Фазовые портреты динамических систем

Понятие фазового пространства, точки и траектории, система автономных дифференциальных уравнений как математический объект. Поведение динамических систем в пространстве, сущность аттрактора и хаоса, принцип теории колебаний системы Ресслера и Лоренца.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид доклад
Язык русский
Дата добавления 15.10.2014
Размер файла 69,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://allbest.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уфимский государственный нефтяной технический университет»

Кафедра математического моделирования

Доклад

на тему: Фазовые портреты динамических систем

Студент гр.МГР12-13-01

Имангулова Л.З.

Уфа, 2013

Для системы пространство переменных есть фазовое пространство. В частности, если n=2, то фазовое пространство называют фазовой плоскостью. Положение в этом пространстве, которое занимает при фиксированном t точка - фазовая точка. Кривые в, которые описывают фазовые точки при изменении параметра t называются фазовыми траекториями. Под направлением на фазовой траектории подразумевают направление движения фазовой точки по траектории в сторону возрастания t. Картина, которую образуют фазовые траектории на плоскости c указанным на них направлением движения, носит название фазового портрета.

Динамическая система - математический объект, соответствующий реальным физическим, химическим, биологическим и др. системам, эволюция во времени, которых на любом интервале времени однозначно определяется начальным состоянием.

Таким математическим объектом может быть система автономных дифференциальных уравнений. Эволюцию динамической системы можно наблюдать в пространстве состояний системы.

Дифференциальные уравнения решаются аналитически в явном виде редко. Использование ЭВМ дает приближенное решение дифференциальных уравнений на конечном временном отрезке, что не позволяет понять поведение фазовых траекторий в целом. Поэтому важную роль приобретают методы качественного исследования дифференциальных уравнений. Ответ на вопрос о том, какие режимы поведения могут устанавливаться в данной системе, можно получить из так называемого фазового портрета системы - совокупности всех ее траекторий, изображенных в пространстве фазовых переменных (фазовом пространстве). Среди этих траекторий имеется некоторое число основных, которые и определяют качественные свойства системы. К ним относятся прежде всего точки равновесия, отвечающие стационарным режимам системы, и замкнутые траектории (предельные циклы), отвечающие режимам периодических колебаний. Будет ли режим устойчив или нет, можно судить по поведению соседних траекторий: устойчивое равновесие или цикл притягивает все близкие траектории, неустойчивое отталкивает хотя бы некоторые из них.

Таким образом, «фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легко обозримый «портрет» динамической системы, она дает возможность сразу, одним взглядом охватить всю совокупность движений, могущих возникнуть при всевозможных начальных условиях.» (А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. Теория колебаний)

Рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэффициентами.

Координатную плоскость xOy называют ее фазовой плоскостью. Через любую точку плоскости проходит одна и только одна фазовая кривая (траектория).

В системе возможны три типа фазовых траекторий:

- точка,

- замкнутая кривая,

- незамкнутая кривая.

Точка на фазовой плоскости соответствует стационарному решению (положению равновесия, точке покоя) системы, замкнутая кривая - периодическому решению, а незамкнутая - непериодическому. Поведение динамических систем изучают в «пространстве состояний». Точка в этом пространстве однозначно задает состояние системы. В простейшем случае, например, для маятника - это плоскость (координата, скорость). Притягивающие объекты в фазовом пространстве - аттракторы - определяют свойства установившегося с течением времени колебательного процесса в системе. Аттрактор (от английского to attract - притягивать) может иметь вид простой замкнутой кривой. Это предельный цикл, являющийся образом автоколебаний. Хаосу отвечает сложная, неповторяющаяся траектория. Подход, основанный на таких представлениях, явился революционным в нелинейной теории, поскольку позволил сопоставить эволюции систем во времени наглядные геометрические образы. Он восходит к классическим работам А. Пуанкаре, и был осознан в теории колебаний благодаря работам А.А. Андронова и его школы. В настоящее время построение фазового портреты на компьютере - атрибут почти любого исследования. Экспериментаторы получают фазовые портреты на экране осциллографа. На рисунках внизу представлены фазовые портреты двумерной автоколебательной системы в виде предельного цикла системы Ван-дер-Поля, хаотического аттрактора отображения Это и хаотические аттракторы двух трехмерных динамических систем - системы Ресслера и Лоренца.

математический дифференциальный аттрактор ресслер

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Двумерные автономные динамические системы. Классификация состояний равновесия динамических систем второго порядка. Определение автономной системы дифференциальных уравнений и матрицы линеаризации системы. Фазовый портрет системы Лотки–Вольтерра.

    лабораторная работа [1,1 M], добавлен 22.12.2012

  • Классификация систем (по отношению ко времени и среде, обусловленности поведения, сложности), их основные свойства. Виды процессов в динамических системах. Кибернетические системы и законы их функционирования. Особенности нелинейных динамических систем.

    презентация [204,4 K], добавлен 19.12.2013

  • Математический аппарат для моделирования динамических дискретных систем. Направление развития теории сетей Петри. Построение сети, в которой каждой позиции инцидентно не более одной ингибиторной дуги. Появление и устранение отказов оборудования.

    реферат [116,2 K], добавлен 21.01.2015

  • Анализ вопросов теории дифференциальных уравнений. Применение дифференциальных уравнений в экономике. Геометрический и экономический смысл производной, ее использование для решения задач по экономической теории. Определение числовой последовательности.

    контрольная работа [456,9 K], добавлен 19.06.2015

  • Решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. Исследованы возможности применения имитационного моделирования для исследования систем массового обслуживания. Результаты моделирования базового варианта системы массового обслуживания.

    лабораторная работа [234,0 K], добавлен 21.07.2012

  • Анализ диапазона частот и амплитуд собственных колебаний. Определение жесткости рессорного подвешивания тележки. Разработка математической модели колебаний вагона на рессорном подвешивании. Выбор метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

    курсовая работа [230,6 K], добавлен 18.04.2014

  • Методика формирования математической модели в операторной форме, а также в форме дифференциального уравнения и в пространстве состояний. Построение графа системы. Оценка устойчивости, управляемости, наблюдаемости системы автоматического управления.

    контрольная работа [200,4 K], добавлен 03.12.2012

  • Математическое моделирование объектов, принципы получения и использования. Синтез устройства управления силой, уравновешивающей систему из двух грузов на трех пружинах в виде дифференциальных уравнений. Передаточная функция системы; критерии устойчивости.

    курсовая работа [689,4 K], добавлен 01.12.2013

  • Cистема дифференциальных уравнений, связывающая значение заданной функции в некоторой точке и её производных различных порядков в той же точке. Расчет фазовых переменных зависимости погрешности, трудоемкости от шага, выраженного процессом x в степени n+1.

    лабораторная работа [431,0 K], добавлен 01.12.2011

  • Элементы теории массового обслуживания. Математическое моделирование систем массового обслуживания, их классификация. Имитационное моделирование систем массового обслуживания. Практическое применение теории, решение задачи математическими методами.

    курсовая работа [395,5 K], добавлен 04.05.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.