АВС.

Перед использованием анализа АВС необходимо разделить все товары, приобретаемые и реализуемые торговым предприятием, на группы А, В и С в зависимости от их относительного участия в общей стоимости, а также общего количества приобретаемых (реализуемых) товаров за период. Можно считать, что товары, имеющие наибольшую долю в структуре общей стоимости реализуемых товаров, имеют такую же большую долю в стоимости складских запасов. На товары группы А, как правило, приходится 70-80% стоимости всех складских запасов, а доля этой группы в общем количестве единиц товаров на складе составляет около 20%. Для товаров группы В это соотношение составляет соответственно 15% и 30-40%, а для товаров группы С - 5-15% и 40-50%.

В зависимости от особенностей деятельности, специализации предприятия, процентное соотношение между группами может колебаться. Предприятия, специализирующиеся на торговле товарами широкого потребления, обязаны учитывать случайный характер спроса отдельного потребителя и иметь в связи с этим относительно широкий ассортимент. Это обстоятельство обуславливает то, что для этого предприятия подавляющее количество товаров будет сконцентрировано в группе С. В свою очередь, для предприятия, реализующего продукцию производственно-технического назначения, высокотехнологичные товары группы В и С практически не имеют значения.

На первом этапе анализа АВС определяется общая стоимость каждого приобретенного (реализованного) товара за период и осуществляется ранжирование товаров по этому показателю.

На втором этапе анализа вычисляется общее количество и стоимость каждого товара в процентах к общим показателям по всей товарной массе. На основании этих данных товары распределяются на три группы: А, В и С.

Рассмотрим процесс распределения товарной массы на группы А, В и С на конкретном примере. Пусть ассортимент торгового предприятия ограничен десятью товарами. В табл. 3 приведены данные о среднем приобретаемом количестве каждого товара за период, цене за единицу товара. В графе “Стоимость, тыс. руб.” содержится стоимость приобретаемых товаров, определяемая путем перемножения количества и цены. В зависимости от стоимости каждому товару присваивается свой ранг (максимальная стоимость - 1, минимальная - 10). Ранг товаров заносится в последнюю графу. Это ранжирование представляет собой первый этап анализа АВС.

Таблица 3. Первый этап анализа АВС

Товар	Количество, шт.	Цена, тыс. руб.	Стоимость, тыс. руб.	Ранг
Товар 1	200	15	3000	6
Товар 2	75	90	6750	5
Товар 3	360	5	1800	10
Товар 4	210	180	37800	1
Товар 5	500	14	7000	4
Товар 6	20	100	2000	9
Товар 7	40	200	8000	3
Товар 8	110	25	2750	7
Товар 9	350	7	2450	8
Товар 10	195	190	37050	2

На втором этапе анализа (табл. 4) товары в первой графе упорядочиваются в соответствии с определенным рангом. В графе “Саккумулированное количество, шт.” приводится суммарное количество товаров нарастающим итогом. В графе “Саккумулированное количество, %” количественные показатели заменяются процентными. В графах “Саккумулированная стоимость” записаны данные тех же расчетов для стоимости товаров. На основании приведенных данных, а также на основании приведенных выше примерных процентных соотношений между группами по количеству и стоимости товары распределяются на три группы: А, В и С.

Таблица 4

Товар	Саккумулиро-ванное количество, шт.	Саккумулиро-ванное количество, %	Колич. соотноше-ние групп, %	Саккумули-рованная стоимость, тыс. руб.	Саккумулиро-ванная стоимость, %	Стоимост-ное соотно-шение групп, %	Группа
4	210	10,1		37800	34,8		А
10	405	19,6	19,6	74850	68,9	68,9	А
7	445	21,5		82850	76,3		В
5	945	45,9		89850	82,7		В
2	1020	49,6	30,0	96600	88,9	20,0	В
1	1220	59,3		99600	91,7		С
8	1330	64,6		102350	94,4		С
9	1680	81,6		104800	96,5		С
6	1700	82,6		106800	98,3		С
3	2060	100,0	50,4	108600	100,0	11,1	С

При осуществлении управления запасами группы А (таких товаров получилось всего два наименования) следует обратить внимание прежде всего на: анализ рынка и структуры стоимости, детальную подготовку заказа товаров; постоянный контроль за реализацией; установление оптимальных страховых запасов.

Для товаров из группы С (эти товары составляют половину всех наименований) рекомендуется использование простых управленческих процедур и максимальное снижение связанных с этим издержек.

Для товаров из группы В рекомендуется средний уровень контроля и издержек с ним связанных.

2.3 Управление запасами в условиях ограниченного оборотного капитала

Дефицит оборотного капитала - основная проблема белорусских предприятий. Ограниченность оборотного капитала заставляет фирму оптимальным образом распределять имеющиеся ресурсы. Эту проблему можно решить, используя численные методы оптимизации.

Предположим, что некоторая фирма провела маркетинговые исследования рынка и получила прогнозные показатели (ассортимент, объем реализации, цена за единицу) реализации продукции, которые она стремится выполнить. Для этого фирме необходимо перевезти товар, а также организовать его хранение. Для того чтобы перевезти товар, фирма-посредник взимает за перевозку К ден. ед. Также хранение продукции требует затрат s ден. ед. за единицу товара в единицу времени. Воспользовавшись полученными в первой главе соотношениями, получим уравнение затрат в единицу времени, которые понесет предприятие, чтобы перевезти и оприходовать ассортиментную группу из k товаров:

,

где L - суммарные затраты;

x_i - объем партии i-й группы продукции;

v_i - потребность в i-м товаре в единицу времени;

X_i - прогнозный объем i-й группы продукции;

Т - период планирования;

c_i - прогнозная стоимость единицы продукции.

Если принять период планирования, равный одному году, то уравнение затрат примет вид

Предприятие поставило перед собой задачу снизить затраты, связанные с перевозкой и хранением грузов (L), а также стремиться, чтобы суммарные запасы па складах не превышали D у.е. Таким образом, необходимо минимизировать функцию L при ограничении

.

В упрощенном варианте можно допустить, что суммарные запасы на складе равны заданному ограничению, т.е. выделенные оборотные средства полностью расходуются на приобретение запасов:

Такую задачу можно решить, например, методом множителей Лагранжа.

Суть метода заключается в создании функции L(x,л) на основе функции f(х) (функция затрат) и ограничений. Необходимым условием максимума или минимума функции является

,

где L(x₁, x₂, …, x_n) = f(x₁, x₂, …, x_n) + (x₁, x₂, …, x_n).

Функция L(x₁, x₂, …, x_n) дифференцируется по х_i и л_i, в результате чего получаем систему уравнений. Решение этой системы дает значения х_i и л_i, при которых функция L, а, следовательно, и f(x) принимают минимальное значение.

Рассмотрим конкретные цифры. Изначально фирма тратила 970 ден. ед. на закупку и хранение товаров, а средние товарные запасы составляли 4040 ден. ед.

Для того чтобы перевезти товар, фирма-посредник взимает за перевозку К = 10 ден. ед. Также предприятие понесет убытки, снизанные с хранением товара, в размере s = 0,12 ден. ед.

Предприятие поставило перед собой задачу снизить затраты, связанные с перевозкой и хранением грузов (L) а также стремиться, чтобы средние суммарные запасы на складах не превышали 3000 ден. ед.:

.

Функция L(x₁, x₂, …, x_n) примет вид

Далее найдем и , в результате чего получим:

;

.

Из первого уравнения получим:

и подставим во второе:

.

Таким образом, определим значение л:

.

После этого можно получить значения объема закупки каждого товара. Если фирма будет придерживаться этих показателей, она будет тратить минимум своих средств на закупку и хранение товаров, а также сможет минимизировать остатки на складах.

Для примера рассмотрим прогнозные показатели по пяти товарам (табл. 5).

Таблица 5. Прогнозные показатели

№ товара	Прогнозный объем Xi	Прогнозная цена сi	Хi-сi
1	600	3	1800	42,43
2	900	10	9000	94,87
3	2400	5	2000	109,54
4	12000	5	60000	244,95
5	18000	1	18000	134,16

Подставив данные в формулы, получим:

;

;

.

Тогда получим: x₁ = 67,8; x₂ =45,5; x₃ = 105; x₄ = 234,9; x₅ = 643,3.

Рассчитанные показатели обеспечивают стоимость средних товарных запасов на складе в размере 3000 ден.ед. Также затраты, связанные с хранением товаров, составляют 131,6 ден.ед.

2.4 Определение величины страхового запаса

Расчет необходимой величины страхового запаса является более сложным с вычислительной точки зрения.

На бумажной фабрике для упаковки готовой продукции перед отправкой потребителю используется картон. Временное отсутствие этого материала ведет к задержке поставок, поэтому его дефицит недопустим. Сведения об ежедневной потребности в упаковочном картоне представлены в табл. 6.

Таблица 6

Интервал интенсивности потребления	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100
Частота	9	15	25	38	46	41	38	22	12	5

Определить величину страхового запаса, гарантирующего бесперебойное снабжение с надежностью p = 0,95.

По виду гистограммы (рис. 7) можно сделать предположение о нормальном законе распределения расхода картона. Обозначим , () середины соответствующих интервалов. Найдем математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение .

Рис. 7

Найдем теоретические частоты , учитывая, что N = 251, k = 10. Для расчетов удобно пользоваться таблицами значений функции .

i
1	5	9	-2,08	0,0459	5,51	0,05
2	15	15	-1,60	0,1109	13,32	0,21
3	25	25	-1,12	0,2131	25,60	0,01
4	35	38	-0,64	0,3251	39,06	0,03
5	45	46	-0,17	0,3932	47,24	0,03
6	55	41	0,31	0,3802	45,68	0,48
7	65	38	0,79	0,2920	35,08	0,24
8	75	22	1,27	0,1781	21,40	0,02
9	85	12	1,75	0,0863	10,37	0,26
10	95	5	2,23	0,0332	3,99	0,26
		251				1,59

Сравним эмпирические и теоретические частоты. Наблюдаемое значение критерия Пирсона . Из таблицы критических точек распределения найдем . Т.к. , то предположение о нормальном законе спроса подтвердилось. Страховой запас . Величину находим из табл. 1. Для p = 0,05, = 2. Итак, .

Заключение

Производственные запасы у потребителей призваны уменьшить зависимость технологического процесса от характера материальных поставок. Их наличие позволяет наладить выпуск продукции оптимальными партиями, определить оптимальные партии поставок по каждому виду продукции и маршрутам.

В связи с тем, что производственные запасы составляют наибольший удельный вес в структуре оборотных средств предприятия, оптимизация производственных запасов приводит к ускорению оборачиваемости и относительному высвобождению оборотных средств. А эффективность управления оборотными средствами в свою очередь оказывает большое влияние на результаты финансово-экономической деятельности предприятия.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что управление запасами является достаточно важной и актуальной проблемой, так как ее решение позволяет найти резервы пополнения оборотных средств, которые так необходимы большинству предприятий.

Список литературы

1. Гринберг А.С., Шестаков В.М. Экономико-математические методы и модели: Учебно-методическое пособие. - Минск: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2004. - 97 с.

2. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. - Москва: Наука, 1984, 392 с.

3. Похабов В.И., Антипенко Д.Г., Гриневич М.Н. Экономико-математические методы и модели (практикум): Учебное пособие для студ. экон. специальностей. - Минск: БНТУ, 2003. - 130 с.

4. Русак Е.С. Экономика предприятия. - Минск: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2004. - 297 с.

5. Экономико-математические методы и модели: Учебно-методическое пособие, под ред. А.В. Кузнецова. - Минск: БГЭУ, 1999. - 206 с.

Размещено на Allbest.ru

...